新课标版数学选修2-1(书;课件)作业28

课时作业(二十八)
→→
1．已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1) ，O为坐标原点，若OM＝AB，则点B的坐标应为( )
A．(－1，3，－3)
C．(1，－3，3)
答案 B
2．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4，2)
C．(－2，0，－2)
答案 B
3．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
1
A．x＝，y＝1
3
1
C．x＝2，y＝－
4
答案 B
→→
4．已知A，B，C三点的坐标分别是A(4，1，3)， B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，且AB⊥AC，
则λ的值是( )
A．28
C．14
答案 D
→→
解析 AB
＝(－2，－6，－2)，AC＝(－1，6，λ－3)，
→→→→
∵AB⊥AC，∴AB·AC
＝－34－2(λ－3)＝－28－2λ＝0.
∴λ＝－14.
→→
5．已知向量OA＝(2，－2，3)，向量OB＝(x，1－y，4z)，且平行四边形 OACB对角线的中
31
点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)等于( )
22
A．(－2，－4，－1)
C．(－2，4，－1)
答案 A
→
1
→→
解析 用线段中点的向量公式OM
＝
(OA
＋OB
)求待定系数．
2
B．(－2，－4，1)
D．(2，－4，－1)
B．－28
D．－14
1
B．x＝，y＝－4
2
D．x＝1，y＝－1
B．(－2，4，－2)
D．(2，1，－3)
B．(9，1，1)
D．(－9，－1，－1)

1
6．如右图所示的空间直角坐标系中， 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
棱长 为1，B
1
E
1
＝A
1
B
1
，
4
→
则BE
1
等于( )

1
A．(0，，－1)
4
1
C．(0，－，1)
4
答案 C
31
→
解析 B点坐标为(1，1，0)，E
1
点的坐标为(1，，1)，则BE
1
＝(0，－
，1)．
44< br>7．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A.65
C．4
答案 A
解析 因为cos〈a，b〉＝∴sin〈a，b〉＝
a·b
2×2＋（－1）×2＋2×1
4
＝＝，
|a||b|9
3×3
B.
65

2
1
B．(－，0，1)
4
1
D．(，0，－1)
4
D．8
65
，所以面积S＝|a||b|sin〈a，b〉＝65.选A.
9
→→ →
8．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值 为( )
A．±
C．－
6

6
6

6
B.
6

6
D．±6
答案 C
→→→→→
解析 OA
＋λOB＝ (1，0，0)＋λ(0，－1，1)＝(1，－λ，λ)，∵OA＋λOB与OB的夹角为120°，
∴(1，－λ，λ)·(0，－1，1)＝
∴2λ＝－
2
2
1＋2λ
2
，∴λ＝－
1
1＋2λ
2
×2×(－)，
2
6
.
6
9．已知A(1，－2，11)，B(6，－1，4)，C(4，2，3)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形
答案 C
D．钝角三角形
→→
解析 ∵AB·AC
＝(5，1， －7)·(3，4，－8)＝15＋4＋56＝75＞0，∴∠BAC为锐角．
→→
∵BA< br>·BC
＝(－5，－1，7)·(－2，3，－1)＝10－3－7＝0，∴∠ABC＝90°.
10．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a，点M在线段AC
1
上且MC
1
＝2AM，N为B1
B的
→
中点，则|MN|的值为( )
A.
C.
21
a
6
15
a
6
B.
D.
6
a
6
15
a
3
答案 A
解析 以点D为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A (a，
a
0，0)，C
1
(0，a，a)，N(a，a，)．
2< br>2aaa
→
1
→
∵AM＝
MC
1
，∴M(， ，)．
2333
→
∴|MN
|＝
2aaa21
（a－a）
2
＋（a－）
2
＋（－）
2
＝
a.
33 236
11．已知a＝(－3，2，－1)，b＝(2，0，4)，c＝(0，1，2)，则a·(b＋ 2c)＝________，2a＋b
－3c＝________．
答案 －10 (－4，1，－4)
→→→→
12．已知AB＝(－4，6，－1)，AC＝(4，3，－2 )，若|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________．
34123412
答案 (，，)或(－，－，－)
3
解析 设a＝(x，y，z)，
∵|a|＝1，∴x
2
＋y
2
＋z
2
＝1.①
→→
∵a⊥AB
，AB
＝(－4，6，－1)，
∴－4x＋6y－z＝0.②
→→
∵a⊥AC
，AC
＝(4，3，－2)，
∴4x＋3y－2z＝0.③

?
?
4
?
?
4
解由①②③组成的方程组，得
?
y＝
13
，
或< br>?
y＝－
13
，

1212
??
z＝，z＝ －
?
13
?
13
.
34123412
∴a＝(，，)或a＝(－，－，－)．
3
13．已知两点A(1，－2，3)，B(2，1，－ 1)，AB连线与xOz平面的交点坐标是________．
51
答案 (，0，)
33
解析 设AB与xOz平面交点为P(x，0，z)，
→→
AP
＝λAB
.∴(x－1，2，z－3)＝λ(1，3，－4)． < br>x－1＝λ，
?
?
?
5
?
∴
?
2＝ 3λ，
∴
?
x＝
3
，

