当高中数学老师需要什么学历-2018上中小学教师高中数学
江苏省南京市2018届高三年级期初模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
若集
合
P＝
{
－
1,0,1,2},
Q＝
{0,2,3},则<
br>P
∩
Q＝ .
2
.
若(
a＋b
i)(3
－
4i)
＝
25(
a
,
b
∈R,i为虚数单位),则
a＋b
的值为
.
(第4题)
3
.
某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,
150,400,300名学生
.
为了解学生的就业倾向,
用分层抽样的方法从该校这
四个专业中抽取40名学生进行调查,则应从丙专业抽取的学生
人数为
.
4
.
执行如图所示的算法流程图,若输出
y
的值为
,则输入
x
的值为
.
5
.
记函数
f
(
x
)
＝
－ －
的定义域为
D.
若在[
－
5,5]上随机取一个数
x,则
x
∈
D
的概率
为
.
6
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
－
＝
1
的焦点到其渐近线的距离为
.
则
z＝
3
x－
2
y
的最大值为
.
7
.
已知实数
x
,
y
满足约束条件
＋
8
.
将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得圆柱的体积为27π
cm
3
,则该圆柱的
侧面积为
cm
2
.
(第9题)
9
.
若函数<
br>f
(
x
)
＝A
sin(
ωx＋φ
)(
A>
0,
ω>
0,
|φ|<
π)的部分图象如图所示,则
f
(
－
π)
＝ .
10
.
记
等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.<
br>若
a
m
＝
10,
S
2
m－
1
＝
110,则
m
的值为
.
11
.
已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数
,且在(
－∞
,0]上为单调增函数
.
若
f
(
－<
br>1)
＝－
2,则满
足
f
(2
x－
3)≤2的
x
的取值范围是
.
.
若
＝－
,则实数
λ
的值12
.
在△
ABC
中,
AB＝
3,
AC＝
2,∠
BAC＝
120°,
＝λ
·
为
.
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若圆(
x－
2)
2
＋
(
y－
2)
2
＝
1上存在点M
,使得点
M
关于
x
轴的
对称点
N
在
直线
kx＋y＋
3
＝
0上,则实数
k
的最小值为
.
14
.
已知函数
f
(
x
)
＝
－
若存在唯一的整数
x
,使得
>
0成立,则实数
a
－ － ＋
的取值范围为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,
AB＝AC
,
E
是
BC
的中点
.
(1) 求证:平面
AB1
E
⊥平面
B
1
BCC
1
;
(2)
求证:
A
1
C
∥平面
AB
1
E.
(第15题)
16
.
(本
小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C<
br>所对的边分别为
a
,
b
,
c
,已知cos
B＝
.
(1)
若
c＝
2
a
,求
的值;
(2)
若
C－B＝
,求sin
A
的值
.
17
.
(本小题满分14分)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务,每台产品
由9个
甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个
乙型装置
.
现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置
.
设加工甲型装置的工人有
x人,他们
加工完甲型装置所需时间为
t
1
小时,其余工人加工完乙型装置
所需时间为
t
2
小时
.
设
f
(
x
)
＝t
1
＋t
2
.
(1)
求
f
(
x
)的解析式,并写出其定义域;
(2)
当
x
等于多少时,
f
(
x
)取得最小值?
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
为,且过点
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心率
.<
br>过椭圆
C
的左顶点
A
作直线交椭圆
C
于另一点
P
,交直线
l
:
x＝m
(
m>a
)
于点
M.
已知点
B
(1,0),直线
PB
交
l
于点
N.
(1) 求椭圆
C
的方程;
(2) 若MB
是线段
PN
的垂直平分线,求实数
m
的值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分1
6分)已知函数
f
(
x
)
＝
2
x
3
－
3(
a＋
1)
x
2
＋
6
ax
,
a
∈R
.
(1) 若曲线
y＝f
(
x
)在
x＝
0处的切线的斜率为3,求
a
的值;
(2) 若
对于任意的
x
∈(0,
＋∞
),
f
(
x
)
＋f
(
－x
)≥12ln
x
恒成立,求
a
的取值范围;
(3) 若
a>
1
,设函数
f
(
x
)在[1,2]上的最大值、最小值分别为
M
(
a
),
m
(
a
),记
h
(
a
)
＝M
(
a
)
－m
(
a
),求
h
(
a
)的最小值
.
20
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}的各项均为正数,记数列{
a
n
}的前
n
项
和为
S
n
,数列{
}
的前
n
项和为
T
n
,且3
T
n
＝
＋
2
S
n
,
n
∈N
*
.
(1) 求
a
1
的值;
(2)
求数列{
a
n
}的通项公式;
(3) 若
k
,
t
∈N
*
,且
S
1
,
S
k
－S1
,
S
t
－S
k
成等比数列,求
k
和
t
的值
.
江苏省苏州市2018届高三年级期初模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
x|－
2
B＝
{
－
1,0,1},则
A
∩
B＝ .
2
.
已知
＋
－
＝
3
＋
i(
a
,
b
∈R,i为虚数单位),则
a＋b
的值是 .
3
.
运行如图所示的流程图,输出的结果
S
是
.
(第3题)
(第5题)
4
.
有五
条线段,其长度分别为2,3,4,5,7
.
现任取三条,则这三条线段可以构成三角形的概率
是
.
5
.
为了了解某校今年准备报考飞行员
的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分
布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个
小组的频率之比为1
∶
2
∶
3,第二小组的频数为12,
则报考飞行
员的学生人数是
.
6
.
若双曲线
－y
2
＝
1(
m>
0)的右焦点与抛物线
y
2＝
8
x
的焦点重合,则
m
的值是
.
7
.
将函数
y＝
sin(2
x＋φ
)(0
<φ<
π)的图象沿
x
轴向左平移
个单位长度,得到函数
y＝f
(
x
)的图
象,若函数
y＝f
(
x
)的图象过原点,则
φ
的值是
.
(第9题)
8
.
已知平面向量
a＝
(2,1),
a
·
b＝
10,若
|a＋b|＝
5
,则
|b|
的值是
.
9
.
如图,正四棱锥
P
－
ABCD
的底面一边<
br>AB
的长为2
cm,侧面积为8
cm
2
,则它的体积
为
cm
3
.
10
.
已知函数
f
(
x
)
＝
x
2
＋abx＋a＋
2
b
,若
f
(0)
＝
4,则
f
(1)的最大值是
.
11
.
设等差数列{
a
n
}的前
n
项和
为
S
n
,且
a
n
－S
n
＝n
2<
br>－
16
n＋
15(
n
≥2,
n
∈N
*
),若对任意的
n
∈N
*
,
总有
S
n<
br>≤
S
k
,则
k
的值是
.
12
.
已知点
A
(1,0)和点
B
(0,1),
若圆
x
2
＋y
2
－
4
x－
2
y＋
t＝
0上恰有两个不同的点
P
,使得
△
PAB
的面积为
,则实数
t
的取值范围是
.
13
.
已知函数
f
(
x
)
＝x＋
(
a>
0),当
x
∈[1,3]时,函数
f
(
x
)的值域为
A
,若
A
?[8,16],则
a
的值<
br>是
.
14
.
设
f
(
x
)是定义在R上的偶函数,且当
x
≥0时,
f
(
x
)
＝
2
x
,若对任意的
x
∈[
a
,a＋
2],不等式
f
(
x＋
a
)≥
f
2
(
x
)恒成立,则实数
a
的取值
范围是
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,设向量
m＝
(
cos
A
,sin
A
),
n＝
(cos
B
,
－
sin
B
),其中
A
,
B
为△
ABC
的两个内角
.
(1)
若
m
⊥
n
,求证:
C
为直角;
(2)
若
m
∥
n
,求证:
B
为锐角
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在三棱锥
P－
ABC
中,已知平面
PBC
⊥平面
ABC.
(1) 若
AB
⊥
BC
,
CP
⊥
PB,求证:
CP
⊥
PA
;
(2) 若过点
A
作
直线
l
⊥平面
ABC
,求证:
l
∥平面
PBC.<
br>
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈由两条平行
线段(图中的
AB
,
DC
)和两个半圆构成,设
AB＝x
m,且
x
≥80
.
(1) 若内圈周长为400
m,则
x
取何值时,矩形
ABCD
的面积最大?
(2)
若景观带的内圈所围成区域的面积为
2
m,则
x
取何值时,内圈周长最小?
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,已知椭圆
O
:
＋y
2
＝
1的右焦点为
F
,点
B
,
C
分别是椭圆
O
的上、
下顶点,点
P
是直线<
br>l
:
y＝－
2上的一个动点(与
y
轴的交点除外),直线PC
交椭圆于另一个点
M.
(1)
当直线
PM
经过椭圆的右焦点
F
时,求△
FBM
的面积.
(2)
①
记直线
BM
,
BP
的
斜率分别为
k
1
,
k
2
,求证:
k
1·
k
2
为定值;
·
的取值范围
.
②
求
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}满足a
n＋
1
＋a
n
＝
4
n－
3(
n
∈N
*
)
.
(1)
若数列{
a
n
}是等差数列,求
a
1
的值;
(2) 当
a
1
＝
2时,求数列{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
;
＋
(3) 若对任意的
n
∈N
*
,都有
＋
＋
＋
≥5成立,求
a
1
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
(
ax
2
＋x
)e
x
,其中e是自然对
数的底数,
a
∈R
.
(1) 若
f'
(
x
)是函数
f
(
x
)的导函数,当
a>
0时,解关
于
x
的不等式
f'
(
x
)
>
e
x
;
(2) 若
f
(
x
)在[
－
1,1
]上是单调增函数,求
a
的取值范围;
(3) 当
a＝
0时,求整
数
k
的所有值,使方程
f
(
x
)
＝x＋
2
在[
k
,
k＋
1]上有解
.
江苏省南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
x|x
(
x－
4)
<
0},<
br>B＝
{0,1,5},则
A
∩
B＝ .
2
.
设复数
z＝a＋
i(
a
∈R,i为虚数单位
),若(1
＋
i)·
z
为纯虚数,则
a
的值为
.
3
.
为了调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4 000名学
生中随机抽
取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如
图所示,则
估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:min)内的学生人
数为 .
(第3题)
(第4题)
4
.
执行如图所示的伪代码,若
x＝
0,则输出的
y
的值为
.
5
.
口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3
,4
.
若从袋中一次随机摸出
2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .
6
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若抛物线
实数
p
的值为
.
7
.
设函数
y＝
e
x
＋
－a
的值域为
A
,若
A
?[0,
＋∞
),
则实数
a
的取值范围是
.
8
.
已知
α
,
β
均为锐角,且满足(tan
α－
1)(tan
β－
1)
＝
2,则
α＋β
的值为
.
9
.
若函数
y＝
sin
ωx
在区间[0,2π]
上单调递增,则实数
ω
的取值范围是
.
10
.
设
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和,若{
a
n
}的前2 017项中的奇数项和为2
018,则
S
2 017
的
值为
.
－
11
.
设函数
f
(
x
)是
偶函数,当
x
≥0时,
f
(
x
)
＝
若函数
y＝f
(
x
)
－m
有4个不同
－＋
y
2
＝
2
px
的焦点与双曲线
－
＝
1的右焦点重合,则
的零点,则实数
m
的取值范围是
.
＝
3
,则12
.
若直线
y＝k
(
x－
3
)上存在一点
P
,圆
x
2
＋
(
y－1)
2
＝
1上存在一点
Q
,满足
实数
k
的最小值为
.
(第13题)
13
.
如图是蜂巢结构图的一部分
,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”
.
若
·
的最大值
A
,
B
,
C,
D
四点均位于图中的“晶格点”处,且
A
,
B
的位置
如图所示,则
为
.
14
.
若不等式
k
sin
2
B＋
sin
A
sin
C>19sin
B
sin
C
对任意△
ABC
都成立,则实数
k
的最小值
为
.
二、 解答题:本大题共6小
题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
－A
1
B
1
C
1
中,
CA＝CB
,点<
br>M
,
N
分别是
AB
,
A
1
B
1
的中点
.
(1)
求证:
BN
∥平面
A
1
MC
;
(2) 若
A
1
M
⊥
AB
1
,求证:
AB
1
⊥
A
1
C.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,且
c＝
b.
(1)
若
C＝
2
B
,求cos
B
的值;
·
＝
·
,求cos
＋
的值
.
(2) 若
17
.
(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边
AB
长为6 dm,另一边
足够
长
.
现从中截取矩形
ABCD
(如图(1)所示),再剪去图中
阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成
一个底面是弓形的柱体包装盒(如图(2)所示,重叠部分忽略不
计),其中
OEMF
是以
O
为圆心、
分别与边
B
C
,
AD
相切于点
M
,
N.
, ∠
EOF＝
120°的扇形,且
(1)
当
BE
长为1 dm时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)
当
BE
的长为多少时,折卷成的包装盒的容积最大?
图(1)
图(2)
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的下顶点
为
B
,
M
,
N
是椭圆上异于点
B
的动点,直线
BM
,
BN
分别与
x
轴交于点
P
,
Q
,且
Q
是线段
OP
的中点
.
