高中数学培训排名-2010年全国高中数学
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,
AB
是半圆<
br>O
的直径,点
P
为半圆
O
外一点,
PA
,<
br>PB
分别交半圆
O
于
D
,
C
两点
.
若
AD
＝
2,
PD＝
4,
PC＝
3,求<
br>BD
的长
.
(第21－A题)
B. 选修4－2:矩阵与变换
设矩阵
M＝
的一个特征值
λ
对应的一个特征向量为
,求
m
与
λ
的值
.
－
－
C. 选修4－4:坐标系与参数方程
＝
(
t
为参数)
.
现以坐标原点
O
为极点,以x
轴非在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
l
:
＝
负半轴为极轴建立极坐标系,设圆
C
的极坐标方程为
ρ＝
2cos
θ
,直线
l
与圆
C
交于
A
,
B<
br>两点,
求弦
AB
的长
.
D. 选修4－5:不等式选讲
若实数
x
,
y
,
z
满足
x＋
2
y＋z＝
1,求
x
2
＋y<
br>2
＋z
2
的最小值
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)某年级星期一至星期五每天下午每班排3节课,每天下
午随机选择1
节作为综合实践课(上午不排该课程)
.
(1)
求甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
(2) 设甲班和乙班“在一周(星期一至星
期五)中同时上综合实践课的节数”为
X
,求
X
的概率分
布与数学期
望
E
(
X
)
.
23
.
(本小题满分10分)设
n
∈N
*
,
n
≥3,
k<
br>∈N
*
.
(1) 求值:
①k
－n
－
－
;
－
－
②k
2
－n
(
n－
1)
－n
－
－
(
k
≥2)
.
2
(2) 化简:1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋
…
＋
(
k＋
1)
2
＋
…
＋
(
n＋
1)
.
江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,已知圆
O
的直径
AB＝
4,
C
为
AO
的中点,弦
DE
过点
C
且满足
CE＝
2
CD
,求△
O
CE
的
面积
.
(第21－A题)
B. 选修4－2:矩阵与变换
已知向量
是矩形
A
的属于特征值
－
1的一个特征向量<
br>.
在平面直角坐标系
xOy
中,点
－
P
(1,1)
在矩阵
A
对应的变换作用下变为
P'
(3,3),求矩阵
A.
C. 选修4－4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,求直线
θ＝
(
ρ
∈R)被曲线
ρ＝
4sin
θ
所截得的弦长
AB.
D. 选修4－5:不等式选讲
求函数
y＝
3sin
x＋
2
＋ 的最大值
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时
应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,在棱长为2的正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
P
为棱
C
1
D
1
的中
点,
Q
为棱
BB
1
上的点,且
BQ＝λBB
1
(
λ
≠0)
.
(第22题)
(1)
若
λ＝
,求
AP
与
AQ
所成角的余弦值;
(2) 若直线
AA
1
与平面
APQ
所成的角为45°,求
实数
λ
的值
.
23
.
(本小题
满分10分)在平面直角坐标系
xOy
中,已知抛物线
x
2
＝
2
py
(
p>
0)上的点
M
(
m
,1)
到焦点
F
的距离为2
.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 如图,点
E
是抛物线上异于原点的点,抛物线在点
E
处的切
线与
x
轴相交于点
P
,直线
PF
与抛物线相交于
A
,
B
两点,求△
EAB
面积的最小值
.
(第23题)
江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
(本小题满分
10分)设极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
x
轴的正半轴
.
已知
曲
线
C
的极坐标方程为
ρ＝
8sin
θ.
(1) 求曲线
C
的直角坐标方程;
＝
t
为参数)
与曲线
C
交于
A
,
B
两点,求
AB
的长<
br>.
(2) 设直线 (
＝ ＋
22
.
(本小题满分10分)已知变换
T
将平面上的点
,(0,1)分别变换成点
－ ,
－
.
设变换
T
对应的矩阵为
M.
(1) 求矩阵
M
;
(2)
求矩阵
M
的特征值
.
23
.
(本小题满分10分)某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2 h免费,超过
2
h的部分每小时收费1元(不足1 h的部分按1 h计算)
.
现有甲、乙两人独立来该停车场
停
车(各停车一次),且两人停车时间均不超过5
h
.
设甲、乙两人停车时间(单位:h)与取车概率如
下表所示
.
(1) 求甲、乙两人所付停车费相同的概率;
(2) 设甲、乙两人所付的停车费之和为随
机变量
ζ
,求
ζ
的分布列与数学期望
E
(
ζ
)
.
停车时间
取车概率
(0,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
停车人员
甲
乙
x
x
y
x
0
24
.
(本小题满分10分)如图
,在四棱锥
P
－
ABCD
中,
PA
⊥平面
ABCD
,四边形
ABCD
为直角
梯形,
AD
∥
BC
,∠
BAD＝
∠
CBA＝
90°,
PA＝AB＝BC＝
1
,
AD＝
2,
E
,
F
,
G
分别为
BC
,
PD
,
PC
的中
点
.
(1) 求异面直线
EF
与
DG
所成角的余弦值
.
(2) 若
M
为
EF
上一点,
N
为
DG<
br>上一点,是否存在
MN
,使得
MN
⊥平面
PBC
?若
存在,求出点
M
,
N
的坐标;若不存在,请说明理由
.
(第24题)
江苏省苏州市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分
.
解答时应写
出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤
.
A
.
选修4－1:几何证明选讲
如图,
E
是圆
O
内两条弦
AB
和
CD
的交点,过
AD
延长线上一点
F
作圆
O
的切线
FG
,
G
为
切点,已知
EF＝FG,求证:
EF
∥
CB.
(第21－A题)
B
.
选修4－2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
,
B＝
,求矩阵
C
,使得
AC＝B.
－
C
.
选修4－4:坐标系与参数方程
＝
－
(
t
为参数),在以坐标原点
O
为极在平
面直角坐标系
xOy
中,直线
l
的参数方程为
＝ ＋
点,
x
轴正半轴为极轴的极坐标
系中,曲线
C
的极坐标方程为
ρ
sin
2
θ－
4c
os
θ＝
0,已知直线
l
与曲线
C
相交于
A,
B
两点,求线段
AB
的长
.
D
.
选修4－5:不等式选讲
已知
a
,b
,
x
,
y
都是正数,且
a＋b＝
1,求证:
(
ax＋by
)(
bx＋ay
)≥
xy.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1
,三张标有数字
2,两张标有数字3
.
第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二
次再任意抽取一张,记第一
次与第二次取到卡片上的数字之和为
ξ.
(1)
当
ξ
为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;
(2)
求随机变量
ξ
的数学期望
E
(
ξ
)
.
23
.
(本小题满分10分)在平面直角坐标系
xO
y
中,已知两点
M
(1,
－
3),
N
(5,1),
若点
C
的坐标
＝t
＋
(1
－t
)
(
t
∈
R),且点
C
的轨迹与抛物线
y
2
＝
4
x
交于
A
,
B
两点
.
满足
(1)
求证:
OA
⊥
OB.
(2) 在
x
轴上是否存在一点
P
(
m
,0),使得过点
P
任作一条抛
物线的弦,并以该弦为直径的圆都
过原点?若存在,求出
m
的值及圆心的轨迹方程;若
不存在,请说明理由
.
江苏省苏北四市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如
图,
AB
为半圆
O
的直径,
D
为弧
BC
的
中点,
E
为
BC
的中点
.
求证:
AB
·<
br>BC＝
2
AD
·
BD.
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为
α＝
,求
a
,
b
的值
.
－
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系
xOy
中,以坐标原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l
:
ρ
sin
－
＝m
(
m
∈R),圆
＝ ＋
t
为参数),当圆心
C
到直线
l
C
的参数方程为
(
＝－ ＋
的距离为
时,求
m
的值
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
为正实数,
＋
2
x
【必做题】第22
、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算
步骤
.
22
.
(本小题满分10分)甲、乙、丙分别从A,B,
C,D四道题中独立地选做两道题,其中甲必选
B题
.
(1)
求甲选做D题,且乙、丙都不选做D题的概率;
(2) 设随机变量
X
表示D题被甲
、乙、丙选做的次数,求
X
的概率分布列和数学期望
E
(
X
)
.
23
.
(本小题满分10分
)已知等式(1
＋x
)
2
n－
1
＝
(1
＋
x
)
n－
1
(1
＋x
)
n
.
(1) 求(1
＋x
)
2
n－
1
的展开式中含x
n
的项的系数,并化简:
2
2
2
(2) 求证:(
)
＋
2(
)
＋
…
＋n
(
)
＝n
－
－
＋
－
＋
＋
27
abc
的最小值为
m
,解关于
x
的不等式
|x＋
1
|－
－
＋
…
＋
－
;
－
.
江苏省常州市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
(第21－A题)
如图,过圆
O
外一点
P作圆
O
的切线
PA
,切点为
A
,连接
OP与圆
O
交于点
C
,过点
C
作
AP
的垂
线,垂足为
D.
若
PA＝
2
,
PC∶PO＝
1
∶
3,求
CD
的长
.
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
,列向量
X＝
,
B＝
,若
AX＝B
,请直接写出
A－
1
,并求出
X
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
在平面
直角坐标系中,以原点
O
为极点,
x
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系
.
已知圆
ρ＝
4sin
＋
被射线
θ＝θ
0
为常数 且
所截得的弦长为2
,求
θ
0
的值
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
x>
0,
y>
0,且2
x＋y＝
6,求4
x
2＋y
2
的最小值
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明
过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,以正四棱锥
V
－
ABCD
的底面中心
O
为坐标原点建立空间直角
坐标系
O
－
xyz
,其中
Ox
∥
BC
,
Oy
∥
AB
,
E
为
VC
的中点
.
正四棱锥的底面边长为2
a
,高为
h
,且有
,
>＝－
.
cos
<
(1) 求
的值;
(2)
求二面角
B
－
VC
－
D
的余弦值
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同可以构造
等式,这种方法
称为“算两次”的思想方法
.
利用这种方法,结合二项式定理,可以得
到很多有趣的组合恒等式
.
例如,考察恒等式(1
＋x
)
2
n
＝
(1
＋x
)
n
(1
＋x
)
n
(
n
∈N
*
),左边
x
n<
br>的系数为
.
而右边(1
＋x
)
n
(1
＋x
)
n
n
n
＝
(
＋
x＋
…
＋
x
)(
＋
x＋
…
＋
x
),
x
n
的系数为
＋
－
2
2
2
＋
…
＋
＝
(
)
＋
(
)
＋
…
＋
(
),
2
2
2
因此,可得到组合恒等式
＝
(
)
＋
(
)
＋
…
＋
(
)
.
(1) 根据恒等式(1
＋x
)
m＋n
＝
(1
＋x
)
m
(1
＋x
)
n
(
m
,
n
∈N
*
)两边
x
k
(其中
k
∈N,<
br>k
≤
m
,
k
≤
n
)的系数相同,
直
接写出一个恒等式;
(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明:
＝
－
＝
其中 是指不超过
的最大整数
江苏省镇江市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
的中如图,已知
AB
是圆
O
的直径,
P
是上半圆上
的任意一点,
PC
是∠
APB
的平分线,
E
是
点,求证:直线
PC
经过点
E.
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知
a
,
b
为实数,矩阵
A＝
－
对应的变换将直线
x－y－
1
＝
0变换为自身,求
a,
b
的值
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,求
圆
ρ＝
2cos
θ
的圆心到直线2
ρ
sin
＋
＝
1的距离
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a>
0,
b>
0,求证:(
a
2
＋b
2
＋
ab
)(
ab
2
＋a
2
b＋
1)≥9
a<
br>2
b
2
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说
明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分
)如图,在四棱锥
P
－
ABCD
中,
PA
⊥底面
A
BCD
,
AD
⊥
AB
,
AB
∥
DC
,
AD＝
DC＝AP＝
2,
AB＝
1,
E
是棱<
br>PC
的中点
.
(1)
求直线
BE
与平面
PBD
所成角的正弦值;
(2) 若
F
为棱
PC
上的一点,且满足
BF
⊥
AC
,求二面角
F
－
AB
－
P
的正弦值
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)已知函数
f
1
(
x
)
＝
＋ ,对任意正整数
n
,有
f
n＋
1
(
x
)
＝
＋
,
求方程
f
n
(
x
)
＝
2
x
的所有解
.
江苏省扬州市2017届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
(本小题满分10分)已知
a
,
b
∈R,
若点
M
(1,
－
2)在矩阵
A＝
点<
br>N
(2,
－
7),求矩阵
A
的特征值
.
对应的变换作用下得到
＝
α
为22
.
(本小题满分10分)在平面直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
(
＝ ＋
参数),以直角坐标系的原点
O
为极
点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l
的极坐标方
程为θ＝
,试求直线
l
与曲线
C
的交点的直角坐标
.
23
.
(本小题满分10分)为了提高学生学习数
学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数
学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四
门校本选修课程
.
甲、乙、丙三位
同学每人均在四门校本选修课程中随机选一门进行学
习,假设三人选择课程时互不影响,且每
人选择每一课程都是等可能的
.
(1) 求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率;
(2) 设
X
为甲
、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求
X
的分布列和数学期望
E
(
X
)
.
24
.
(本小题满分10分)已知
F<
br>n
(
x
)
＝
(
－
1)
0
f
0
(
x
)
＋
(
－
1
)
1
f
1
(
x
)
＋
…
＋
(
－
1)
n
f
n
(
x
)(
n
∈N
*
,
x>
0
),其中
f
i
(
x
)(
i
∈{0,1,2,…,<
br>n
})是关于
x
的函数
.
(1) 若
f<
br>i
(
x
)
＝x
i
(
i
∈N),求<
br>F
2
(1),
F
2 017
(2)的值;
(2)
若
f
i
(
x
)
＝
＋ (
i
∈N),求证:
F
n
(
x
)
＝<
br>
＋ ＋ ＋
(
n
∈N
*
)
.
江苏省南京市、盐城市、连云港市2017届高三第二次模拟
考试
数学附加题
注意事项:
1
.
附加题供选修物理的考生使用
.
2
.
本试卷共40分,考试时间30分钟
.
3
.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内
.
21
.
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20
分.解答时应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如图,△
ABC
的顶点
A,
C
在圆
O
上,
B
在圆外,线段
AB
与圆
O
交于点
M.
(1) 若
BC
是圆
O
的切线,且
AB＝
8,
BC＝
4,求线段
AM
的
长;
(2) 若线段
BC
与圆
O
交于另一点
N
,
且
AB＝
2
AC
,求证:
BN＝
2
MN.
图(1) 图(2)
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
设
a
,
b
∈R,若直线
l
:
ax＋y－
7
＝
0在矩阵
A＝<
br>
对应的交换作用下得到的直线为
l'
:9
x＋
－ y－
91
＝
0,求实数
a
,
b
的值
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
＝ ＋
＝
k
为参数)交于在平面直角坐标系
xOy
中,若直线
l
:
(
t
为参数)与曲线
C
: (
＝ ＝
A
,
B
两点,求线段
AB
的长
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
设
a
≠
b
,求证:
a
4
＋
6a
2
b
2
＋b
4
>
4
ab
(
a
2
＋b
2
)
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要
的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满
分10分)如图,在直四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面四边形
ABCD
为菱
形,
A
1
A＝AB＝
2,∠
ABC＝
,
E
,
F
分别是
BC
,
A
1
C
的中点
.
(1) 求异面直线
EF
,
AD
所成角的余弦值;
(2) 若点
M
在线段
A
1
D
上,且
＝λ
,
CM
∥平面
AEF
,求实数<
br>λ
的值
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)现有
角形数阵:
＋
(
n
≥2,
n
∈N
*
)个给定的
不同的数随机排成一个如图所示的三
(第23题)
设
M
k
是第
k
行中的最大数,其中1≤
k
≤
n
,
k
∈N
*
,记
M
1
<
…
的概率为
P
n
.
(1) 求
P
2
的值;
(2)
求证:
P
n
>
＋
＋
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第二次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
(第21－A题)
如图,圆
O
的直径
AB＝
6,
C
为圆周上一点,<
br>BC＝
3,过点
C
作圆的切线
l
,过
A
作<
br>l
的垂线
AD
,
AD
分别与直线
l
,圆O
交于点
D
,
E
,求∠
DAC
的大小和线段<
br>AE
的长
.
B. 选修4－2:矩阵与变换
已知二阶矩阵
M
有特征值
λ＝
8及对应的一个特征向量
e
1
＝
,且矩阵
M
对应的变换将点
(
－
1,2)变换成点(
－
2,4)
.
(1) 求矩阵
M
;
(2)
求矩阵
M
的另一个特征值
.
C.
选修4－4:坐标系与参数方程
已知圆
O
1
和圆
O
2的极坐标方程分别为
ρ＝
2,
ρ
2
－
2
ρ
cos
－
＝
2
.
(1)
把圆
O
1
和圆
O
2
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程
.
D. 选修4－5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
为正数,且
a＋b＋c＝
3,求
＋
＋
＋
＋
＋ 的最大值
.
