推荐高中数学教师备课必备系列空间向量与立体几何：专题二 空间向量的坐标运算说课稿

各位评委、老师：大家好!
我是数学教师，很荣幸能 够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提
出宝贵意见．
今天我说课的题 目是《空间向量的坐标运算》，下面我将从教材分析、学生情况、教学目标、教
学方法、教学过程和教学 设计说明六个方面来介绍我对本节课的教学设想.

一、教材分析
1.地位和作用
空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基 本定理的基础上
进一步学习的知识内容．是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了 代数与
几何的关系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定
了知识 和方法基础．

2.教学结构的调整
在教学中我对教材做了适当的调整：第一节， 用类比的方式探索新知识，并作简单的应用；第
二节，例题讲解、习题处理．今天我的说课内容是调整后 的第一课时．

3.重点、难点
教学重点：空间坐标系、空间向量的坐标运算规律、距离和夹角公式．
教学难点：空间向量坐标的确定．



二、学生情况

本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形
式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究
问 题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善
自我的认知 结构.

三、教学目标
1.知识教学点: 掌握空间右手直角坐标系、空间向量 的坐标运算规律，平行向量与垂直向量坐
标之间的关系、距离与夹角公式．

2.能 力培养点:通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能
力、探究能力 ，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学
生的科学思维素养．

3.德育渗透点:通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数 学思
维全过程，品尝到成功的喜悦．

四、教学方法
本节课我将采用了 “启发探究”和“类比”的教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情
况在教学中重点突出以下两点 ：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特
点确立自主探索式的学习方法．
在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立
思 考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．
除使用常规的教 学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学．多媒体投影为师生的交
流和讨论提供了平台；计算 机演示则有助于提高学生的空间想象能力和帮助他们化解难点.

五、教学过程

教学
教 学 程 序
环节


启








启
|
|
|

创
设
情
境
，
引
出
课
问题的提 出：在正方体的同一个面内任取两点，如何
求出这两点间的距离？请同学积极
思考并列出求解步 骤．
学生回答：
（1）可用尺子直接测量出来．
（2）建立直角坐标系，求出A、
B两点坐标，再利用距离公式求出．
（3）在上述直角坐标系的基础之上，
N
M
C
1
设 计 意 图

从实际问题引入，使学
生了解数学来源于实
际。同时教具的辅助 作
用，使新课的引入显得
生动自然、易于接受.


求A、B两点的坐标，求出
AB
，再求其模长．

教师点评：（1）数学上 的AB距离是指它们之间的精确
长度，若直接测量误差会偏大．那么(2)与(3)两种求
法有 没有内在的联系呢？
其实平面两点间距离的坐标公式就是平面向量的模长
推导出来的，所以( 2)的方法实际就是建立在(3)的基

把实际问题抽象成数
学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是
培养学生观察分析能
础之上的，所以分析问题应该抓住其主要的根源 入手． 力的重要一步.
那么我们就请同学们说说方法(3)的具体操作步骤是
什么？教师点评后总结：
（1）确定理论依据——平面向量的基本定理.
（2）建立平面坐标系:在平
和一组 不共线的向量为基
底，建立坐标系XOY；为了
简化运算，特殊地，取一组
N



面内任取一点O
M

通过动画的演示让学
生直观地认识到把向
正交的单位基底
i
，
j
和任意一点O建立直角坐 标
量投影到坐标轴上,体
系XOY.
会从二维到一维的转

题
（3）确定M、N点的坐标：分别把
OM
、
ON
投影
到X轴 和Y轴上（由二维到一维），即用
i
，
j
来
线性表示
OM< br>、
ON
，并由平面向量的基本定理可
知，这种线性表示是唯一的.因此平面向量 与二维
坐标之间建立了一一对应的关系.

OM?x
1
i?y1
j?(x
1
,y
1
)
ON?x
2
i ?y
2
j?(x
2
,y
2
)

化过程.


通过平面两间距离公
式的推导让学生回顾
，
平面直角坐 标系的建
立方法及平面向量坐
标运算及其规律.