当点
N
运动到点
(1) 求椭圆
C
的标准方程;
＝
2
时,求直线
BM
的方程
.
(2) 设直线
MN
交
y
轴于点
D
,当点
M
,
N
均在
y
轴右侧,且
处时,点
Q
的坐标为
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)设数列{
a
n
}满足
＝a
n＋
1
a
n－
1
＋λ
－
,其中
n
≥2,且
n
∈N,
λ
为常
数
.
(1) 若{
a<
br>n
}是等差数列,且公差
d
≠0,求
λ
的值;
(2) 若
a
1
＝
1,
a
2
＝
2
,
a
3
＝
4,且存在
r
∈[3,7],使得
m·
a
n
≥
n－r
对任意的
n
∈N
*<
br>都成立,求
m
的最小
值;
(3) 若
λ
≠0,且数
列{
a
n
}不是常数列,如果存在正整数
T
,使得
a
n＋T
＝a
n
对任意的
n
∈N
*
均成立,求所有满足条件的数列{
a
n
}中
T
的最小值
.
20
.
(本小题满分16分)设函数
f
(<
br>x
)
＝
ln
x
,
g
(
x
)
＝ax＋
－c
(
a
,
b
,
c<
br>∈R)
.
(1) 当
c＝
0时,若函数
f
(
x
)与
g
(
x
)的图象在
x＝
1处有相
同的切线,求
a
,
b
的值;
(2) 当
b＝
3<
br>－a
时,若对任意
x
0
∈(1,
＋∞
)和任意
a
∈(0,3),总存在不相等的正实数
x
1
,
x
2,使得
g
(
x
1
)
＝g
(
x
2
)
＝f
(
x
0
),求
c
的最
小值;
(3) 当
a＝
1时,设函数
y＝f
(
x
)与
y＝g
(
x
)的图象交于
A
(
x
1<
br>,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)(
x
1
)两点,求证:
x1
x
2
－
x
2
x
2
－x
1
.
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{1,3},
B＝
{1,2,
m
},若
A
∪
B＝B
,则实数
m＝ .
2
.
若复数
＋
－
(
a
∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数
a＝ .
3
.
某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现
采用分层抽样的方法,
抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为
.
4
.
已知
a
,
b
∈{1,2,3,4
,5,6},直线
l
1
:2
x＋y－
1
＝
0,l
2
:
ax－by＋
3
＝
0,则直线
l
1
⊥
l
2
的概率
为
.
(第5题)
5
.
根据如图所示的伪代
码,当输入的
a
的值为3时,最后输出的
S
的值为
.
6
.
在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,已知
AB
⊥
BC
,
AB＝
3,
BC＝
4,
AA
1
＝
5,若三棱柱的
所有顶点
都在同一球面上,则该球的表面积为
.
7
.
已知变量
x
,
y
满足约束条件
＋
目标函数
z＝
3
x＋y
的最小值为5,则
c
的值
－
为
.
8
.
若将函数
y＝
cos(2
x＋φ
)(0
<φ<
π)的图象向右平移个
单位长度后,与函数
y＝
sin
－
的图象重合,则
φ＝ .
9
.
已知等比数列{
a
n
}满足
a
2
a
5
＝
2
a
3
,且
a
4
,
,2
a
7<
br>成等差数列,则
a
1
·
a
2
·…·
a
n
的最大值
为
.
10
.
过圆x
2
＋y
2
＝
16内一点
P
(
－2,3)作两条相互垂直的弦
AB
和
CD
,且
AB＝CD
,则四边形
ABCD
的面积为
.
11
.
已知双曲线
C
:
－
＝
1(
a>
0,
b>
0)的焦点与椭圆
＋
＝
1
的焦点重合,离心率互为倒
数,设
F
1<
br>,
F
2
分别为双曲线
C
的左、右焦点,
P
为右支上任意一点,则
的最小值为
.
12
.
在平行四边形
ABCD
中,
AB＝
4,
AD＝
2,∠
A＝
,M
为
DC
的中点,
N
为平面
ABCD
内一点<
br>.
－
－
|
,则
·
＝ .
|＝|
若
|
g
(
x
)
＝－x
2
－
2<
br>x－
2
.
若存在
a
∈R,使得
f
(
a
)
＋g
(
b
)
＝
13
.
已知函数
f
(
x
)
＝
＋
－
0,则实数
b
的取值范围是
.
14
.
若函数
f
(
x
)
＝
(<
br>x＋
1)
2
|x－a|
在区间[
－
1,2]上单调递
增,则实数
a
的取值范围是
.
二、 解答题:本大题共
6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.<
br>
15
.
(本小题满分14分)如图,四边形
ABCD
是菱
形,
DE
⊥平面
ABCD
,
AF
∥
DE
,
DE＝
2
AF.
(1)
求证:
AC
⊥平面
BDE
;
(2)
求证:
AC
∥平面
BEF.
＋ －
－
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,cos
A＝
,
C＝
2
A.
(1)
求cos
B
的值;
(2)
若
ac＝
24,求△
ABC
的周长
.
17
.
(本小题满分14分)如图,点
C
为某沿海城市的高速公路
出入口,直线
BD
为海岸线,∠
CAB
是以
A
为圆心,半径为1
km的圆弧形小路
.
该市拟修建一条从
C
通往海岸的
＝
,
AB
⊥
BD
,
－
PQ
,其中
P
为
上异于
B
,
C
的一点,
PQ
与
AB
平行,设∠
PAB＝θ
.
观光专线
－
PQ
的总长度随
θ
的增大而减小
.
(1)
求证:观光专线
的单位成本的2倍,当
θ
取何值时,观光专线(2)
已知新建道路
PQ
的单位成本是翻新道路
－
PQ
的修建总成本最低?请说明理由
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,已知椭圆
E
:
＋
＝
1(
a>
0,
b>
0)的离心率为
,
F
1
,
F
2
分别为左、
右焦点,
A
,
B分别为左、右顶点,原点
O
到直线
BD
的距离为
.<
br>设点
P
(
a
,
t
)在第一象限,且
PB
⊥
x
轴,连接
PA
交椭圆于点
C.
(1) 求椭圆
E
的方程;
(2) 若△
ABC
的面积等
于四边形
OBPC
的面积,求直线
PA
的方程;
(3) 求过点
B
,
C
,
P
的圆的
方程(结果用
t
表示)
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}满足
－
－
·…·
－
＝
,
n
∈N
*
,
S
n
是数列
{
a
n
}的前
n
项和
.
(1)
求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 若
a
p
,
30,
S
q
成等差数列,
a
p
,18,
S
q
成等比数列,求正整数
p
,
q
的值;
(3)
是否存在
k
∈N
*
,使得
若不存在,请说明理由
.
＋ 为数列{
a
n
}中的项?若存在,求
出所有满足条件的
k
的值;
＋
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
e
x
(3
x－
2),
g
(
x<
br>)
＝a
(
x－
2),其中
a
,
x
∈
R
.
(1)
求过点(2,0)且与函数
y＝f
(
x
)的图象相切的直线方程;
(2) 若对任意的
x
∈R,有
f
(
x
)≥
g
(
x
)恒成立,求
a
的取值范围;
(3) 若存在唯
一的整数
x
0
,使得
f
(
x
0
)
x
0
),求
a
的取值范围
.
江苏省苏州市2018届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知i为虚数单位,复数
z＝
－
i的模为
.
2
.
已知集合
A＝
{1,2
a
},<
br>B＝
{
－
1,1,4},且
A
?
B
,则正整
数
a＝ .
(第6题)
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,抛物线
y
2<
br>＝－
8
x
的焦点坐标为
.
4
.
苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0
.
5分钟,假设乘客到达站台的
时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为
.
5
.
已知4
a
＝
2,log
a<
br>x＝
2
a
,则正实数
x＝ .
6
.
秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提
出的多项式求值的秦九韶
算法,至今仍是比较先进的算法
.
如图所示的流程图是秦九韶
算法的一个实例
.
若输入的
n
,
x
的
值分别为3,
3,则输出的
v
的值为
.
z＝
2
x－
3
y
的最大值为
.
7
.
已知变量
x
,
y
满足约束条件
＋
则
－ ＋
8
.
已知等比数列{<
br>a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
＝－
,
a
4
－a
2
＝－
,则
a
3
的值为
.
(第9题)
9
.
鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源
于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所
示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,
六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯
起来
.
若正四棱柱的高为5,底面正方
形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该
球形容器的表面积至少为
.
(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)
(第10题)
10
.
如图,两座建筑物
AB
,
CD
的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB
的顶部
A
看建筑物
CD
的张角∠
CAD＝
45°,则这两座建筑物
AB
和
CD
的底部之间的距离
BD＝
m
.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知过点
A
(2,
－
1)的圆
C
和直线
x＋
y＝
1相切,且圆心在直
线
y＝－
2
x
上,则圆
C
的标准方程为
.
12
.
已知正实数
a
,
b
,
c
满足
＋＝
1,
＋
＋
＝
1,则
c
的取值范围是
.
13
.
如图,△
ABC
为等腰三角形,∠
BAC＝
120°,
AB＝AC＝
4,以
A
为圆心,1为半径的圆分别交
上的一点,则
的取值范围是
.
·
AB
,
AC
于点
E
,
F,点
P
是劣弧
(第13题)
14
.
已知直线
y＝a
分别与直线
y＝
2
x－
2,曲线
y＝
2e
x
＋x
交于点
A
,
B
,则线段
AB
长度的最
小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知函数
f
(
x
)
＝
(
cos
x＋
sin
x
)
2
－
2
sin 2
x.
(1) 求函数
f
(
x
)的最小值,并写出
f
(<
br>x
)取得最小值时自变量
x
的取值集合;
(2)
若
x
∈ －
,求函数
f
(
x
)的单调增区间
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
E
,
F
,G
,
H
分别是
A
1
D
1
,
B
1
C
1
,
D
1
D
,
C
1
C
的中点
.
(1)
求证:
EF
∥平面
ABHG
;
(2)
求证:平面
ABHG
⊥平面
CFED.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,
B
,
C
分别
是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相
连,
B
,
C
之
间的距离为100 km,海岛
A
在城市
B
的正东方向50 km处
.
从海岛
A
到城市
C
,先
乘船按北偏西
θ
角
α<θ
≤
,其中锐角
α
的正切值为
航行到海滨公路
P
处登陆,再换乘汽车
到城市
C.
已知船速为25
kmh,车速为75 kmh
.
(1) 试建立由
A
经
P
到
C
所用时间与
θ
的函数解析式;
(2)
试确定登陆点
P
的位置,使所用时间最少,并说明理由
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心率
为
,椭圆上动点
P
到一个焦点的距离的最小值为3(
－
1)
.
(1) 求椭圆
C
的标准方程;
(2) 已知过点
M
(0,
－
1)的动直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两点
,试判断以
AB
为直径的圆是否恒
过定点,并说明理由
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知各项都是正数的数列{
a
n}的前
n
项和为
S
n
.
(1)
若
S
n
＋S
n－
1
＝
＋
(
n
∈N
*
,
n
≥2),
且
a
1
＝
2
.
①
求数列{
a
n
}的通项公式;
②
若
S
n
≤
λ
·2
n＋
1
对任意的
n
∈N
*恒成立,求实数
λ
的取值范围
.
(2) 数列{
a<
br>n
}是公比为
q
(
q>
0,
q
≠1)的等比
数列,且{
a
n
}的前
n
项积为1
.
若存在正整数
k
,对任
意
n
∈N
*
,使得
＋
为定值,求首项
a
1
的值
.
－
＋
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
－
(1)
当
a＝
2时,求函数
f
(
x
)的单调区间;
(2) 若方程
f
(
－x
)
＋f
(
x)
＝
e
x
－
3在(0,
＋∞
)上有实数解,求
实数
a
的取值范围;
(3) 若存在实数
m
,n
∈[0,2],且
|m－n|
≥1,使得
f
(
m)
＝f
(
n
),求证:1≤
－
≤e
.
江苏省南通市、泰州市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
－
1,0,
a
},
B＝
{0,
}
.
若
B
?
A
,则实数
a
的值为
.
2
.
已知复数
z＝
＋
－
,其中i为虚数单位,则复数
z
的实部为
.
3
.
已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500
.
为了了解该校学生的身高情
况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为
65的样本,则应从高三年
级抽取
名学生
.
4
.
根据如图所示的伪代码,可知输出的结果
S
为
.
5
.
某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社
团中随机选择2个,则数
学建模社团被选中的概率为
.
6
.
若实数
x
,
y
满足约束条件
2
x－y
的最大值为
.
则
－ －
7
.
已知点
F
为抛物线
y
2
＝
8
x
的焦点,则点
F
到双曲线
－
＝
1的渐近线的距离
为
.
8
.
在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中,若
a
2
＝
1,
a
8
＝a
6
＋
6a
4
,则
a
3
的值为
.
9
.
在平面直角坐标系
xOy
中,将函数
y＝
sin
＋
的图象向右平移
φ
个单位长
度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则
φ
的值为
.
