高中数学定积分知识点总结-高中数学教师记功材料
第2节 等差数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等差数列的
概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公
式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，
并能用等差数列的有关知
识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它
的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：a
n
＋
1
－a
n
＝d(n∈N
*
，d为常数). <
br>a＋b
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝
2
.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a
n
}的
首项是a
1
，公差是d，则其通项公式为a
n
＝a
1
＋(n
－1)d.
通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(m，n
∈N
*
).
(2)等差数列的前n项和公式
n（a
1
＋
a
n
）n（n－1）
*
S
n
＝＝nad(其中n∈N).
1
＋
22
3.等差数列的有关性质
已知数列{a
n
}是等差数列，S
n
是{a
n
}的前n项和.
(1)若m＋n＝
p＋q(m，n，p，q∈N
*
)，则有a
m
＋a
n
＝a<
br>p
＋a
q
.
(2)若{a
n
}是等差数列，公差为
d，则a
k
，a
k
＋
m
，a
k
＋
2m
，…(k，m∈N
*
)是公差为
md的等差数列.
(3)数列
S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…也是等差数列.
(4)数列{a
n
}是等差数列?S
n
＝An
2
＋Bn(A，B为常数).
4.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{a
n
}中，a
1
＞0，d＜0，则S
n
存
在最大值；若a
1
＜0，d＞0，则S
n
存
在最小值.
[常用结论与微点提醒]
1.已知数列{a
n
}
的通项公式是a
n
＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a
n
}一定是
等差数列，且公差为p.
2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an
＋
1
－a
n
＝d(n≥2)
时，应注意验证a
2
－a
1
是否等于d，若a
2
－a
1
≠d，则数
列{a
n
}不为等差数列.
3.等差数列{a
n
}的单调性：当d
＞0时，{a
n
}是递增数列；当d＜0时，{a
n
}是递
减数列；
当d＝0时，{a
n
}是常数列.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{a
n
}为等差数
列的充要条件是对任意n∈N
*
，都有2a
n
＋
1
＝an
＋a
n
＋
2
.( )
(2)等差数列{a
n
}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
解析
(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.
答案 (1)√ (2)√ (3)×
(4)×
2.在等差数列{a
n
}中，若a
2
＝4，a
4
＝2，则a
6
等于( )
A.－1
C.1
B.0
D.6
解析 由等差数列的性质，得a
6
＝2
a
4
－a
2
＝2×2－4＝0.
答案 B
3.(201
6·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a
n
}前9项的和为27，a
10
＝8，则a
100
＝( )
A.100
C.98
B.99
D.97
??
?
9a
1
＋36d＝2
7，
?
a
1
＝－1，
解析 设等差数列{a
n
}的
公差为d，由已知，得
?
所以
?
??
?
a
1
＋9d＝8，
?
d＝1，
所以a
100
＝a
1
＋
99d＝－1＋99＝98.
答案 C
4.在等差数列{an
}中，a
1
＝7，公差为d，前n项和为S
n
，当且仅当n＝
8时S
n
取
得最大值，则d的取值范围为______.
?
?a
8
＞0，
?
?
7＋7d＞0，
解析
由题意知d＜0且
?
即
?
?
?
a
9＜0，
?
?
7＋8d＜0，
7
解得－1＜d＜－
8.
7
??
答案
?
－1，－
8
?
??
5.(必修5P68A8改编)在等差数列{a
n
}中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝4
50，则a
2
＋a
8
＝________.
解析 由等差数列的性
质，得a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a7
＝5a
5
＝450，∴a
5
＝90，∴a
2
＋
a
8
＝2a
5
＝180.
答案 180
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)在数列{a
n
}中，若a
1
＝－2，且对任意的n∈N
*
有2a
n
＋
1＝1＋2a
n
，则
数列{a
n
}前10项的和为( )
A.2 B.10
5
C.
2
5
D.
4
(2)(2017·全国Ⅰ卷)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若a
4
＋a
5
＝24，S
6
＝48，则
{a
n
}的公差为( )
A.1
B.2 C.4 D.8
1
解析 (1)由2a
n
＋
1<
br>＝1＋2a
n
得a
n
＋
1
－a
n
＝
2
，
1
所以数列{a
n
}是首项为－2，公差为
2
的等差数列，
10×（10－1）
15
所以S
10
＝10×(－2)＋×
2
＝
2
.
2
(2)设{a
n
}的公差为d，首项为a
1
，
?
?
a
4
＋a
5
＝24，
?
?
2
a
1
＋7d＝24， ①
由
?
得
?
??
?
S
6
＝48，
?
