平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿 人教版(新教案)

《平面向量数量积的物理背景及其含义》说课稿
宁夏银川唐徕回民中学 马海军

说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教版）《数学必修》第二章第四节“平 面
向量的数量积”的第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义。
下面，我从背景分析、教 学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及
教学评价设计六个方面对本节课的思考进行 说明。

一、 背景分析
、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的 线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要
概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本 节内容教材共安排两课时，其中第一课时主
要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算， 本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念， 在此
基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概
括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的
基础。同时也 因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角
的最佳结合点，不仅应用广 泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念
成为本节课的核心概念，自然也是本节课 教学的重点。
、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了 向量的概念及其线性运算，
具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊 模型（主要是
物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律 。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积
概 念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有
数的向量经过数 量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受
实数乘法运算的影响，也会造 成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点数量积的概念。

二、 教学目标设计
《普通高中数学课程标准（实验）》 对本节课的要求有以下三条：
（）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
从以上的 背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这
一难点，首先无论是在概念 的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。
其次，作为数量积概念延伸的性质和运 算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同
时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论 是数量积的性质还是运算律，都希望学
生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象 概括能力、推理论证能力
和类比思想都无疑是很好的载体。
综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：
、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，
并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和 发展过程的
理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

?
回顾向量的线的线性
?
创设问题情景
?
回顾向量线 性运算的研究方法
?
物理背景???功
?
抽象概念

?
定义义分
?
?
几何意义

?
物理意义< br>?
?
证明性质
?
探究运算律
探究运算律
?

?
证明运算律
应用概念 例题与练习

小结提升

即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基
础上研究数 量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概
念，加深 印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。

四、 教学媒体设计
和“大纲”教材相比，“课标”教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的夹角在“平
面向量 基本定理”一节提前做了介绍，但却将原来分两节课完成的内容合并成一节，相比较
而言本节课的教学任 务加重了许多。为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，
考虑到本节课的实际特点，在教 学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：
、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关 内容的呈现方式，以此来节约
课时，增加课堂容量。
、设计科学合理的板书（见下），一方面 使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学
生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。


平面向量数量积的物理背景及其含义


一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高

1、 概念： 例：

2、 概念强调 （）记法 例：


（）“规定” 三、数量积的运算律 例：

、几何意义：

五、 教学过程设计
课标指出：数学教学过程 是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的
过程，是师生共同发展的过程。为有序、有 效地进行教学，本节课我主要安排以下六个活动：
探究性质
?
?
探究性质

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于 人的。平面向量的数量积这一重
要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现 这一点，我设计以
下几个问题：
问题：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算
的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
问题：如图所示，一物体在力的作用下产生位移，
（）力所做的功。

（） 请同学们分析这个公式的特点：
（功）是量，
（力）是量，
（位移）是量，
α

α是。

问题的设计意图在于使 学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的
数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是 向量的运算，但与向量的线性运算相比，
数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
问题的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，
为教学活 动指明方向。
问题的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不< br>仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种
新运算 的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念
、概念的抽象
在分析“功”的计算公式的基础上提出问题
问题：你能用文字语言来 表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一
般向量，其结果又该如何表述？
学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及
其夹角余弦的乘积 。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我
进一步明晰数量积的概念。
、概念的明晰
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为< br>?
，我们把数量 ︱
a
︱·︱
b
︱
?
叫做< br>a
与
b
的数量积（或内积），记作：
a
·
b
，即：
a
·
b
︱
a
︱·︱
b
︱
?

在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题
问题： 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪
些？并完成下表：
?
°

角
?
的范围 °≤
?
<° °<
?
≤°

a
·
b
的符号


通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认
识到向量 的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做
好铺垫。
、探究数量积的几何意义
这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了 向量投影

的定义，直到讲完例后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学 生，我觉得
这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以< br>做了调整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题。
如图，我们把│
b
│
?
（│
a
│
?
）
叫做向量
b
在
a
方向上（
a
在
b
方向上）的投影，
记做：│
b
│
?