10
.
若曲线
y＝x
ln
x
在
x＝
1与
x＝t
处的切线互相垂直,则实数
t
的值为
.
11
.
如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知正六棱柱的底面
边长、高都为4
cm,圆柱的底面积为9
cm
2
.
若将该螺帽熔化后铸成一个高为6
cm的正三
棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为
cm
.
(不计损耗)
(第11题)
(第12题)
12
.
如图,已知矩形
ABCD
的边
AB＝
2,
AD＝
1,点
P
,
Q
分别
在边
BC
,
CD
上,且∠
PAQ＝
45°,则
·
的最小值为
.
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知点
A
(
－
4,0),
B
(0,4),从直线
AB
上一点
P
向圆
O
:
x
2
＋y
2
＝
4引两条
切线
PC
,
PD
,切点分别为
C
,
D.
设
线段
CD
的中点为
M
,则线段
AM
长的最大值
为<
br> .
－ － ＋
(
x
)
＝x
2
＋
1
－
2
a
,若函数
y＝f
(
g
(
x
))有4个零点,14
.
已知函数
f
(
x
)
＝
g
－
则实数
a
的取值范围是
.
二、 解答题:本大
题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在三棱锥
P
－<
br>ABC
中,
AB
⊥
PC
,
CA＝CB
,M
是
AB
的中点,点
N
在棱
PC
上,点
D
是
BN
的中点
.
(1)
求证:
MD
∥平面
PAC
;
(2)
求证:平面
ABN
⊥平面
PMC.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,c
,且
a
2
＝b
2
＋c
2
－bc,
a＝
b.
(1) 求sin
B
的值;
(2) 求cos
＋
的值
.
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
率为
,两条准线之间的距离为4
.
(1)
求椭圆的标准方程;
(2) 已知椭圆的左顶点为
A
,点
M
在圆<
br>x
2
＋y
2
＝
上,直线
AM
与椭
圆相交于另一点
B
,且△
AOB
的面积是△
AOM
的面积的
2倍,求直线
AB
的方程
.
中,已知椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为80 m的正方形
ABCD
,另一部分是以
AD
为直径的半圆,其圆心为
O
,规划修建的3条直
道
AD
,
PB
,
PC
将广
场分割为6个区域:Ⅰ
、
Ⅲ
、
Ⅴ
为绿化区域(如图中阴影部分所示),
Ⅱ<
br>、
Ⅳ
、
Ⅵ
为休闲区域,其中
点
P
在半圆弧上
,
AD
分别与
PB
,
PC
相交于点
E
,<
br>F.
(道路宽度忽略不计)
(1)
若
PB
经过圆心,求点
P
到
AD
的距离
.
(2) 设∠
POD＝θ
,
θ
∈
.
①
试用
θ
表示
EF
的长度;
②
当sin
θ
取何值时,绿化区域面积之和最大
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
g
(
x
)
＝x
3
＋
ax
2
＋bx
(
a
,
b
∈R)有极值,且函数f
(
x
)
＝
(
x＋a
)e
x
的
极值点是
g
(
x
)的极值点,其中e是自然对数的底数
.
(极值点是指函数取得极值时对应的自变
量的值)
(1)
求
b
关于
a
的函数关系式;
(2) 当
a>
0时
,若函数
F
(
x
)
＝f
(
x
)
－
g
(
x
)的最小值为
M
(
a
),求证:
M
(
a
)
<－.
20
.
(本小题满分16分)若数列{
a
n
}同时满足:
①
对于任意的正整数
n
,
a
n＋
1
≥a
n
恒成立;
②
对于
给定的正整数
k
,
a
n－k
＋a
n＋k
＝
2
a
n
对于任意
的正整数
n
(
n>k
)恒成立,则称数列{
a
n
}
是“
R
(
k
)数
列”
.
－ 为奇数
(1) 已知
a
n
＝
判断数列{
a
n
}是否为“
R
(2)数列”,并说明理由;
为偶数
(2) 已知数列{
b
n
}是“
R
(3)数列”,且存在整数
p
(
p>
1),使得
b
3p－
3
,
b
3
p－
1
,
b
3
p＋
1
,
b
3
p＋
3
成等差数列,
求证:{
b
n
}是等差数列
.
江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
x|x
2
－x＝
0},
B＝
{
－
1,0},则
A
∪
B＝ .
2
.
已知复数
z＝
＋
－
(i为虚数单位),则
z
的模为
.
3
.
函数
y＝
的定义域为
.
4
.
如图是一个算法的伪代码,运行后输出的
b
的值为
.
a
←0
b
←1
I
←2
While
I
≤6
a
←
a＋b
b
←
a＋b
I
←
I＋
2
End
While
Print
b
(第4题)
(第5题)
5
.
某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分
到450分
之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(
如图),
则成绩在[250,400)内的学生共有
人
.
6
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知双曲线
－
＝
1(
a>
0,
b>
0)的一条渐近线方程为
x－
2
y＝
0,则该双曲线的离心率为
.
7
.
若连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上的点数,则事件“点数之积是3
的倍数”的概
率为
.
8
.
已知正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3
cm,则这个正四棱柱的体积是
cm
3
.
9
.
若函数
f
(
x
)
＝A
si
n(
ωx＋φ
)(
A>
0,
ω>
0)的图象与直线
y＝m
的三个相邻交点的横坐标分别
是
,
,
,则实数
ω
的值为
.
10
.
在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C
:
xy＝
上任意一点
P
到直线
l
:
x＋
y＝
0的距离的最
小值为
.
11
.
已知等差数列{
a
n
}满足
a
1
＋a
3
＋a
5
＋a
7
＋a
9
＝<
br>10,
－
＝
36,则
a
11
的值为
.
12
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若圆
C
1<
br>:
x
2
＋
(
y－
1)
2
＝r
2
(
r>
0)上存在点
P
,且点
P
关于直线x
－y＝
0的对称点
Q
在圆
C
2
:(
x－
2)
2
＋
(
y－
1)
2
＝
1
上,则
r
的取值范围是
.
－ ＋ <
br>函数
g
(
x
)
＝f
(
x
)
＋f
(
－x
),则不等式
g
(
x
)≤2的解集13
.
已知函数
f
(
x
)
＝
－
为
.
14
.
如图,在△
ABC
中,已知
AB＝
3,
AC＝
2,∠
BAC＝
120°,
D
为边BC
的中点
.
若
CE
⊥
AD
,垂足
的值为
.
·
为
E
,则
(第14题)
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且cos
A＝
,tan(
B－A
)
＝
.
(1) 求tan
B
的值;
(2)
若
c＝
13,求△
ABC
的面积
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱<
br>ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,∠ABC＝
90°,
AB＝AA
1
,
M
,
N分别
是
AC
,
B
1
C
1
的中点
.
(1)
求证:
MN
∥平面
ABB
1
A
1
;
(2) 求证:
AN
⊥
A
1
B.
(第16题)
17
.
(本小题
满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该
球的内接圆锥组成,圆
锥的侧面用于艺术装饰,如图(1)所示
.
为了便于设计,可将该礼品看成是
<
br>由圆
O
及其内接等腰三角形
ABC
绕底边
BC
上的高
所在直线
AO
旋转180°而成,如图(2)所
示
.
已知圆
O
的半径为10cm,设∠
BAO＝θ
,0
<θ<
,圆锥的侧面积为
S
cm
2
.
(1)
求
S
关于
θ
的函数关系式;
(2) 为了达到最佳观赏效果,要求
圆锥的侧面积
S
最大,求
S
取得最大值时腰
AB
的长
.
图(1)
图(2)
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心
率为
,且过点
.F
为椭圆的右焦点,
A
,
B
为椭圆上关于原点对称的两点
,连接
AF
,
BF
分别
交椭圆于
C
,
D<
br>两点
.
(1) 求椭圆的标准方程
.
(2)
若
AF＝FC
,求
的值
.
(3) 设直线
AB
,
CD
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,是否存在实数
m
,使得
k2
＝mk
1
?若存在,求出
m
的值;
若不存在,请说明
理由
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝x
2
＋ax＋
1,
g
(
x
)
＝
ln
x－a
(
a
∈R)
.
(1) 当
a＝
1时,求函数
h
(
x
)
＝
f
(
x
)
－g
(
x
)的极值;
(2)
若存在与函数
f
(
x
),
g
(
x
)的图象
都相切的直线,求实数
a
的取值范围
.
20
.
(本小题满分16分)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,满足
a
1
＝
2,
S
n
＝λna
n
＋μa
n－<
br>1
,其中
n
≥2,
n
∈N
*
,
λ<
br>,
μ
∈R
.
(1) 若
λ＝
0,
μ＝
4,
b
n
＝a
n＋
1
－
2
a
n
(
n
∈N
*
),求证:数列{
b
n}是等比数列;
(2)
若数列{
a
n
}是等比数列,求
λ
,
μ
的值;
(3) 若
a
2
＝
3,且
λ＋μ＝
,求证:数列{
a
n
}是等差数列
.
江苏省常州市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
(第5题)
1
.
若集合
A＝
{
－2,0,1},
B＝
{
x|x
2
>
1},则集合
A
∩
B＝ .
2
.
命题“?
x
∈[0,1],
x
2
－
1≥0”是
命题
.
(填“真”或“假”)
3
.
若复数
z
满足
z
·2i
＝|z|
2
＋
1(其中i为虚数单位
),则
|z|＝ .
4
.
若一组样本数据2015,2
017,
x
,2018,2016的平均数为2017,则该组样本数据的方差
为 .
5
.
如图所示是一个算法的流程图,则输出的
n
的值是
.
6
.
函数
f
(
x
)
＝
<
br>的定义域记作集合
D.
随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子,记骰子向上的
点
数为
t
,则事件“
t
∈
D
”的概率为
.
7
.
已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得
到的圆台体积是7,则该圆
台的高为
.
8
.
在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中,若
a
2
a
3
a
4
＝a
2
＋a
3
＋a
4
,则
a
3
的最小值为
.
9
.
设直线
l
:
x＋y＋
1
＝
0与双曲线
C
:
－
＝
1
(
a>
0,
b>
0)的两条渐近线都相交且交点都在
y
轴左侧,则双曲线
C
的离心率
e
的取值范围是
.
－
10
.
已知实数
x
,
y
满足约束条件
＋ －
则
x＋y
的取值范围是
.
－ ＋
11
.
已知函数
f
(x
)
＝bx＋
ln
x
,其中
b
∈R,若过原点
且斜率为
k
的直线与曲线
y＝f
(
x
)相切,则
k
－
b
的值为
.
(第12题)
12
.
如图,在平面直角坐标系
xOy<
br>中,函数
y＝
sin(
ωx＋φ
)(
ω>
0,0<φ<
π)的图象与
x
轴的交点
A
,
B
,C
满足
OA＋OC＝
2
OB
,则
φ＝ .
＋
＝
13
.
在△
ABC
中,
AB＝
5,
AC
＝
7,
BC＝
3,
P
为△
ABC
内一点(含边界)
,且满足
(
λ
∈R),则
·
的取值范围为
.
λ
14
.
已知△
ABC
中,
AB＝AC＝
,△
ABC
所
在平面内存在点
P
使得
PB
2
＋PC
2
＝
3
PA
2
＝
3,则
△
ABC
面积的最大值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出
必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小
题满分14分)已知△
ABC
中,
a
,
b
,
c分别为三个内角
A
,
B
,
C
的对边,
b
sin
C＝c
cos
B＋c.
(1) 求角
B
的大小;
(2)
若
b
2
＝ac
,求
＋
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,四棱锥
P
－<
br>ABCD
的底面
ABCD
是平行四边形,
PC
⊥平面
ABCD
,
PB＝PD
,点
Q
是棱
PC
上异于P
,
C
的一点
.
(1)
求证:
BD
⊥
AC
;
(2) 过点
Q
和
AD
的平面截四棱锥得到截面
ADQF
(点
F
在棱
PB上),求证:
QF
∥
BC.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)已知小明(如图(1
)中
AB
所示)身高1
.
8m,路灯
OM
高3
.<
br>6m,
AB
,
OM
均垂直于水平地面,分别与地面交于点
A<
br>,
O
,点光源从
M
发出,小明在地面上的影子记作
AB'.<
br>
(1) 小明沿着圆心为
O
,半径为3m的圆周在地面上走一圈,求
AB'
扫过的图形面积;
(2) 若
OA＝
3m,如图(2),小明从A
出发,以1ms的速度沿线段
AA
1
走到
A
1
,∠
OAA
1
＝
,且
AA
1
＝
10m,
t
s时,小明在地面上的影子长度记为
f
(
t
)(单位:m),求
f
(
t
)的表达式与最小值
.
图(1)
图(2)(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的右焦点
为
F
,
A
是椭圆的左顶
点,过原点的直线
MN
与椭圆交于
M
,
N
两点(
M
在第三象限),与椭圆的
＝
b
2
.
右准线交于点
P.