6a
1
＋15d＝48
， ②
解得d＝4.
答案 (1)C (2)C
规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，
S
n
，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问
题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a
1
和d是
等差
数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】 (1)(2015
·全国Ⅰ卷)已知{a
n
}是公差为1的等差数列，S
n
为{a
n<
br>}的前n
项和.若S
8
＝4S
4
，则a
10
等于( )
17
A.
2
C.10
19
B.
2
D.12
(2)(一题多解)设
等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，S
3
＝6，S
4
＝12，则S
6
＝
________.
8×7
4×3
?
1
?
?
，解得a
1
＝，∴a
10
解析 (1)由S
8
＝4S
4
，得8a
1
＋
2<
br>×1＝4×
?
4a
1
＋×1
2
2
??
19
＝a
1
＋9d＝
2
.
(2)法一
设数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，
??
?
S
3
＝3a
1
＋3d＝6，
?
a
1
＝0
，
由S
3
＝6，S
4
＝12，可得
?
解得
?
??
?
S
4
＝4a
1
＋6d＝12，
?
d＝2，
所以S
6
＝6a
1
＋15d＝30.
法二 由{a
n
}为等差数列，故可设前n项和S
n
＝An
2
＋Bn，
?
?
S
3
＝9A＋3B＝6，
由S<
br>3
＝6，S
4
＝12可得
?
?
?
S
4
＝16A＋4B＝12，
?
?
A＝1，
解得
?
即S
n
＝n
2
－n，则S
6
＝36－6＝30.
?
?
B＝－1，
答案 (1)B (2)30
考点二
等差数列的判定与证明(典例迁移)
【例2】 (经典母题)若数列{a<
br>n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n
＋2S
n
S
n
－
1
＝0(n≥2)，
1
a
1
＝<
br>2
.
?
1
?
(1)求证：
?
S
?
成等差数列；
?
n
?
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时，由a
n
＋2S
n
S
n
－
1
＝0，
11
得S
n
－S
n
－
1
＝－2S
n
S
n
－
1
，所以
S
－＝2，
n
S
n
－
1
11
又＝＝2，
S
1
a
1
?
1
?
故
?
S
?
是首项为2，公差为2的等差数列.
?
n
?
11
(2)解
由(1)可得
S
＝2n，∴S
n
＝
2n
.
n
当n≥2时，
1
a
n
＝S
n
－Sn
－
1
＝
2n
－
n－1－n
11
＝＝
－.
2（n－1）2n（n－1）2n（n－1）
1
当n＝1时，a
1＝
2
不适合上式.
1
?
?
2
，n＝1，故a
n
＝
?
1
?
?
－
2n
（n－1）
，n≥2.
【迁移探究1】
本例条件不变，判断数列{a
n
}是否为等差数列，并说明理由.
解 因为a
n
＝S
n
－S
n
－
1
(n≥2)，a
n
＋2S
n
S
n
－
1
＝0，
所以S
n
－S
n
－
1
＋2S
n
S
n
－
1
＝0(n≥2).
11
所以
S
－＝2(n≥2). <
br>n
S
n
－
1
11
又
S
＝
a
＝2，
11
?
1
?
所以
?
S
?
是以2为首项，2为公差的等差数列.
?
n
?
11
所以<
br>S
＝2＋(n－1)×2＝2n，故S
n
＝
2n
.
n
1
所以当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝
2n
－
－1
1
＝，
2（n－1）2n（n－1）
所以a
n
＋
1
＝
－1－1－1－1
，又a
n
＋
1
－a
n
＝－＝
2n
2n（n＋1）2n（n＋1）2n（n－1）
1
?<
br>1
?
1
－
?
n＋1n－1
?
＝.
??
n（n－1）（n＋1）
所以当n≥2时，a
n
＋
1
－
a
n
的值不是一个与n无关的常数，故数列{a
n
}不是一个等
差数
列.
1
【迁移探究2】 将本例条件“a
n
＋2S
n
S<
br>n
－
1
＝0(n≥2)，a
1
＝
2
”改为“
S
n
(S
n
－a
n
)＋
2a
n
＝
0(n≥2)，a
1
＝2”，问题不变，试求解.
(1)证明 当n≥2时，an
＝S
n
－S
n
－
1
且S
n
(S
n
－a
n
)＋2a
n
＝0.
∴S
n
[S
n
－(S
n
－S
n
－
1
)]
＋2(S
n
－S
n
－
1
)＝0，
即S
n
S
n
－
1
＋2(S
n
－S
n
－<
br>1
)＝0.
