三角函数的诱导公式( 说课) 江苏省高中数学教师优秀课评比现场教案课件 三角函数的诱导公

说课稿
课题：三角函数的诱导公式
授课教师：吴淑群
教材：苏教版数学4第1章1.2.3
一、教材分析
1、教材内容
本节课是苏教版必修4第一章《三角函数》§1.2.3《三角函数的诱导公式》
的第一课时，该课时主 要学习四组三角函数的诱导公式。
2、教材的地位、作用
本节课是学生已学过的三角函数定 义、单位圆中的三角函数线、同角三角函数
关系式等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(五)、(六 )的基础。是本章“任意
角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带。求三角函数值是三 角
函数中的重要内容，利用诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作
用是把求任 意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导
公式的推导过程，体现了数学的 数形结合和归纳转化的思想方法，对培养学生的创
新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具 有重大的意义。
3、教学重点、难点
重点：四组诱导公式的推导、记忆和运用。
难点：诱导公式推导过程中数形关系的转换；符号的判断。
在教学中，通过动态演示、归纳转 化来突出重点，公式推导时注重师生互动、
有效引导、学生自主探究来化解难点。

二、教学目标分析
根据上述教材与重难点分析，结合新课标要求，考虑到学生已有的认知结构 心
理特征，制定如下教学目标：
1. 理解三角函数的诱导公式；
2. 能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题；
目标解析
1．在理解的基础上，熟记诱导公式；
2．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并进行简单的三角
变换；
3．经历由几何特征（终边的对称）到发现数量关系（诱导公式）的探索过程；
4．从公式推导和运用的过程中，体会数形结合、转化与化归等思想方法；
5．初步体会三角函数和周期性变化的内在联系；

三、教法分析与学法分析 1.教法：本节课涉及到的公式比较多，为使学生有效掌握和运用公式，我采用教
师引导、学生自主 探究的教学方法。
2.学法：指导学生通过公式的推导过程，体会数形结合思想、转化与化归的思想；
通过解题分析，对学生进行公式运用与记忆的指导。
3.教学手段：教学中采用多媒体演示，增强教学直观性。

四、教学过程设计
本节课的教学过程设计以新课标为依据，遵循教师为主导、学生为主体的原 则。
下面从创设情境、建构数学、数学运用、回顾反思、布置作业五个环节来谈谈我对
本节课的 教学设想：
一、创设情境
教师先行组织：
我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为了刻
画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之
中的？今天，我们仅就上述问题做一个初步的探讨。
设计意图：把对诱导公式的学习放在“ 建构和研究刻画周期性的数学模型”
这个大背景下进行，从整体上突出三角函数是周期性函数的本质。

二、建构数学
1．终边相同的角的三角函数
（1）提出问题（展示课件）
已知任意角
?
，观察角
?
的终边绕着原点逆时针旋转的过程。
．．
问题1：在上述变化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？
（2）解决问题
（根据学生回答的情况，视机提出下列提示性问题）
问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗？三角函数值会重复出现吗？
问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现？什么时候三角函数值会重复出
现？
要求学生把分析的结论用数学等式表示出来：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
cos(
?
?2k
?
)?cos< br>?
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
(k? Z)
(k?Z)

(k?Z)
问题1-3 ：角
?
与角?
?2k
?
(k?Z)
的三角函数值为什么相等呢？
（让学生回到定义去解决问题）
（3）小结： 回顾解决问题的思路，得到下面的框图

终边上（对应）点
终边位置重合

角之间的数量关系
的坐标
（形的关系）
与

?


?
?2k
?
(k?Z)

P(x,y)和P
?
(x,y)

（数量关系）
（数量关系）

（4）应用
练习 求值：
三角函数值间的
关系
sin(
?
?2k
?
)?s in
?
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
(k?Z)
(k ?Z)
(k?Z)
（数量关系）

（1）
sin
9
?
； （2）cos（－690°）.
4
指出：利用这组公式，我们可以把任意角的三 角函数值转化成我们熟悉的
0~2
?
角
的三角函数值。（出示框图）
任意角的三角函数
公式
0~2
?
角的三角函数
设计意图：新课标强调：“要重视数学知识的发生、发展过程的教学”。三角
函数的值是由角的终边 的位置决定的，因此考虑从终边的位置关
系提出问题，通过思考问题、解决问题的过程，让学生经历由几
何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特
定位置关系转化为三角函数值之 间的关系。感知三角函数的周期
性。

2．角
?
与角
?
?
?
的三角函数的关系
（1）提出问题
问题2：若角
?
终边绕原点逆时针旋转半周，它的三角函数 值是否也会重复出现
呢？
（2）解决问题
● 角
?
与角
?
的终边具有什么样的位置关系？
● 相应地，角
?
与角
?
的终边上点的坐标具有什么关系？
● （进而有）角
?
与角
?
的三角函数值有什么关系？
sin(
?
?
?
)??sin
?
讨论得：
cos(
?
?
?
)??cos
?

tan(
?
?
?
)?tan
?
（3）小结
回顾解决问题的思路，得到下面的框图
角之间的数量关系
?
与
?
＋
?

（数量关系）
终边对称于原点
（形的关系）

终边上（对应） 点
的坐标间的关系
和
P
'
(?x,?y)
P(x,y)
（数量关系）
三角函数值间的关
系
（数量关系）
si n(
?
?
?
)??sin
?
cos(
?
?
?
)??cos
?
tan(
?
?
?
)?t an
?

（4）应用
7
?
练习 求值：（1）
sin;
（2）
tan225?.