【必做题】第
22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或
演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,在正四棱锥P
－
ABCD
中,已知
PA＝AB＝
2,点
M
,
N
分别在
PA
,
BD
上,且
＝
＝
.
(1)
求异面直线
MN
与
PC
所成角的大小;
(2)
求二面角
N
－
PC
－
B
的余弦值
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)设
|θ|<
,
n
为正整数,数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝
sin
tan
n
θ
,其前
n
项和
为
S
n
.
－
(1) 求证:当
n
为偶数时,
an
＝
0;当
n
为奇数时,
a
n
＝
(<
br>－
1
tan
n
θ.
(2)
求证:对任意正整数
n
,
S
2
n
＝
sin 2
θ
·[1
＋
(
－
1)
n＋1
tan
2
n
θ
]
.
江苏省通、泰、扬、徐、淮、宿2017届高三第二次模拟考
试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如
图,已知△
ABC
内接于圆
O
,连接
AO
并延长交圆
O
于点
D
,∠
ACB＝
∠
ADC.
(第21－A题)
求证:
AD
·
BC＝
2
AC
·
CD.
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
设矩阵
A
满足:
A
＝
－
－
,求矩阵
A
的逆矩阵
A
－
1
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
＝－
＋
在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
＝
于
A
,
B
两点,求线段
AB
的长
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
设
x
,
y
,
z
均为正实数,且
xyz＝
1,求证:
＋＋
≥
xy＋yz＋zx.
＝
(
l
为参数)与曲线
t
为参数)相交(
＝
【必做
题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)某乐队参加一户
外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随
机选择4首进行演唱
.
(1) 求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2) 假定演唱一首原创新曲观众与乐队
的互动指数为
a
(
a
为常数),演唱一首经典歌曲观众与
乐队的互动
指数为2
a
,求观众与乐队的互动指数之和
X
的概率分布及数学期望
.
23
.
(本小题满分10分)设
n
≥2,<
br>n
∈N
*
,有序数组(
a
1
,
a
2
,…,
a
n
)经
m
次变换后得到数组
(
b
m
,1
,
b
m
,2
,…,
b
m<
br>,
n
),其中
b
1,
i
＝a
i
＋a
i＋
1
,
b
m
,
i
＝b
m－1,
i
＋b
m－
1,
i＋
1
(
i＝<
br>1,2,…,
n
),
a
n＋
1
＝a
1
,
b
m－
1,
n＋
1
＝b
m－
1,1<
br>(
m
≥2)
.
假如:有序数组(1,2,3)经第1次变换
后得到数组(1
＋
2,2
＋
3,3
＋
1),即(3,5,4
);经第2次变换后
得到数组(8,9,7)
.
(1) 若
a
i
＝i
(
i＝
1,2,…,
n
),求<
br>b
3,5
的值;
(2)
求证:
b
m
,
i
＝
＝
＋
,其中
i＝
1,2,…,
n.
(注:当
i＋j＝kn＋t
时,
k
∈N
*
,
t＝
1,2,…,
n
,则
a
i＋j
＝a
t
)
南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,
A
,
B
,
C
是圆
O
上不共线的三点,
OD
⊥
A
B
于点
D
,
BC
和
AC
分别交
DO
的延长线于点
P
和点
Q
,求证:∠
OBP＝
∠
C
QP.
(第21－A题)
B.
选修4－2:矩阵与变换
已知
a
,
b
∈R,矩阵
A＝
,若矩阵
A
属于特征值1的一个特征向量为
α
1
＝
,属于特征
－
值5的一个特征向量为
α
2
＝
.
求矩阵
A
,并写出矩阵
A
的逆矩阵
.
C.
选修4－4:坐标系与参数方程
在极坐标系下,已知圆
C
:
ρ＝
2cos
＋
与直线
l
:
ρ
sin
＋
＝
,点
M
为圆
C上的动点,求
点
M
到直线
l
的距离的最大值
.
D. 选修4－5:不等式选讲
已知
x
,
y
,
z
均为正数
.
求证:
＋
【必做题】第22、23题,每小题10分,共
20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
AB
＝
2,
AA
1
＝
1,直线
BD
与平面
AA
1
B
1
B
所成的角为30
°
,
AE
⊥
BD
于点
E
,
F
为
A
1
B<
br>1
的中点
.
(1)
求异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值;
(2) 求平面
BDF
与平面
AA
1
B
1
B
所成二面角(锐角)的
余弦值
.
＋
≥
＋＋.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)设集合
S＝
{1,2,3,…,n
}(
n
≥5,
n
∈N
*
),集合
A
＝
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}满足
a
1
且
a
3
－a
2
≤2,
A
?
S.
(1)
若
n
＝
6,求满足条件的集合
A
的个数;
(2) 对任意的满足条件的
n
及
A
,求集合
A
的
个数
.
江苏省南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
(第21－A题)
如图,
AD
是△
ABC
的高,
AE
是△
ABC
的外接圆的直径,点
B
和点
C在直线
AE
的两侧
.
求
证:
AB
·
A
C＝AD
·
AE.
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
,
X＝
－
,且
AX＝
,其中
x
,
y
∈R
.
(1) 求
x
,
y
的值;
(2) 若
B＝
－
,求(
AB
)
－
1
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
已知曲
线
C
的极坐标方程是
ρ
2
－
8
ρ
cos
θ＋
15
＝
0,直线
l
的极坐标方程是
θ＝
(
ρ
∈R)
.
若
P
,
Q
分别
为曲线
C
与直线
l
上的动点,求
PQ
的最小值
.<
br>
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
x>
0,求证:
x
3
＋y
2
＋
3≥3
x＋
2
y.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时
应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)在平面直角坐标系
xOy
中,直线
l
:
x＝－
1,点
T
(3,0)
.
动点
P
满足
PS<
br>⊥
l
,
·
垂足为
S
,且
＝
0,设动点
P
的轨迹为曲线
C.
(1)
求曲线
C
的方程
.
(2) 设
Q
是曲线
C
上异于点
P
的另一点且直线
PQ
过点(1,0),线段
P
Q
的中点为
M
,直线
l
与
与
共线
.
x
轴的交点为
N.
求证:向量
23
.
(本小题满分10分)已知数列{
a
n
}共有3<
br>n
(
n
∈N
*
)项,记
f
(
n)
＝a
1
＋a
2
＋
…
＋a
3
n
.
对任意的
k
∈N
*
,1≤
k
≤3n
,都有
a
k
∈{0,1},且对于给定的正整数
p
(
p
≥2),
f
(
n
)是
p
的整数倍,把满
足上述条件
的数列{
a
n
}的个数记为
T
n
.
(1) 当
p＝
2时,求
T
2
的值;
(2) 当
p＝
3时,求证:
T
n
＝
[8
n
＋
2(
－
1)
n
]
.
江苏省南通市、泰州市、扬州市2017届高三第三次模拟考
试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
(第21－A题)
如图,已知
AB
为圆
O
的一条
弦,
P
为弧
AB
的中点,过点
P
任作两条弦
PC<
br>,
PD
,分别交
AB
于
点
E
,
F.
求证:
PE
·
PC＝PF
·
PD.
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
M＝
,点(1,
－
1)在矩阵<
br>M
对应的变换作用下得到点(
－
1,
－
5),求矩阵
M
的
－
特征值
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆
C
的圆心在极轴上,且过极点和点
,求圆
C
的极坐标方程
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
,
d
是正实数,且
abcd＝
1,求证:
a
5
＋b
5
＋c
5
＋d
5
≥
a＋b＋c＋d.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明
、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)
如图,在四棱锥
S
－
ABCD
中,
SD
⊥平面
AB
CD
,四边形
ABCD
是直角
梯形,∠
ADC＝
∠
DAB＝
90°,
SD＝AD＝AB＝
2,
DC＝
1
.
(第22题)
(1)
求二面角
S
－
BC
－
A
的余弦值;
(2) 设<
br>P
是棱
BC
上一点,
E
是棱
SA
的中点,若
PE
与平面
SAD
所成角的正弦值为
段
CP
的长<
br>.
23
.
(本小题满分10分)已知函数
f
0
(
x
)
＝
＋
,求线
＋
(
a<
br>≠0,
ac－bd
≠0),设
f
n
(
x
)为
f
n－
1
(
x
)的导数,
n
∈N
*
.
(1) 求
f
1
(
x
),
f
2
(
x
);
(2)
猜想
f
n
(
x
)的表达式,并证明你的结论
.
江苏省连云港市、宿迁市、徐州市2017届高三第三次模拟
考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如
图,圆
O
的弦
AB
,
MN
交于点
C
,且<
br>A
为弧
MN
的中点,点
D
在弧
BM
上,∠<
br>ACN＝
3∠
ADB
,求
∠
ADB
的大小
.
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知点
A
,点
B
在直线
l
:
ρ
cos
θ＋ρ
sin
θ＝
0(0≤
θ<
2π)上,当线段
AB
最短时,
求点
B
的极坐标
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
为正实数,且
a
3
＋b
3
＋c
3
＝a
2
b
2
c
2
,求
证:
a＋b＋c
≥3
.
,若
A
＝
,求矩阵
A
的特征值
.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
点
F
(1,0),直线
x＝－
1与动直线
y＝
n
的
交点为
M
,线段
MF
的中垂线与动直线
y＝n
的交点为P.
(1) 求动点
P
的轨迹
E
的方程;
(2) 过动点
M
作曲线
E
的两条切线,切点分别为
A,
B
,求证:∠
AMB
的大小为定值
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)已知集合
U＝
{1,2,
…,
n
}(
n
∈N
*
,
n
≥2),对于集
合
U
的两个非空子集
A
,
B
,
若
A
∩
B＝
?,则称(
A
,
B
)为集合
U
的
一组“互斥子集”
.
记集合
U
的所有“互斥子集”的组数为
f
(
n
)(视(
A
,
B
)与(
B
,
A
)为同一组“互斥子集”)
.
(1)
写出
f
(2),
f
(3),
f
(4)的值;
(2) 求
f
(
n
)
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第三次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如图,直线
DE
切圆
O
于点
D
,直线
EO
交圆
O
于
A
,
B
两点,
DC
⊥<
br>OB
于点
C
,且
DE＝
2
BE
,求
证:2
OC＝
3
BC.
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
M＝
的一个特征值
λ
1
＝－
1及对应的特征向量
e＝
,求矩阵
M
的逆矩阵
.
－
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系
xOy
中,以
O
为极点,
x
轴的正半
轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标
＝
＋
α
∈[0,2π),
α
为参数),曲线
C
2
的极坐标方程为系
.
已知曲线
C
1
的参数方程为 (
＝ ＋
ρ
sin
＋
＝a
(
a<
br>∈R)
.
若曲线
C
1
与曲线
C
2
有
且仅有一个公共点,求实数
a
的值
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
为正实数,求证:
＋
＋
≥
a＋b＋c.
【必做
题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)已知袋中装有大
小相同的2个白球、2个红球和1个黄球
.
一项游戏
规定:每个白球、红球和黄球的分
值分别是0分、1分和2分,每一局从袋中一次性取出3个
球,将3个球对应的分值相加后称为该局的得
分,计算完得分后将球放回袋中
.
当出现第
n
局
得
n
分(
n
∈N
*
)的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关
,游戏也结束
.
(1) 求在一局游戏中得3分的概率;
(2) 求游戏
结束时局数
X
的分布列和数学期望
E
(
X
)
.
n
nn
23
.
(本小题满分10分)已知
f
n
(
x
)
＝
x－
(
x－
1)
n
＋…
＋
(
－
1)
k
(<
br>x－k
)
＋
…
＋
(
－
1)
(
x
－n
)
n
,其中
x
∈R,
n
∈N
*
,
k
∈N,
k
≤
n.<
br>
(1) 试求
f
1
(
x
),
f
2
(
x
),
f
3
(
x
)的值;
(2) 试猜测
f
n
(
x
)关于
n
的表达
式,并证明你的结论
.
江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A
.
选修4
－
1:几何证明选讲
如
图,已知
AB
,
CD
是圆
O
的两条相互垂直的直径,弦DE
交
AB
的延长线于点
F
,若
DE＝
24,
EF＝
18,求
OE
的长
.
(第21－A题)
B
.
选修4
－
2:矩阵与变换
已知矩阵
A＝
所对应的变换
T
把曲线
C
变成曲线
C
1
:
＋
＝
1,求曲线
C
的方程
.
C
.
选修4
－
4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,直线
l
的极坐标方程为
ρ
cos
＋
＝
1
.
以极点
O
为原点,
极轴为
x
轴的正半
＝
(
θ
为参数)
.
若直线
l
与圆
C
相切,求
r
轴建立平面直角坐标
系,圆
C
的参数方程为
＝
的值
.
D
.
选修4
－
5:不等式选讲
已知
a
,
b
,
c
为正实数,且
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.
解答时应写出必要
的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满
分10分)如图,在四棱锥
P
－
ABCD
中,底面
ABCD
是矩形,平面
PAD
⊥底面
a＋b＋c＝
3,求证:
＋
＋
≥3
.
ABCD
,且△
PAD
是边长为2的等边三角形,
PC＝
,点
M
在
PC
上,且
PA
∥平面
BDM.
(1) 求直线
PC
与平面
BDM
所成角的正弦值;
(2)
求平面
BDM
与平面
PAD
所成锐二面角的大小
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)一只袋中装有编号为
1,2,3,…,
n
的
n
个小球,
n
≥4,这些小球除编号
以
外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编
号的差的绝对值为
ξ
n
,如
ξ
4
＝
3,
ξ
5
＝
3或4,
ξ
6
＝
3或4或5,记
ξ<
br>n
的数学期望为
f
(
n
)
.
(1) 求
f
(5),
f
(6);
(2)
求
f
(
n
)
.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2.
本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,在△
ABC
中
,已知∠
ABC＝
90°,
BD
⊥
AC
,
D
为垂足,
E
是
BC
的中点,求证:∠
EDC＝
∠
ABD.
(第21－A题)
B. 选修4－2:矩阵与变换
－
－
1
已知矩阵
A＝
,矩阵
B
的逆矩阵
B
＝
,求矩阵
AB.
－
C. 选修4－4:坐标系与参数方程
＝ ＋
在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
l
的参数方程为
(
t
为参数),椭圆
C
的参数方
＝
＝
θ
为参数)
.
设直线
l
与椭圆
C
相交于
A
,
B
两点,求线段
AB
的长
.
程为 (
＝
D. 选修4－5:不等式选讲
设
a>
0,
|x－
1
|<
,
|y－
2
|<
,求证:
|
2
x＋y－
4
|
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分
.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤
.
22
.
(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,
已知直线
l
:
x－y－
2
＝
0,抛物线
C
:
y
2
＝
2
px
(
p>
0)
.<
br>
(1)
若直线
l
过抛物线
C
的焦点,求抛物线
C
的方程;
(2) 已知抛物线
C
上存在关于直线
l
对称的相异两点
P
和
Q.
①
求证:线段
PQ
的中点坐标为(2－p
,
－p
);
②
求
p
的取值范围
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)(1) 求7
－
4
的值;
(2) 设
m
,
n
∈N
*
,
n
≥
m
,求证:(
m＋
1)
＋
(
m＋
2)
＋
＋
＋
＋
(
m＋
3)
＋
＋
…
＋n
＋
(
n＋
1)
－
＝
(
m＋
1)
.
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,在△
ABC
中
,
AB＝AC
,△
ABC
的外接圆圆
O
的弦
AE<
br>交
BC
于点
D
,求证:△
ABD
∽△
AEB
.
(第21－A题)
B.
选修4－2:矩阵与变换
已知
x
,
y
∈R,向量
α＝
是矩阵
A＝
的属于特征值
－
2的一个特征向量,求矩阵
A
以
－
及它的另一个特征值
.
C. 选修4－4:坐标系与参数方程
已知圆
C
的极坐标方程为
ρ
2
＋
2
ρ
sin
－
－
4
＝
0,求圆
C
的半径
.
D. 选修4－5:不等式选讲
解不等式
x＋|
2
x＋
3
|
≥2
.
【必做题】第22、23题,每小题10分
,共20分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或
演算步骤.
22
.
(本小题满分10分)如图,在四棱锥
P
－
ABCD
中,已知
PA<
br>⊥平面
ABCD
,且四边形
ABCD
为直角梯形,∠
ABC＝
∠
BAD＝
,
PA＝AD＝
2,
AB＝BC＝
1
.
(1) 求平面
PAB
与平面
PCD
所成二面角的余弦值;
(2) 若
Q
是线段
BP
上的动点,当直线
CQ
与
DP
所成角最小时,求线段
BQ
的长
.
(第22题)
23
.
(本小题满分10分)已知集合
X＝
{1,2,3},
Y
n
＝
{1,2,3,…,
n
}(
n
∈N
*
),设
S
n
＝
{
(
a
,
b
)
|a
整除
b
或
b整除
a
,
a
∈
X
,
b
∈
Y<
br>n
},令
f
(
n
)表示集合
S
n
所
含元素的个数
.
(1) 写出
f
(6)的值;
(2)
当
n
≥6时,写出
f
(
n
)的表达式,并用数学归纳法证明
.