111
即
S
－＝
2
.
n
S
n
－
1
111
又
S
＝
a<
br>＝
2
.
11
?
1
?
11
故数列<
br>?
S
?
是以首项为
2
，公差为
2
的等差数列
.
?
n
?
1n2
(2)解 由(1)知
S
＝2
，∴S
n
＝
n
，当n≥2时，
n
2
a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝－.
n（n－1）
当n＝1时，a
1
＝2不适合上式，
?
2，n＝1，
?
故a
n
＝
?
2
－，n≥2.
?
?
n（n－1）
规律方法
等差数列的证明方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a
n
－an
－
1
为同一常数.
(2)等差中项法：验证2a
n
－
1
＝a
n
＋a
n
－
2
(n≥3，n∈N
*
)都成立.
考点三 等差数列的性质及应用
【例3】 (1)(201
8·贵阳质检)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
3
＋a
9
＝16，则
S
11
＝( )
A.88
B.48 C.96 D.176
(2)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
6
＝36
，则a
7
＋a
8
＋a
9
等于( )
A.63
B.45 C.36 D.27
11（a
1
＋a
11
）1
1（a
3
＋a
9
）
11×16
解析
(1)依题意得S
11
＝＝＝
2
＝88.
22
(2)由{
a
n
}是等差数列，得S
3
，S
6
－S
3
，S
9
－S
6
为等差数列.
即2(S
6
－S3
)＝S
3
＋(S
9
－S
6
)，
得
到S
9
－S
6
＝2S
6
－3S
3
＝45.
答案 (1)A (2)B
规律方法 等差数列的常用性质和结论
(1)在等差数
列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
*
)，则
a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
＝2a
k
.
(2)在等差数列{a
n
}中，数列 S
m
，S2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
也成等差数列.
【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有
项的和
为390，则这个数列的项数为( )
A.13 B.12 C.11 D.10 <
br>n
S
n
(2)设等差数列{a
n
}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
，T
n
，若对任意自然数n都有
T
＝
2n－3
a
9
a
3
，则＋的值为________. <
br>4n－3b
5
＋b
7
b
8
＋b
4
解
析 (1)因为a
1
＋a
2
＋a
3
＝34，a
n<
br>－
2
＋a
n
－
1
＋a
n
＝146，
a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
n
－2
＋a
n
－
1
＋a
n
＝34＋146＝180
，
又因为a
1
＋a
n
＝a
2
＋a
n－
1
＝a
3
＋a
n
－
2
，
所以3(a
1
＋a
n
)＝180，从而a
1
＋a
n
＝60，
n（a
1
＋a
n
）
n×60
所
以S
n
＝＝
2
＝390，即n＝13.
2
(2)因为{a
n
}，{b
n
}为等差数列，
a
9
a
3
a
9
＋a3
a
6
所以＋＝
2b
＋
2b
＝
2b<
br>＝
b
.
6666
b
5
＋b
7
b<
br>8
＋b
4
a
9
a
3
a
6
2
a
6
a
1
＋a
11
S
11
2×11－3<
br>19
故
b
＝
2b
＝＝
T
＝＝.
6
6
b
1
＋b
11
11
4×11－3
41
1
9
答案 (1)A (2)
41
考点四 等差数列前n项和及其最值
【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝13，S
3
＝S
11
，当
S
n
最大时，n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2
)设数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－10(n∈N
*
)，则|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
15
|＝
________.
解析 (1)法一 由S
3
＝S
11
，得a<
br>4
＋a
5
＋…＋a
11
＝0，根据等差数列的性质，可
得a
7
＋a
8
＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a<
br>7
>0，a
8
<0，故n
＝7时S
n
最大.
法二 由S
3
＝S
11
，可得3a
1
＋3d＝11
a
1
＋55d，把a
1
＝13代入，得d＝－2，故S
n
＝
13n－n(n－1)＝－n
2
＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时S
n<
br>最大.
(2)由a
n
＝2n－10(n∈N
*
)知{an
}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a
n
＝2n－10≥0得n≥5
，∴n≤5时，a
n
≤0，当n>5时，a
n
>0，∴|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
15
|
＝－(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＋(a
5
＋a
6
＋…＋a
15
)＝20＋110＝130.
答案 (1)C
(2)130
规律方法
求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调
性，求出其正负转折项；
(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)将等差数列的前n项和Sn
＝An
2
＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函
数的性质
求最值.