已知
AM
⊥
MN
,且
·
(1) 求椭圆
C
的离心率
e
;
(2)
若
S
△
AMN
＋S
△
POF
＝
a
,求椭圆
C
的标准方程
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知各项均为正数的无穷数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且满足
a
1
＝a
(其
＋
中
a
为常数),
nS
n＋
1
＝
(
n＋
1)
S
n
＋n
(
n＋
1)(
n
∈N
*
)
.
数列{
b
n
}满足
b
n
＝
(1) 证明数列{
a
n
}是等差数列,并求出{
a
n
}的通项公式;
＋
(
n
∈N
*
)
.
＋
(2) 若无穷等比数列{
c
n
}满足:对任
意的
n
∈N
*
,数列{
b
n
}中总存在两个不同的
项
b
s
,
b
t
(
s
,
t
∈N
*
),使
得
b
s
≤
c
n
≤<
br>b
t
,求{
c
n
}的公比
q.
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
＋
,其中
a
为常数
.
(1)
若
a＝
0,求函数
f
(
x
)的极值;
(2) 若
函数
f
(
x
)在(0,
－a
)上单调递增,求实数
a
的取值范围;
(3) 若
a＝－
1,设函数
f
(
x
)在(0,1)上的极值点为
x
0
,求证:
f
(
x
0
)
<－
2
.
江苏省镇江市2018届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
－
2,0,1,3},
B＝
{
－
1,0,1,2},则
A
∩
B＝ .
2
.
已知
x
,
y
∈R,则“
a＝
1”是“直线
ax＋y－
1
＝
0与直线
x＋ay＋
1＝
0平行”的
条件
.
(填
“充分不必要”“必
要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
3
.
函数
y＝
3sin
＋
图象两相邻对称轴的距离为
.
4
.
设复数
z
满足
＋
＝
5i,其中i为虚数单位,则
|z|＝ .
的左焦点与
抛物线
y
2
＝－
12
x
的焦点重合,则双曲线的右准线方程
5
.
已知双曲线
－y
2
＝
1
为
.
6
.
已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为
,则该正四棱锥的体积为
.
7
.
设等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
a
1
＝－
2,
S
6
＝
9
S
3
,则
a
5
的值为
.
8
.
已知锐角
θ
满足tan
θ＝
cos
θ
,则
＋
－
＝ .
9
.
已知函数
f
(
x
)
＝x
2
－kx＋
4对任意
x
∈[1,3],不等式
f
(
x
)≥0恒成立,则实数
k
的最大值
为
.
10
.
若函数
y＝
cos
x－x
tan
x
的定义域为 －
,则其值域为
.
11
.
已知圆
C
与圆
M
:
x
2
＋y
2
＋
10
x＋
10
y＝
0相切于原点
,且过点
A
(0,
－
6),则圆
C
的标准方
程为<
br> .
·
最小时,直线
l
12
.
已知点
P
(1,0),直
线
l
:
y＝x＋t
与函数
y＝x
2
的图象交于A
,
B
两点,当
的方程为
.
13
.
已知
a
,
b
∈R,
a＋b＝
4,则
＋
＋
＋
的最大值为
.
＋
14
.
已知
k
为常数,函数
f
(
x
)
＝
＋
若关于
x
的方程
f
(
x
)
＝kx＋
2有且只有4个不同的
解,则实数
k
的取值构成的集合为
.
二、 解
答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,<
br>b
,
c
,若
b
cos
A＋a
cos
B＝－
2
c
cos
C.
(1)
求角
C
的大小;
(2)
若
b＝
2
a
,且△
ABC
的面积为2
,求
c.
16
.
(本小题满分14分)如图,在
直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,
D
为
BC
的中点,
AB＝
AC
,
BC
1
⊥
B
1
D.
(1)
求证:
A
1
C
∥平面
ADB
1
;
(2)
求证:平面
A
1
BC
1
⊥平面
ADB
1
.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆
AC
与
BD
焊接而成,焊接
点
D
把杆
AC
分成
AD
,
CD
两段
.
其中两固定点
A
,
B
间的距离为1
m,
AB
与杆
AC
的夹角为
60°,杆
AC
长为1
m
.
若制作
AD
段的成本为
a
元
m,制作
CD
段的成本是2
a
元
m,制作杆
BD
的
成本是4
a
元
m
.
设∠
ADB＝α
,制作
整个支架的总成本记为
S
元
.
(1)
求
S
关于
α
的函数表达式,并指出
α
的取值范围;
(2) 问
AD
段多长时,
S
最小?
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xO
y
中,已知椭圆
E
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的离
心率为
,左焦点
F
(
－
2
,0),直线
l
:
y＝t
与椭圆交于
A
,
B
两点,
M
为椭圆
E
上异于
A
,
B
的点<
br>.
(1) 求椭圆
E
的方程;
(2)
若
M
(
－
,
－
1),以
AB
为直径的圆
P
过点
M
,求圆
P
的标准方程;
(3) 设直线
MA
,
MB
与
y
轴分别相交于点<
br>C
,
D
,求证:
OC
·
OD
为定值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知
b>
0,且
b
≠1,函数
f
(<
br>x
)
＝
e
x
＋b
x
,其中e为自然对数的底
数
.
(1) 如果函数
f
(
x
)为偶函数,求实
数
b
的值,并求此时函数
f
(
x
)的最小值;
(2) 对满足
b>
0,且
b
≠1的任意实数
b
,
证明函数
y＝f
(
x
)的图象经过唯一定点;
(3) 如果关于<
br>x
的方程
f
(
x
)
＝
2有且只有一个解,求
实数
b
的取值范围
.
20
.
(本
小题满分16分)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,对任意正整数
n
,总存在正数
p
,
q
,r
,使
得
a
n
＝p
n－
1
,
S
n
＝q
n
－r
恒成立;数列{
b
n
}的
前
n
项和为
T
n
,且对任意正整数
n
,2
T
n
＝nb
n
恒成立
.
(1)
求常数
p
,
q
,
r
的值
.
(2) 求证:数列{
b
n
}为等差数列
.
(3) 若
b
2
＝
2,记
P
n
＝
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋
…
＋
－
－
＋
＋
－
,是否存在正整数
k
,使得
对任意正整数
n
,
P
n
≤
k
恒成立?若存在,求正整数
k
的最小值;若不存在,请说明理由
.
江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
若集合
A＝
{
x|
1
B＝
{0,1,2,3},则
A
∩
B＝ .
(第4题)
2
.
若复数(
a－<
br>2i)(1
＋
3i)(i是虚数单位)是纯虚数,则实数
a
的值为 .
3
.
若数据31,37,33,
a
,35的平均数是34,则这组数据的标准差是
.
4
.
为了了解某学校男生的身体发育情况,随机抽査了该校100名
男生的体重情况,整理所得
数据并画出样本的频率分布直方图如图所示
.
根据此图估计
该校2 000 名男生中体重在
7078(单位:kg)的人数为
.
(第5题)
5
.
运行如图所示的流程图,输出的结果是
,
6
.
从2名男生、2名女生中任选两人,则恰有一男一女的概率为
.
7
.
若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为
的扇形,则此圆锥的体积为
.
x
2
＋y
2
的取值范围是
.
8
.
若实数
x
,
y
满足约束条件
则
＋
9
.
已知各项都是正数的等比数
列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若4a
4
,
a
3
,6
a
5
成等差数列,且
a
3
＝
3
,
则
S
3
＝ .
10
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若双曲线
－
＝
1(
a>
0,
b>
0)的渐近线与
圆
x
2
＋y
2
－
6
y＋
5
＝
0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是
.
11
.
已知函数
f
(
x
)
＝
sin
x－x＋
为
.
12
.
已知正三角形
ABC
的边长为2,点
P
为线段
AB
中垂线上的任意一点,
Q
为射线
AP
上一
·
＝
1,则
|
|
的最大值为
.
点,且满足
－ ＋ － －
若存在实数
k
使得该函数的值域为[
－
2,0],13
.
已知函数
f
(
x
)
＝
－ －
则实数
a
的取值范围是
.
－
,则关于
x
的不等式
f
(1
－x2
)
＋f
(5
x－
7)
<
0的解集
14
.
已知正实数
x
,
y
满足5
x
2
＋
4
xy－y
2
＝
1,则12
x
2
＋
8
xy－y
2
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直 三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中 ,
D
,
E
分别为
AB
,
AC
的中点
.
(1) 求证:
B
1
C
1
∥平面
A
1
DE
;
(2) 若平面
A
1
DE
⊥平 面
ABB
1
A
1
,求证:
AB
⊥
DE.< br>
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
AB＝
6,
BC＝
5,且△
ABC
的面积为9
.
(1) 求
AC
;
(2) 当△
ABC
为锐角三角形时,求cos
＋
的值
.
17
.
(本小题满分14分)如图,射线
OA
和<
br>OB
均为笔直的公路,扇形
OPQ
区域(含边界)是一
蔬菜种植园,其
中
P
,
Q
分别在射线
OA
和
OB
上
.
经测量得扇形
OPQ
的圆心角(即∠
POQ
)为
、半径为
1 km
.
为了方便菜农经营,打算在扇形
OP
Q
区域外修建一条公路
MN
,分别与射线
OA
,
OB
交于
M
,
N
两点,并要求
MN
与扇形弧
PQ相切于点
S.
设∠
POS＝α
(单位:rad),假设所
有公路
的宽度均忽略不计
.
(1) 试将公路
MN
的长度表示为
α
的函数,并写出
α
的取值范围;
(2) 试确定
α
的值
,使得公路
MN
的长度最小,并求出其最小值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)已知椭圆
E
1
:
＋
＝
1(
a>b>
0),若椭圆
E
2
:
＋
＝
1(
a>b>
0,
m>
1),则称椭圆
E
2
与椭圆
E
1
“相似”
.
(1)
求经过点(
,1),且与椭圆
E
1
:
＋y
2<
br>＝
1“相似”的椭圆
E
2
的方程
.
(2)
如图,若
m＝
4,椭圆
E
1
的离心率为
,点P
在椭圆
E
2
上,过点
P
的直线
l
交
椭圆
E
1
于
A
,
B
＝λ
.
两点,且
①
若点
B
的坐标为(0,2),且
λ＝
2,求直线
l
的方程;
②
若直线
OP
,
OA
的斜率之积为
－
,求实数
λ
的值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
e
x
,
g
(
x
)
＝ax＋b
,
a
,
b
∈R
.
(1) 若
g
(
－
1)
＝
0,且函数
g<
br>(
x
)的图象是函数
f
(
x
)图象的一条切线,求实
数
a
的值;
(2) 若不等式
f
(
x
)
>x
2
＋m
对任意的
x
∈(0,
＋∞
)恒成立,求
实数
m
的取值范围;
(3) 若对任意的实数
a
,函数
F
(
x
)
＝f
(
x
)
－g
(
x
)在(0,
＋∞
)上总有零点,求实数
b
的取值范围
.
20
.
(本小题满分1
6分)已知各项都是正数的数列{
a
n
}的前
n
项和为
S<
br>n
,且2
S
n
＝
＋a
n
,数列
{
b
n
}满足
b
1
＝
,2
b
n＋
1
＝b
n
＋
.
(1)
求数列{
a
n
},{
b
n
}的通项公式
.
(2)
设数列{
c
n
}满足
c
n
＝
＋
,求
c
1
＋c
2
＋
…
＋cn
的和
.
(3) 是否存在正整数
p
,
q<
br>,
r
(
p
b
p
,
b
q
,
b
r
成等差数列?若存在,求出所有满足要求的
p<
br>,
q
,
r
;若不存在,请说明理由
.
江苏省南京市、盐城市、连云港市2018届高三第二次模拟
考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
函数
f
(
x
)
＝
lg(2
－x
)的定义域为<
br> .
2
.
已知复数
z
满足
＋
＝
i,其中i为虚数单位,则复数
z
的模为
.
3
.
执行如图所示的算法流程图,则输出
a
的值为
.
(第3题)
(第4题)
4
.
某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为
.
5
.
3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中
一个地方,则恰有2名教师
被派往甲地的概率为
.
6
.
已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和
为
S
n
,若
S
15
＝
30,
a
7
＝
1,则
S
9
的值为
.
7
.
在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c.
若b
sin
A
sin
B＋a
cos
2
B＝
2
c
,则的值
为
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
x
2
－
＝
1(
b>
0)的两条渐近线与圆
x
2
＋y
2
＝
2的四个
交
点依次为
A
,
B
,
C
,
D.
若
矩形
ABCD
的面积为
b
,则
b
的值为
.
9
.
在边长为4的正方形
ABCD
内剪去四个全等的等
腰三角形(如图(1)中阴影部分),折叠成底
面边长为
的正四棱锥
S<
br>－
EFGH
(如图(2)),则正四棱锥
S
－
EFGH
的体积为
.
图(1)
图(2)
(第9题)
10
.
已知函数
f
(
x
)是定义在R上的偶函数,且当
x
≥0时,
f(
x
)
＝x
2
＋x.
若
f
(
a
)
＋f
(
－a
)
<
4,则实数
a
的取值范围为
.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
y＝
的距离的最大值为
.
·
＝
2,
＝
5,则
AE
的长12
.