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.
答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21
.
【选做题】在
A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写
出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.
A. 选修4－1:几何证明选讲
如图,
AB<
br>是圆
O
的直径,
CD
是圆
O
上位于
AB异侧的两点,求证:∠
OCB＝
∠
D.
(第21－A题)
B. 选修4－2:矩阵与变换
－
已知矩阵
A＝
,
B＝
,向量
α＝
,
x
,
y
是实数,若
Aα
＝Bα
,求
x＋y
的值
.
－
C. 选修4－4:坐标系与参数方程
＝ －
在平面直角坐标系
xOy
中,已知直线
l
的参数方程
(
t
是参数),直线
l
与抛物线
y
2
＝ ＋
＝
4
x
相交于
A
,
B
两点,求线段
AB
的长
.
D. 选修4－5:不等式选讲
已知
x>
0,
y>
0,求证:(1
＋x＋y
2
)(1
＋x
2
＋y
)≥9
xy.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
22
.
(本小题满分10分)盒中共有9个球,其中有4个红球,
3个黄球和2个绿球,这些球除颜
色外完全相同
.
(1)
从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率
P
;
(2) 从盒中一
次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为
x
1
,
x
2
,
x
3
,随机变量
X
表示
x
1
,
x
2
,
x
3
中的最大数,求
X
的概率分
布和数学期望
E
(
X
)
.
23
.
(本小题满分10分)已知函数
f
0
(
x
)
＝
(1) 求2
f
1
＋
f
2
的值;
(2)
求证:对任意的
n
∈N
*
,等式
－
(
x>
0),设
f
n
(
x
)为
f
n－
1
(
x
)的导数,
n
∈N<
br>*
.
＋
＝
都成立
.
高考全真模拟卷汇编
十三大市篇
数学附加题智能化答案小手册
使用建议:本答案(小手册
)为偶数页活页装订。学生训练完成或老师讲评完以后,可把每卷答案发给学生,
供其自我验证、自我反
思。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A. 由切割线定理得
PD
·
PA＝PC
·
PB
,则4
×
(2
＋
4)
＝
3
×
(3
＋BC
),
解得
BC＝
5
.
又因为
AB
是半圆
O
的直径,
所以∠
ADB＝
,
则在Rt△
PDB
中,
BD＝
－
＝
－
＝
4
.
B. 由题意得
－
－
＝λ
－
,
则
－ ＝
＋ ＝－
解得
m＝
0,
λ＝－
4
.
C. 直线
l
:
＝
(
＝
t
为参数)化为普通方程为4
x－
3
y＝
0,
圆
C
的极坐标方程
ρ＝
2cos
θ
化为直角坐标方程为(
x－
1)
2
＋y
2
＝
1,
则圆
C
的圆心到直线
l
的距离为
d＝
＋ －
＝
,
所以
AB＝
2
－
＝
.
D. 由柯西不等式,得(
x＋
2
y＋z
)<
br>2
≤(1
2
＋
2
2
＋
1
2
)·(
x
2
＋y
2
＋z
2
),
即
x＋
2
y＋z
≤
＋
＋
·
＋
＋
.
又因为
x＋
2
y＋z＝
1,
所以
x
2
＋y
2
＋z
2
≥
,
当且仅当
＝
＝
,即
x＝z＝
,
y＝
时取等号
.
综上,(
x
2
＋y
2
＋z
2
)
min
＝
.
22
.
(1)
甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为
P＝
1
－
＝
.
(4分)
(6分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(10分)
(5分)
(10分)
(4分)
(2) 由题意得
XB
,
－
P
(
X＝k
)
＝
,
k＝
0,1,2,3,4,5
.
(6分)
所以
X
的概率分布列为
X
P
(8分)
0 1 2 3 4 5
故
X
的数学期望为
E
(
X
)
＝
5
×＝.
23
.
(1)
①k
－n
－
(10分)
－
－ －
－
＝k
·
－
－n
·
＝
－ －
－
－ －
－
＝
0
.
(2分)
②k
2
－n
(
n－
1)
＝k
2
·
＝k
·
＝
－
－n
－
－
－
－n
(
n－
1)·
－
－
－ －
－n
·
－
－ －
－ －
－ －
－
－ －
－ － －
－ －
－
＝
0
.
(4分)
(2)
方法一:由(1)可知当
k
≥2时,
2
(
k＋
1)
2
＝
(
k＋
2
k＋
1)
＝k
2
＋
2
k
＋
－ － －
＝
[
n
(
n－
1)
＝n
(
n－
1)
－
＋n
－
]
＋
2
n
－
＋
(6分)
－
－
＋
3
n
－
－
＋
.
＋
2
2
＋
3
2
＋
…
＋
(
k＋
1)
2
＋
…
＋
(
n＋
1)
2
故1
2
－ －
＋
2
2
)
＋n
(
n－
1)(
＝
(1
2
－
＋
－
＋
…
＋
－
)
＋
3
n
(
－
＋
－
＋
…
＋
－
＋
＋
…
＋
)
)
＋
(
＝
(1
＋
4
n
)
＋n
(
n－
1)2
n－
2
＋
3
n
(2
n－
1
－
1)
＋
(2
n
－<
br>1
－n
)
＝
2
n－
2
(
n
2
＋
5
n＋
4)
.
2
k
n
方法二:当
n
≥3时,由二项式定理,有(1
＋x
)
n
＝
1
＋
x＋
x＋
…
＋
x＋
…
＋
x
,
(10分)
3
k＋
1
＋
…
＋
x
n＋
1
,
2
两边同乘以
x
,得(1<
br>＋x
)
n
x＝x＋
x＋
x＋
…
＋
x
2
k
n
两边对
x
求导,得(1
＋x
)
n
＋n
(1
＋x
)
n－
1
x＝
1
＋
2
x＋
3
x＋
…
＋
(
k＋
1)
x＋
…
＋
(
n＋
1)
x
,
(6分)
两边再同时乘以
x
,得
3
k＋
1
n＋
12
(1
＋x
)
n
x＋n
(1
＋x
)
n－
1
x
2
＝
x＋
2
＋
…
＋
(
n＋
1)
x
,
x＋
3
x＋
…
＋
(
k＋
1)
x
2
2
两边再对
x
求导,得(1
＋x<
br>)
n
＋n
(1
＋x
)
n－
1
x＋n
(
n－
1)·(1
＋x
)
n－
2
x
2
＋
2
n
(1
＋x
)
n－
1
x
＝
1
＋
2
2
x＋
3
x＋
…
＋
k
2
n
(
k＋
1)
2
x＋
…
＋
(
n＋
1)
x.
(8分)
2
2
2
令
x＝
1,得2
n
＋n
·2
n－
1
＋n<
br>(
n－
1)·2
n－
2
＋
2
n
·2
n－
1
＝
1
＋
2
2
＋
3
＋
…
＋
(
k＋
1)
＋
…
＋
(
n＋
1)
,
＋
2
2
＋
3
2
＋
…
＋
(
k＋
1)
2
＋
…
＋
(
n＋
1)
2
＝
2
n－
2
(
n
2
＋
5
n＋
4)
.
即1
2
(10分)
江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A.
设
CD＝x
,则
CE＝
2
x.
因为
CA＝
1,
CB＝
3,
由相交弦定理,得
CA
·
CB＝CD
·
CE
, <
br>所以1
×
3
＝x×
2
x＝
2
x
2<
br>,所以
x＝.
(2分)
取
DE
的中点
H
,连接
OH
,则
OH
⊥
D
E.
因为
OH
2
＝OE
2
－EH
2＝
4
－
＝
,所以
OH＝
.
×
＝.
(6分)
(10分)
＝
(
－
－
又因为
CE＝
2
x＝
,所以△
OCE
的面积
S＝OH
·
CE＝×
B.
设
A＝
,因为向量
是矩阵
A
属于特征值
－
1的一个特征向量,所以
－
1)
＝
－
,
－
所以
－ ＝－
－ ＝
(4分)
因为点<
br>P
(1,1)在矩阵
A
对应的变换作用下变为点
P'
(3,3
),
所以
＋ ＝
＝
,所以
＋ ＝
(8分)
解得
a＝
1,
b＝
2,
c＝
2,
d＝
1,
所以
A＝
.
(10分)
C. 方法一:在
ρ＝
4sin
θ
中,令
θ＝
,得
ρ＝
4sin
＝
2
,即
AB＝
2
.
方法二:以极点
O
为坐标原点,极轴为
x
轴的
正半轴建立平面直角坐标系
.
直线
θ＝
(
ρ
∈R)的直角坐标方程为
y＝x
,
①
曲线
ρ＝
4sin
θ
的直角坐标方程为
x
2＋y
2
－
4
y＝
0
. ②
由
①②
得
＝
或
＝
＝
＝
所以
A
(0,0),
B
(2,2),
所以直线
θ＝
(
ρ
∈R)被曲线
ρ＝
4sin
θ
所截得的弦长
AB＝
2
.
D.
y＝
3sin
x＋
2
＋
＝
3sin
x＋
4
,
由柯西不等式得
y
2
＝
(3sin
x＋
4
)
2
≤(3
2
＋
4
2
)(s
in
2
x＋
cos
2
x
)
＝
25,(8分
)
所以
y
max
＝
5,此时sin
x＝
,
所以函数
y＝
3sin
x＋
2
＋ 的最大值为5
.
22
.
以{
,
,
}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
A－xyz.
(第22题)
(1) 因为
＝
(1,2,2),
＝
(2,0,1),
所以cos
<
,
>＝
＝
＋ ＋
＝
,
所以
AP
与
AQ
所成角的余弦值为
.
(4分)
(2) 由题意可知,
＝
(0,0,2),
＝
(2,0,2
λ
)
.
设平面
APQ<
br>的法向量为
n＝
(
x
,
y
,
z
),
(10分)
(3分)
(6分)
(8分)
(10分)
(2分)
(10分)
则
＝
＋ ＋ ＝
即
＝
＋ ＝
(6分)
令
z＝－
2,则
x＝
2
λ
,
y＝
2
－λ
,
所以
n＝
(2
λ
,2
－λ
,
－
2)
.
又因为直线
AA
1
与平面
APQ
所成的角为45°,
所以
|
cos
>|＝
＋
－
＋ －
＝
＝
,
可得5
λ
2
－
4
λ＝
0
.
又因为
λ
≠0,所以
λ＝.
23
.
(1) 抛物线
x
2
＝
2
py
(
p>
0)
的准线方程为
y＝－
,
已知
M
(
m
,1),由抛
物线定义,知
MF＝
1
＋
,所以1
＋＝
2,即
p＝
2,
所以抛物线的方程为
x
2
＝
4
y.
(2) 因为
y＝x
2
,所以
y'＝x.
设点
E
,
t
≠0,则抛物线在点
E
处的切线方程为
y－
＝t
(
x－t
)
.
令
y＝
0,则
x＝
,即点
P
.
因为
P
,
F
(0,1),所以直线
PF
＋
－
＋
(10分)
(3分)
的方程为
y＝－
－
,即2
x＋ty－t＝
0,则点
E
到直线
PF
的距离为
d＝
＝
＋
.
(5分)
联立方程组
＝消元,得
t
2
y
2
－
(2
t
2
＋
16)
y＋t
2
＝
0
.
＋
－ ＝
因为
Δ＝
(2
t
2
＋
16)
2
－
4
t
4
＝
64(
t
2
＋
4)
>
0,
所以
y
1
＝
＋ ＋
＋
,
y
2
＝
＋ －
＋
,
＋
所以
AB＝y
1
＋
1
＋y
2
＋
1
＝y
1
＋y
2
＋
2
＝
所以△
EAB
的面积为
＋
2
＝
＋
.
(7分)
＋
＋
＋
S＝
×
×
＝
×
.
不妨设
g
(
x
)
＝
＋
(
x>
0),则
g'
(
x
)
＝
＋
(2
x
2
－
4)
.
当
x
∈(0,
)时,
g'
(
x
)
<
0,所以
g
(
x
)在(0,
)上单调递减;
当
x
∈(
,
＋∞
)时,g'
(
x
)
>
0,所以
g
(
x
)在(
,
＋∞
)上单调递增
.
＋
所以当
x＝
时,
g
(
x
)
min
＝
＝
6
.
所以△
EAB
面积的最小值为3
.
江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试
21
.
(1) 因为
ρ＝
8sin
θ
,所以
ρ
2
＝
8
ρ
sin
θ
,
所以
x
2
＋y
2
＝
8
y
,即
x
2
＋
(
y－
4)
2
＝
16
.
(2) 直线
＝
的直角坐标方程为
＝ ＋
y＝x＋
2
.
曲线
C
为圆,则圆心(0,4)到直线的距离为
,
所以
AB＝
2
－
＝
2
.
22
.
(1)
设
M＝
,即
＝
,
－
＝
－
,
解得
a＝
3,
b＝－
,
c＝－
4,
d＝
4,
所以
M＝
－
.
－
(2)
设矩阵
M
的特征多项式为
f
(
λ
),
所以
f
(
λ
)
＝
－
＝
(
λ－
3)(
λ－
4)
－
6
＝λ
2
－
7
λ＋
6,
－
令
f
(
λ
)
＝
0,则
λ
1
＝<
br>1,
λ
2
＝
6
.
所以矩阵
M
的特征值为1和6
.
23
.
(1) 由题意得
＋
3
x＝
1,所以
x＝
,
又
＋
＋y＝
1,所以
y
＝
.
(10分)
(4分)
(6分)
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(2分)
记“甲、乙两人所付的停车费相同”为事件
A
,则
P
(
A
)
＝×＋×＋×＝
,
所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为
.
(2) 设甲、乙两人所付的停
车费用之和为
ζ
,
ζ
可能取得的值为0,1,2,3,4,5,
(4分)
P
(
ζ＝
0)
＝
,
P
(
ζ＝
1)
＝
×
＋
×
＝
,
P
(
ζ＝
2)
＝
×
＋
×
＋
×
＝
,
P
(
ζ＝
3)
＝
×
＋
×
＋
×
＝
,
P
(
ζ＝
4)
＝
×
＋
×
＝
,
P
(
ζ＝
5)
＝
×
＝
.
所以
ζ
的概率分布如下表:
ζ
P
0
1
2
3
4
(8分)
5
所以
E
(
ζ
)
＝
0
×＋
1
×＋
2
×＋
3
×＋
4
×＋
5
×
＝.
(10分)
24
.
(1) 以
A
为坐标原点,建立如图
所示的空间直角坐标系,则
A
(0,0,0),
B
(1,0,0),
C
(1,1,0),
D
(0,2,0),
P
(0,0,1)
.
因为
E
,
F
,
G
分别为
BC
,
PD
,
PC
的中点,
所以
E
,
F
,
G
,
＝
－
,
所以
＝
－ ,
·
所以
＝－－＋＝－
1,
,
所以cos
<
>＝
＝
(2分)
－
＋
＋
＋
＋
＝－
,
即
EF
与
DG
所成角的余弦值为
.
(4分)
(第24题)
(2) 设平面
PBC
的法向量为
n＝
(
x
,y
,
z
),因为
＝
(0,1,0),
＝
(1,0,
－
1),
由于
n
⊥
,
n
⊥
,
所以
＝
令
＝
x＝
1,
－
所以
n＝
(1,0,1),
则
∥
n.
设
M
(
x
1
,
y
1
,
z
1
),
N
(
x
2
,
y
2
,
z
2
),
所以
－
＝
－
①
－
＝
因为点
M
,
N
分别是线段
EF
,
DG
上的点,
所以
＝λ
,
＝t
,
λ
∈R,
t
∈R
.
因为
＝
－
－
,
所以
＝
(
x
2
,
y
2
－
2,
z
2
),
所以
－ ＝－
＝
－
＝
且
－ ＝－
＝
＝
所以
y
2
－y
1
＝－
t－
λ＋
,
x
2
－x
1
＝
t＋λ－
1,
z
2
－z
1
＝
t－
λ
,
将上式代入
①
,得
－
－
＋
＝
＝
解得
＋ － ＝
－
＝
所以点
M
,
N
的坐标分别为
M
,
N
.
江苏省苏州市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A
.
由切割线定理得
FG
2
＝FA
·
FD.
又
EF＝FG
,所以
EF
2
＝FA
·
FD
,
所以
＝
.
因为∠
EFA＝
∠
DFE
,
所以△
DEF
∽△
EAF
,
故∠
FED＝
∠
FAE.
(6分)
(8分)
(10分)
(2分)
(5分)
(8分)
因为∠
FAE＝
∠
BCD
,
所以∠
FED＝
∠
BCD
,
所以
EF
∥
CB.
B
.
因为
|A|＝
2
×
3
－
1
×
1
＝
5,
所以
A
－
1
＝
－
.
－
由
AC＝B
,得(
A
－
1
A
)
C＝A
－<
br>1
B
,
所以
C＝A
－
1
B
＝
－
－
－
＝
.
－
－
C
.
因为曲线
C
的极坐标方程为
ρ
sin
2
θ－
4cos
θ＝
0,所以
ρ
2
sin
2
θ＝
4
ρ
cos
θ
,
即曲线
C<
br>的直角坐标方程为
y
2
＝
4
x.