问题：数量积的几何意义是什么？
这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念， 从中体会数量积与向量投
影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。
、研究数量积的物理意义
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后， 学生就会明白功的
数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题 一方面使学生尝试计算数 量积，
另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
问题：
（） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
（）尝试练习：一物体质量是千克，分别做以下运动：
①、在水平面上位移为米；
②、竖直下降米；
③、竖直向上提升米；
④、沿倾角为度的斜面向上运动米；
分别求重力做的功。

活动三：探究数量积的运算性质
、性质的发现
教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，
在完成上 述练习后，我不失时机地提出问题：
（）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（）比较︱
a
·
b
︱与︱
a
︱×︱
b
︱的大小，你有什么结论 ？
在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的
定义 给予证
明，完成探究活动。
、明晰数量积的性质

数量积的性质




设
a
和都是非零向量，则
数量积的性质


、
a
⊥
b

a

·
b



、当
a与
b
同向时，︱
a
·
b
︱︱
a
︱︱< br>b
︱；当
a
与
b
反向时，


︱
a
·
b
︱ ︱
a
︱︱
b
︱， 特别地，
a
·
a
︱
a
︱或︱
a
︱
a
?
a




、︱
a
·
b
︱≤︱
a
︱×︱
b
︱

、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领 者，而学生才是学习活动的主体，让学生成
为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学 习活动的热情，不仅使学生
获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

活动四：探究数量积的运算律
、运算律的发现
关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题
问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。
学生可能会提出以下猜测： ①
a
·
bb
·
a
②（
a
·
b
）
ca
(
b
·
c
)
③（
a
b
）·
ca
·
c
b
·
c

猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：
、明晰数量积的运算律

数量积的运算律


已知向量
a
、
b
、
c
和实数λ，则：


（）
a
·
b

b
·
a
（）（λ
a
）·
b
λ（
a
·
b
)

a
·（λ
b
）


（）（
a

b
）·
ca
·
c

b

·
c




、证明运算律
学生独立证明运算律（）
我把运算运算律（）的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考 虑到λ>的情况,
为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<时，向量
a
与λ
a
，
b
与λ
b
的方向 的关系如何？此时，向量λ< br>a
与
b
及
a
与
λ
b
的夹角与向量< br>a
与
b
的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（）
运算律（ ）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同
完成，我想这也是教材的本意。

在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归
纳 ，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时
也增强了学生类比 创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

活动五：应用与提高
例、（师生共同完成）已知︱
a
︱，︱
b
︱,
a
与
b
的夹角为°，求
（
a
b
）·（< br>a
b
），并思考此运算过程类似于哪种运算？
例、（学生独立完成）对任意向量
a
，是否有以下结论：
（）(
a
b
)
aa
·
bb

（）(
a
b
)·(
a
b
)
a
—
b

例、（师生共同完成）已知︱
a
︱，︱
b
︱, 且
a
与
b
不共线，为何值时，向量
a
b
与
a
b
互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

本节教材共安排了四 道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例和例增加
了题后反思。例是数量积的性质和运算律的 综合应用，教学时，我重点从对运算原理的
分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后， 进一步提出问题：此运算
过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出 例给出
的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类
比 这一思维模式达到创新的目的。例的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，
教给学生如何利用数 量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，
教学时重点给学生分析数与形的转化原 理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积
解决有关问题，再安排如下练习：
1、 下列两个命题正确吗？为什么？
①、若
a
≠，则对任一非零向量
b
，有
a
·
b
≠ ．
②、若
a
≠，
a
·
b
＝
a
·
c
，则
b
＝
c
．
、已知△中，
AB
a
,
AC
b
，当
a< br>·
b
<或
a
·
b
＝时，试判断△的形状。
安排练习的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重
要运算，
通过练习使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
活动六：小结提升与作业布置
、本节课我们学习的主要内容是什么？
、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性 质的探究？在运算律的探究过程
中，渗透了哪些数学思想？
、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同
时也为下
一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：
、课本习题组、、。
、拓展与提高：
已知
a
与
b
都是非零向量，且
a
b
与
a
b
垂直，
a
b
与
a
b
垂直
求
a
与
b
的夹角。

在这个环节中，我首先考虑 检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因
此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继 续加深对数量积概念的理解和应
用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不 同的发展，
我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

六、教学评价设计
评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更 能反
映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结

果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通
过以下几种 方式进行：
、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并
对其进行定
性的评价。
、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和< br>表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。
、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些思考，不妥之处，敬请各位专家批评指正。谢谢！



虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失 败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快
乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什 么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起
你的整个世界，愿你做自 己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一 些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得,
学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂， 有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让 你坚强，让你不畏困难强敌；热情，
就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是 灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。