【训练3】 (1)设数列{a
n
}是公差d＜
0的等差数列，S
n
为其前n项和，若S
6
＝5a
1
＋10
d，则S
n
取最大值时，n的值为( )
A.5 B.6 C.5或6
D.11
(2)已知等差数列{a
n
}的首项a
1
＝20，公差d
＝－2，则前n项和S
n
的最大值为
________.
解析 (1)由题
意得S
6
＝6a
1
＋15d＝5a
1
＋10d，所以a6
＝0，故当n＝5或6时，S
n
最大.
(2)因为等差数列{a
n
}的首项a
1
＝20，公差d＝－2，
n（n－1）n（n－1）
S
n
＝na
1
＋d＝20n－×
2
22
21
??
21
??
＝－n
2
＋2
1n＝－
?
n－
2
?
＋
?
2
?
，
????
又因为n∈N
*
，所以n＝10或n＝11时，S
n
取得最大值，最大值为110.
答案 (1)C (2)110
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·安徽江南十校联考)已知数
列{a
n
}是等差数列，a
3
＋a
13
＝20，a
2
＝－2，
则a
15
＝( )
A.20 B.24
C.28 D.34
22
解析 由已知，得a
3
＋a
13＝2a
8
＝20，∴a
8
＝10，又a
2
＝－2，∴d
＝2，∴a
15
＝a
2
＋
13d＝－2＋13×2＝24.
答案 B
2.已知等差数列{a
n
}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项
之和为15，所有偶数
项之和为25，则这个数列的项数为( )
A.10 B.20
C.30 D.40
解析 设项数为2n ，则由S
偶
－S
奇
＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数
列的项数为10.
答案 A
?
1
?
3.(2018·郑州质检)已知
?a
?
是等差数列，且
?
n
?
a
1
＝1
，a
4
＝4，则a
10
＝( )
13
D.
4
4
A.－
5
解析
5
B.－
4
4
C.
13
?
1
?
111
设等差数列
?
a
?
的公差为d，由已知，得
4
＝1＋3d，
解得d＝－
4
，所以
a
?
n
?
10
54<
br>?
1
?
－
??
＝1＋9×
4
＝－
4
，即a
10
＝－
5
.
??
答案 A
4
.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a
n
}的首项为1，公差不为0.若a
2
，a
3
，a
6
成等比数
列，则{a
n
}前6项的
和为( )
A.－24 B.－3 C.3 D.8
解析
根据题意得a
2
3
＝a
2
·a
6
，
即(
a
1
＋2d)
2
＝(a
1
＋d)(a
1
＋
5d)，解得d＝－2，
6×56×5
所以数列{a
n
}的前6项和为S<
br>6
＝6a
1
＋
2
d＝1×6＋
2
×(－2)
＝－24.
答案 A
5.(2018·东北三省三校联考)已知数列{a
n
}是等差数列，满足a
1
＋2a
2
＝S
5
，下列
结论中错误的是( )
A.S
9
＝0
C.S
3
＝S
6
B.S
5
最小
D.a
5
＝0
5×4
解析 由题意知a
1
＋2(a
1
＋d)＝5a
1
＋
2
d，则a
5
＝0，
∴a
4
＋a
6
＝0，∴S
3
＝S
6
，且S
9
＝9a<
br>5
＝0，故选B.
答案 B
二、填空题
6.已知等差
数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
10
＝10，S20
＝30，则S
30
＝________.
解析 ∵S
10
，S
20
－S
10
，S
3
0
－S
20
成等差数列，
且S
10
＝10，S
2
0
＝30，S
20
－S
10
＝20，
∴S
30
－30＝10＋2×10＝30，∴S
30
＝60.
答案 60
22*
7.正项数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
2
＝2，2a
2
n
＝a
n
＋
1
＋a
n
－
1
(n∈N，n≥2)，则a
7
＝
________.
22*22
解析 由2a
2
n
＝a
n
＋
1
＋a
n
－
1
(n∈N，n≥2)，得数列{
a
n
}是等差数列，公差d＝a
2
－
22
a
21
＝3，首项a
1
＝1，所以a
n
＝1＋3(n－1)＝3n－
2，∴a
n
＝3n－2，∴a
7
＝19.
答案 19
8
.已知{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，若a
1
＋b10
＝9，a
3
＋b
8
＝15，则a
5
＋b<
br>6
＝
________.
解析 因为{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，所以2a
3
＝a
1
＋a
5
，
2b
8
＝b
10
＋b
6
，所以
2(a
3<
br>＋b
8
)＝(a
1
＋b
10
)＋(a
5＋b
6
)，即2×15＝9＋(a
5
＋b
6
)，解得a
5
＋a
6
＝21.