将直线
l
的参数方程
＝ －
代入抛物线方程
y
2
＝ ＋
＝
4
x
,
得 ＋
－
＝
4
,即
t
2
＋
8
t＝
0,
解得
t
1
＝
0,
t
2
＝－
8
.
所以
AB＝|t
1
－t
2
|＝
8
.
D
.
因为
a
,
b
,
x
,
y
都是正数,
所以(
ax＋by
)(
bx＋ay
)
＝ab
(
x
2
＋y
2
)
＋xy
(
a
2
＋b<
br>2
)
≥
ab
·2
xy＋xy
(
a
2
＋b
2
)
＝
(
a＋b
)
2
xy
,
又因为
a＋b＝
1,
所以(
ax＋by
)(
bx＋ay
)≥
xy
,
当且仅当
x＝y
时等号成立
.
22
.
(1) 依题意,随机变量
ξ
的可能取值是2,3,4,5,6
.
因为
P
(
ξ＝
2)
＝
＝
,
P
(
ξ＝
3)
＝
＝
,
P
(
ξ＝
4)
＝
＋
＝
,
(10分)
(2分)
(6分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(4分)
(7分)
(9分)
(10分)
(2分)
(3分)
(4分)
(5分)
P
(
ξ＝
5)
＝
P
(
ξ＝
6)
＝
＝
,
(6分)
(7分)
＝
,
所以当
ξ＝
4时,其发生的概率最大,最大值为
.
(2)
由(1)知
E
(
ξ
)
＝
2
×＋
3
×＋
4
×＋
5
×＋
6
×
所以随机变量
ξ<
br>的数学期望为
.
＝
,
(8分)
(10分)
＝t
＋
(1
－t
)
(
t
∈R),可知点
C
的轨迹是
M
,
N
两
点所在的直线,所以点
C
的轨迹方程为
y＋
323
.
(1) 由
－ －
＝
(
x－
1),即
y＝x－
4
.
(2分)
联立
＝ －
消去
y
,化简得
x
2
－
12
x＋
16
＝
0,
＝
(3分)
设点
C
的轨迹与抛物线
y
2<
br>＝
4
x
的交点坐标分别为
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
所以
x
1
＋x
2
＝
12,x
1
x
2
＝
16,
y
1
y
2
＝
(
x
1
－
4)(
x
2
－4)
＝x
1
x
2
－
4(
x
1
＋x
2
)
＋
16
＝－
16,
因为
·
＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝
16
－
16
＝
0,所以
OA
⊥
OB.
(2) 假设存在这样的点
P
,并
设
AB
是过抛物线的弦,其方程为
x＝ny＋m
,
代入
y
2
＝
4
x
,得
y
2
－
4
ny－
4
m＝
0,
此时
y
1
＋y
2＝
4
n
,
y
1
y
2
＝－
4<
br>m
,
所以
k
OA
k
OB
＝
·
＝－
＝－
1,所以
(5分)
(6分)
＝
·
＝
m＝
4(定值),
(8分) 故存在这样的点
P
(4,0)满足题意
.
设
AB
的中点为
T
(
x
,
y
),
则
y＝
(
y
1
＋y
2
)
＝
2
n
,
x＝
(
x
1
＋x
2
)<
br>＝
(
ny
1
＋
4
＋ny
2
＋
4)
＝
(
y
1
＋y
2
)
＋
4<
br>＝
2
n
2
＋
4,
消去
n
,得y
2
＝
2
x－
8
.
所以圆心的轨迹方程为y
2
＝
2
x－
8
.
(10分)
江苏省苏北四市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A. 连
接
CD
,因为
D
为弧
BC
的中点,所以∠
DBC＝
∠
DAB
,
DC＝DB.
因为
AB
为半圆
O
的直径,
所以∠
ADB＝
90°,
又
E
为
BC
的中点,所以
EC＝EB
,
所以
DE
⊥
BC
,所以△
ABD
∽△
BDE
,
所以
＝＝
,
<
br>所以
AB
·
BC＝
2
AD
·
BD.
B. 由条件知,
Aα＝
2
α
,
即
＝
2 ,
－
＋
－ ＋
＝
,
(10分)
即
(6分)
所以
＋ ＝ ＝
解得
－
＋ ＝
＝
(10分)
(5分)
(10分)
＋
27
abc
≥2
＝
18,
所以
a
,
b
的值分别为2,4
.
C.
由题意知直线
l
的直角坐标方程为
x－y＋m＝
0,圆
C
的
普通方程为(
x－
1)
2
＋
(
y＋
2)
2
＝
9,
圆心
C
到直线
l
的距离
d＝
－ － ＋
＝
,解得
m＝－
1或
m＝－
5
.
D
.
因为
a>
0,
b>
0,
c>
0,所以
＋
＋
＋
27
abc
≥3
＋
27
abc＝
当且仅当
a＝b＝c＝
时,取“
＝
”,
所以
m＝
18
.
所以不等式
|x＋
1
|－
2
x
即
|x＋
1
|<
2
x＋
18,
所以－
2
x－
18
<
2
x＋18,
解得
x>－
,
所以原不等式的解集为 －
＋
.
(6分)
(10分)
22
.
(1)
设“甲选做D题,且乙、丙都不选做D题”为事件
E.
甲选做D题的概率为
则
P
(
E
)
＝××＝
＝
,乙、丙不选做D题的概率都是
＝
,
.
答:甲选做D题,且乙、丙都不选做D题的概率为
.
(2)
X
的所有可能取值为0,1,2,3
.
(3分)
(4分)
P
(
X＝
0)
＝
－
×
×
＝
,
P
(
X＝
1)
＝
×
＋
－
×
×
－
×
＝
,
P
(
X＝
2)
＝
－
×
×
×
＋
－
×
×
－
＝
P
(
X＝
3)
＝
,
×
×
－
＝
.
所以
X
的概率分布列为
X
0 1 2 3
P
故
E
(
X
)
＝
0
×
＋
1
×
＋
2
×
＋
3
×
＝
.
23
.
(1) (1
＋x
)
2
n－
1<
br>的展开式中含
x
n
的项的系数为
－
, <
br>由(1
＋x
)
n－
1
(1
＋x
)
n
＝
(
－
1
－
＋
－
x＋
…
＋
－
－
x
n
)(
＋
x＋
…
＋
x
n
)可知,
(1
＋x
)
n－
1
(1
＋x
)
n
的展开式中含
x
n
的项的系数为
－ －
－
＋
－
＋
…
＋
－
,
所以
－
－
＋
－
＋
…
＋
－
－
＝
－
.
(2)
当
k
∈N
*
时,
k
＝k
·
－
＝
－ －
＝n
·
－
－
－
－
＝n
－
,
所以
＋
2
＋
…
＋n
＝
＝
＝
＝
＝
－
＝
－
－
＝
＝
－
＝
－
(8分)
－
＝
由(1)知
－
＋
－
－
＋
…
＋
－
－
＝
－
,
即
－
＝
＝
－
－
(8分)
(10分)
(1分)
(4分)
(6分)
所以
＋
2
＋
…
＋n
＝n
－
.
江苏省常州市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A. 如图
,延长
PO
交圆
O
于点
B
,连接
OA
,设
PC＝x
(
x>
0),则由
PC∶PO＝
1
∶3,得
PO＝
3
x
,
则
PB＝
5
x.
因为
PA
是圆
O
的切线,
所以
PA
2
＝PC
·
PB
,
即(2
)
2
＝x
·5
x
,解得
x＝
2
.
所以
OA＝OC＝
4
.
因为
PA
是圆
O
的切线,
所以
OA
⊥
PA.
又
CD
⊥
PA
,则
OA
∥
CD
,
因此,
＝
＝
.
又
OA＝
4,所以
CD＝
.
(第21－A题)
B
.
由
A＝
,
得
A
－
1
＝
－
.
－
由
AX＝B
,得
X＝A
－
1
B＝
－
＝
－
.
(也可由
AX＝B
得到
＋ ＝
＝
,所以
解得
＝
＋ ＝ ＝
所以
X＝
,也得5分)
(10分)
(5分)
(10分)
(5分)
(10分)
C. 圆
ρ＝
4sin ＋
的直角坐标方程为(
x－
1)
2
＋
(
y－
)
2
＝
4,射线
θ＝θ
0
的直角坐标方程可以设
为
y＝
kx
(
x
≥0,
k>
0),
圆心(1,
)到直线
y＝kx
的距离
d＝
－
＋
.
根据题意,得2
－
－
＋
＝
2
,解得
k＝
.
即tan
θ
0
＝
.
又
θ
0
∈
,所以
θ
0
＝
.
D
.
方法一:根据柯西不等式,得[(2
x
)
2
＋y
2
](1
2
＋
1
2
)≥(2
x＋y<
br>)
2
,
化简得4
x
2
＋y
2
≥18,
当且仅当2
x＝y＝
3,即
x＝
,
y＝
3时取等号
.
因此,当
x＝
,
y＝
3时,4
x
2
＋y
2
取
得最小值18
.
方法二:由2
x＋y＝
6,得
y＝
6
－
2
x
,
由
x>
0,
y>
0,得0
因
此,4
x
2
＋y
2
＝
4
x
2
＋<
br>(6
－
2
x
)
2
＝
8
x
2
－
24
x＋
36
＝
－
＋
18
.
当
x＝
,
y＝
3时,4
x
2
＋y
2
取得最小值18.
22
.
(1) 根据条件,可得
B
(
a
,
a
,0),
C
(
－a
,
a
,0
),
D
(
－a
,
－a
,0),
V
(0,0
,
h
),
E
－
,
所以
＝
－
－
,
＝
.
故cos
<
,
>＝
－
＋
.
又因为cos
<
,
>＝－
,
则
－
＋
＝－
,解得
＝
.
(2) 由
＝
,
可得
＝
－
－
,
＝
,
易得
＝
(2
a
,0,0),
＝
(0,2
a
,0)
.
(3分)
(6分)
(9分)
(10分)
(5分)
(10分)
(5分)
(10分)
(1分)
(3分)
(4分)
设平面
BVC
的一个法向量为
n
1
＝
(x
1
,
y
1
,
z
1
),则
＝
＝
－
－
＋
＝
即
＝
＝
＝
则
取
y
1
＝3,
z
1
＝
2,则
n
1
＝
(0,3,
2),
同理可得平面
DVC
的一个法向量为
n
2
＝
(
－
3,0,2),
cos
,
n
2
>＝
－ ＋
＋
＝＝
,
(6分)
(8分)
结合图形,可以知道二面角
B
－
VC
－
D
的余弦值为
－.
(10分)
＋
23
.
(1)
－
＋
…
＋
＝
＋
.
(3分)
考察等式
＋
＋ ＋
＝
－
＋
＝
－
－
＋ ＋
＝
＝ ＝ ＝
－
而等式右边的常数项为
所以
－
＝
当且仅当 ＝ 时
－
为常数 即等式左边常数项为
＝ ＝
江苏省镇江市2017届高三第一次模拟考试
21
.
A.
连接
AE
,
EB
,
OE
,
由题意知∠
AOE＝
∠
BOE＝
90°
.
因为∠
APE
是圆周角,∠
AOE
是同弧上的圆心角,
所以∠
APE＝
∠
AOE＝
45°
.
同理可得,∠
BPE＝
∠
BOE＝
45°,
所以
PE
是∠
APB
的平分线
.
又
PC
是∠
APB
的平分线,
所以
PC
与
PE
重合,
所以直线
PC
经过点
E.
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
B. 设直线
x－y－
1
＝
0上任意一点
P
(
x
,
y
)在变换
T
A
的作用下变成点<
br>P'
(
x'
,
y'
),
由
－
＝
,
得
＝－ ＋
＝ ＋
因为
P'
(
x'
,
y'
)在直线
x－y－
1<
br>＝
0上,
所以
x'－y'－
1
＝
0,即(
－
1
－b
)
x＋
(
a－
3)
y－
1
＝
0,
又因为
P
(
x
,
y
)
在直线
x－y－
1
＝
0上,所以
x－y－
1
＝0
.
因此
－ － ＝
－ ＝－
解得
a＝
2,
b＝－
2
.
C. 圆ρ＝
2cos
θ
的直角坐标方程为
x
2
＋y
2
＝
2
x
,
即(
x－
1)
2
＋y
2
＝
1,圆心为(1,0);
直线2
ρ
sin
＋
＝
1的直角坐标方程为2
＋
＝
1,
即
x＋y－
1
＝
0
.
故圆心到直线的距离为
d＝
－
＝
－
.
D
.
因为
a>
0,
b>
0,由均值不等式知
a
2
＋b
2
＋ab<
br>≥3
＝
3
ab
,
ab
2
＋a
2
b＋
1≥3
＝
3
ab
,
两式相乘可得(
a2
＋b
2
＋ab
)(
ab
2
＋a
2<
br>b＋
1)≥9
a
2
b
2
.
22
.
(1) 以{
,
,
}为正交基底建立空间直角坐标系
A
－
xyz
,
可得B
(1,0,0),
C
(2,2,0),
D
(0,2,0),<
br>P
(0,0,2),
由
E
为棱
PC
的中点,得
E
(1,1,1),
故
＝
(0,1,1),
＝
(
－
1,2,0),
＝
(1,0,
－
2),
设
n＝
(<
br>x
,
y
,
z
)为平面
PBD
的一个法向量,
则
n
⊥
,
n
⊥
,
即
－ ＋ ＝
不妨令
－ ＝
y＝
1,
可得
n＝
(2,1,1)为平面
PBD
的一个法向量,(3分)
于是cos
>＝
＝
＝
.
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(1分)
(4分)
所以直线
BE
与平面
PBD
所成
角的正弦值为
.
(2)
＝
(1,2,0),
＝
(
－
2,
－
2,2),
＝
(2,2,0),
＝
(1,0,0),
由点
F
在棱
PC
上,可设
＝λ
,0≤
λ
≤1,故
＝
＋
＝
＋λ
＝(1
－
2
λ
,2
－
2
λ
,2
λ
),
由
BF
⊥
AC
,得
·
＝
0,
因此2(1
－
2
λ
)
＋
2(2
－
2
λ
)
＝<
br>0,
解得
λ＝
,
即
＝
－
,
设
n
1
＝
(
x
,
y
,
z
)为平面
FAB
的法向量,则
n
1
·
＝
0,
n
1
·
＝
0,
即
＝
－
＋
＋
＝
不妨令
z＝
1,可得
n
1
＝
(0,
－
3,1)为平面<
br>FAB
的一个法向量,
取平面
ABP
的法向量
n
2
＝
(0,1,0),
则cos
,
n
2
>＝
＝－
,
即sin
,
n
2
>＝
.
故二面角
F
－
AB
－
P
的正弦值为
.
23
.
(1)
当
n＝
1时,
＋
＝
2
x>
0,解得
x
2
＝
16,
又
x>
0,故
x＝
4是方程的解
.
(2) 假设
x＝
4是
f
k
(
x
)
＝
2
x
的解,即
f
k
(4)
＝
8,则<
br>n＝k＋
1时,
f
k＋
1
(4)
＝
＋
＝
8
＝
2<
br>×
4
.
综合(1),(2)可知
x＝
4是
f
k＋
1
(
x
)
＝
2
x
的解
.
另一方面,当
n＝
1时,
y＝
＝
＋
＝
＋
在(0,
＋∞
)上单调递减;
假设
n＝k
时,
y＝
在(0,
＋∞
)上单调递减,
(5分)
(7分)
(8分)
(9分)
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
则
n＝k＋
1时,
y＝
＋
＝
＋
＝
＋
＝
＋
在(0,
＋∞
)上单调递减,故
n＝k＋
1时,
y
＝
＋
在(0,
＋∞
)上单调递减,
(8分)
所以
y＝
在(0
,
＋∞
)上单调递减,则
＝
2在(0,
＋∞
)上至多一解<
br>.
(10分) 综上,
x＝
4是
f
n
(<
br>x
)
＝
2
x
的唯一解
.
江苏省扬州市2017届高三第一次模拟考试
21
.
由题意得
－ ＝
＝
,
－
－
即
＝
解得
－ ＝－ ＝
,
(5分)
所以
A＝
－ －
所以矩阵
A
的特
征多项式为
f
(
λ
)
＝
＝λ
2
－
8
λ＋
15, 令
f
(
λ
)
＝
0,解得
λ＝
5或
λ＝
3,
－
－
即矩阵
A
的特征值为5和3
.
22
.
将直线
l
的极坐标方程化为直角坐标方程得
y＝x
,
将曲线
C
的参数方程化为普通方程可得
y＝
2
－x
2
(
－
1≤
x
≤1)
.
由
＝
得x
2
＋x－
2
＝
0,解得
x＝
1或
x
＝－
2,又
－
1≤
x
≤1,所以
x＝
1,
(10分)
(2分)
(5分)
＝ －
所以直线
l
与曲线
C
的交点的直角坐标为(1,1)
.
(注:结果多一解的扣2分)
(10分)
23
.