6
指出：这组公式揭示了角
?
与角
?
?
?
间的关 系，因而利用这组公式我们可以将
?
~2
?
角的三角函数转化成
0~
?
的三角函数。
公式
?
~2
?
的三角函数
0~
?
的三角函数

设计意图：由终边重合过渡到终边关于原点对称，符合学生认知规律，再次
体会正切 函数的周期性。

3．角
?
与－
?
的三角函数的关系
角
?
与角
?
?
?
的三角函数的关系
（1）提出问题
终边还有哪些特殊位置关系值得我们研究？(学生探究活动)
问题 3：终边关于
x
轴对称的角
?
与角
?
的三角函数有什么样的 关系？
终边关于
y
轴对称的角
?
与角
?< br>的三角函数又有什么样的关系呢？
（2）解决问题 （学生分组在事先备好的单位圆中研究，交流研究思路）
sin(?
?
)??sin
?
?
cos(?
?
)?cos
?

tan(?
?
)??tan
?
教师小结研究思路并指出：利用这组公式可以将任意负角的三角函 数值转化为正角
的三角函数值。
公式
负角的三角函数

正角三角函数

sin
?
?sin
?
?
cos
?
??cos
?

tan
?
??tan
?
形成如下框图（逐步完成）

终边位置的对
称关系
（形的关系）

终边上（对应）
点的坐标间的关
系（数的关系）
三角函数值间的
关系
（数的关系）


讨论：具有什么样数量关系的两个角的终边才会对称于
y
轴呢？
sin(
?
?
?
)?sin
?
得公式
cos(
?
?
?
)??cos
?

tan(
?
?
?
)??tan
?
（3）小结
根据研究思路将上面的框图补成下图
角之间的数量关
系（如：
?
与
?
?
?
）
（数量关系）
终边位置的对
称关系：…
（形的关系）

终边上（对应）
点的坐标间的关
系…
（数量关系）
三角函数值间的
关系
（数量关系）

思考：根据第二、三组公式能否推导第四组公式？
根据这三组公式中任两组公式是否都能推导出另外一组公式呢？（课后研究）
（4）应用
练习 求值： （1）
cos
2
?
； （2）
tan135?
.
3
?
2
~
?
的 三角函数化成锐角三角函数。指出：利用这组公式，我们可以将
公式
π2—π的三角函数
锐角三角函数

设计意图：突出以问题为中心，由学生自主探究公式，教师巡视，并 展示学生探究
思路与成果，培养学生自主学习的能力和勇于探索的良好品质，突出学
生的主体地 位。通过思考题，让学生体会转化的数学思想及公式的联系。

4. 揭示课题
我们把这四组公式总称为诱导公式。（板书课题：1.2.3三角函数的诱导公式）。
它揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数值之间的关系。
（和同角三角函数关系式不同， 诱导公式反映了具有特定关系的两个角之间的
三角函数值之间的关系。）

三、数学运用
1. 将任意角三角函数转化成锐角三角函数
例 求值：
11
?
（1）
sin(?750?)
； （2）
cos
； （3）
tan(?1560?)
.
4
思考：运用公式将任意角三角函数转化成锐角三角函数的一般步骤？
讨论得到如下程序：

锐角三

~

2

?

的角的

任意负角的正角的

0
角函数




三角函数

三角函数 三角函数


解题过程实际上是一个不断转化与化归的过程。

2. 练习
（1）、求值：
①
cos
5
?
16
?
;

②tan(?).

4
3
3
（2）、化简：
s in(?
?
)cos(2
?
?
?
)tan(?
?< br>?
?
)

（学生练习后，投影点评）
设计意图：通过例题、练习，巩固诱导公式的运用，形成方法网络。

四、回顾反思（学生总结，教师提炼）
（课件展示）归纳小结
（1） 三角函数诱导公式的推导。
公式的实质是将终边对称的图形关系翻译成三角函数之间的代数关系。
其思路为：角的数量关系→终边位置的对称关系→终边上点的坐标关系→三
角函数间的关系。 （对照框图）

角之间的数量关
系（数量关系）
终边位置的对
称关系：
（形的关系）

终边上（对应）
点的坐标间的关
系…
（数量关系）
三角函数值间的
关系
（数量关系）

（2）三角函数诱导公式的运用（求值、化简等）。
（3）数学思想方法：数形结合、转化与化归。

设计意图：引导学生对本课内容 进行归纳小结，深刻领会诱导公式的实质、作用，
利于学生形成知识网路和方法网路。


五、布置作业
必做题：书本第23页 13、14题。
思考题： 1、下列函数为奇函数的是 。
（1）
f(x)?cos2x
（2）
f(x)?x?sinx
（3）
f(x)?xtanx

?
12
?
2、已知
cos(

x

?

)

?
，则
cos(

?

x

)
＝ 。
353
设计意图： 巩固本课所学内容，强化基本方法与技能训练，培养学生良好的学习习
惯和品质，练习题由浅入深，体现 梯度，使不同程度的学生都有发展，
体现因材施教的原则。

附：
板书设计： 1.2.3三角函数的诱导公式
例题解答
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
(k ?Z)
(k?Z)

(k?Z)
终边相同
c os(
?
?2k
?
)?cos
?
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
sin(
?
?
?
)??sin
?
终边关于原点对称
cos(
?
?
?
)??cos
?

tan(
?
?
?
)?tan
?
sin(?
?
)??sin
?
终边关于
x
轴对称
cos(?
?
)?cos
?

tan (?
?
)??tan
?

sin(
?
?
?
)?sin
?
终边关于
y
轴对称
cos(
?
?
?
)??cos
?

tan(
?
?
?
)??tan
?