（4）求
MN
向量:
MN?ON?OM?
(x
1
?x
2
)i?(y
1
?y
2
)j?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

通过类比使学生 能较
深刻地把握概念的本
质。容易联想到类比,
激发学生的探索欲望，
从而培 养学生的创造
N
（5）求
MN
的模长：
|MN|?(x
1< br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2

问题的延伸：在正方体的不同面上
任取两点，如何求出这两点间
的距 离？根据上述情况，请同
学们通过类比,提出解决的方
案．






思
|
|
|

启
发
思
将学生分为四人一小组进行讨论， 让他们自主地提
出解决的可行性 方案．教师在学生讨论设计方案的同
时，深入学生当中，了解学生的设计过程，并给予个
别指导 和订正．
M
性思维。
C
1
给学生提供自主活动
的空间， 让主体主动构
建自己的认知结构，充
分体现了学生的主体
在学生展示交流后，教师给予 以下明确的操作过程： 地位和教师的主导作
（1）确定理论依据：空间向量基本定理（即：如果
三个向量
a
、
D
1
A
1
B
1
N
C
1
用。让学生在自主探
索、自由想象和合作交
C
1
流的过程中，充分感受
到成功与失败的情感
b
、
c
不共面，
那么对空间任
一向量
p
，存
D
O
Q
A
C
M
B
体验，发现事物发展的
内在联系即二维平面
几何过渡到三维 空间
几何,深刻地领悟到转
P
在一个唯一的
有序实数组

考
，
自
主
探
究
）
x,y,z
使
p?xa?yb?zc
．
（2）建立空间坐标系: 在空间中任取一点O和
一组不共面的向量为基底，建立空间
坐标系O-XYZ；为了简化 < br>运算，特殊地，选取空间内任意一点O和一组
单位正交基底
i
、
j、
k
建立空间直角坐标系
化的数学思想在解决
问题中所起的重要作
用。同时又培养了学生
的空间想象能力、逻辑
思维能力和乐于探索，
大胆创新的科学 精神。








坐标方向上（二维到一维）.从而把
ON
以
i,j,k













思

（4）求
MN
向量：
MN?ON?OM
O-XYZ.
本例以
D
为坐标原点，
DA
、
DC
、
DD
1
分别为
x
轴 、
y
轴、
z
轴正方向上的单位向量



由于不同的人对同一
个问题有不同的体验
和理解。通过交流和协
作,人们可以得到相互
启发，从而不断完善自
i,j,k
，建立空间直角坐标系.
（3）确定M、 N点的坐标：把
ON
投影到坐标平
面XOY上（由三维到二维），再进一步把投影到< br>为基底进行分解，并同空间向量的基本定理可
知，这种线性表示是唯一的，因此空向量与三维坐标之间建立了一一对应的关系.
ON?OP?PN?OG?OC?PN
己的认知结构。


借助于课件演示空间
直角坐标系的建立，空

?
x
1
i?y
1
j?z
1
k
?
(x
1
,y
1
,z
1
)

同理可求出：间向量的坐标 确定来
ON?x
2
i?y
2
j?z
2
k?(x2
,y
2
,
提高学生的空间想象
z
2
)
能力，对教学上的难点

进行化解，让学生对教
学重点有一个清晰的
认识.
在教学活动中，适时地
用激励性评语给学生
予充分的肯定，为学生
今后的学习 打下良好
的心理基础。
?
(x
1
?x
2
)i?( y
1
?y
2
)j?(z
1
?z
2
)k?
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
)

（5）求
MN
模长：
|MN|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2

演
|
|
|

知
识
演
练
，
扩
充
推
广















演
例：在边长为1的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、

N分别是平面< br>A
1
B
1
C
1
D
1
和平面
BCC
1
B
1
的中心，求MN
的距离.
解：以D为坐标原 点，
A
1
D
1
M
B
1
N
C
1




DA
、
DC
、
DD
1
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴正方向
A
D
B
C
1
C

把上述的问题进行量
化 ,演变为一道例题，
让学生体会从实物到
纯数学的一个数学建
模过程;并以此突出重< br>点与难点，强化学生对
知识点的掌握.