(1) 甲、
乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有4
3
＝
64种不同的选法,记“甲、乙、丙
三人选择的课
程互不相同”为事件
M
,事件
M
共包含
＝
24个基本事件,则
P
(
M
)
＝互不相同的概率为
.
(2)
方法一:
X
可能的取值为0,1,2,3,
＝
,所以甲、乙、丙三人选择的课程
(3分)
(4分)
＝
,
P
(
X＝
3)
＝
＝
.
P
(
X＝
0)
＝
＝
,
P
(
X＝
1)
＝
＝
,
P
(
X＝
2)
＝
(8分)
所以
X
的分布列为
X
0
1
2
3
P
＝.
所以
X
的数学期望
E
(
X
)
＝
0
×＋
1
×＋
2
×＋
3
×
(10分)
方法
二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,
X
为甲、乙、丙三人
中选修
《数学史》的人数,则
X~B
,所以
P
(
X＝k
)
＝
所以
X
的分布列为
X
P
－
,
k＝
0,1,2,3,
0
1
2
3
所以
X
的数学期望
E
(
X
)
＝
3
×＝.
x
0
＋
(
－
1)
1
x
1
＋
…
＋
(
－
1)
n
x
n
＝
(1
－x
)
n
,
24
.
(1) 因为
f
i
(
x
)
＝x<
br>i
(
i
∈N),所以
F
n
(
x
)<
br>＝
(
－
1)
0
(10分)
所以
F
2
(1)
＝
0, (1分)
(3分)
F
2
017
(2)
＝
(1
－
2)
2
017
＝－
1
.
(2)
因为
f
i
(
x
)
＝
＋
(
x>
0,
i
∈N),
＋ －
＋ ＋ －
＝
所以
＝ －
－
＝
＋
∈
①
当 ＝ 时
＝ －
＝
＋
＝ －
＋
＝
＋
所以 ＝
时结论成立 分
＝ ∈
时结论成立
即
＝ －
＝
＋
＝
＋ ＋ ＋
则当 ＝ ＋ 时
＋
＝ －
＋
＝
＋
＋
＝ ＋
－
＋
＝
＋
＋
－
＋
＋
＋
＋ ＋
＝ ＋
－
－
＋
＝
＋
＋
－
＋
＋
＋
＋ ＋
＝
－
＝
＋
＋
②
＋
假设当
－
－
＝
＋
＋
＝
－
－
－
－
＝
＋
＝
－
－
＝
＋ ＋
＝
＋
－ －
＝
＋ ＋
＋
＝
－
＋
＋
＝
＋ ＋ ＋
－
＋ ＋ ＋ ＋
＋
＝
＋ ＋
－
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝
＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
论也成立
.
综合
①②
可知,
F
n(
x
)
＝
＋ ＋ ＋
(
n
∈N
*
)
.
江苏省南京
市、盐城市、连云港市
所以当
n＝k＋
1时,结
(10分)
2017届高三第二次模拟考试
21
.
A.
(1) 因为
BC
是圆
O
的切线,故由切割线定理得
BC
2
＝BM
·
BA.
设
AM＝t
,因为
AB＝
8,
BC＝
4,
所以4
2
＝
8(8
－t
),解得
t＝
6,
即线段
AM
的长为6
.
(2) 因为四边形
AM
NC
为圆内接四边形,所以∠
A＝
∠
MNB.
又因为∠
B＝
∠
B
,
所以△
BMN
∽△
BCA
,
所以
＝
.
因为
AB＝
2
AC
,
所以
BN＝
2
MN.
B. 方法一:在直线
l<
br>:
ax＋y－
7
＝
0上取点
A
(0,7),
B
(1,7
－a
)
.
因为
－
＝
,
－
－
＝
－ －
,
所以
A
(0,7),
B
(1,7
－a
)在矩阵
A
对应的变换作用下分别得到点
A'
(0,7
b
),
B'
(3,
b
(7
－a<
br>)
－
1)
.
由题意知
A'
,
B'
在
直线
l'
:9
x＋y－
91
＝
0上,
所以
－ ＝
＋ － － － ＝
解得
a＝
2,
b＝
13
.
方法二:设直
线
l
上任意一点
P
(
x
,
y
),点
P
在矩阵
A
对应的变换作用下得到点
Q
(
x'
,
y'
)
.
因为
－
＝
,
所以
＝
＝－ ＋
又因为点
Q
(
x'
,
y'
)在直线
l'
上,
所以9
x'＋y'－
91
＝
0,
即27
x＋(
－x＋by
)
－
91
＝
0,
所以26
x＋by－
91
＝
0
.
又点
P
(
x
,
y
)在直线
l
上,
所以有
ax＋y－
7
＝
0,
所以
＝
－
＝
－
,
解得
a＝
2,
b＝
13
.
C. 方法一
:直线
l
的参数方程化为普通方程得4
x－
3
y＝
4, <
br>将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
2
＝
4
x.
联立方程组
－ ＝
＝
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(4分)
解得
＝
或
＝
＝
＝－
所以
A
(4,4),
B
－ ,
所以
AB＝
－
＋
＋
＝
.
(10分)
方法二:将曲线
C
的参数方程化为普通方程得
y
2
＝
4
x.
直线
l
的参数方程代入抛物线
C
的方程得
＝
4 ＋
,即4
t
2
－
15
t－
25
＝
0,
所以
t
1
＋t
2
＝
,
t
1
t
2
＝－
,
则
AB＝|t
1
－t
2
|＝
＋
－
＝
＋
＝
.
D.
a
4
＋
6
a
2
b
2
＋b
4
－
4
ab
(<
br>a
2
＋b
2
)
＝
(
a
2
＋
b
2
)
2
－
4
ab
(
a
2
＋b
2
)
＋
4
a
2
b
2
＝(
a
2
＋b
2
－
2
ab
)
2
＝
(
a－b
)
4
.
因为
a
≠b
,所以(
a－b
)
4
>
0,
所以
a
4
＋
6
a
2
b
2
＋b
4
>
4
ab
(
a
2
＋b
2
)
.<
br>
22
.
因为四棱柱
ABCD
－
A
1B
1
C
1
D
1
为直四棱柱,所以
A
1
A
⊥平面
ABCD.
又
AE
?平面
AB
CD
,
AD
?平面
ABCD
,所以
A
1
A
⊥
AE
,
A
1
A
⊥
AD.
在菱形
ABCD
中,∠
ABC＝
,则△
ABC
是等边三角形
.
因为
E
是
BC
的中点,所以
BC
⊥
AE.
因为
B
C
∥
AD
,所以
AE
⊥
AD.
以{
,
,
}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则
A
(0,0,0),
C
(
,1,0),D
(0,2,0),
A
1
(0,0,2),
E
(
,0,0),
F
.
(第22题)
(1)
因为
＝
(0,2,0),
＝
－
,所以
·
＝
1,
故cos
<
,
>＝
＝
,
所以异面直线
EF
,
AD
所成角的余弦值为
.
(8分)
(2分)
(6分)
(10分)
(5分)
(10分)
(4分)
(2) 设
M
(
x
,
y
,
z
),由于点
M
在线段
A
1
D
上,且
＝λ
,则
＝λ
<
br>,即(
x
,
y
,
z－
2)
＝λ
(0
,2,
－
2),
则
M
(0,2
λ
,2
－
2
λ
),
＝
(
－
,2
λ－
1,2
－
2
λ
)
.
设
平面
AEF
的法向量为
n＝
(
x
0
,
y<
br>0
,
z
0
)
.
因为
＝
(
,0,0),
＝
,
由
＝
得
＝
＝
＋
＋
＝ 取
y
0
＝
2,则
z
0
＝－
1,平面<
br>AEF
的一个法向量为
n＝
(0,2,
－
1)
.
由于
CM
∥平面
AEF
,则
n
·
＝
0,即2(2
λ－
1)
－
(2
－<
br>2
λ
)
＝
0,解得
λ＝
.
23
.
(1)
由题意知
P
2
＝
＝
,即
P
2
的值为
.
(2)
先排第
n
行,则最大数在第
n
行的概率为
＋
＝
＋
;
去掉第
n
行已经排好的
n
个数,
则余下的
＋
－n＝
－
个数中最大数在第
n－
1行的概率为
－
－
＝
;…
故
P
－
＋
·
·…·
＝
＋
＝
n
＝
＋
.
由于2
n
＝
(1
＋
1)
n
＝
＋
＋
＋
…
＋
≥
＋
＋
>
＋
＝
＋
,
所以
＋
>
＋
＋
,即
P
＋
n
>
＋
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第二次模拟考试
21
.
A. 如图,连接<
br>OC
,由于
l
是圆的切线,故
OC
⊥
l.
因为
AD
⊥
l
,所以
AD
∥
OC.
因为
AB
是圆
O
的直径,
AB＝
6,
BC＝
3,
所以∠
ABC＝
∠
BCO＝
60°,
则∠
DAC＝
∠
ACO＝
90°
－
60°
＝30°
.
(第21－A题)
AC＝
6cos 30°
＝
3
,
DC＝AC
sin 30°
＝
,
DA＝AC
cos 30°
＝
.
(6分)
(8分)
(10分)
(3分)
(5分)
(7分)
(10分)
(2分)
(4分)
(7分)
由切割线定理知,
DC
2
＝DA
·
DE,
所以
DE＝
,则
AE＝
3
.
B. 设
M＝
,
＋
＋
(9分)
(10分)
M
＝
8
＝
,
M
－
＝
－
＝
－ ＋
－ ＋
, (3分)
＋ ＝
＝
＋ ＝
＝
所以解得
－ ＋ ＝－
＝
－ ＋ ＝
＝
即
M＝
.
(5分)
－ －
(2)
令特征多项式
f
(
λ
)
＝
＝
(
λ－
6)(
λ－
4)
－
8
＝
0,
－ －
解得
λ
1
＝
8,
λ
2
＝
2,
所以矩阵
M
的另一个特征值为2
.
C. (1) 圆O
1
的直角坐标方程为
x
2
＋y
2
＝
4,
①
由
ρ
2
－
2
ρ
cos －
＝
2,
得
ρ
2
－
2
ρ
(cos
θ＋
sin
θ
)
＝
2,
即
x
2
＋y
2
－
2(
x＋y
)
＝
2,
故圆
O
2
的直角坐标方程为
x
2
＋y
2
－
2
x－
2
y－
2
＝
0
. ②
(2) 由(1)知
②－①
,得经过两圆交点的直线方程为
x＋y－
1
＝
0,
该直线的极坐标方程为
ρ
cos
θ＋ρ
sin
θ－
1
＝
0
.
D. 因为(
＋
＋
＋
＋
＋ )
2
≤(1
＋
1
＋
1)(3
a＋
1
＋
3
b＋
1
＋
3
c＋
1),
由于
a＋b＋c＝
3,
故
＋
＋
＋
＋
＋ ≤6,
当且仅当
a＝b＝c＝
1时,
＋
＋
＋
＋
＋ 取得最大值6
.
(8分)
(10分)
(3分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(7分)
(10分)
22
.
(1) 设
AC
,
BD
交于点
O
,在正四棱锥
P
－
ABCD
中,
OP
⊥平面
ABCD.
又
PA＝AB＝
2,所以
OP＝
.
以点
,
分别为
x
轴、
y
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
O
－
xyz.
O
为坐标原点, (1分)
(第22题)
则
A
(1,
－
1,0)
,
B
(1,1,0),
C
(
－
1,1,0),
D<
br>(
－
1,
－
1,0),
P
(0,0,
)
.
故
＝
＋
＝
＋
＝
－
,
＝
＝
,
所以
＝
－
,
＝
(
－
1,1,
－
),
cos
<
,
>＝
＝
,
所以
MN
与
PC
所成角的大小为
.
(2) 由(1)知
＝
(
－
1,1,
－
),
＝
(2,0,0),
＝
－
.
设
m＝
(
x<
br>,
y
,
z
)是平面
PCB
的一个法向量,则
m
·
＝
0,
m
·
＝
0,
得
－ ＋ －
＝
＝
令
x＝
0,
y＝
,
z＝
1,
则
m＝
(0,
,1)
.
设
n＝
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)是平面
PCN
的法向量,则
n
·
＝
0,
n
·
＝
0,
得
－
＋
－
＝
－
＋
＝
令
x
1
＝
2,
y
1
＝
4,
z
1<
br>＝
,
则
n＝
(2,4,
),
因为cos
n>＝
＝
＝
,
(3分)
(5分)
(7分)
(9分)
<
br>所以二面角
N
－
PC
－
B
的余弦值为
.
23
.
(1)
因为
a
n
＝
sin
tan
n
θ.
当
n
为偶数时,设
n＝<
br>2
k
,
a
n
＝a
2
k
＝
s
in
·tan
2
k
θ＝
sin
k
π·tan
2
k
θ＝
0,
a
n
＝
0
.
当
n
为奇数时,设
n＝
2
k－<
br>1,
a
－
n
＝a
2
k－
1
＝
sin
·tan
n
θ＝
sin －
·tan
n
θ.
当
k＝
2
m
,
m
∈N
*
时,
a
n
＝a
2
k－
1
＝
sin －
·tan
n
θ＝
sin －
·tan
n
θ＝－
tan
n
θ
,
此时
－
－
＝
2
m－
1 ,
a
n
＝a
2
k－
1
＝－
tan
n
θ＝
(－
1)
2
m－
1
·tan
n
θ＝
(<
br>－
1
·tan
n
θ.
当
k＝
2
m－
1,
m
∈N
*
时,
a
n<
br>＝a
2
k－
1
＝
sin －
·tan
n
θ＝
sin －
·tan
n
θ＝
tan
n
θ
,
－
－
此时
＝
2
m－
2,
a
n
＝a
2
k－
1
＝
tan
n
θ＝
(
－
1)
2
m－
2
·tan
n
θ＝
(
－
1
tan
n
θ.
－
综上,
当
n
为偶数时,
a
n
＝
0;当
n
为奇数时
,
a
n
＝
－
tan
n
θ.
(2) 当
n＝
1时,由(1)得
S
2
＝a
1
＋a
2
＝
tan
θ
,
sin 2
θ
[1
＋
(
－
1)
n＋
1
tan
2
n
θ
]
＝
sin 2
θ
·(1
＋
tan<
br>2
θ
)
＝
sin
θ
·cos
θ
·
＝
tan
θ
,
故当
n＝
1时,命题成立
.
假设当
n＝k
时命题成立,即
S
2
k
＝
sin 2
θ
·[1
＋
(
－
1)
k＋
1
tan
2
k
θ
]
.
则当
n＝k＋
1时,由(1)得
S
2(
k＋
1)
＝S
2
k
＋a
2
k＋
1
＋a
2<
br>k＋
2
＝S
2
k
＋a
2
k＋
1
＝
sin 2
θ
·[1
＋
(
－
1)
k＋
1
tan
2
k
θ
]
＋
(
－
1)
k
tan
2
k＋
1<
br>θ
＝
sin 2
θ
·1
＋<
br>(
－
1)
k＋
1
tan
2
k
θ＋<
br>(
－
1)
k
·
tan
2
k＋
1
θ
＝
sin 2
θ
·1
＋
(
－
1)
k＋
2
tan
2
k＋
2
θ
· －
＋
(10分)
(1分)
(2分)
(3分)
(5分)
(6分)
＝
sin 2
θ
·1
＋
(
－
1)
k＋
2
tan
2
k＋
2
θ
· －
＋
＝
sin 2
θ
·[1
＋
(
－
1)
k＋2
·tan
2
k＋
2
θ
],
即当
n＝k＋
1时命题成立
.
综上所述,对任意正整数
n
原命题成立
.
江苏省通、泰、扬、徐、淮、宿2017届
高三第二次模拟考试
21
.
A. 如图,连续
OC.
(第21－A题)
因为∠
ACB＝
∠
ADC<
br>,∠
ABC＝
∠
ADC
,
所以∠
ACB＝
∠
ABC.
因为
OC＝OD
,
所以∠
OCD＝
∠
ADC
,
所以∠
ACB＝
∠
OCD
,
所以△
ABC
∽△
ODC
,
所以
＝
,即
AC
·
CD＝OC
·
BC.
因为
OC＝
AD
,
所以
AD
·
BC＝
2
AC
·
CD.
B.
方法一:设矩阵
A＝
,
则
＝
－ －
,
所以
a＝－
1,2
a＋
6
b＝－
2
,
c＝
0,2
c＋
6
d＝
3
.
解得
b＝
0,
d＝
,
所以
A＝
－
.
(9分)
(10分)
(3分)
(8分)
(10分)
(4分)
(6分)
根据逆矩阵公式得矩阵
A
－
1
＝
－
.
方法二:在
A
＝
－
－
两边同时左乘逆矩阵
A
－
1
得,
＝A
－
1
－ －
.
设
A
－
1
＝
,则
＝
－ －
,
所以
－a＝
1,
－
2
a＋
3
b＝
2,
－c＝
0,
－
2
c＋
3
d＝
6
.
解得
a＝－
1,
b＝
0,
c＝
0,
d＝
2,从而
A
－
1
＝
－
.
