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导数与微分(经典课件)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 16:19
tags:高中数学课件

21世纪高中数学报-高中数学原创试卷答案

2020年9月18日发(作者:关肇邺)


导数与微分
? 引 言
导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分 都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在
于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算,是微分学的基本运算,也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下:
1. 以速度问题为背景引入导数的概念,介绍导数的几何意义;
2. 给出求导法则、公式,继而引进微分的概念;
3. 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4. 可导与连续,可导与微分的关系。
§1 导数的概念
教学内容:导数的定义、几何意义,单侧导数,导函数,可导与连续的关系,函数的极值。
教 学目的:深刻理解导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背景并给出物理、几何解释;能够从定义
出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的相互联系和区别;明确导数与单侧导数、可导与连
续的关系;能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题;会求曲线上一点处的切线
方程;清楚函数极值的概念,并会判断简单函数的极值。
教学重点:导数的概念,几何意义及可导与连续的关系。
教学难点:导数的概念。
教学方法:讲授与练习。
学习学时:3学时。
一、导数的定义:
1.引入(背景):
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是 由法国数学家费马
(Fermat)为研究极值问题而引入的,后来英国数学家牛顿(Newton)在 研究物理问题变速运动物体的
瞬时速度,德国数学家莱布尼兹(Leibuiz)在研究几何问题曲线切 线的斜率问题中,都采用了相同的研
究思想。这个思想归结到数学上来,就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前,先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。直线运动质点的瞬时速 度:设一质点作直线变速运动,其运动规律为
s?s(t)
,若
t
0
为某一确
定时刻,求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于
t0
时刻的某一时刻
t
,则质点在
?
t
0
,t< br>?

?
t,t
0
?
时间段的平均速度为:
v ?
s(t)?s(t
0
)

t?t
0
s(t)?s(t
0
)

t?t
0

t
越接近于
t
0,平均速度就越接近于
t
0
时刻的瞬时速度,于是瞬时速度:
v?lim
t?t
0
问题2。曲线上一点处切线的斜率:已知曲线方程为
y?f(x)< br>,求此曲线在点
P(x
0
,y
0
)
处的切线。
在曲线上取临近于
P
点的某点
Q(x,y)
,则割 线
PQ
的斜率为:
k?tan
?
?
f(x)?f(x
0
)

x?x
0

Q
越接近 于
P
,割线
PQ
斜率就越接近于曲线在点
P
处的斜率,于是 曲线在点
P
处的斜率:

k?lim
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
.
x?x
0


2.导数的定义:
以上两个问题的实际意义虽然不同,但从数学角度来看,都是特殊形式的函数的极限。
定义1 设函数
y?f(x)

x
0
的某邻域内有定义,若极限< br>lim
x?x
0
f(x)?f(x
0

存在,则称函 数
f
在点
x
0

x?x
0
处可导,并称该 极限为
f
在点
x
0
处的导数,记作
f'(x
0)

'
dy
.

dx
x?x
0
定义1 令
?x?x?x
0

?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
,则上述定义又 可表示为:

f'(x
0
)

f (x
0
??x)?f(x
0
)
dy?y
?lim?lim.

?x?0?x?0
dx
x?x
0
?x?x
即:函 数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1.已知函数
f(x)?x
2
,求
f
'
(1).

f(x)?f(1)x
2
?1
?lim?lim(x?1)?2
; 解:
f(1)?lim
x?1x?1
x?1
x?1
x?1
'
f(1??x)?f(1)(1??x
2
)?1
?lim?lim(?x?2 )?2
。 或
f(1)?lim
?x?0?x?0?x?0
? x?x
'
1
?
2
?
xsin
例2.已知函数
f(x)?
?
x
?
?
0
解:
f(0)?lim
x?0
'
x?0
x?0
,求
f< br>'
(0).

f(x)?f(0)1
?limxsin?0.

x?0
x?0x
例3.已知函数
f(x)?x
,求
f
'
(0).

