高中数学差高数难学吗-高中数学 思维
课时作业(十一)
1．如果直线a∥平面α，b?α，那么a与b的关系是( )
A．相交
C．平行
答案 B
解析
a与b平行或异面，但不能相交．
2．若直线a不平行于平面α，则下列结论中成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
C．α内的直线都与a相交
答案 D
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些
交线的
位置关系为( )
A．都平行
C．都相交但不一定交于同一点
答案 D
解析 若l∥平面α，则交线都平行；
若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，
D，E三点的
平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋3
C．3＋23
答案 C
解析
因为CD∥AB，AB?平面SAB，CD?平面SAB，所以CD∥平面SAB.
又CD?平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，
所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形，
且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝3，
所以四边形CDEF的周长为3＋23，选C.
5．下面四个命题中：①平面外的直线就是平面的平行线；②平行于同一平面的两条直线平
行；
③过平面外一点可作无数条直线和这个平面平行；④△ABC中，AB∥平面α，延长CA，
CB，分别
交α于E，F，则AB∥EF.正确的命题的序号是________．
B．3＋3
D．2＋23
B．都相交且一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
B．α内不存在与a平行的直线
D．直线a与平面α有公共点
B．不相交
D．异面
答案 ③④
6．四边形ABCD是矩形，P?平面ABC
D，过BC作平面BCEF交AP于E，交DP于F，则
四边形BCEF的形状为________．
答案 梯形
解析 ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，∴BC∥平面APD.
又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF.∴AD∥EF.
又∵E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD.∴EF≠BC.
∴四边形BCEF是梯形．
7．过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的三个顶点A
1
，C
1
，B的平面与底面ACD所在平面的交线为
l，则l与A
1
C
1
的位置关系为________．
答案 平行
8.如图，空间四边形ABCD中，P，Q，R分别是AB，AD，CD的中点，
平面PQR交BC于点S.求证：四边形PQRS为平行四边形．
1
证明
如图，∵P，Q分别为AB，AD中点，∴PQ綊BD.
2
又∵BD?面BDC，PQ?面BDC，
∴PQ∥面BDC.
又∵四边形PQRS∩面BDC＝SR，
∴PQ∥SR，同理PS∥QR，
∴四边形PQRS为平行四边形．
9．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱DD
1
的中点，求证：B<
br>1
D∥平面A
1
C
1
E.
证明
连接B
1
D
1
交A
1
C
1
于M，
∵M，E分别为D
1
B
1
，D
1
D的中点
，∴ME∥B
1
D.
又∵B
1
D?面A
1
C1
E，ME?面A
1
C
1
E，
∴B
1
D∥平面A
1
C
1
E.
10.已知E，F分别是正方体ABCD-A
1
B
1
C<
br>1
D
1
的棱AA
1
，CC
1
上的点，且AE
＝C
1
F，求证：
四边形EBFD
1
为平行四边形．
证明 在线段D
1
D上取一点M，使得D
1
M＝AE，所以四边形A
MD
1
E是
平行四边形，所以ED
1
∥AM，且ED
1＝AM，又AE＝C
1
F，所以MF∥CD，
且MF＝CD，所以四边形ABFM
为平行四边形，所以AM∥BF，且AM＝
BF，又ED
1
∥AM，且ED
1
＝AM，所以ED
1
∥BF，且ED
1
＝BF，所以四边形EBFD
1
为平行
四边形．
11．已知直三棱柱ABC-A
1
B<
br>1
C
1
的侧棱长为a，底面为等腰直角三角形，且AB＝BC＝a，∠
ACB＝90°，M，N分别是A
1
B，B
1
C
1
的中点，
求证：MN∥平面ACC
1
A
1
.
证明 连接AB1
，AC
1
，由平行四边形的性质可知AB
1
与A
1<
br>B相交于点M.
在△B
1
AC
1
中，
∵M，N分别是AB
1
，B
1
C
1
的中点，
∴MN∥AC
1
.
又MN?平面ACC
1
A
1<
br>，AC?平面ACC
1
A
1
，
∴MN∥平面ACC
1
A
1
.
12．如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E，F分别是SD，BC上的点，
且SE∶ED＝BF∶FC，求证：EF∥平面SAB.
证明
在SC上取一点H，使SH∶HC＝SE∶ED，
则EH∥DC，而DC∥AB，∴EH∥AB.
∵SE∶ED＝BF∶FC，
∴SH∶HC＝BF∶FC.
∴HF∥BS.
∵FH∩HE＝H，
∴平面EHF∥平面SAB.
∵EF?平面EHF，
∴EF与平面SAB没有公共点．
∴EF∥平面SAB.
1．在空间四
边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平
面EFGH时，下
面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析 由于B
D∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC
＝DG
∶GC.故选D.
2.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四条边上的
点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD
＝n，则当EFGH
是菱形时，AE∶EB＝________．
答案 m∶n
解析
∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC.
BE
∴EF＝HG＝·m.
BA
AEBEAE
同理，EH＝FG＝·n，∴·m＝·n，
ABABAB
∴AE∶EB＝m∶n.
3．在矩形ABCD中，E为AB上一点，将
B点沿线段EC折起至点P，连接PA，PD，取
PD的中点F，若有AF∥平面PEC，试确定E的位
置．
解析 E为AB的中点时，有AF∥平面PEC.
取PC中点G，连接GE，GF，由已知得GF∥CD.
∵EA∥CD，∴GF∥EA，则G，E，A，F四点共面．
∵AF∥平面PEC，平面GEAF∩平面PEC＝GE，
∴FA∥GE，∴四边形GEAF为平行四边形．
111
∵GF＝
CD，∴EA＝CD＝BA.
222
∴E为AB中点．
4．如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β.
求证：a∥l.
证明
方法一：如图①所示，过a作平面γ交平面α于b，
∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又b?β，c?β，
∴b∥β，又b?α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.
方法二：如图②所示，
在l上任取一点A，过A和a作平面和α交于l
1
，和β交于l
2
.
∵a∥α，∴a∥l
1
，∵a∥β，∴a∥l
2
.
但过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
∴l
1
与l
2
重合．又l
1
?α，l
2
?β，
∴l
1
与l
2
重合于l，∴a∥l.
5．已知平面α∩β
＝l
1
，α∩γ＝l
2
，β∩γ＝l
3
，l
1∥l
2
，求证：l
3
∥l
2
，l
3
∥
l
1
.
证明 α∩β＝l
1
，α∩γ＝l
2
，β
∩γ＝l
3
，l
1
∥l
2
，
∵l
1∥l
2
，α∩γ＝l
2
，∴l
1
∥γ.
∵l
1
?β，β∩γ＝l
3
，∴l
1
∥l
3
.
由平行公理，可得l
3
∥l
2
.