如图,在△
ABC中,边
BC
的四等分点依次为
D
,
E
,
F.<
br>若 ·
为
.
＋
(m>
0)在
x＝
1处的切线为
l
,则点(2,
－
1)到直线
l
(第12题)
13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知
A
,<
br>B
为圆
C
:(
x＋
4)
2
＋
(y－a
)
2
＝
16上两个动点,且
AB＝
＋
,则实数
a
的值为
.
＝
2
.
若直
线
l
:
y＝
2
x
上存在唯一的一个点
P
,
使得
－ ＋ ＋
t
∈R.
若函数
g
(
x
)
＝f
(
f
(
x
)
－
1)恰有4个不同的零点,14
.
已知函数
f
(
x
)
＝
则
t
的取值范围为
.
二、 解答题:本大题共
6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.<
br>
15
.
(本小题满分14分)已知函数
f
(
x<
br>)
＝
2sin(
ωx＋φ
)
－
的部分图象如图所
示,直线
x＝
,x＝
是其相邻的两条对称轴
.
(第15题)
(1)
求函数
f
(
x
)的解析式;
(2) 若
f
＝－
,且
<α<
,求cos
α
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,矩形
ABCD
所在平面与三角
形
ABE
所在平面互相垂直,
AE＝
AB
,<
br>M
,
N
,
H
分别为
DE
,
AB,
BE
的中点
.
(1)
求证:
MN
∥平面
BEC
;
(2)
求证:
AH
⊥
CE.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)经调查,某地居民每年到商
场购物次数
m
与商场面积
S
,到商场距离
d
满足关系式m＝k×
(
k
为常数)
.
如图,某投资者计划在与商
场
A
相距10 km的新区新建商场
B
,且商场
B
的面积与商场
A
的面积之比为
λ
(0
<λ<
1
)
.
记“每年居民到商场
A
购物的次数”、
“每年居民到商场
B
购物的次数”分别为
m
1
,
m
2
,则满足m
1
的区域叫做商场
B
相对于
A
的“更强吸引区域”
.
(1)
已知
P
与
A
相距15 km,且∠
PAB＝
60°
.
当
λ＝
时,居住在
P
点处的居民是否在商场
B
相
对于
A
的“更强吸引区域”内?请说明理由
.
(2)
若要使与商场
B
相距2 km以内的区域(含边界)均为商场
B
相对于
A
的“更强吸引区域”,
求
λ
的取值范围
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
E
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心率
为,上顶点
A
与右焦点的距离为
.
过点
D
(0,
m
)(
m
≠0
)作不垂直于
x
轴、
y
轴的直线
l
交椭
圆
E
于
P
,
Q
两点,
C
为线段
PQ
的中点,且
AC
⊥
OC.
(第18题)
(1) 求椭圆
E
的方程;
(2) 求实数
m
的取值范围;
(3) 延长
AC
交椭圆
E
于点
B
,记△
AOB
与△
AOC
的面积
分别为
S
1
,
S
2
,若
＝
,求直线
l
的方
程
.
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝x
(e
x
－
2),<
br>g
(
x
)
＝x－
ln
x＋k
,
k
∈R,其中e为自然对数的
底数
.
记函数
F
(
x<
br>)
＝f
(
x
)
＋g
(
x
)
.
(1)
求函数
y＝f
(
x
)
＋
2
x
的极小值;
(2) 若
F
(
x
)
>
0的解集为(0,
＋∞
),求
k
的取值范围;
(3) 记
F
(
x<
br>)的极值点为
m
,求证:函数
G
(
x
)
＝|
F
(
x
)
|＋
ln
x
在(0,
m
)上单调递增
.
(极值点是指函数
取极值时对应的自变量的值)
20
.
(本小题满分16分)对于数列{
a
n
},定义<
br>b
n
(
k
)
＝a
n
＋a
n＋k,其中
n
,
k
∈N
*
.
(1) 若
b
n
(2)
－b
n
(1)
＝
1,
n
∈N
*
,求
b
n
(4)
－b
n
(1)的值
.
(2) 若
a
1
＝
2,且对任意的
n
,
k
∈N
*
,都有
b
n＋
1<
br>(
k
)
＝
2
b
n
(
k
)<
br>.
①
求数列{
a
n
}的通项公式;
②
设
k
为给定的正整数,记集合
A＝
{
b
n
(
k
)
|n
∈N
*
},
B＝
{5
b
n
(
k＋
2)
|n
∈N
*
},求证:
A
∩
B＝
?
.
江苏省苏锡常镇2018届高三第二次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
－
1,1},
B＝
{
－
3,0
,1},则集合
A
∩
B＝ .
2
.
已
知复数
z
满足
z
·i
＝
3
－
4i(i为虚
数单位),则
|z|＝ .
3
.
双曲线
－＝
1的渐近线方程为
.
4
.
某中学共有1 800人,其中高二年级的人数为600
.
现用分层抽样的方法在全校抽取n
人,
其中高二年级被抽取的人数为21,则
n＝ .
5
.
将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后
抛掷2次,观察其朝
下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为
.
(第6题)
6
.
如图是一个算法的流程图,则输出的
S
的值是
.
7
.
若正四棱锥的底面边长为2 cm,侧面积为8
cm
2
,则它的体积为
cm
3
.
8
.
设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和,若
a
2
＋a
4
＝
2,S
2
＋S
4
＝
1,则
a
10
＝
.
9
.
已知
a>
0,
b>
0,且
＋
＝
,则
ab
的最小值是
.
10
.
设△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,若 －
＝
,则
cos
A＝ .
－
(
e是自然对数的底)
.
若函数
y＝f
(
x
)的最小值是4,
则实数
a
11
.
已知函数
f
(
x
)
＝
＋
的取值范围为
.
|＝
,
|
|＝
4,∠
ACB＝
,则
·
12
.
在△
ABC
中,点
P
是边
AB
的中点,已知
|
＝ .
13
.
已知直线
l
:
x－y＋
2＝
0与
x
轴交于点
A
,点
P
在直线
l
上,圆
C
:(
x－
2)
2
＋y
2
＝
2上有且仅
有一个点
B
满足
AB
⊥
BP
,则点
P
的横坐标的取值集合为
.
14
.
若二次函数
f
(
x
)
＝ax2
＋bx＋c
(
a>
0)在[1,2]上有两个不同的零点,则
为
.
的取值范围
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)已知向量
a＝
(
sin
α
,1),
b＝
＋
.
(1)
若角
α
的终边过点(3,4),求
a
·
b
的值;
(2)
若
a
∥
b
,求锐角
α
的大小
.
16
.
(本小题满分14分)如图,正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的高为
,其底面边长为2
.
已知点
M
,
N
分别是棱
A
1
C
1
,
AC
的中点,点
D
是棱
CC
1
上靠近
C
的三等分点
.
(1)
求证:
B
1
M
∥平面
A
1
BN
;
(2) 求证:
AD
⊥平面
A
1
BN.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)已知椭圆
顶点
.
(1) 求椭圆
C
的标准方程;
(2) 过点
A
且互相垂
直的两条直线
l
1
,
l
2
与直线
y＝x
分
别相交于
E
,
F
两点,已知
OE＝OF
,求
直线<
br>l
1
的斜率
.
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)经过点
,
,点
A
是椭圆的下
18
.
(本小题满分16分)如图,
某景区内有一半圆形花圃,其直径
AB
为6,
O
是圆心,且
OC⊥
AB
,
上再建一座观赏亭
P
,记∠<
br>POB＝
在
OC
上有一座观赏亭
Q
,其中∠
AQC＝
.
计划在
θ
.
(1) 当
θ＝
时,求∠
OPQ
的大小;
(2) 当∠
OPQ
越大时,游
客在观赏亭
P
处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭
P
处的观赏效果最
佳时,角
θ
的正弦值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分
)已知函数
f
(
x
)
＝x
3
＋ax
2＋bx＋c
,
g
(
x
)
＝
ln
x.<
br>
(1) 若
a＝
0,
b＝－
2,且
f
(<
br>x
)≥
g
(
x
)恒成立,求实数
c
的取值范
围
.
(2) 若
b＝－
3,且函数
y＝f
(x
)在(
－
1,1)上单调递减
.
①
求实数
a
的值;
②
当
c＝
2时,求函
数
h
(
x
)
＝
的值域
.
20
.
(本小题满分16分)已知
S
n
是数列{
a
n
}的前
n
项和,
a
1
＝
3,且2
S
n
＝an＋
1
－
3(
n
∈N
*
)
.
(1) 求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 对于正整数
i
,
j
,
k
(
i
λa
j
,6
a
i
,
μa
k
成等差数列,求正整
数
λ
,
μ
的值;
(3) 设数列{
b
n
}的前
n
项和是
T
n
,且满足对任意的正整数
n
,
都有等式
a
1
b
n
＋a
2
b
n－
1
＋a
3
b
n－
2
＋
…
＋a
n<
br>b
1
＝
3
n＋
1
－
3
n－
3成立,求满足等式
＝
的所有正整数
n.
江苏省通、泰、扬、徐、淮、宿2018届高三第二次模拟考
试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
U＝
{
－
1,0,1,2,3},
A＝
{
－<
br>1,0,2},则?
U
A＝ .
2
.
已
知复数
z
1
＝a＋
i,
z
2
＝
3
－
4i,其中i为虚数单位
.
若
为纯虚数,则实数
a
的值为
.
3
.
某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[40,100]上,其频率
分布直方图如图所示,
则成绩不低于60分的人数为
.
(第3题)
(第4题)
4
.
执行如图所示的算法流程图,则输出的
S
的值为
.
5
.
在长为12 cm的线段
AB
上任取一点C
,以线段
AC
,
BC
为邻边作矩形,则该矩形的面积大
于32 cm
2
的概率为
.
6
.
在△
ABC
中,已知
AB＝
1,
AC＝
,
B＝
45°,则
BC
的长为
.
7
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知双曲线C
与双曲线
x
2
－＝
1有公共的渐近线,且经过点
P
(
－
2,
),则双曲线
C
的焦距为
.
8
.
在
平面直角坐标系
xOy
中,已知角
α
,
β
的始边均为
x
轴的非负半轴,终边分别经过点
A
(1,2),
B
(5,1),
则tan(
α－β
)的值为
.
9
.
设等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,
若
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列
,且
a
8
＝
3,则
a
5
的值为
.
10
.
已知
a
,
b
,
c均为正数,且
abc＝
4(
a＋b
),则
a＋b＋c
的
最小值为
.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若动圆
C
上的点都在不等式组
－
＋
表示的平面
＋
＋
区域内,则面积最大的圆
C
的标准方程为
.
－
－
(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数12
.
设函数
f
(
x
)
＝
－
－
m
的取值范围是
.
·
的值为
.
13
.
在平面四边形
ABCD
中,已知
AB＝
1,
BC＝
4,
CD＝
2,
DA＝
3,则
14
.
已知
a
为常数,函数
f
(
x)
＝
为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90
分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在平面直角坐标系
xOy
中,设向量
a＝
(cos
α
,sin
α
),
b＝
(<
br>－
sin
β
,cos
β
),
c＝
－
.
－
－
－
的最小值为
－
,则
a
的所有取值构成的集合
(1) 若
|a＋b|＝|c|
,求sin(
α－β
)的值;
(2) 设
α＝
,0
<β<
π,且
a
∥
(
b＋c
),求
β
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,
AB＝AC
,点
E
,
F
分别在棱
BB
1
,
CC
1
上(均异于端点),且∠
ABE＝
∠
ACF
,
AE
⊥
BB
1
,
AF
⊥
CC
1
.
(1)
求证:平面
AEF
⊥平面
BB
1
C
1
C
;
(2) 求证:
BC
∥平面
AEF.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
B
1
,
B
2
是椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的短
轴端点,
P
是椭圆上异于点
B
1<
br>,
B
2
的一动点
.
当直线
PB
1
的
方程为
y＝x＋
3时,线段
PB
1
的长
为4
.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 设点
Q满足
QB
1
⊥
PB
1
,
QB
2
⊥
PB
2
,求证:△
PB
1
B
2
与△<
br>QB
1
B
2
的面积之比为定值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm
2
的矩
形薄铁皮(如图),并沿虚线
l
1
,
l
2
裁剪成<
br>A
,
B
,
C
三个矩形(
B
,
C全等),用来制成一个柱体
.
现有两
种方案:
方案
①
:以
l
1
为母线,将
A
作为圆柱的侧面展开图,并从
B,
C
中各裁剪出一个圆形作为圆柱的
两个底面;
方案
②
:以
l
1
为侧棱,将
A
作为正四棱柱的侧面展开图,并从
B
,
C
中各裁剪出一个正方形(各边
分别与
l
1
或
l
2
垂直)作为正四棱柱的两个底面
.
(1) 设
B
,
C
都是正方形,且其内切圆恰为按方
案
①
制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)
设
l
1
的长为
x
dm,则当
x
为多少时,能使按方案
②
制成的正四棱柱的体积最大?