解:
?
f(x)?f(0)
f(x)?f(0)
x
?
1x? 0

?lim
不存在
??
?
x?0
x?0
x?0x
?
?1x?0
故函数
f(x)?x
在点
x?0< br>处不可导。
例4.已知函数
f(x)?
3
x
,求
f
'
(0).

3
f(x)?f(0)x1
解:< br>lim?lim?lim???
,故函数
f(x)?
3
x
在点
x?0
处不可导。
x?0x?0
x
x?0
3
x? 0
x
2
二、导数的几何意义:

通过对引例2我们已经看到,已 知曲线方程
y?f(x)
,若
f(x)
在点
x
0
可 导,那么曲线
y?f(x)
在点
?
x
0
,f(x
0
)
?
存在切线,并且切线斜率为
f(x
0
)

'
3

注:若曲线
y?f(x)
在点
?
x
0
,f(x
0
)
?
存在切线,那么
f (x)
在点
x
0
可导吗?(不一定,如
y?x

0
点)。



y=f(x)

f
'
?0

f
'
?0


f
'
?0


0


切线方程(点斜式):
y?y
0
?f
'
(x
0< br>)(x?x
0
)


法线方程(点斜式):
y?y
0
??
1
(x?x
0
)

'< br>f(x
0
)
例5.求曲线
y?x
3
在点
P( 1,1)
处切线与法线方程。
dyy?y(1)x
3
?1
解:?
?lim?lim?lim(x
2
?x?1)?3

x?1
x?1
x?1
dx
x?1
x?1
x?1
?
切线方程:
y?1?3(x?1)
,即:
3x?y?2?0

法线方程:
y?1??(x?1)
,即:
x?3y?4?0.

1
3
三、可导与连续的关系:
1.定理5.1 若函数
f
在点
x
0
可导,则
f
在点
x
0
连续。
证明:函数
f
在点
x
0
可导,由导数定义知
lim?y?lim
?x?0
?y?y
??x?lim?lim?x?f
'< br>(x
0
)?0?0

?x?0
?x
?x?0
?x
?x?0
所以
f
在点
x
0
连续(P69最下式)。
2.若函数f
在点
x
0
连续,则
f

x
0
不一定可导。
如例3中,函数
f(x)?x
在点
x
0?0
连续,但是不可导。

y

f(x)?x



0

x

例6.证明函数
f(x)?xD(x)
仅在点
x
0
?0
处可导。
其中
D(x)
为狄利克雷函 数:
D(x)?
?
2
?
1当x为有理数

?
0当x为无理数
2
证明:当
x
0
?0
时,由归结原则可得函数
f(x)?xD(x)
在点
x?x
0
不连续 ,所以由定理5.1便知它在
x?x
0
处不可导;



x
0
?0
时,
f(0)?lim
x?0
'
f(x )?f(0)
?limxD(x)?0
,说明它在
x
0
?0
处可导;
x?0
x?0
综上便知函数
f(x)?x
2
D( x)
仅在点
x
0
?0
处可导。
四、单则导数:
若只研究函数在某一点
x
0
右邻域(左邻域)上的变化率,只需讨论导数定义中极限的 右极限(左极限),
于是我们引入单则导数的概念。
1.定义:
定义2 若函数
f(x)

U
?
(x
0
)
有定义, 定义右导数为:

f
?
(x
0)?lim
?
x?x
0
'
f(x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)

?lim
?
?x?0
x?x
0
?x
若函数
f(x)

U
?
(x
0
)
有定义, 定义左导数为:

f
?
(x
0)?lim
?
x?x
0
'
f(x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)
?lim
?
.< br>
?x?0
x?x
0
?x
右导数和左导数统称为单则导数。
2.由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系:
定理5.2 函数
f(x)
在点
x
0
可导,且
f
'
(x
0
)?a
?
函数
f(x)
在点
x< br>0
即左可导又右可导,且

f
?
'
(x
0
)?f
?
'
(x
0
)?a.