?
?
z－ 3＝－4λ，
?
z＝
1
.
2
λ＝
，
33
x＝，
13
3
x＝－，
13
?
3
→ →→
14．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD
1
所在直线为x，y，
z 轴建立直角坐标系D－xyz，点M在线段AB
1
上，点N在线段BC
1
上， 且MN⊥AB
1
，MN
⊥BC
1
.求：
→→
(1)〈AB
1
，BC
1
〉；
→
(2)MN的坐标．
解析 (1)由题意可知D(0，0，0)，A(1，0，0 )，B(1，1，0)，B
1
(1，1，1)，C
1
(0，1，1)， →→
所以AB
1
＝(0，1，1)，BC
1
＝(－1，0，1) ，
→→
AB
1
·BC
1
＝0×(－1)＋1×0＋1×1 ＝1，
→
|AB
1
|＝
→
|BC
1
|＝
0
2
＋1
2
＋1
2
＝2，
（－1）
2
＋0
2
＋1
2
＝2，
→→< br>AB
1
·BC
1
11
→→
所以cos〈AB
1
，BC
1
〉＝＝＝
.
→→
2×2
2
| AB
1
||BC
1
|
π
→→
所以〈AB
1
，BC
1
〉＝
.
3

(2)设点M(1，x，x)，N(y，1，1－y)，
→
则MN＝(y－1，1－x，1－x－y)．
→→→→
因为MN
·AB
1
＝0，MN
·BC
1
＝0，
?
（0，1 ，1）＝0，
?
（y－1，1－x，1－x－y）·
即
?

（－1，0，1）＝0，
?
（y－1，1－x，1－x－y）·
?
2
x＝，
?
3
?
2－2x－y＝0，
化简得
?
解得< br>
2
?
?
2－x－2y＝0，
y＝，
3
?< br>?
?
111
→
所以MN的坐标为(－
，，－)．
3 33
15.如图所示，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，M为正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的中
心，N为棱AA
1
的中点，若AB＝AD＝1，AA
1
＝2.
→
(1)求|CN|；
(2)求证：A
1
C⊥D
1
M；
(3)求异面直线CA
1
与DC
1
所成角的余弦值．
解析 (1)以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则C(1，1，0)，
N(0，0，1)．
→
∴CN＝(－1，－1，1)．
→
∴|CN
|＝（－1）
2
＋（－1）
2
＋1
2
＝3.
11
(2)证明 ：∵A
1
(0，0，2)，C(1，1，0)，D
1
(0，1，2)，M(， ，2)，
22
11
→→
∴A
1
C
＝(1，1，－ 2)，D
1
M
＝(
，－，0)．
22
11
→→< br>∴A
1
C·D
1
M
＝1×＋1×(－
)＋(－2)× 0＝0.
22
∴A
1
C⊥D
1
M.
→→
(3)∵CA
1
＝(－1，－1，2)，DC
1
＝(1，0，2)， →→
CA
1
·DC
1
→→
∴CA
1
与 DC
1
所成角的余弦值为cosθ＝

→→
|CA
1
|·|DC
1
|
－1×1＋（－1）×0＋2×2
30
＝＝
.
10
6×5

故异面直线CA
1
与DC
1
所成角的余弦值为
30
.
10

1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6)
C．a·b＝10
答案 D
解析 a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，∴ A、B、C错误．
→→
2．已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则OA与BO的夹角是( )
A．0
3
C.
π
2
答案 B
→→→→
解析 ∵OA·OB
＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|OA
|＝33，|OB|＝63， 54
→→→→→→
∴cos〈OA
，OB
〉＝＝1，∵〈OA
， OB
〉∈[0，π]，∴〈OA
，OB
〉＝0.
33×63
→→
∴〈OA
，BO
〉＝π.
3．设一地球仪 的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为A(1，
2，2)，B(2，－ 2，1)，则|AB|等于( )
A．18
C．32
答案 C
→
解析 |AB|＝|AB|＝1
2
＋（－4）
2
＋（－1 ）
2
＝32.故选C.
B．12
D．23
B．π
D．2π
B．a－b＝(2，－1，－6)
D．|a|＝6
4．已知向 量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________．
答案 3
解析 ∵a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，∴λa＋b＝(4，1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝29，∴16＋(1－λ)
2
＋λ
2
＝29.
∴λ
2
－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ>0，∴λ＝3. →→
5．若点A(1，2，3)，B(－3，2，7)，且AC＋BC＝0，则点C的坐标为___ _____．
答案 (－1，2，5)

→→
解析 设C(x，y， z)．由AC
＋BC＝0，得(x－1，y－2，z－3)＋(x＋3，y－2，z－7)＝0. ?
（x－1）＋（x＋3）＝0，
x＝－1，
∴
?
?
?
（y－2）＋（y－2）＝0，
解得
?
?
y＝2，

?
?
（z－3）＋（z－7）＝0.
?
?
z＝5.
∴C( －1，2，5)．
6．设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
解析 ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5 )＝(7，－4，
(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴
k－25k＋3
－k＋5
7
＝
－4
＝
－16
，解得k＝－
13
.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，
∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.
解得k＝
106
3
.

16)． －