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)设等比数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
的公比为
q
,等差数列
b
1,
b
2
,
b
3
,
b
4
的公差
为
d
,
且
q
≠1,
d
≠0
.
记<
br>c
i
＝a
i
＋b
i
(
i＝
1,2,
3,4)
.
(1) 求证:数列
c
1
,
c
2
,
c
3
不是等差数列;
(2) 设
a
1＝
1,
q＝
2,若数列
c
1
,
c
2<
br>,
c
3
是等比数列,求
b
2
关于
d
的函数关系式及其定义域;
(3) 判断数列
c
1
,
c
2
,
c
3
,
c
4
能否为等比数列,并说明理由
.
20
.
(本小题满分16分)设函数
f
(
x
)
＝x－a
sin
x
(
a>
0)
.
(1) 若函数
y＝f
(
x
)是R上的单调增函数,求实数<
br>a
的取值范围
.
(2) 设
a＝
,
g(
x
)
＝f
(
x
)
＋b
ln
x＋
1(
b
∈R,
b
≠0),
g'
(
x<
br>)是
g
(
x
)的导函数
.
<
br>①
若对任意的
x>
0,
g'
(
x
)
>
0,求证:存在
x
0
,使
g
(
x
0)
<
0;
②
若
g
(
x
1
)
＝g
(
x
2
)(
x
1
≠
x
2
),求证:
x
1
x
2
<
4
b
2
.
江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
若集
合
A＝
{
x|x
2
＋x－
6
＝
0},B＝
{
x|x
2
－
4
＝
0},则
A<
br>∪
B＝ .
2
.
已知复数
z
的共轭复数是
,若
z
(2
－
i)
＝
5,其中i为虚数单位,则
的模为
.
3
.
某学校为了了解住校学
生每天在校的平均开销情况,随机抽取了500名学生,他们每天在
校平均开销都不低于20元且不超过
60元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校的
平均开销在[50,60]元的学生人数为 .
(第3题)
(第4题)
4
.
根据如图所示的伪代码,可知输出
S
的值为
.
5
.
已知
A
,
B
,
C
三人分别
在连续三天中值班,每人值班一天,那么
A
与
B
在相邻两天值班的概
率为
.
－ －
的取值范围为
.
6
.
若实数
x
,
y
满足约束条件
＋ －
则
－
7
.
已知
α
,
β
是两个不重合的平面,
l
,
m
是两条不同的直线,给
出以下四个命题:
①
若
l
⊥
α
,
l
⊥<
br>β
,则
α
∥
β
;
②
若
l<
br>⊥
α
,
α
⊥
β
,则
l
∥
β
;
③
若
l
∥
α
,
l
⊥
β
,则
α
⊥
β
;
④
若
l
∥α
,
α
⊥
β
,则
l
⊥
β.
中,若双曲线
－
＝
1(
a>
0,
b>
0)的一个焦点到一条渐近线的距离
其中真命题为
.
(填序号)
8
.
在平面直角坐标系
xOy
为2
a
,则该双曲线的离心率为
.
9
.
若等比数列{
a
n
}的前
n项和为
S
n
,
n
∈N
*
,且
a
1
＝
1,
S
6
＝
3
S
3
,则<
br>a
7
的值为
.
＋ ＋
则
f
(
a＋
1)的值10
.
若
f
(
x
)是定义在R上的周期为3的函数,且
f
(
x
)＝
－ ＋
为
.
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,圆
M
:x
2
＋y
2
－
6
x－
4
y＋
8
＝
0与
x
轴的两个交点分别为
A
,
B
,
其中
A
在
B
的右侧,以
AB
为直径的圆记为圆N
,过点
A
作直线
l
与圆
M
,圆
N<
br>分别交于
C
,
D
两点
.
若
D
为线段
AC
的中点,则直线
l
的方程为
.
·
＝
5,
·
＝－
,则
·
的值12
.
在△
ABC
中,
AB＝
3,
AC＝
2,
D
为边
BC
上一点
.
若
为
.
13
.
若正数
a
,
b
,
c
成等差数列,则
＋
＋
＋
的最小值为
.
14
.
已知
a
,
b
∈R,e为自然对数的底数<
br>.
若存在
b
∈[
－
3e,
－
e
2<
br>],使得函数
f
(
x
)
＝
e
x
－a
x－b
在[1,3]
上存在零点,则
a
的取值范围是
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明
、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)
在平面直角坐标系
xOy
中,锐角
α
,
β
的顶点为坐标原点
O
,始边为
x
轴的正半轴,终边与单位圆
O
的交点分别为<
br>P
,
Q.
已知点
P
的横坐标为
.
,点
Q
的纵坐标为
(1) 求cos2
α
的值;
(2)
求2
α－β
的值
.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)如图,在三棱锥
P
－
ABC
中,
PA＝
,其余棱长均为2,<
br>M
是棱
PC
上的
一点,
D
,
E
分别
为棱
AB
,
BC
的中点
.
(1)
求证:平面
PBC
⊥平面
ABC
;
(2)
若
PD
∥平面
AEM
,求
PM
的长
.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段
A
B
,
AC
和以
BC
为直径的
半圆弧组成,其中
AC
＝
2(单位:百米),
AC
⊥
BC
,∠
A＝
.
若在半圆弧
BC
,线段
AC
,线段
AB
上各
建一个观赏亭
D
,
E
,
F
,再修两条栈道
DE
,
DF
,使
DE
∥
AB
,
DF
∥
AC.
记∠
CBD＝θ
.
(1) 试用
θ
表示
BD
的长;
(2) 试确定点
E
的位置,使两条栈道长度之和最大
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)经过点
P
,离心率为
.
已知过点
M
的
直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两点
.
(1) 求椭圆
C
的方程;
·
为定值?若存在,求出点
N
的坐标;若不存在,请说(2)
试问
x
轴上是否存在定点
N
,使得
明理由
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝
2
x
3
－
3
ax
2
＋
3
a－
2(
a>
0),
f'
(
x
)为f
(
x
)的导函数
.
(1)
若
f
(
x
)的极大值为0,求实数
a
的值;
(2) 若函数
g
(
x
)
＝f
(
x
)
＋
6
x
,求
g
(
x
)在[0,1]上
取到最大值时
x
的值;
(3) 若关于
x
的不等式
f(
x
)≥
f'
(
x
)在
＋
上有解,求满足条件的正整数
a
的集合
.
20
.
(本小题满分1
6分)若数列{
a
n
}满足:对于任意的
n
∈N
*
,
a
n
＋|a
n＋
1
－a
n＋
2
|
均为数列{
a
n
}中的
项,则称数列{
a
n}为“
T
数列”
.
(1) 若数列{
a
n<
br>}的前
n
项和
S
n
＝
2
n
2
,
n
∈N
*
,求证:数列{
a
n
}为“
T
数列”;
(2) 若公差为
d
的等差数列{
a
n
}为“
T
数列”,求
d
的取值范围;
(3) 若数列{
a
n
}为“
T
数列”,
a
1
＝
1,且对于
任意的
n
∈N
*
,均有
a
n
<
通项公式
.
＋
－
1
,求数列{
a
n
}的
江苏省苏锡常镇2018届高三第三次模拟考试
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
若复
数
z
满足(1
＋
i)
z＝
2(i是虚数单位),则
z
的虚部为
.
2
.
设集合
A＝{2,4},
B＝
{
a
2
,2}(其中
a<
0
),若
A＝B
,则实数
a＝ .
(第4题)
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,
点
P
(
－
2,4)到抛物线
y
2
＝－
8<
br>x
的准线的距离为
.
4
.
一次考试后
,从高三(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶图如图所示,则这五人成绩的方差
为
.
(第5题)
5
.
如图
所示是一个算法流程图,若输入的
x
∈[0,2],则输出的
S
的取值范围是
.
(第6题)
6
.
欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓
酌油沥之,自钱孔
入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超
.
若铜钱直径4
cm,中间有边长为1
cm的正方形小孔,
随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是
.
7
.
已知函数
f
(
x
)
＝
sin(π
x＋φ
)(0
<φ<
2π)在
x＝
2
时取得最大值,则
φ＝ .
8
.
已知公差为
d
的等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n<
br>,若
＝
4,则
＝
.
9
.
在棱长为2的正四面体
P<
br>－
ABC
中,
M
,
N
分别为
PA
,
BC
的中点,
D
是线段
PN
上一点,且
PD＝2
DN
,则三棱锥
D
－
MBC
的体积为
.
10
.
设△
ABC
的内角
A
,<
br>B
,
C
的对边分别是
a
,
b
,
c<
br>,且满足
a
cos
B－b
cos
A＝c
,则
＝ .
11
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知圆
C
:
(
x＋
1)
2
＋y
2
＝
2,点
A
(2,0),若圆
C
上存在点
M
,满足
MA
2
＋M
O
2
≤10,则点
M
的纵坐标的取值范围是
.
(第12题)
12
.
如图,扇形AOB
的圆心角为90°,半径为1,点
P
是圆弧
AB
上的动点
,作点
P
关于弦
AB
·
的取值范围为
.
的对称点
Q
,则
f
(
x
)
＝
＋ ＋
13
.
已知函数
若存在实数a
f
(
a
)
＝f
(
b
)
＝f
(
c
),则
af
(
a
)<
br>＋
bf
(
b
)
＋cf
(
c
)的最大
值是
.
14
.
已知
a
,
b
为正实数,且(
a－b
)
2
＝
4(
ab
)
3
,则
＋
的最小值为
.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在四
棱锥
P
－
ABCD
中,∠
ADB＝
90°,
CB＝
CD
,点
E
为棱
PB
的
中点
.
(1) 若
PB＝PD
,求证:
PC
⊥
BD
;
(2) 求证:
CE
∥平面
PAD.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)在△ABC
中,三个内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,设△
ABC
的面积为
S
,且4
S＝
(
a
2
＋c
2
－b
2
)
.
(1) 求角
B
的大小;
(2) 设向量
m＝
(sin2
A
,3cos
A
),
n＝
(3,
－
2co
s
A
),求
m
·
n
的取值范围
.
17
.
(本小题满分14分)如图(1)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重
情况,研究小组将
其抽象成如图(2)所示的数学模型,索塔
AB
,
CD与桥面
AC
均垂直,通过测量知两索塔的高度
均为60m,桥面
AC上一点
P
到索塔
AB
,
CD
的距离之比为21
∶
4,且
P
对两塔顶的视角为
135°
.
(1)
求两索塔之间桥面
AC
的长度
.
(2) 研究表明索塔对桥面上某
处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:某索塔对桥面
上某处的“承重强度”与索塔的高度成
正比(比例系数为正数
a
),且与该处到索塔的距离的平方
成反比(比例系数为正数<
br>b
)
.
问:两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值
.
图(1)
图(2)
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为
1,
A
,
B
,
C
分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,
过点
C
的直线
l
交椭圆于点
D
,交
x
轴于
点
M
(
x
1
,0),直线
AC
与直线
BD
交于点
N
(
x
2
,
y
2
)
.
(1) 求椭圆的标准方程;
＝
2
,求直线
l
的方程; (2) 若
(3)
求证:
x
1
·
x
2
为定值
.
(第18题)
19
.
(本小题满分1
6分)已知函数
f
(
x
)
＝x
3
＋ax
2
＋bx＋
1,
a
,
b
∈R
.
(1) 若
a
2
＋b＝
0
.
①
当
a>
0时,求函数
f
(
x
)的极值(用
a
表示)
.
②
若
f
(
x
)有三个相异
零点,问:是否存在实数
a
使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出
a
的
值;若不存在,请说明理由
.
(2) 函数
f
(
x
)图象上点
A
处的切线
l
1
与
f
(
x<
br>)的图象相交于另一点
B
,在点
B
处的切线为
l
2<
br>,直线
l
1
,
l
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,且
k
2
＝
4
k
1
,求
a
,
b
满足的关系式
.
20
.
(本小题满分16分)已知等差数列{
a
n
}的首
项为1,公差为
d
,数列{
b
n
}的前
n
项和为<
br>S
n
,且
对任意的
n
∈N
*
,6
S
n
＝
9
b
n
－a
n
－
2恒成立<
br>.
(1) 如果数列{
S
n
}是等差数列,求证:数列{<
br>b
n
}也是等差数列;
(2) 如果数列
＋
为等比数列,求
d
的值;
(3) 如果
d＝
3,数列{
c
n
}的首项为1,
c
n
＝b
n
－b
n－<
br>1
(
n
≥2),求证:数列{
a
n
}中存在无穷多项
可表示
为数列{
c
n
}中的两项之和
.
江苏省通、泰、淮、连、扬、徐、宿2018届高三第三次模
拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知集合
A＝
{
－
1,0,3,5},B＝
{
x|x－
2
>
0},则
A
∩
B
＝ .
2
.
已知(1
＋
3i)(
a＋
b
i)
＝
10i,其中i为虚数单位,
a
,
b
∈R
,则
ab
的值为
.
3
.
已知一组数据82,91,89,88,90,则这组数据的方差为
.
4
.
根据如图所示的伪代码,已知输出值
y
为3,则输入值
x
为
.
5
.