?
1?cosxx?0
例7.设函数
f(x)?
?
,讨论函数
f(x)
在点
x?0
处的左、右导数与导数。
xx?0
?
1?cos?x
f(0??x)?f(0)
?
?
?
?
?x
解:由于
?x
?
1
?
?x?0?x?0
2

?x?x
??
2sin
2
si n
??
1?cos?x1
?
'
22
?
??x?0< br>,
?lim
?
?lim
?
?
所以
f
?
(0)?lim
?
?x?0?x?0?x?0
2
?
?x
?
?x?x
??
?
2
?
1?1
.
f
?
(0)?lim
?
?x?0
'
由定理5.2可 知函数在点
x?0
处不可导。
五、导函数:
1.可导函数:
若 函数
f
在区间
I
上每一点都可导(对区间端点,仅考虑单侧导数),则称f

I
上的可导函数。
2.导函数:
区间
I
上的可导函数
f
,对每一
x?I
,都有一个导数(或单则导数) 与之对应,这样定义了一个在
I


,,??
上的函数,称之 为函数
f
在区间
I
上的导函数,简称为导数,记作
f(x),y,< br>dxdx

即:
f(x)?lim
'
?x?0
''< br>dfdy
f(x??x)?f(x)
,x?I
(求解时只需将
x
看作固定常量即可)。
?x
例8.求以下函数的导数(以下结果需熟记):
(1)常函数
f(x)?C
,(其中
C
为常数);
(2)三角函数
f(x)?sinx,f(x)?cosx

(3)对数函 数
f(x)?log
a
x(a?0,a?1,x?0)
.
解:(1 )
?
C
?
?lim
'
?x?0
f(x??x)0? 0
?lim?0
,即:
?
C
?
'
?0

?x?0
?x?x
f(x??x)?f(x)sin(x??x)?sinx
?lim?lim
?x?0?x?0?x?0
?x?x
?x
sin
2
?cos(x?
?x
)?cosx

?lim
?x?0
?x
2
2
(2)
?
sinx
?
?lim
'
2cos(x?
?x?x
)sin
22

?x
即:
?
sinx
?
?cosx
;类似可求出:
?
cosx
?
??sinx
.
' '
(3)
?
log
a
x
?
?lim
'?x?0
log
a
(x??x)?log
a
x
f(x? ?x)1?x
?lim?lim?log
a
(1?)

?x?0?x?0
?x?x?xx
?x
x
1?x
)

?limlog
a
(1?
?x?0
xx
即:?
log
a
x
?
?
'
?
1
l og
a
e

x
11
log
a
e,lnx?.

xx
六、函数极值:

1.极值定义:
定义3 若函 数
f
在点
x
0
的某邻域
U(x
0
)
内对一切
x?U(x
0
)

f(x
0
)?f(x )

f(x
0
)?f(x)
),则
称函数
f
在点
x
0
取得极大(小)值,称点
x
0
为极大(小)值点 ,称
f(x
0
)
为极大(小)值,
极大值点、极小值点统称为极值点 ,极大值、极小值统称为极值。

y



a

x
1

x
2

0

x
3

x
4

b

x

说明:①极值为局部概念,极值与极值点均可以有多个;最值为整体概念,若存在则必唯一;


②极值不可能在一区间端点取得,只能在区间内部取得;最值无此限制;
③若
f
在点
x
0
取得最值,当
x
0
为区间端点 时,则此最值不是极值,但当
x
0
为区间内部的点时,
则此最值一定是极值。
2.费马(Fermat)定理:
从图象上可以看到,若点
x
0
为 函数
f
的极值点,且点
?
x
0
,f(x
0
)
?
处曲线的切线存在(
f

x
0

可导 ),那么此切线应平行于
x
轴(
f
'
(x
0
)?0
)。从而有:
定理5.3 (费马定理) 若点
x
0
为函数f
的极值点,且
f

x
0
点可导,则必有
f< br>'
(x
0
)?0
.
证明:这里以极大值的情形给予证明,对极小值情形类似可证之。

x
0
为函数
f
的极大值点,则对一切
x?U(x
0
)
都有
f(x
0
)?f(x)
,于是,
x?x
0
时:
f(x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?0
;当
x?x
0
时:
?0.

