圆的标准方程说课稿

《圆的标准方程》的说课稿

刘文丽

【一】教学背景分析
1． 教材结构分析
《圆的方 程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为
常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中 有着广泛的应用.圆的
方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直
线与 圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法
上都有着积极的意义，所以本节内容在整 个解析几何中起着承前启后
的作用.
2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概 念和基本性质后，
又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学
习解析 几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够
熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外 学生在探究问题的能力,合
作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心
理特征 ，我制定如下教学目标：
3．教学目标
(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；
②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出
圆的标准方程；
③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.
(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

1

②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；
③增强学生用数学的意识.
(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重
点和难点：
4. 教学重点与难点
(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点： ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；
②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行
分析：
【二】教法学法分析
1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启< br>发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师
总是站在学生思维的最近发展 区上.另外我恰当的利用多媒体课件进
行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学 习
兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.
2．学法分析 通过推导圆的标准 方程，加深对用坐标法求轨迹
方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求
a、b、r
的
过程.
下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：

2

【三】教学过程与设计
整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环
节：
创设情境启迪思维 深入探究获得新知
应用举例巩固提高 反馈训练形成方法 小
结反思 拓展引申
下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意
图.
首先：纵向叙述教学过程
（一）创设情境——启迪思维
问题一 已知隧道的截面 是半径为4m的半圆，车辆
y
只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为
3 m的货车能不能驶入这个隧道？
通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用
A
4
D
0
C
2.7
B
x
勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线 的方程来解决.一方面帮助学
生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不
能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的
标准方程，从而很自然的进入了本 课的主题.用实际问题创设问题情
境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习< br>兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.
通过对问题一的探究，抓住 了学生的注意力，把学生的思维引到
用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.
（二）深入探究——获得新知

3
y
r
C(a,b)< br>0
x
M(x,y)

问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为
r
的圆
的方程？
2．如果圆心在
(a,b)
，半径为
r
时又如何呢？
这一 环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半
径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆 心在原点，半径为r的
圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设
了 三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、
向量平移法.
得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入
第三环节.
（三）应用举例——巩固提高
I．直接应用 内化新知
问题三 1．写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
.
2．写出圆
(x?2)
2
?y
2
?(?2)
2
的圆 心坐标和半径.
我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半
径求圆的标准 方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，
这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是 先让学生熟练掌握
圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问
题作准备 .
II．灵活应用 提升能力
问题四 1．求以点
C(1,3)
为圆 心，并且和直线
3x?4y?7?0
相切的圆的方

4

程.
2．求过点
C(1,4)
，圆心在直线
3x? y?0
上且与
y
轴相切的圆的方
程.
3．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?25
，求过圆上一点
A(4,?3)
的切线方程.
你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是
x
2?y
2
?r
2
，经过圆上一点
M(x
0
,y< br>0
)
的切线的方
程是什么？
我设计了三个小问题，第一个小题有了刚 刚解决问题三的基础，
学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有
些 困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，
从而理解必须具备三个独立的条件才可 以确定一个圆.第三个小题解
决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一
点圆的切线方程的过程中，又一 次模拟了真理发现的过程，使探究气
氛达到高潮.
III．实际应用 回归自然
问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，
该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m， 在建造时每
隔4m需用一个支柱支撑，求支柱
A
2
P
2
的长 度（精
确到0.01m）.
我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数
a、b、r
的
又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般
方法 ，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.

5

（四）反馈训练——形成方法
问题六 1．求过原点和点
P(1, 1)
，且圆心在直线
2x?3y?1?0
上的圆的标
准方程.
2． 求圆
x
2
?y
2
?13
过点
P(?2,3)
的切线方程.
3．求圆
x
2
?y
2
?25
过点
B(?5,2)
的切线方程.
接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计 三个小题作
为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数
学的乐趣，成功 的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外
第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切 线方程，由于学生
刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，
另外这 道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学
生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的 知识进行判断，这样的设
计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.
（五）小结反思——拓展引申
1．课堂小结
把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合
的思想和待定系数的方法
①圆心为
C(a,b)
，半径为r 的圆的标准方程为：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
；
圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：
x
2
?y
2
?r
2
.
②已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上 一点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程
是：
x
0
x?y
0
y?r
2
.
2．分层作业 （A）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.
（B）思维拓展型作业：

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试推导过圆
(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
2
上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线
方程.
3．激发新疑
问题七 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方程
x
2
?y
2?6x?8y?20?0
表示什么图形？
在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节 课内容的巩固与延伸，
让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的
问题 又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下
节课研究圆的一般方程作了重要的准备 .
以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个
方面横向的进一步阐述我的教学设计：
横向阐述教学设计
（一）突出重点 抓住关键 突破难点
求圆的标准方程既是 本节课的教学重点也是难点，为此我布设了
由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方 程之间
的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思
路，在突出重点的同 时突破了难点.
第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，
主要是因为应 用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模
型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道 题目简洁、贴近生
活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演
示，引导 学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从
而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应 用圆的标准方程解决实际

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问题的一般模式，并尝试应用该模式分 析和解决第二个应用问题——
问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.
（二）学生主体 教师主导 探究主线
本节课的设计用问题做链，环环相 扣，使学生的探究活动贯穿始终.
从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学< br>生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和
问题四的第三问，要求学生 分组讨论，合作交流，为学生设立充分的
探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理 发现
的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成
了探究活动并走向成功 ，在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的
学习任务.
（三）培养思维 提升能力 激励创新
为了培养学生的理性思维，我分别在问题一和问题四中，设计了
两次由特 殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设
计中，我利用一题多解的探究，纵向挖掘知 识深度，横向加强知识间
的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随
时 对所学知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行.
以上是我对这节课的教学 预设，具体的教学过程还要根据学生在
课堂中的具体情况适当调整，向生成性课堂进行转变.最后我以赫 尔巴
特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性，力争“使教育过程成
为一种艺术的事业” .
谢谢大家！

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