函数
y＝
lg(4
－
3x－x
2
)的定义域为
.
6
.
袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相
同,现从中随机摸出1只
球,若摸出的球不是红球的概率为0
.
8,不是黄球的概率为
0
.
5,则摸出的球为蓝球的概率
为
.
7
.
在△
ABC
中,若sin
A∶
sin
B∶
sin
C＝
4
∶
5
∶
6,则cos
C
的值为
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
中,已知双曲线
－
＝
1(
b>
0)的焦点到渐近线的距离为2,则该双
曲线的离心率为
.
9
.
已知{
a
n
}是等比数列,
S
n<
br>是其前
n
项和,若
a
3
＝
2,
S
1
2
＝
4
S
6
,则
a
9
的值为
.
10
.
现有一正四棱柱形铁块,底面边长为高的8倍,将其熔化锻造
成一个底面积不变的正四棱
锥形铁件(不计材料损耗)
.
设正四棱柱与正四棱锥的侧面
积分别为
S
1
,
S
2
,则
的值
为
.
11
.
已知实数
a
,
b
,
c
成
等比数列,
a＋
6,
b＋
2,
c＋
1成等差数列,则
b
的最大值为
.
12
.
如图,在平面四边
形
ABCD
中,
AB＝
4,
AD＝
2,∠
DAB＝
60°,
AC＝
3
BC
,则边
CD
长的最小
值为
.
(第12题)
(第13题)
13
.
如图,已知
AC＝2,
B
为
AC
的中点,分别以
AB
,
AC为直径在
AC
同侧作半圆,
M
,
N
分别为
两半
圆上的动点(不含端点
A
,
B
,
C
),且
BM⊥
BN
,则
·
的最大值为
.
－
的图象恰好经过三个象限,则实数
a
的取值范围14
.
已知函数
f
(
x
)
＝
－
＋ －
是
.
二、 解答题:本大
题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直四棱柱
ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,底
面
ABCD
为平行四边
形,
C
1
B＝C
1
D.
(1) 求证:
B
1
D
1
∥平面
C
1
BD
;
(2) 求证:平面
C
1
BD
⊥平面
AA
1
C
1
C.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)如图所示是函数f
(
x
)
＝A
sin(
ωx＋φ
)
在一个周
期内的图象,已知点
P
(
－
6,0),
Q
(
－
2,
－
3)是图象上的最低点,
R
是图象上的最高点
.
(1)
求函数
f
(
x
)的解析式;
(2) 记∠
RPO＝α,∠
QPO＝β
(
α
,
β
均为锐角),求tan(2<
br>α＋β
)的值
.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域
ABC
D
,
AB
∥
CD
,
AB
⊥
BC
,
AB＝
3
百米,
CD＝
2百米,该区域内原有道路
AC,现新修一条直道
DP
(宽度忽略不计),点
P
在道路
AC上(异于
A
,
C
两点),∠
BAC＝
,∠
DPA＝θ.
(1)
用
θ
表示直道
DP
的长度;
(2) 计划在△
ADP区域内种植观赏植物,在△
CDP
区域内种植经济作物,已知种植观赏植物的
成本
为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百米1万元,新建道路
DP
的成本为
每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的右焦
点为
F
,<
br>P
为右准线上一点,点
Q
在椭圆上,且
FQ
⊥
FP.
(1) 若椭圆的离心率为
,短轴长为2
.
①
求椭圆的方程;
②
若直线<
br>OQ
,
PQ
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,求
k
1
·
k
2
的值
.
(2) 若在
x
轴上方存在
P
,
Q
两点,使
O
,
F
,
P
,
Q
四点共圆,求椭圆离心率的取值
范围
.
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)已知数列{
a
n
}满足
a
n＋
1
＋<
br>(
－
1)
n
a
n
＝
＋
(
n
∈N
*
),数列{
a
n
}的前
n<
br>项和为
S
n
.
(1)
求
a
1
＋a
3
的值
.
(2) 若
a
1
＋a
5
＝
2
a
3
.
①
求证:数列{
a
2
n
}为等差数列;
②
求满足
S
2
p
＝
4
S
2
m
(<
br>p
,
m
∈N
*
)的所有数对(
p
,
m
)
.
20
.
(本小题满分1
6分)对于定义在区间
D
上的函数
f
(
x
),若存在正整数
k
,使不等式
x
)
f
(
x
)为
D
(
k
)型函数
.
(1) 设函数
f
(
x
)
＝a|x|
,
定义域
D＝
[
－
3,
－
1]∪[1,3],若
f<
br>(
x
)是
D
(3)型函数,求实数
a
的取值范围;
(2) 设函数
g
(
x
)
＝
e
x
－x
2
－x
,定义域
D＝
(0,2),判断
g
(<
br>x
)是否为
D
(2)型函数,并给出证明
.
(参考
数
据:7
<
e
2
<
8)
江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试
数
学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知集合
A＝
(
－∞
,
m
],
B＝
(1,2],若
B
?
A
,则实数
m
的取值范围为
.
2
.
设复数
z＝
＋
＋
(i为虚数单位)为纯虚数,则实数
a
的值为
.
3
.
设数据
a
1
,
a
2,
a
3
,
a
4
,
a
5
的方差
为1,则数据2
a
1
,2
a
2
,2
a
3<
br>,2
a
4
,2
a
5
的方差为
.
(第6题)
4
.
一个袋子
中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同),现从中随机摸出2个球,则摸
出的2个球中至少有
1个是红球的概率为
.
5
.
“
x＝
2
k
π
＋
,
k
∈Z”是“sin
x＝
”成立的
<
br>条件
.
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或
“既不充分也不必要”)
6
.
运行如图所示的算法流程图,则输出
S
的值为
.
7
.
若双曲线
－
＝
1(
a>
0,
b>
0)
的两条渐近线与抛物线
y
2
＝
4
x
交于
O
,
P
,
Q
三点,且直线
PQ
经过抛
物线的焦点,则该双曲线的离心率为
.
8
.
函数
f
(
x
)
＝
ln(1
－
－ )的定义域为
.
9
.
若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍,则该圆锥的体积为
.
10
.
已知函数
f
(
x
)
＝
sin(
ωx＋φ
)
－
cos(
ωx＋φ
)(<
br>ω>
0,0
<φ<
π)为偶函数,且其图象的两条相
邻对称轴间的距离
为
,则
f
－
的值为
.
(第12题)
11
.
设
数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若S
n
＝
2
a
n
＋n
(
n
∈N
*
),则数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝ .
12
.
如图,在△
AB
1
B
8
中,已知∠
B
1
AB
8
＝
,
AB
1
＝
6,
AB
8
＝
4,点
B
2
,
B
3
,
B
4
,
B
5
,
B
6
,
B
7
分别为边
B1
B
8
·
的最大值为
.
的7等分点,则当
i＋j＝
9(1≤
i
≤8)时,
13
.
定义:点
M
(
x
0
,
y
0
)到直线
l
:
ax＋by＋c＝
0的有向距离为
＋
＋
＋
.
已知点
A
(
－
1,0),
B
(1,0),
直线
m
过点
P
(3,0),若圆
x
2
＋
(
y－
18)
2
＝
81上存在一点
C<
br>,使得
A
,
B
,
C
三点到直线
m
的
有向
距离之和为0,则直线
m
的斜率的取值范围为
.
14
.
设△
ABC
的面积为2,若角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c,则
a
2
＋
2
b
2
＋
3
c<
br>2
的最小值
为
.
二、 解答题:本大题共6小题
,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)如图,在直四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知底面
ABCD
是菱形,
M
,
N
分别是棱
A
1
D
1
,
D
1
C
1
的中点
.
(1) 求证:
AC
∥平面
DMN
;
(2)
求证:平面
DMN
⊥平面
BB
1
D
1
D.
(第15题)
16
.
(本小题
满分14分)在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
AD
为边<
br>BC
上的中线
.
(1) 若
a＝
4,
b＝
2,
AD＝
1,求边
c
的长;
·
(2) 若
＝c
2
,求角
B
的大小
.
17
.
(本小题满分14分)如图,是一个扇形花园,已知该扇形的半径长为400 m,∠
AOB＝
,且半
径
OC
平分∠
AOB.
现拟在
OC
上选取一
点
P
,修建三条路
PO
,
PA
,
PB
供游
人行走观赏,设
∠
PAO＝α.
(1) 将三条路
PO
,
PA
,
PB
的长度之和表示为
α
的函数
f
(
α
),并写出此函数的定义域;
(2)
试确定
α
的值,使得
f
(
α
)最小
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,已知
F
1
,
F
2
分别是椭圆
C
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的左、右焦点,点
P
(－
2,3)是椭圆
C
上一点,且
PF
1
⊥
x<
br>轴
.
(1) 求椭圆
C
的方程
.
(2) 设圆
M
:(
x－m
)
2
＋y
2<
br>＝r
2
(
r>
0)
.
＋
＝
＋
①
设圆
M
与线段
PF
2
交于两点
A
,
B
,若
,且
AB＝
2,求
r
的值
.
②
设
m＝－
2,过点
P
作圆
M
的两条切线分别交椭圆
C
于
G
,
H
两点(均异于点
P
)
.
试问:是否
存在这样的正数
r
,使得
G
,
H
两点
恰好关于坐标原点
O
对称?若存在,求出
r
的值;若不存在,请
说明
理由
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)若对任意实数
k
,<
br>b
都有函数
y＝f
(
x
)
＋kx＋b
的图象
与直线
y＝kx＋b
相切,则称函数
f
(
x
)为“恒切函数
”
.
设函数
g
(
x
)
＝a
e
x<
br>－x－pa
,
a
,
p
∈R
.
(1) 讨论函数
g
(
x
)的单调性
.
(2) 已知函数
g
(
x
)为“恒切函数”
.
①
求实数
p
的取值范围;
②
当
p
取最大
值时,若函数
h
(
x
)
＝g
(
x
)ex
－m
也为“恒切函数”,求证:0≤
m<
.
(参数数据:e
3
≈20)
20
.
(本小题满分16分)在数列{
a
n
}中,已知
a
1
＝
1,
a
2
＝
λ
,并满足:
－
,
－
＋
,
－
＋
,…,
是等差数列(其中
k
≥2,
k
∈N),且当
k
为奇数时
,公差为
d
;当
k
为偶数时,公差为
－d.
(1)
当
λ＝
1,
d＝
1时,求
a
8
的值;
(2) 当
d
≠0时,求证:数列{
|
＋
－
|
}(
n
∈N
*
)是等比数列;
(3) 当λ
≠1时,记满足
a
m
＝a
2
的所有
m
构成的一个单调递增数列为{
b
n
},求数列{
b
n
}的
通项公
式
.
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{1,2},
B＝
{
a
,
a
2<
br>＋
3}
.
若
A
∩
B＝
{1},
则实数
a
的值为
.
(第4题)
2
.
已知复数
z＝
(1
＋
i)(1
＋
2i),其中i是虚数单位,则
z
的模是
.
3
.
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为2
00件、400件、300件、
100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中
抽取60件进行检验,则
应从丙种型号的产品中抽取
件
.
4
.
如图是一个算法流程图,若输入的
x
的值为
,则输出的
y
的值是
.
5
.
若tan
－
＝
,则tan
α＝
.
(第6题)
6
.
如图,在圆柱
O
1
O
2
内有一个球
O
,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切
.
记圆柱
O
1<
br>O
2
的
体积为
V
1
,球
O
的体积为
V
2
,则
的值是
.
7
.
记函数
f
(
x
)
＝
＋ －
的定义域为
D
,在区间[
－
4,5]上随机取一个数
x
,
则
x
∈
D
的概率
是
.
8
.
在平面直角坐标系
xOy
中,若双曲线
－y
2
＝
1的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P,
Q
,其焦点是
F
1
,
F
2
,则四边
形
F
1
PF
2
Q
的面积是
.
9
.
设等比数列{
a
n
}的各项均为实数,其前
n
项和为
S
n
.
已知
S
3
＝
,
S
6
＝
,则
a
8
＝
.
10
.
某公司一年购买某种货物600
t,每次购买
x
t,运费为6万元
次,一年的总存储费用为4
x<
br>万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则
x
的值是
.
11
.
已知函数
f
(<
br>x
)
＝x
3
－
2
x＋
e
x
－
,其中e是自然对数的底数,若
f
(
a－
1
)
＋f
(2
a
2
)≤0,则实数
a
的取值范围是<
br> .
(第12题)
,
的模分别为1,1,
,
的夹角为
α
,且tan
α＝
12
.
如图,在同一个平面内,向量 , 与
与
的夹角为45°,若
＝m
＋n
7,
(
m
,
n
∈R),则
m＋n＝ .
·
≤20,则13
.
在平面直角坐标系
xOy
中,
A
(
－
12,0),
B
(0,6),点
P
在圆
O
:
x
2
＋y
2
＝
50上,若
点
P
的横坐标的取值范围是
.
14
.
设
f
(
x
)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,
f
(
x
)
＝
其中集合
D＝
＝
－
,则方程
f
(
x
)
－
lg
x＝
0的解的个数是
.