x?x
0
x?x
0
由函数极限的保不等式性有:

f
?
(x
0
)?lim
?
x ?x
0
'
f(x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?0

f
?
'
(x
0
)?lim?0

?
x?x
x?x
0
x?x
0
0
又知
f
'
(x
0
)
存在,故由定理5.2便知
f< br>'
(x
0
)?0

说明:①稳定点:称满足
f
'
(x
0
)?0
的点
x
0
为函数f
的稳定点(求法:解方程
f(x)?0
);
3
②稳定点不一 定是极值点(如函数
y?x
,点
x?0
为稳定点但不是极值点);
③极值点不一定是稳定点,只有加上可导条件极值点才是稳定点(如函数
f(x)?x
,点x?0

极值点但不是稳定点)。

y

y


y?x
3

y?x


0

x

0

x


3.达布(Darboux)定理:
'''
定理5.4 (达布定理,导函数的介值定理) 若函数
f

?
a,b
?
上可导,且
f
?
(a)?f
?
(b)

k
为介于
f
?
(a)

f
?
(b)
之间的 任一实数,则至少存在一点
?
?
?
a,b
?
,使得
f(
?
)?k.

''

y


f
?
(a)

f
?
(b)

''



a

0

b

x

证明:不妨设
f
?
'
(a)?f?
'
(b)
,则
f
?
'
(b)?k?f
?
'
(a)
(此处介于指不等式严格成立)
引入函数
F(x)?f(x)?kx,x?
?
a,b
?
< br>?f(x)

?
a,b
?
上可导,由定理5.1知
f (x)

?
a,b
?
上连续,
?F(x)

?
a,b
?
上连续,
由闭区间上连续函数的最值定理则:存在一点
?
?
?
a,b
?
,使得
F(
?
)

F(x)

?
a,b
?
上的最大值,
欲利用 费马定理来证
F
'
(
?
)?0
,需证以下两个方面: (ⅰ)
?

F(x)

?
a,b
?
上 的极大值,只需证
?
?a

?
?b

(ⅱ)
F(x)
在点
x?
?
可导;
?
f (x)?kx
?
?
?
f(a)?ka
?

F(x) ?F(a)
?lim
x?ax?a
?
x?ax?a
?
f(x )?f(a)
?
?
?
k(x?a)
?
?lim
f( x)?f(a)
?
limk
?
f
'
(a)
?
k
?
0
?
(1)

?lim
?x?a
?
x?a
?
x?a
?
x?ax?a
?< br>f(x)?kx
?
?
?
f(b)?kb
?

F(x)?F(b)
'
?lim
同理:
F
?
(b)?lim
x?b
?
x?b
?
x?bx?b
?
f(x)?f( b)
?
?
?
k(x?b)
?
?lim
f(x)?f (b)
?
limk
?
f
'
(b)
?
k?
0
?
(2)

?lim
?
x? b
?
x?b
?
x?b
?
x?bx?b
?
f (x??x)?k(x??x)
?
?
?
f(x)?kx
?

F(x??x)?F(x)
'
?lim

F(x)?li m
?x?0?x?0
?x?x
?
f(x??x)?f(x)
?
?k?x
?
f
'
(
x
)?
k?
(3)< br>
?lim
?x?0
?x
F(x)?F(a)
? 0
,所以
F(x)?F(a)
,(1)式说明:
?U
?
(a )?
?
a,b
?
,对一切
x?U
?
(a)
都有
x?a
为此:
F
?
(a)?lim
?
'
于是
a
不是
F(x)

?
a,b
?
上的 最大值点,即
?
?a

(2)式说明:
?U
?
( b)?
?
a,b
?
,对一切
x?U
?
(b)
都有
于是
b
不是
F(x)

?
a,b
?
上的最大值点,即
?
?b

(3)式说明:对一切
x?< br>?
a,b
?

F(x)
都存在,则对
?
?< br>?
a,b
?

F(
?
)
当然存在,且有 < br>''
F(x)?F(b)
?0
,所以
F(x)?F(b)
,< br>x?b
F
'
(
?
)?f
'
(
?)?k

从而,由费马定理便知
F(
?
)? f(
?
)?k?0
,即有
f(
?
)?k(
?
?(a,b)).

'''

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