C. 方法一:将曲线
＝
(
t
为参数)化为普通方程为
y
2
＝
8
x.
＝
＝－
＋
将直线
(
l
为参数)代入
y
2
＝
8
x
,得
l
2
－
8
＝
l＋
24
＝
0,
解得
l
1
＝
2
,
l
2
＝
6
.
则
|l
1
－l
2
|＝
4
,
所以线段
AB
的长为4
.
方法二:将曲线
＝
(
t为参数)化为普通方程为
y
2
＝
8
x
,
＝
＝－
＋
将直线
(
l
为参数)化为普通方程为
x－y＋
＝
＝
0,
联立
＝
－ ＋
＝
＝
解得
或
＝
＝
＝
所以
AB＝
－
＋ －
＝
4
.
D. 因为
x
,
y
,
z
均为正实数,且
x
yz＝
1,
所以
＋xy
≥
＝
2
yz
,
＋yz
≥
＝
2
xz
,
＋xz
≥
＝
2
xy.
所以
＋
＋
≥
xy＋yz＋zx.
(10分)
(4分)
(6分)
(10分)
(3分)
(6分)
(10分)
(3分)
(6分)
(10分)
(8分)
(10分)
22
.
(1)
设“至少演唱1首原创新曲”为事件
A
,则事件
A
的对立事件
为“没有1首原创新曲被演唱”
.
所以
P
(
A
)
＝
1
－P
(
)
＝
1
－
＝
.
答:该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为
.
(2) 设随机变量
x
表示演唱原创新曲的首数,则
x
的所有可能值
为0,1,2,3
.
依题意,
X＝ax＋
2
a
(
4
－x
),故
X
的所有可能取值依次为8
a
,7
a
,6
a
,5
a.
则
P
(
X＝
8
a
)
＝P
(
x＝
0)
＝
＝
,
P
(
X＝
7
a
)
＝P
(
x＝
1)
＝
＝
,
P
(
X＝
6
a
)
＝P
(
x＝
2)
＝
＝
,
P
(
X＝
5
a
)
＝P
(
x＝
3)
＝
＝
.
从而
X
的概率分布为
X
8
a
7
a
6
a
5
a
P
(8分)
所以
X
的数学期
望
E
(
X
)
＝
8
a×
＋
7
a×
＋
6
a×
＋
5
a×
＝
a.
23
.
(1) 依题意,(1,2,3,4,5,6,7,8,…,
n)经第1次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,
n＋
1),
经第2次变换为(8,12,16,20,24,28,…,
n＋
4),
经第3次变换为(20,28,36,44,52,…,
n＋
12),
所以
b
3,5
＝
52
.
(2)
下面用数学归纳法证明对
m
∈N
*
,
b
m
,
i
＝
＝
＋
其中
i＝
1,2,…,
n.
①
当
m＝
1时,
b
1,
i
＝a
i
＋a
i＋
1
＝
i＝
1,2,…,
n
,结论成立;
＝
＋
,其中
②
假设当
m＝k
(
k
∈N
*
)时,
b
k
,
i
＝
＝
＋
,其中
i＝
1,2,…,
n.
则当
m＝k＋
1时,
b
k＋
1,
i
＝b
k
,
i
＋b
k
,
i＋
1
＝
＋
＝
＋
＝
＋ ＋
＝
＋
－
＝
＋
＋
＝
＋
＝
＋
－
＋a
i＋k＋
1
＝
＋
＋
(4分)
(10分)
(3分)
(5分)
＝
＋
＋
＋
＝
＋
＋
＋
＋ ＋
＋
＋
＝
,
＝
＋
＋
所以结论对
m＝k＋
1时也成立
.
由
①②
知,
m
∈N
*
,
b
m
,
i
＝
i＝
1,2,…,
n.
＝
＋
,其中
南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考
21
.
A. 如图,连接
OA
,因为
OD
⊥
AB
,
OA＝
OB
,所以∠
BOD＝
∠
AOD＝
∠
AOB.
(第21－A题)
又因为∠
ACB＝
∠
AOB
,
所以∠
ACB＝
∠
DOB.
又因为∠
BOP＝<
br>180°
－
∠
DOB
,∠
QCP＝
180°
－
∠
ACB
,
所以∠
BOP＝
∠
QCP
,
所以
B
,
O
,
C
,
Q
四点共圆,
所以∠
OBP＝
∠
CQP.
B.由矩阵
A
属于特征值1的一个特征向量为
α
1
＝
－
,
得
－
＝
－
,
即3
a－b＝
3
. ①
由矩阵
A
属于特征值5的一个特征向量为
α
2
＝
,得
＝
5
,
即
a＋b＝
5
. ②
联立
①②
,解得
＝
＝
即矩阵
A＝
,
(10分)
(5分)
(10分)
(3分)
(6分)
(7分)
根据逆矩阵公式得矩阵
A<
br>的逆矩阵
A
－
1
＝
－
－
.
(10分)
C. 将圆
C
:
ρ＝
2cos ＋
化为直
角坐标方程为
x
2
＋y
2
＝－
2
y
,即<
br>x
2
＋
(
y＋
1)
2
＝
1,
圆心
C
(0,
－
1),半径
r＝
1
.
将直线
l
:
ρ
sin ＋
＝
化为直角坐标方程为
x＋y＝
2
.
－ －
(4分)
(7分)
因为圆心
C
到直线
l
的距离为
d＝＝
,
所以动点
M
到直线
l
的距离的最大值为
D. 因为
x
,
y
,
z
都是正数,所以
＋
同理可得
＋
＋
1
.
(10分)
＝
＋
≥
.
≥,
＋
≥,将上述三个不等式两边分别相加,并除以
2,得
(10分)
＋＋
≥
＋＋.
22
.
在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中,以
AB<
br>所在的直线为
x
轴,
AD
所在的直线为
y
轴,
AA
1
所在的直线为
z
轴
建立如图所示的空间直角坐标系
.
已知
AB＝
2,
AA
1
＝
1,可得<
br>A
(0,0,0),
B
(2,0,0),
F
(1,0,1)<
br>.
又
AD
⊥平面
AA
1
B
1B
,从而
BD
与平面
AA
1
B
1
B<
br>所成的角为∠
DBA＝
30°,由
AB＝
2,
AE
⊥
BD
,得
AE＝
1,
AD＝
,从而易得
E
,
D
.
(2
分)
cos
<
,
>＝
(1) 因为
＝
,
＝
(
－
1,0,1),所以
＝
－
＝－
,
(5分)
所以异面直线
AE
与
BF
所成角的余弦值为
.
(第22题)
(2) 易知平面
AA1
B
1
B
的一个法向量
m＝
(0,1,0),设
n＝
(
x
,
y
,
z
)是平面
BDF的一个法向量,
＝
－
,
因为
＝
(
－
1,0,1)
.
＝
,
n
⊥
得 由
n
⊥
＝
＝
解得
－ ＋
＝
＝
－ ＋ ＝
即
令
x＝
1,则
y＝
,
z＝
1,
即
n＝
,因为cos
n>＝
＝
,
所以平面
BDF
与平面
AA
1
B
1
B
所成的二面角(锐角)的余弦值为
.
(10分)
23
.
(1) 当
n＝
6时,由
a
3
≤
a
2
＋
2,得当
a
2
＝
2时,有2个集合
A
满足条件;当
a
2
＝
3时
,有2
×
2
＝
4个集合
A
满足条件;当
a
2
＝
4时,有3
×
2
＝
6个集合
A<
br>满足条件;当
a
2
＝
5时,有4个集合
A
满足条件,故当
n＝
6时,
满足条件的集合
A
共有16个
.
(2) 因为
a
1
a
3
－a
2
≤2,所以
a
3
－a<
br>2
＝
1或
a
3
－a
2
＝
2
.
(4分)
①
当
a
3
－a
2
＝
1时,由题知1≤
a
1
≤
n－
1
,即从
n－
1个元素中任取2个元素的组合数
②
当
a<
br>3
－a
2
＝
2时,由题知1≤
a
1
≤
n－
2,即从
n－
2个元素中任取2个元素的组合数
综合
①②
可知,总的取法数为
－
;
,
－
－
＋
－
＝
－ －
＋
－ －
＝
(
n－
2)
2
.
江苏省南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试
21
.
A. 如图,连接
BE.
因为
AD
是边
BC
上的
高,
AE
是△
ABC
的外接圆的直径,
所以∠
ABE＝
∠
ADC＝
90°
.
(4分)
(第21－A题)
又因为∠
AEB＝
∠
ACD
,
所以△
ABE
∽△
ADC
,
所以
＝
,
(6分)
(8分)
即
AB
·
AC＝AD
·
AE
,
B. (1) 由题知
AX＝
－
－
＝
.
－
因为
AX＝
,所以
－ ＝
－ ＝
解得
x＝
3,
y＝
0
.
(2)
由(1)知
A＝
,
又
B＝
－
,
所以
AB＝
－
＝
.
设(
AB
)
－
1
＝
,
则
＝
,
即
＋ ＋
＝
,
＋ ＝
所以
＝
解得
a＝
,
b＝－
,
c＝
0,
d＝
,
＋ ＝
＝
即(
AB
)
－
1
＝
－
.
(说明:逆矩阵也可以直接使用公式求解,但要求呈现公式的结构)
C. 由于
ρ<
br>2
＝x
2
＋y
2
,
ρ
cos
θ＝x
,
所以曲线
C
的直角坐标方程为
x
2＋y
2
－
8
x＋
15
＝
0,
即(<
br>x－
4)
2
＋y
2
＝
1,所以曲线
C
是以(4,0)为圆心,1为半径的圆
.
直线
l
的直角坐标方程
为
y＝x
,即
x－y＝
0
.
因为圆心(4,0)到直线
l
的距离
d＝
－
＝
2
>
1,
所以直线
l
与圆相离,
从而
PQ
的最小值为
d－
1
＝
2
－
1
.
D
.
因为
x>0,所以
x
3
＋
2
＝x
3
＋
1
＋
1≥3
＝
3
x
,
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(3分)
(6分)
(8分)
(10分)
当且仅当
x
3
＝
1,即
x＝
1时取“＝
”
.
因为
y
2
＋
1
－<
br>2
y＝
(
y－
1)
2
≥0,所以
y
2
＋
1≥2
y
,
当且仅当
y＝
1时取“
＝
”
.
所以(<
br>x
3
＋
2)
＋
(
y
2
＋
1
)≥3
x＋
2
y
,
即
x
3
＋y
2
＋
3≥3
x＋
2
y
,当且仅当
x＝y＝
1时取“
＝
”
.
22
.
(1)
设
P
(
x
,
y
)为曲线
C
上任意一点,
因为
PS
⊥
l
,垂足为
S
,
又直线l
:
x＝－
1,所以
S
(
－
1,
y<
br>)
.
因为
T
(3,0),所以
＝
(
x
,
y
),
＝
(4,
－y
)
.
又因为
·
＝
0,所以4
x－y
2＝
0,即
y
2
＝
4
x.
所以曲线<
br>C
的方程为
y
2
＝
4
x.
(2)
因为直线
PQ
过点(1,0),
故设直线
PQ
的方程为
x
＝my＋
1,设
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
)
.
联立
＝
＝ ＋
(4分)
(8分)
(10分)
(3分)
消去
x,得
y
2
－
4
my－
4
＝
0, 所以
y
1
＋y
2
＝
4
m
,
y
1
y
2
＝－
4
.
因为
M
为线段
PQ
的中点,
所以点
M
的坐标为
＋
＋
,即
M
(2<
br>m
2
＋
1,2
m
)
.
又因为S
(
－
1,
y
1
),
N
(
－
1,0),
＝
(2
m
2
＋
2,2
m－y
1
),
＝
(
x
2
＋
1,
y
2
)
＝
(
my
2<
br>＋
2,
y
2
)
.
所以
因为(2
m
2
＋
2)
y
2
－
(2
m－y
1
)(
my
2
＋
2)
(7分)
＝
(2
m
2
＋
2)
y
2
－
2
m
2
y
2
＋my
1
y
2
－<
br>4
m＋
2
y
1
＝
2(
y
1
＋y
2
)
＋my
1
y
2
－
4<
br>m
＝
8
m－
4
m－
4
m＝
0,
与
共线
.
所以向量
23
.
(1)
由题意知,当
n＝
2时,数列{
a
n
}共有6项
.
要使得
f
(2)是2的整数倍,则这6项中,只能有0项、2项、4项、6项取1,
故
T
2
＝
＋
＋
＋
＝
2
5
＝
32
.
(10分)
(3分)
(4分)
(2)
由题设易知,
T
n
＝
＋
＋
＋
…
＋
.
当1≤
k
≤
n
,
k
∈N
*
时,
＋
－
＝
＋
＋
－
＋
＝
－
＋
＋
＋
＋
－
＋
＋
－
＋
＝
2
－
＋
＋
＋
＋
－
＋
＝
2(
－
＋
－
)
＋
＋
＋
－
＋
－
＝
3(
－
＋
－
)
＋
＋
－
, (6分)
于是
T
n＋
1
＝
－ －
＋
＋
＋
＋
＋
＋
…
＋
＋
＋
＝
＋
＋
＋
＋
＋
3(
＋
＋
＋
＋
…
＋
＋
)
＋T
n
－
＋T
n
－
＝
2
T
n
＋
3(2
3
n
－T
n
)
＝
3
×
8
n
－T
n
.
(8分)
下面用数学归纳法证明
T
n
＝
[8
n
＋
2(
－
1)n
]
.
当
n＝
1时,
T
1
＝
＋
＝
2
＝
[8
1
＋
2(
－
1)
1
],即
n＝
1
时,命题成立
.
假设当
n＝k
(
k
≥1,
k
∈N
*
)时,命题成立,即
T
k
＝
[8
k
＋
2(
－
1)
k<
br>]
.
则当
n＝k＋
1时,
T
k＋
1
＝
3
×
8
k
－T
k
＝
3
×
8
k
－
[8
k
＋
2(
－
1)
k
]
＝
[9
×
8
k
－
8
k
－
2(
－
1)
k
]
＝
[8
k
＋
1
＋
2(
－
1)
k＋
1
],
即
n＝k＋
1时,命题也成立
.
于是当
n
∈N
*
,有
T
n
＝
[8
n
＋
2
(
－
1)
n
]
.
(10分)
江苏省南通市、泰州市、扬州市2017届高三第三次模拟考
试
21
.
A
.
如图,连接
PA
,
PB
,
CD
,
BC.
(第21－A题)
因为∠
PAB
＝
∠
PCB
,
又点
P
为弧
AB
的中点,
所以∠
PAB＝
∠
PBA
,
所以∠
PCB
＝
∠
PBA.
又∠
DCB
＝
∠
DPB
,
所以∠
PFE
＝
∠
PBA＋
∠
DPB
＝
∠
PCB＋
∠
DCB
＝
∠
PCD
,
所以
E
,
F
,<
br>D
,
C
四点共圆
.
所以
PE
·
PC＝PF
·
PD.
(4分)
(10分)
B. 由题意,
－
－
－
＝
,
－
即
－ ＝－
－ － ＝－
解得
a＝
2,
b＝
4,
所以矩阵
M＝
－
.
矩阵
M
的特征多项式为
f
(
λ
)
＝
－ －
＝λ
2
6
－
－
5
λ＋.
令
f
(
λ
)
＝
0,得
λ
1
＝2,
λ
2
＝
3,
所以矩阵
M
的特征值为2和3
.
C.
方法一:因为圆心
C
在极轴上且过极点,
所以设圆
C
的极坐标方程为
ρ＝a
cos
θ
,
又因为点
在圆
C
上,
所以3
＝a
cos
,解得
a＝
6,
所以圆
C
的极坐标方程为
ρ
＝6cos
θ.
方法二:点
的直角坐标为(3,3),因为圆
C
过点(0,0),(3,3),
所以圆心
C
在直线为
x＋y－
3
＝
0上
.
又圆心
C
在极轴上,
所以圆
C
的直角坐标方程为(
x－
3)
2
＋y
2
＝
9,
所以圆
C
的极坐标方程为
ρ
＝6cos
θ.
D. 因为
a
,
b
,
c
,
d
是正
实数,且
abcd＝
1, 则
a
5
＋b＋c＋d
≥4
＝
4
a.
同理,
b
5
＋c＋d＋a
≥4
b
,
②
c
5
＋d＋a＋b
≥4
c
,
③
d
5
＋a＋b＋c
≥4
d
,
④
将
①②③④
式相加并整理,即得
a
5
＋b5
＋c
5
＋d
5
≥
a＋b＋c＋d.
22
.
(1) 以点
D
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标
系
D
－
xyz
,
(5分)
(10分)
(4分)
(10分)
(6分)
(10分)
(4分)
(10分)
①
(第22题)
则
D
(0,0,0),
B
(2,2,0),
C
(0
,1,0),
S
(0,0,2),
A
(2,0,0),
所以
＝
(2,2,
－
2),
＝
(0,1,
－
2),
＝
(0,0,2)
.
设平面
SBC
的法向量为<
br>n
1
＝
(
x
,
y
,
z
),
由
n
1
·
＝
0,
n
1
·
＝
0,
得2
x＋
2
y－
2
z＝
0且
y－
2
z＝
0
.