二、 解答题
:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤<
br>.
15
.
(本小题满分14分)如图,在三棱锥
A
－
BCD
中,
AB
⊥
AD
,
BC
⊥BD
,平面
ABD
⊥平面
BCD
,点
E
,F
(
E
与
A
,
D
不重合)分别在棱
A
D
,
BD
上,且
EF
⊥
AD.
(1)
求证:
EF
∥平面
ABC
;
(2)
求证:
AD
⊥
AC.
(第15题)
16
.
(本小题满分14分)已知向量
a＝
(cos
x
,sin
x
),
b＝
(3,
－
),
x
∈[0,π]
.
(1)
若
a
∥
b
,求
x
的值;
(2) 记
f<
br>(
x
)
＝a
·
b
,求
f
(
x
)的最大值和最小值以及对应的
x
的值
.
17
.
(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
E
:
＋
＝
1(
a>b>
0)的左、右
焦点分别为
F
1
,
F
2
,离心率为
,两准线之间的距离为8,点
P
在椭圆
E
上,且位于第一象限,过点
F
1
作直线
PF
1
的垂线
l
1,过点
F
2
作直线
PF
2
的垂线
l
2
.
(1) 求椭圆
E
的标准方程;
(2) 若直线l
1
,
l
2
的交点
Q
在椭圆
E
上,求点
P
的坐标
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,水平放置的正
四棱柱形玻璃容器
Ⅰ
和正四棱台形玻璃容器
Ⅱ
的高
均为32
cm,容器
Ⅰ
的底面对角线
AC
的长为10
cm,容
器
Ⅱ
的两底面对角线
EG
,
E
1
G
1的长
分别为14 cm和62
cm,分别在容器
Ⅰ
和容器
Ⅱ
中注入水,水深均为12 cm,
现有一根玻璃棒
l
,
其长度为40
cm
.
(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1) 将
l
放在容
器
Ⅰ
中,
l
的一端置于点
A
处,另一端置于侧棱
C
C
1
上,求
l
没入水中部分的长度;
(2) 将
l
放在容器
Ⅱ
中,
l
的一端置于点
E
处,另一端置于侧棱<
br>GG
1
上,求
l
没入水中部分的长度
.
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)对于给定的正整数
k
,若数列{a
n
}满足
a
n－k
＋a
n－k＋
1
＋
…
＋a
n－
1
＋a
n＋
1
＋
…
＋a
n＋k－
1
＋a
n＋k
＝
2
kan
对任意正整数
n
(
n>k
)总成立,则称数列{
a<
br>n
}是“
P
(
k
)数列”
.
(1) 求证:等差数列{
a
n
}是“
P
(3)数列”;
(2) 若数列{
a
n
}既是“
P
(2)数列”,又是“<
br>P
(3)数列”,求证:{
a
n
}是等差数列
.
20
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝x
3
＋ax
2
＋bx＋
1(
a>0,
b
∈R)有极值,且导函数
f'
(
x
)的极
值点是
f
(
x
)的零点
.
(极值点是指函数取极值时对应
的自变量的值)
(1)
求
b
关于
a
的函数关系式,并写出定义域;
(2)
求证:
b
2
>
3
a
;
(3) 若
f(
x
),
f'
(
x
)这两个函数的所有极值之和不小于
－
,求
a
的取值范围
.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1
.
本试卷共160分,考试时间120分钟
.
2
.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内
.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{
－
1,2,3,6},
B＝
{
x|－<
br>2
A
∩
B＝ .
2
.
若复数
z＝
(1
＋
2i)(3
－<
br>i),其中i为虚数单位,则
z
的实部是
.
(第6题)
3
.
在平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
－
＝
1的焦距是
.
4
.
已知一组数据4
.
7,4
.
8,5
.
1,5
.
4,5
.
5,那么该组数据的方差是
.
5
.
函数
y＝
－ －
的定义域是
.
6
.
执行如图所示的算法流程图,输出的
a
的值是
.
7
.
将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的
正方体玩具)先后抛掷
2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是
.
8
.
已知{
a
n
}是等差数列,
S<
br>n
是其前
n
项和
.
若
a
1
＋
＝－
3,
S
5
＝
10,则
a
9
的值是
.
9
.
定义在区间[0,3π]上的函数
y＝
sin
2
x
的图象与
y＝
cos
x
的图象的交点个数是
.
(第10题)
是椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的右焦点,若直线
10
.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
Fy＝
与椭
圆交于<
br>B
,
C
两点,且∠
BFC＝
90°,则该椭圆的离心率是 .
＋ －
其中11
.
设
f
(
x
)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[
－
1,1)上
,
f
(
x
)
＝
－
a
∈R
.
若
f
－
＝f
,则
f
(5
a
)的值是
.
(第13题)
－ ＋
12
.
已知实数
x
,
y
满足
＋ －
那么
x
2
＋y
2
的取值范围是
.
－ －
·
＝
4,
＝
· 13
.
如图,在△
ABC
中,
D
是
BC
的中点,
E
,
F
是
AD
上的两个三等分点,
若
的值是
.
·
－
1,则
14
.
在锐角三角形
ABC
中,若sin
A＝
2sin
B
sin
C
,则tan
A
tan
B
tan
C
的最小值是
.
二、 解
答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
AC＝
6,cos
B＝
,
C＝
.
(1)
求边
AB
的长;
(2) 求cos
－
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,D
,
E
分别为
AB
,
BC
的中点,点
F
在侧棱
B
1
B
上,且
B
1
D
⊥
A
1
F
,
A
1
C
1
⊥
A
1
B
1
.
(1)
求证:直线
DE
∥平面
A
1
C
1
F
;
(2) 求证:平面
B
1
DE
⊥平面
A
1
C
1
F.
(第16题)
17
.
(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成
,如图,上部分的形状是正
四棱锥
P
－
A
1
B
1<
br>C
1
D
1
,下部分的形状是正四棱柱
ABCD
－A
1
B
1
C
1
D
1
,并要求正四棱柱
的高
O
1
O
是正四棱锥的高
PO
1
的4倍
.
(1) 若
AB＝
6
m,
PO
1
＝
2 m,则仓库的容积是多少?
(2)
若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当
PO
1
为多少时,仓库的容积最大?
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
已知以
M
为圆心的圆
M
:
x
2
＋y
2－
12
x－
14
y＋
60
＝
0及其上一点A
(2,4)
.
(1) 设圆
N
与
x
轴相切,与圆
M
外切,且圆心
N
在直线
x＝
6上,求圆<
br>N
的标准方程;
(2) 设平行于
OA
的直线
l
与
圆
M
相交于
B
,
C
两点,且
BC＝OA
,
求直线
l
的方程;
＋
,求实数
t
的取值范围
.
＝
(3) 设点
T
(
t
,0)满足:存在圆
M
上的两
点
P
和
Q
,使得
(第18题)
19
.
(本小题满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝a
x
＋b
x
(
a>
0,<
br>b>
0,
a
≠1,
b
≠1)
.
(1) 设
a＝
2,
b＝.
①
求方程
f
(
x
)
＝
2的根;
②
若对于任意
x
∈R,不等式
f
(2
x
)≥
mf
(
x
)
－
6恒成立,求实数
m
的最大值.
(2) 若0
b>
1,函数
g
(
x
)
＝f
(
x
)
－
2有且只有
1个零点,求
ab
的值
.
20
.
(
本小题满分16分)记
U＝
{1,2,…,100}
.
对数列{
a<
br>n
}(
n
∈N
*
)和
U
的子集
T<
br>,若
T＝
?,定义
S
T
＝
0;若
T＝
{
t
1
,
t
2
,…,
t
k
},
定义
S
T
＝
＋
＋
…
＋
.
例如:
T＝
{1,3,66}时,
S
T
＝a
1
＋a
3<
br>＋a
66
.
现
设{
a
n
}(
n∈N
*
)是公比为3的等比数列,且当
T＝
{2,4}时,
S<
br>T
＝
30
.
(1)
求数列{
a
n
}的通项公式;
(2) 对任意正整数
k
(
1≤
k
≤100),若
T
?{1,2,…,
k
},求证:<
br>S
T
1
;
(3) 设C
?
U
,
D
?
U
,
S
C≥
S
D
,求证:
S
C
＋S
C
∩
D
≥2
S
D
.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分
.
1
.
已知
集合
A＝
{1,2,3},
B＝
{2,4,5},那么集合
A
∪
B
中元素的个数为
.
2
.
已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为
.
3
.
若复数
z
满足
z
2
＝
3<
br>＋
4i,则
z
的模为
.
S
←1
I
←1
While
I<
8
S
←
S＋
2
I
←
I＋
3
End While
Print
S
(第4题)
4
.
根据如图所示的伪代码,可知输出的结果
S
为
.
5
.
袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中
一次随机摸出
2只球,则这2只球颜色不同的概率为
.
6
.
已知向量
a＝
(2,1),
b＝
(1,－
2),若
ma＋nb＝
(9,
－
8)(
m
,
n
∈R),则
m－n
的值为
.
7
.
不等式
－
<
4的解集为
.
8
.
已知tan
α＝－
2,tan(
α＋β
)
＝
,那么tan
β
的值为
.
9
.
现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱
各一个
.
若将
它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆
柱各一个,则新的底
面半径为
.
10
.
在平
面直角坐标系
xOy
中,以点(1,0)为圆心且与直线
mx－y－
2
m－
1
＝
0(
m
∈R)相切的所
有圆中,半径最大的圆的
标准方程为
.
11
.
已知数列{
a
n
}满足
a
1
＝
1,且
a
n＋
1
－a
n
＝n＋
1(
n
∈N
*
)
,那么数列
的前10项和
为
.
12
.
在平面直角坐标系
xOy
中,
P
为双曲线
x
2
－y
2
＝
1右支上的一个动点
.
若点
P
到直线
x－y
＋
1
＝<
br>0的距离大于
c
恒成立,则实数
c
的最大值为
.
那么方程
|f
(
x
)
＋g
(
x
)
|＝
1实数根的个数13
.
已知函数
f
(
x
)
＝|
ln
x|
,
g
(
x
)
＝
－ －
为
.
14
.
若向量
a
k
＝
＋
(
k＝
0,1,2,…,12),则
(
a
k
·
a
k＋
1
)的值为
.
＝
二、 解答题:本大题共6小题,共90分
.
解答时应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.
15
.
(
本小题满分14分)在△
ABC
中,已知
AB＝
2,
AC＝
3,
A＝
60°
.
(1) 求
BC
的长;
(2) 求sin 2
C
的值
.
16
.
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中,已知
AC
⊥
BC
,
BC＝CC<
br>1
.
若
AB
1
的
中点为
D
,
B
1
C
∩
BC
1
＝E.
(1)
求证:
DE
∥平面
AA
1
C
1
C
;
(2) 求证:
BC
1
⊥
AB
1
.
(第16题)
17
.
(本小题
满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通
现状,计划修建一条连
接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为
l
1
,
l2
,山
区边界曲线为
C
,计划修建的公路为
l.
如图所
示,
M
,
N
为
C
的两个端点,测得点
M
到
l
1
,
l
2
的距
离分别为5
km和40 km,点
N
到
l
1
,
l
2
的
距离分别为20 km和 2
.
5 km,以
l
1
,
l2
所在的直线分别
为
x
,
y
轴,建立平面直角坐标系<
br>xOy
,假设曲线
C
符合函数
y＝
(1)
求
a
,
b
的值
.
(2) 设公路
l与曲线
C
相切于点
P
,点
P
的横坐标为
t.<
br>
＋
(其中
a
,
b
为常数)模型
.
①
请写出公路
l
长度的函数解析式
f
(
t
),并写出其定义
域;
②
当
t
为何值时,公路
l
的长度最短?求出最短长度
.
(第17题)
18
.
(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
＋
＝
1(
a>b>
0)的离心
率为
,且右焦点
F
到左准线
l
的距离为3
.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过
F
的直线与椭圆交于
A<
br>,
B
两点,线段
AB
的垂直平分线分别交直线
l
和<
br>AB
于点
P
,
C
,若
PC＝
2
AB
,求直线
AB
的方程
.
(第18题)
19
.
(本小题
满分16分)已知函数
f
(
x
)
＝x
3
＋ax2
＋b
(
a
,
b
∈R)
.
(1) 试讨论
f
(
x
)的单调性;
(2) 若
b＝c－a
(实数
c
是与
a
无关的常数),当函数
f
(
x
)有三个不同的零点时,
a
的取值范围恰
好是(
－∞
,
－
3)∪
∪
＋
,求
c
的值
.
20
.
(本小题满分16分)设
a<
br>1
,
a
2
,
a
3
,
a
4<
br>是各项为正数且公差为
d
(
d
≠0)的等差数列
.
(1) 求证:
,
,
,
依次成等比数列;
(2)
是否存在
a
1
,
d
,使得
a
1
,
,
,
依次成等比数列,并说明理由;
(3) 是否存在
a
1
,
d
及正整数
n
,
k
,使得
,
＋ ＋ ＋
,
,
依次成等比数列,并说明理由
.