坐标

运算
平面向量

空间向量
上的单位向量
i,j,k
，建立空间直角坐标系D-XYZ，
则


教学中引导学生大胆
地“由旧猜新”即由平
面向量的公式猜想出
1 111
M
=
(,,1)

N
=
(,1,)

2222
MN?
?
?< br>0?
2
2
1111
(?)
2
?(?1)
2< br>?(1?)
2
2222
1
4
?
1
4
?
1
2

空间向量相应的公式，
让学生在猜想的过程
发现从 二维到三维的
内在联系，并根据学生
的实际情况进行有针


对普遍出
推广：请根据平面向量的坐标运算规律，填写下表：
对性的指导，
现的问题组织全班性
的讨论．

猜想只是直觉上的感

|
|
|

知
识
演
练
，
扩
充
推
广
距离

公式
夹角

公式
平行

垂直
在上面表格的填写过程中，只是一种直观的猜测，接
下来我们应当给予严格的逻辑推理过程。
证明一：∵
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)

∴
a?b?(x
1
i?y
1
j?z
1
k) ?(x
2
i?y
2
j?z
2
j)




知，不一定都是正确
的，接下来引导学生对
猜想进行严格的逻辑
推理过程.让学生学会
事物发展的内在动力
并非人为主观性而是
客观存在的规 律.
证明之前引导学生分
析公式之间的内在联
系，使学生认识到空间
向量的 线性运算比较
简单，而夹角公式、距
离公式、垂直的充要条
件均由向量的数量积
公式推出，因此抓住问
?(x
1
?x
2
)i?(y
1?y
2
)j?(z
1
?z
2
)k

? (x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
)

证明二：空间向量的数量积的公式证明：
∵
a?(x
1
,y
1
,z
1
)b?(x
2< br>,y
2
,z
2
)

题的主要矛盾，着重证
明空间向量的数量积
2
?ab?(x
1
i?y
1
j?z< br>1
k)(x
2
i?y
2
j?z
2
j)
?x
1
x
2
i?x
1
y
2
ij?x1
z
2
ik?x
2
y
1
ij?y
1< br>y
2
j
?y
1
z
2
jk?z
1x
2
ki?z
1
y
2
kj?z
1
z< br>2
k
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
练习：长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1 =AB=2,AD=1,点E、
C
D
1
1
2
2

公式.
F、G分别是DD1、AB、CC1
的中点，则异面直线A1E
与GF所成的角是( )
练
A、
A
1
ED
A
F
B
1
G
通过一道高考题,让
学生与 高考进行一次
C
“亲密的接触”,并检
测学生对本节课的掌
握情况，加深对知 识内
容的记忆.
?
?
B、
42
B
C、
arccos

结
|
|
1510
D、
arccos

55
（1）回顾求解空间两点间距离的五个步骤：
①确定理论依据②建立空间坐标系③确定M、N
点的坐标
学生的体会是多方位
的，多角度的，所以小
结主要是把学生在本

|
梳
理
知
识
,
构
建
网
络






④求
MN
向量⑤求
MN
模长
（2）通过空间直角坐标系的 建立，实现了空间
向量几何形式与代数形式的转化，可以将空间向
量的运算转化为坐标运算，在 此基础上实现了立
体几何问题向代数问题的转化．其次是引导学生
空间向量基本定理
应用类比思维记忆空间向量坐标运算规律、夹角
空间直角坐标
和距离公式．
几何形式


几何运算

几何问题
空间直角坐标
代数问题
空间直角坐标
坐标运算
坐标形式 < br>节课在知识技能等方
面形成过程中，用到的
技能和数学思想方法
进行小结，从而 学生对
本节有一个整体的把
握。

将学生的思维激活，激
发引导学 生会大胆的
想象，思维的发散是形
成知识的网络化的有
效途径。从而使学生从
二维提升到三维，从几
何问题到代数问题的
转化都有一个较为明
确的知识网结.
作业布置:
(1)梳理知识点,整理课堂笔记．
(2)书面作业:P39 练习10，P42习题9．
(3)选做题:棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
、
求
?AB,EF?
和点
A
到直
F
分别是
CC
1
A
1
D
1
的中点，
线
EF
的距离.


作业布置注意分层，满
足不同层次学生的需
要.
六、教学设计说明
本节课力求体现的教学特色有3个:
①以问题为教学线索:问 题是数学的心脏,本课教学终始以问题的解决为线索.在教师的引导下,
使学生的思维从问题开始由问题 深化.
②以学生为课堂主体:重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学

生积极思维,大胆思考, 动手实践
③以类比为教学方法:在学生原有的知识 体系上,通过类比逐步引导学生从平面向量向空间向量
的过渡,发现两者之间的内在联系,并通过类比方 式强化空间向量坐标运算及其规律.

附:板书设计