取
z＝
1,得
x＝－
1,
y＝
2,
所以
n
1
＝
(
－
1,2,1)是平面
SBC
的
一个法向量
.
因为
SD
⊥平面
ABC
,取平面<
br>ABC
的一个法向量
n
2
＝
(0,0,1)
.
设二面角
S<
br>－
BC
－
A
的大小为
θ
,所以
＝
＝
＝
,
由图可知二面角
S
－
BC
－
A
为锐二面角,
所以二面角
S
－
BC
－
A
的余弦值为
.
(2)
由(1)知
E
(1,0,1),则
＝
(2,1,0),
＝
(1,
－
1,1)
.
设
＝λ
(0≤
λ
≤1),则
＝λ
(2,
1,0)
＝
(2
λ
,
λ
,0),
所以
＝
－
＝
(1
－
2
λ
,
－
1
－λ
,1)
.
易知
CD
⊥平面
SAD
,所以
＝
(0,1,0)是平面
SAD
的一个法向量
.
设
PE
与平面
SAD
所成的角为
α
,
所以sin
α＝
＝
＋
＝
,
－ ＋
即
＋
＝
－ ＋
,得
λ＝
或
λ＝
(舍去)
.
所以
＝
,
＝
,
所以线段
CP
的长为
.
23
.
(1)
f
1
(
x
)
＝
f
0
'
(
x
)
＝
＋
＋
'＝
－
＋
,
f<
br>2
(
x
)
＝f
1
'
(
x
)
＝
－
'＝
－ －
.
＋
＋
(2分)
(5分)
(8分)
(10分)
(2分)
(2) 猜想
f
－
－
－
－
n
(
x
)
＝
＋
＋
,
n
∈N
*
.
(4分)
证明如下:
①
当
n＝
1时,由(1)知结论正确
.
②
假设当
n＝k
,
k
∈N
*
时结论正确,
即有
f
k
(
x
)
＝
－
－
－
－
＋
＋
.
当
n＝k＋
1时,
f
k＋
1(
x
)
＝f'
k
(
x
)
－
＝
－
－
－
＋
＋
'
＝
(
－
1)
k－
1
·
a
k－
1
·(
bc－ad
)·<
br>k
! ＋
－ ＋
'
－
＝
－ ＋
＋
＋
,
所以当
n＝k＋
1时结论也成立
.
<
br>由
①②
得对一切
n
∈N
*
结论正确
.
江苏省连云港市、宿迁市、徐州市2017届高三
第三次模拟考试
21
.
A. 如图,连接
AN
,
DN.
(第21－A题)
因为
A
为弧
MN
的中点,
所以∠
ANM＝
∠
ADN.
又∠
NAB＝
∠
NDB
,
所以∠
ANM＋
∠
NAB＝
∠
ADN＋
∠
NDB
,
即∠
BCN＝
∠
ADB.
因为∠
ACN＝
3∠
ADB
,
所以∠
ACN＋<
br>∠
BCN＝
3∠
ADB＋
∠
ADB＝
180°,
所以∠
ADB＝
45°
.
(10分)
(5分)
(10分)
B. 因为
A
＝
＝
＋
＝
,
＋
所以
＋ ＝
解得
＝
＋
＝ ＝
所以
A＝
.
所以矩阵
A
的特征多项式为
f
(
λ
)
＝<
br>
－ －
＝
(
λ－
2)(
λ－
1)
－
6
＝λ
2
－
3
λ－
4,
－ －
令
f
(
λ
)
＝
0,解得矩阵<
br>A
的特征值为
λ
1
＝－
1,
λ
2
＝
4
.
C.
以极点为原点,极轴为
x
轴正半轴,建立平面直角坐标系,
则点
A
的直角坐标为(0,2),直线
l
的直角坐标方程为
x＋y＝
0
.
当
AB
最短时,点
B
为直
线
x－y＋
2
＝
0与直线
l
的交点,
由
－ ＋ ＝
得
＝－
所以点
B
的直角坐标为(
－
1,1)
＋ ＝ ＝
.
所以点
B
的极坐标为
.
D. 因为
a
3
＋b
3
＋c
3
＝a
2
b
2
c
2
≥3
,
所以
abc
≥3,
所以
a＋b＋c
≥3
≥3
,
当且仅当
a＝b＝c＝
时,取“
＝
”
.
22
.
(1) 因为直线y＝n
与
x＝－
1垂直,所以
MP
为点
P
到直
线
x＝－
1的距离
.
连接
PF
,因为
P
为线段
MF
的中垂线与直线
y＝n
的交点,所以
MP＝PF
.
所以点
P
的轨迹是抛物线,
焦点为
F
(1,0),准线为
x＝－
1
.
所以轨迹
E
的方程为
y
2
＝
4
x.
(2) 由题意,过点
M
(
－
1,
n
)的切线斜率
存在,设切线方程为
y－n＝k
(
x＋
1),
联立
＝
＋ ＋
得4
ky
2
－y＋
4
k＋
4
n＝
0,
＝
所以
Δ
1
＝
16
－
4
k
(4
k＋
4
n
)
＝
0,
即
k
2
＋nk－
1
＝
0,(
*
)
(5分)
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
(5分)
(10分)
(2分)
(5分)
(8分)
因为
Δ
2
＝n
2
＋
4
>
0
,所以方程(
*
)存在两个不相等的实数根,设为
k
1
,
k
2
,
因为
k
1
·
k
2
＝－
1,所以∠
AMB＝
90°,为定值
.
23
.
(1)
f
(2)
＝
1,
f
(3)
＝
6,
f
(4)
＝
25
.
(2) 方法一:设集合A
中有
k
个元素,
k＝
1,2,3,…,
n－
1
.
则与集合
A
互斥的非空子集有2
n－k
－
1个,
－ －
于是 ＝
－
－ ＝
－
－
－
分
＝
＝ ＝
－
因为
－
＝
－
－
－
＝ ＋
－
－ ＝
－
－
＝ ＝
－
＝
－
－
＝
－
＝ ＝
所以
f
(
n
)
＝
[(3
n－
2
n
－
1)
－
(2
n
－
2
)]
＝
(3
n
－
2
n＋
1
＋
1)
.
方法二:任意一个元素只能在集合
A
,
B
,
C＝
?
U
(
A
∪
B
)之一中,
则这
n
个元素在集合
A
,
B
,
C
中,共有3
n
种;
其中
A
为空集的种数为2
n
,
B
为空集的种数为2
n
,
所以
A
,
B
均为非空子集的种数为3
n
－
2·2
n
＋
1
.
又(
A
,
B
)与(
B
,
A
)为同一组“互斥子集”,
所以
f
(
n
)
＝
(3
n
－
2
n＋
1
＋
1)
.
江苏省苏锡常镇2017届高三第三次模拟考试
21
.
A. 连接
OD
,设圆的半径为
R
,
BE＝x
,则
OD＝R
,
DE＝
2
BE＝
2
x.
在Rt△
ODE
中,因为
DC
⊥
OB
,
所以
OD
2
＝OC
·
OE
,
即
R
2
＝OC
·(
R＋x
),
①
又直线
DE
切圆
O
于点
D
,
则
DE
2
＝BE
·
AE
,
即4
x
2
＝x
·(2
R＋x
),
②
所以
x＝
,代入
①
,得
R
2
＝OC
· ＋
,解得
OC＝
,
所以
BC＝OB－OC＝R－
＝
,
所以2
OC＝
3
BC.
B. 由题知,
－
＝
－
＝－
1·
＝
－
－ ＝－
－
－
?
－ ＝
(10分)
(2分)
(4分)
(6分)
(10分)
(6分)
(8分)
(10分)
(2分)
(6分)
(8分)
(10分)
(4分)
所以
a＝
2,
b＝
2,
M＝
.
det(
M
)
＝
＝
1
×
2
－
2
×
3
＝－
4,
＝
－
所以
M
－
1
.
－
C.
将曲线
C
1
的参数方程化为普通方程得(
x－
)
2
＋
(
y－
3)
2
＝
4,
由
ρ
sin ＋
＝a
,得
ρ
sin
θ＋
ρ
cos
θ＝a
,所以曲线
C
2
的直角坐标方程为
x＋y－
2
a＝
0,
所以曲线
C
＋ －
1
的圆心到直线
C
2
的距离为
d＝
＝
2,
＋
所以
|a－
3
|＝
2,所以a＝
1或
a＝
5
.
D.
方法一:因为
a＋
≥2
b
,
b＋
≥2
c
,
c＋
≥2
a
,
所以
a＋
＋b＋
＋c＋
≥2
a＋
2
b＋
2
c
,
所以
＋
＋
≥
a＋b＋c.
方法二:因为(
a＋b＋c
)
＋
＋
≥(
b＋c＋a
)
2
,
所以
＋
＋
≥
a＋b＋c.
22
.
(1)
设“在一局游戏中得3分”为事件
A
,
则
P
(
A
)
＝
＝
.
答:在一局游戏中得3分的概率为
.
(2)
X
的所有可能取值为1,2,3,4
.
在一局游戏中得
＋
2分的概率为
＝
,
P
(
X＝
1)
＝
＝
;
P
(
X＝
2)
＝
×
＝
;
(6分)
(8分)
(10分)
(4分)
(6分)
(8分)
(10分)
(6分)
(10分)
(10分)
(2分)
(3分)
(5分)
P
(
X＝
3)
＝
×
－
×
＝
;
P
(
X＝
4)
＝
×
－
×
＝
.
所以游戏结束时
X
的分布列为
X
P
1
2
3
(8分)
4
所以
E
(
X)
＝
1
×＋
2
×＋
3
×
＋
4
×＝.
(10分)
(1分)
23
.
(1)
f
1
(
x
)
＝
x－
(
x－
1)
＝x－x＋
1
＝
1;
2
22
f
2
(
x
)
＝
x－
(
x－
1)
＋
(
x－
2)
＝x
2
－
2(
x
2
－
2
x＋
1)
＋
(
x
2
－
4
x＋
4)
＝
2;
3
333
f
3
(
x
)
＝
x－
(
x－
1)
＋
(
x－
2)
－
(
x－
3)
(2分)
＝x
3
－
3(<
br>x－
1)
3
＋
3(
x－
2)
3
－<
br>(
x－
3)
3
＝
6
.
(2)
猜测:
f
n
(
x
)
＝n
!,
而
k
＝k
－
－
(3分)
(4分)
－
－ －
－ －
＝
.
－
－
,
n
－
－
＝n＝
,
(5分) 所以
k
＝n
－
用数学归纳法证明结论成立
.
①
当
n＝
1时,<
br>f
1
(
x
)
＝
1,所以结论成立
.
kkk
k
②
假设当
n＝k
时,结论成
立,即
f
k
(
x
)
＝
x－
(
x－
1)
＋
…＋
(
－
1)
(
x－k
)
＝k
!,
＋
当
n＝k＋
1时,
f
k＋
1
(
x
)
＝
＋
x
k＋
1
－
＋
(
x－
1)
k＋
1
＋
…
＋
(－
1)
k＋
1
＋
(
x－k－
1)
k＋
1
＋
＝
＋
x
k＋
1
－
x
k
－
＋
(
x－1)
k
(
x－
1)
＋
…
＋
(
－
1)
k
＋
·(
x－k
)
k
(
x－k
)
＋
(
－
1)
k＋
1
(
x－
1)
k
－
2
＋
(
x－k－
1)
k＋
1
·(
x＝x
[
＋
＋
(
x－<
br>1)
k
＋
…
＋
(
－
1)
k
＋
(
x－k
)
k
]
＋
[
＋ ＋
(
x－
2)
k
＋
…
＋
(
－
1)
k＋
1
·
k
＋
－k
)
k
]
＋
(
－
1)<
br>k＋
1
＋
＋
(
x－k－
1)
k＋
1
－
kk＋<
br>)(
x－k
)
k
]
＋
(
k＋
1)·
[(
x－
1)
k
－
(
x－
2)
＋
…
＋
(
－
1)
k
kk
＝x
[
x－
(
＋
)(
x－
1)
＋
…
＋
(
－
1)(
＋
1
·
－ ＋
k
k
]
＋
(
－
1)
k＋
1
kk
k
·(
x－k
)(
x－k－
1)<
br>k
(
x－k－
1)
＝x
[
x－
(
x－
1)
＋
…
＋
(
－
1)
(
x－k
)]
－x
[
(
x－
＋
1)
k
＋
…
＋
(
－
1)
k－
1
·
－
kk＋
1
· (
x－k
)
k
]＋
(
k＋
1)[(
x－
1)
k
－
(
x－
2)
＋
…
＋
(
－
1)
－
(
x－k
)
k
]
＋x
(
－
1)
k＋
1
(
x－
k－
1)
k
－
(
k＋
1)·(
－
1)
k＋
1
(
x－k－
1)
k
k
kk
kkk－
1
＝x
[
x－
(
x－<
br>1)
＋
…
＋
(
－
1)
·(
x－k
)]
－x
[
(
x－
1)
＋
…
＋
(
－
1)
－
－
k
(
x－k
)
k
＋
(
－
1)
k
(
x－k－
1)]
kk－
1
＋
(
k＋
1)[(
x－
1)
k
－
(
x－
2)
＋
…
＋
(
－
1)
·(
x－k
)
k
＋
(
－
1)
k
(
x－k－
1)
k
]
.
(
*
)
由归纳假设知(
*
)式等于
x
·
k
!
－x
·
k
!
＋
(
k＋
1)·
k
!
＝
(
k＋
1)!,
所以当
n＝k＋
1时,结论也成立
.
综合
①②<
br>,
f
n
(
x
)
＝n
!成立
.
(10分)
江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试
21
.
A. 设半径为
r
,由切割线定理,得
FB
·
FA＝FE
·
FD
,即18
×
42
＝FB×<
br>(
FB＋
2
r
)
.
在△
DOF<
br>中,由勾股定理,得
DF
2
＝OD
2
＋FO
2
,
所以(18
＋
24)
2
＝r
2
＋
(
r＋BF
)
2
.
由以上两式解得
r＝
6
,所以
OE＝
6
.
B. 设曲线
C
上任一点为(
x
,
y
),经过变换
T
变成(x
0
,
y
0
),则
＝
,
(6分)
(4分)
(8分)
(10分)
即
x
0
＝x
,
y
0
＝
y.
又
＋
＝
1,所以
＋y
2
＝
1,即曲线
C
的方程为
＋y
2
＝
1
.
(10分)
(4分)
(8分)
(10分)
C.
由题意得直线
l
的直角坐标方程为
x－
y－
2
＝
0,
圆
C
的直角坐标方程为
x
2
＋y
2
＝r
2
.
则由直线
l
和圆
C
相切,
得
r＝
＋
＝
1
.
D.
因为
a
,
b
,
c
均为正实数,所以由基本不等式,得
＋a
≥2
c
,
＋b
≥2
a
,
＋c
≥2
b.
(4分)
三式相加,得
＋
又
＋
≥
a＋b＋c.
a＋b＋c＝
3,所以
＋
＋
≥3
.
(10分)
22
.
因为平面
PAD<
br>⊥平面
ABCD
,△
PAD
为正三角形,作
AD
边上
的高
PO
,因为平面
PAD
∩平面
ABCD＝AD
,
由面面垂直的性质定理,得
PO
⊥平面
ABCD
,
又四边形ABCD
是矩形,易证
CD
⊥平面
PAD
,则
CD⊥
PD
,
PC＝
,
PD＝
2,故
CD＝
3
.
(2分)
(第22题)
以
AD
的中点
O
为坐标原点,
OA
所在直线为
x
轴,
OP
所在直线为
z
轴,
AD
的垂直平分线为
y
轴,建立如图所
示的空间直角坐标系,则
P
(0,0,
),
A
(1,0,0),
B
(1,3,0),
C
(
－
1,3,0)
,
D
(
－
1,0,0),
连接
AC
交
B
D
于点
N
,因为
PA
∥平面
MBD
,平面
APC
∩平面
MBD＝MN
,
所以
MN
∥
PA<
br>,又
N
是
AC
的中点,
所以
M
是
PC
的中点,则
M
设平面
BDM
的法向量为
n＝
(
x
,
y
,
z
),
－
,
,
, (4分)
＝
(
－
2,
－
3,0),
＝
,
＝
(
－
1,3,
－
),
＝
0,
n
·
＝
0, 则由
n
·
－ － ＝
得
＋＋＝
令
x＝
1,解得
y＝－
,
z＝
,
所以可取
n＝
－
.
(1) 设
PC
与平面
BDM
所成的角为
θ
,则s
in
θ＝
所以直线
PC
与平面
BDM
所成角的正弦值为
＝
,
.
(6
分)
＝
(0,
－
3,0),设平面
BDM
与平面
PAD
所成的锐二面角为
φ
, (2)
平面
PAD
的一个法向量为
则cos
φ＝
＝
,故平面
BDM
与平面
PAD<
br>所成锐二面角的大小为
.
(10分)
23
.