答案 21
三、解答题
9
.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
4
＝4，a
5
＋a
7
＝6.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝[an
]，求数列{b
n
}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如<
br>[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解
(1)设数列{a
n
}首项为a
1
，公差为d，
a＝1，
?
?
1
?
2a
1
＋5d＝4，
由题意得
?
解得
?
2
a＋5d＝3.
d＝
5
.?
1
?
?
2n＋3
所以{a
n
}的通项公式为
a
n
＝
5
.
?
2n＋3
?
?
.
(2)由(1)知，b
n
＝
?
?
5
?
2n＋3当n＝1，2，3时，1≤
5
<2，b
n
＝1；
2n＋3
5
<3，b
n
＝2；
2n＋3
当n＝6，7，8时，3≤
5
<4，b
n
＝3；
2n＋3
当n＝9，10时，4≤
5
<5，b
n
＝4. <
br>当n＝4，5时，2≤
所以数列{b
n
}的前10项和为1×3＋2×2＋3×
3＋4×2＝24.
10.(2018·桂林、百色、崇左调研)已知数列{a
n
}
的前n项和为S
n
，且S
n
＝2
n
－
1(n∈N<
br>*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设b<
br>n
＝log
4
a
n
＋1，求{b
n
}的前n
项和T
n
.
解 (1)当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝2
n
－
1
，
当n
＝1时，a
1
＝2－1＝1，满足a
n
＝2
n
－
1
，
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n－
1
(n∈N
*
).
n＋1
(2)由(1)得，b<
br>n
＝log
4
a
n
＋1＝
2
，
n
＋2n＋1
1
则b
n
＋
1
－b
n
＝
2
－
2
＝
2
，
1
∴数列{b
n
}是首项为1，公差d＝的等差数列，
2
n（n－1）n
2
＋3n
∴T
n
＝nb
1
＋d＝<
br>4
.
2
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(
2017·石家庄模拟)已知正项等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
12
＝24，则
a
6
·a
7
的最大值为( )
A.36 B.6 C.4 D.2
解析 在等差数列{a
n
}中，∵S
12
＝6(a
6
＋a
7
)＝24，∴a
6
＋a
7
＝4，又a
6
>0，a
7
>0，
?
a
6
＋a
7
?
2
?
＝4，当且仅当a
6
＝a
7
＝2时，“＝”成立.故a
6
·a
7的最大值为∴a
6
·a
7
≤
?
?
2
?
4.
答案 C
12.(2018·河南百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算
术》有如下问题：“今
有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二
斤，问次一尺各重几
何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该
金杖由细到粗是均匀
变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，
记第i段的重量为a
i
(i
＝1，2，…，10)，且a
1
…
，若48
a
i
＝5M，则i＝
________.
解析 根据题意知，由细到粗每段
的重量成等差数列，记为{a
n
}，设公差为d，
15
a＝
?
?
?
1
16
，
?
a
1
＋a
2<
br>＝2，
则
?
解得
?
1
?
?
a
9
＋a
10
＝4，
?
?
d＝
8
.
15
10×9
1
所以该金杖的总重量M＝10×
16
＋
2
×
8
＝15，
1
??
15
因为48a
i
＝5M，所以48
?
16
＋（i－1）×
8
?<
br>＝75，即39＋6i＝75，解得i＝6.
??
答案 6
13.(201
8·康杰中学、晋城一中联考)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，an
≠0，a
1
＝
1，且2a
n
a
n
＋
1
＝4S
n
－3(n∈N
*
).
(1)求a2
的值并证明：a
n
＋
2
－a
n
＝2；
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
1
解 (1)令n＝1得2a
1
a
2
＝4S
1
－3，又a
1
＝1，∴a
2
＝
2
.
2a
n
a
n
＋
1
＝4S
n
－3，
①
2a
n
＋
1
a
n
＋
2
＝4S
n
＋
1
－3. ②
②－①得，2a
n
＋
1
(a
n
＋
2
－a
n
)＝4a
n
＋
1
.
∵a
n
≠0，∴a
n
＋
2－a
n
＝2.
(2)由(1)可知：
数列a
1
，a
3
，a
5
，…，a
2k
－
1
，…为等差数
列，公差为2，首项为1，
∴a
2k
－
1
＝1＋2(k－1)＝2
k－1，当n为奇数时，a
n
＝n.
1
数列a
2
，a4
，a
6
，…，a
2k
，…为等差数列，公差为2，首项为2
，
13
∴a
2k
＝
2
＋2(k－1)＝2
k－
2
，
3
则当n为偶数时，a
n
＝n－
2
.
n，n为奇
数，
?
?
综上所述，a
n
＝
?
3
n－，n为偶数.
?
?
2