(1)
ξ
5
的概率分布为
ξ
5
P
3
4
则
f
(5)
＝E
(
ξ
5
)
＝
.
ξ
6
的概率分布为
ξ
6
3
P
4
5
则
f
(6)
＝E
(
ξ
6
)＝
.
(2)
方法一:
ξ
n
＝
3,4,5,…,
n－
1,
－
P
(
ξ
n
＝i
)
＝
－
(
i＝
3,4,…,
n－
1)
,
(2分)
(4分)
(6分)
所以 ＝
－
－
＝
＝
－
＝
－
＝
－
－
－ －
＝
－
－
＝
－
＝
－
－ －
＝
－
＝
－
＝
－
＝
－
＝
－
＝
＋
－ ＋
＝
－
＝
＋
－
＝
＋
－ －
＝
＋
－
＝
＝
＋
＝
－ －
＋
－
＝ ＝
＋
＝
＋
－
＋
＝
＋ 分
－
方法二:
ξ
n＝
3,4,5,…,
n－
1,
P
(
ξ
n
＝i
)
＝
－
(
i＝
3,4,…,
n－
1),
－
－
所以 ＝
－
＝
＝
得 ＝ ＝
＝
猜想
f
(
n
)
＝
(
n＋
1)
.
下面用数学归纳法证明
.
证明:
①
当
n＝
4,5,6时猜想显然成立;
(6分)
－
－
即 ＝
＝
－
＝
－
＝ ＋
则
－
＝ ＋
－
当 ＝ ＋ 时
＝ ＋
＝
＋ －
－
＝
＋
＝
＋ －
＋
＝
－
②
假设当
n＝k
(
k
≥4)时猜想成立,
＝
－
＋
＝
－
＋
－
＝
－
＋
＋
＝
－
＋
＝
－
－
＝
－
－
＋
＋
＝
＋
＝
＝
＋
＋
＋
＋
＝
＝
＋
＋
＋
＋
＋
＝
＋ ＋
即
n＝k＋
1时命题也成立
.
综上
①②
,对一切
n
(
n
≥4,
n
∈N
*
)猜想都
成立
.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
21
.
A.
在△
ADB
和△
ABC
中,
因为∠
ABC＝
90
°,
BD
⊥
AC
,∠
A
为公共角,所以△
ADB<
br>∽△
ABC
,
所以∠
ABD＝
∠
C.
在Rt△
BDC
中,因为
E
是
BC
的中点,
所以
ED＝EC
,从而∠
EDC＝
∠
C
,
所以∠
EDC＝
∠
ABD.
B.
设
B＝
,则
B
－
1
B＝
－
＝
,
即
－
－
＝
,
(10分)
－
＝
＝
－
＝
＝
解得故
＝
＝
＝
＝
所以
B＝
,
所以
AB＝
－
＝
－
.
C.
椭圆
C
的普通方程为
x
2
＋＝
1
.
＝ ＋
的参数方程 代入
＝
将直线
lx
2
＋
＝
1,得 ＋
＋
＝
1,即7
t
2
＋
16
t＝
0,解得
t<
br>1
＝
0,
t
2
＝－
,
所以
AB＝|t
1
－t
2
|＝.
D.
因为
|x－
1
|<
,
|y－
2
|<
, <
br>所以
|
2
x＋y－
4
|＝|
2(
x－
1)
＋
(
y－
2)
|
≤2
|x－
1|＋|y－
2
|<
2
×＋＝a.
22
.
(1) 抛物线
C
:
y
2
＝2
px
(
p>
0)的焦点为
,
由点
在直线
l
:
x－y－
2
＝
0上,得
－
0
－
2
＝
0,即
p＝
4,
所以抛物线
C
的方程为
y
2
＝
8
x.
(2) 设
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),线段
PQ<
br>的中点
M
(
x
0
,
y
0
),
因为点
P
和
Q
关于直线
l
对称,
所以直线
l
垂直平分线段
PQ
,
所以直线
PQ<
br>的斜率为
－
1,则可设其方程为
y＝－x＋b.
①
由
＝
＝－ ＋
消去
x
,得
y
2
＋
2
py－
2<
br>pb＝
0
.
(
*
)
因为
P
和<
br>Q
是抛物线
C
上的相异两点,所以
y
1
≠
y
2
,
所以
Δ＝
(2
p
)
2
－<
br>4
×
(
－
2
pb
)
>
0,化简得<
br>p＋
2
b>
0
.
方程(
*
)的两根为
y
1,2
＝－p±
＋ ,从而
y
0
＝
因为点
M
(x
0
,
y
0
)在直线
l
上,
＋
＝－p.
所以
x
0
＝
2
－p
,
所
以线段
PQ
的中点坐标为(2
－p
,
－p
)
.
②
因为
M
(2
－p
,
－p
)在直线
y＝－x＋b
上,所以
－p＝－
(2
－p
)
＋b<
br>,即
b＝
2
－
2
p.
由
①
知
p＋
2
b>
0,所以
p＋
2(2
－
2
p
)
>
0,所以
p<
,
所以
p
的取值范围是
.
23
.
(1) 7
－
4
＝
7
×
－
4
×＝
0
.
(2) 当
n＝m
时,结论显然成立
.
当
n>m
时,(
k＋
1)
＝
＋
＋
－
＝
(
m＋
1)·
＋
＋ ＋
－ ＋
＝
(
m＋
1)
又因为
＋
,
k＝m＋
1,
m＋
2,…,
n.
＋
＋
＋
＋
＋
＝
＋
＋
,
所以(
k＋
1)
＝
(
m＋
1)(
＋
＋
－
＋
＋
),
k＝m＋
1,
m＋
2,…,
n
,
＋
…
＋
(
n＋
1)
＋
(
m＋
2)
所以(
m＋
1)
＋
＋
(
m＋
3)
＋
＋
[(
m＋
2)
＝
(
m＋
1)
＋
＋
(
m＋
3)·
－
＋
＋
]
＋
…
＋
(
n＋
1)
＝
(
m＋
1)
＝
(
m＋
1)
＋
＋
＋
＋
(
m＋
1)[(
.
＋
＋ ＋
)
＋
(
＋
＋
－
＋
＋
)
＋
…
＋
(
＋
＋
－
＋
＋
)]
＋
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
21
.
A. 因为
AB＝AC
,所以∠
ABD＝
∠
C.
又因为∠
C＝
∠
E
,所以∠
ABD＝
∠
E
,
又∠
BAE
为公共角,
所以△
ABD
∽△
AEB.
B.
由已知,得
Aα＝－
2
α
,
即
＝
－
＝
－
,
－
则
－ ＝－ ＝－
即
＝ ＝
所以矩阵
A＝
－
,
从而矩阵
A
的特征多项式
f
(
λ
)
＝
(
λ＋
2)(
λ－
1),
所以矩阵
A
的另一个特征值为1
.
C. 以极坐标系的极
点为平面直角坐标系的原点
O
,以极轴为
x
轴的正半轴,建立平面直角坐标系
xOy.
由圆
C
的极坐标方程为
ρ
2
＋
2
ρ
化简,得
ρ
2
＋
2
ρ
sin
θ－
2
ρ
cos
θ－
4
＝
0
.
则圆
C
的直角坐
标方程为
x
2
＋y
2
－
2
x＋
2
y－
4
＝
0,
即(
x－
1)
2
＋
(
y＋
1)
2
＝
6,
所以圆
C
的半径为
.
－
D. 原不等式可化为
－ －
－
sin
θ－
cos
θ
－
4
＝
0,
或
＋
解得
x
≤
－
5或
x
≥
－.
综上,原不等式的解集是
x
－ 或
x
≥
－
.
22
.
以{
,
,
}为正交基底建立如图所示的空间直
角坐标系
A
－
xyz
,则各点的坐标为
A
(0,0,0),
B
(1,0,0),
C
(1,1,0),
D
(0,2,0)
,
P
(0,0,2)
.
(第22题)
是平面
PAB
的一个法向量,
＝
(0,2,0)
.
(1)
因为
AD
⊥平面
PAB
,所以
＝
(1,1,
－
2),
因为
＝
(0,2,
－
2),
设平面
PCD<
br>的法向量
m＝
(
x
,
y
,
z
),
＝
0,
m
·
则
m
·
＝
0,
＋ －
＝
－ ＝
即
令
y＝
1,解得
z＝
1,
x＝
1,
所以
m＝
(1,1,1)是平面
PCD
的一个法向量
.
,
m>＝
从而cos
<
＝
,
所以平面
PAB
与平面
PCD
所成二面角的余
弦值为
.
(2) 因为
＝
(
－
1,0,2),
＝λ
＝
(
－λ
,0,2
λ
)(0≤
λ
≤1),
设
＝
(0,
－
1,0), 又
＝
则
＋
＝
(
－λ
,
－
1,2
λ
)
.
又
＝
(0,
－
2,2),从而cos
<
,
>＝
＝
＋
＋
.
设1
＋
2
λ＝t
,
t
∈[1,3],
则cos
2
<
,
>＝
－ ＋
＝
－
＋
≤
.
>|
取得最大值
.
当且仅当
t＝
,即
λ＝
时,
|
cos
<
,
因为
y＝
cos
x
在
上是减函数,此时直线
CQ
与
DP
所成角取得最小值
.
又因为
BP＝
＋
＝
,
所以
BQ＝BP＝
.
23
.
(1)
S
6
＝
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
,(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)},故
f
(6)
＝
13
.
＋ ＋
＋
＝
＋ ＋
－
＋
－
＝ ＋
＋ ＋
＋
－
＝ ＋
(
t
∈N
*
)
.
(2)
当
n
≥6时,
f
(
n
)
＝
－
＋ ＋
＋
＝ ＋
－
＋ ＋
＋
＝ ＋
＋ ＋
－
＋
－
＝ ＋
下面用数学归纳法证明:
①
当n＝
6时,
f
(6)
＝
6
＋
2
＋
＋
＝
13,结论成立;
②
假设
n＝k<
br>(
k
≥6)时结论成立,那么当
n＝k＋
1时,
S
k
＋
1
在
S
k
的基础上新增加的元素在(1,
k＋
1
),(2,
k＋
1),(3,
k
＋
1)中产生,分以下情形讨论:
(
ⅰ
) 若
k＋
1
＝
6
t
,则<
br>k＝
6(
t－
1)
＋
5,此时有
f
(
k＋
1)
＝f
(
k
)
＋
3
＝k＋
2
＋
结论成立;
(
ⅱ
) 若
k＋
1
＝
6
t＋
1,则
k＝
6
t
,此时有
－
＋
－
＋
3
＝
(k＋
1)
＋
2
＋
＋
＋
＋
,
f
(
k＋
1)
＝f
(
k)
＋
1
＝k＋
2
＋
＋
＋
1
＝
(
k＋
1)
＋
2
＋
(
ⅲ
) 若
k＋
1
＝
6
t＋
2,则
k＝<
br>6
t＋
1,此时有
＋ －
＋
＋ －
,结论成立;
f
(
k＋1)
＝f
(
k
)
＋
2
＝k＋
2
＋
－
＋
－
＋
2
＝
(
k＋
1)
＋
2
＋
＋
＋
＋ －
,结论成立;
(
ⅳ
) 若
k＋
1<
br>＝
6
t＋
3,则
k＝
6
t＋
2,此时有 <
br>f
(
k＋
1)
＝f
(
k
)
＋
2
＝k＋
2
＋
＋
－
＋
2
＝
(
k＋
1)
＋
2
＋
＋
－
＋
＋
,结论成立;
(
ⅴ
)
若
k＋
1
＝
6
t＋
4,则
k＝
6
t＋
3,此时有
f
(
k＋
1)
＝f
(
k
)
＋
2
＝k＋
2
＋
－
＋
＋
2
＝
(
k＋
1)
＋
2
＋
＋
＋
＋ －
,结论成立;
(
ⅵ
) 若
k＋
1
＝
6<
br>t＋
5,则
k＝
6
t＋
4,此时有
f
(<
br>k＋
1)
＝f
(
k
)
＋
1
＝k＋<
br>2
＋
＋
－
＋
1
＝
(
k＋
1)
＋
2
＋
＋ －
＋
＋ －
,结论成立
.
综上所述,结论对满足
n
≥6的自然数
n
均成立
.
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
21
.
A. 因为
OC＝OB
,
所以∠
OCB＝
∠
B.
又因为∠
B＝
∠
D
,
所以∠
OCB＝
∠
D.
B.
Aα＝
－
＋
,
Bα＝
＋
－
,
由
Aα＝Bα
得
－ ＝ ＋
＋ ＝ －
解得
x＝－
,
y＝
4,所以
x＋y＝.
C. 由题意知,直线
l
的直角坐标方程为
x＋y＝
3,将其代入抛
物线方程
y
2
＝
4
x
,整理得
x
2
－
10
x＋
9
＝
0,所以交
点为
A
(1
,2),
B
(9,
－
6),故
AB＝
＋
＝
8
.
＋ ＋
①
＋
＋
②
D.
因为
x>
0,
y>
0,由均值不等式
当且仅当
x＝y
2
＝
1时
①
式取等号;
当且仅当
x
2
＝y＝
1时
②
式取等号
.
因此(1
＋x＋y
2
)(1
＋x
2
＋y
)
≥9
＝
9
xy
,
当且仅当
x＝y＝
1时等号成立
.
22
.
(1) 一次取2个球共有
＝
36种可能情况,2个球颜色相同共有
＋
＋
＝10(种)可能情况,
所以取出的2个球颜色相同的概率为
P＝
(2)
X
的所有可能取值为4,3,2,
则
P
(
X＝
4)
＝
＝.
＝
,
＝
,
P
(
X＝
3)
＝
＋
于是
P
(
X＝
2)
＝
1
－P
(
X
＝
3)
－P
(
X＝
4)
＝.
所以
X
的概率分布如下表:
X
P
故
X
的数学期望
E
(
X<
br>)
＝
2
×＋
3
×＋
4
×
2 3 4
＝.
23
.
(1)
xf
0
(
x
)
＝
sin
x
,两
边求导得
f
0
(
x
)
＋xf
1
(
x
)
＝
cos
x
,
两边再同时求导得2
f1
(
x
)
＋xf
2
(
x
)
＝
－
sin
x
,(
*
)
将
x＝
代入(
*
)式得2
f
1
＋
f
2
＝－
1
.
＝
＝ ＋
(2) 下面证命题:
nf
n－
1
(
x
)
＋xf
n
(
x)
＝
－ ＝ ＋
－
＝ ＋
k
∈N
*
恒成立
.
当
n＝
0时,
xf
0
(
x
)
＝
sin
x
成立
.
当
n＝
1时,
xf
1
(
x
)
＋f
0
(
x
)
＝
cos
x
,由(1)知成立
.
当
n＝
2时,<
br>xf
2
(
x
)
＋
2
f
1
(
x
)
＝－
sin
x
,由(1)知成立
.
当
n＝
3时,上式两边求导得
xf
3
(
x
)
＋f
2
(
x
)
＋
2
f
2
(
x
)
＝－
cos
x
,
即
xf3
(
x
)
＋
3
f
2
(
x)
＝－
cos
x.
假设当
n＝m
(
m
≥3)时命题成立,下面证明当
n＝m＋
1时命题也成立
.
<
br>若
m＋
1
＝
4
k
,
k
∈N
*
,则
m＝
4
k－
1,
k
∈N
*
,由
mf
m－
1
(
x
)
＋xf
m
(
x
)
＝－
cos
x
,两边同时求导得
xfm＋
1
(
x
)
＋f
m
(
x
)
＋
mf
m
(
x
)
＝
sin
x<
br>,即(
m＋
1)
f
m
(
x
)
＋xf
m＋
1
(
x
)
＝
sin
x
,命题成立
.
若
m＋
1
＝
4
k＋
1,
k
∈N
*
,则
m＝
4
k
,
k
∈N
*
,由
mf
m－
1
(<
br>x
)
＋xf
m
(
x
)
＝
sin <
br>x
,两边同时求导得(
m＋
1)·
f
m
(
x
)
＋xf
m＋
1
(
x
)
＝
cos
x
,命题成立
.
若
m＋
1
＝
4
k＋
2,
k
∈N
*
,即
m＝
4
k
＋
1,
k
∈N
*
,由
mf
m－
1
(
x
)
＋xf
m
(
x
)
＝
cos
x
,两边同时求导得(
m＋
1)
f
m
(
x
)
＋xf
m＋
1
(
x
)
＝－
si
n
x
,命题成立
.
若
m＋
1
＝
4
k＋
3,
k
∈N
*
,则
m＝
4
k＋
2,
k
∈N
*
,由
mf
m－
1(
x
)
＋xf
m
(
x
)
＝－
sin
x
,两边同时求导得(
m＋
1)
f
m
(<
br>x
)
＋xf
m＋
1
(
x
)
＝－cos
x
,命题成立
.
综上所述,命题对任意的
n
∈N
*
恒成立
.
代入
x＝
,得
nf
n－
1
＋
f
n
＝±
(
n
∈N
*
)
.
两边同时取绝对值得
nf
n－
1
＋
f
n
＝
(
n
∈N
*
)
.