高中数学必修5《正弦定理》说课稿

正 弦 定 理
人教A版普通高中课程标准实验教科书（必修5）
第一章第一节《正弦定理》（第一课时）
正弦定理是三角形边角关系的量化，是解三角形的重要依据之一。这一内容仅
一课时，我主要针 对正弦定理的发现、证明与应用谈谈我对教学的理解与设计，敬
请各位专家斧正。
一、教材分析
1.1教材的地位与作用 三角形是最基本的几何图形，有着极其广泛的应用。 在实际
问题中，经常遇到解任意三角形的问题，因此必须进一步学习任意三角形的边角关
系和解 任意三角形的基本方法。本节课是在学生已经于初中学习了直角三角形的边
角关系和解直角三角形的方法 ，在高中学习了三角函数与平面向量的基础上的深化
拓展。故在此引入正弦定理，使得“解三角形”的学 习变得合情合理，学生在思想
上易于接受。
1.2教材的主体结构
编者从四个层次阐述正弦定理，层层递进，不断深化。









如何量化“大边对大角，小边对小角”
直角三角形的边角关系
推广 猜想

正弦定理的证明
定理应用
编者的意图如何呢？通过提出问题：如何量化“大边对大角，小边对小角”，引发学
生思考；从特殊的三角形——直角三角形入手，将结论推广到一般的情况——任意
三角形，让学 生感受“由特殊到一般”的数学思想方法；分三种情况证明定理，让
学生体会“分类讨论”和“先猜想， 后证明”的方法。从而建立严谨的数学知识体
1

系，使得探究的过程变得简单而有效。
1.3教学的重点难点
重点:正弦定理的发现与证明，及利用定理解三角形。
难点:锐角三角形中正弦定理的证明；已知“两边及其一边对角”解三角形的情况。
难点依据 ：在证明方面，锐角和钝角的情况需要类比直角三角形，而学生在理论证
明中的转化能力较弱；在应用方 面，解两边及其一边对角的情况时，需要应用正弦
函数的图像，学生综合判断能力不强。因此构成了学生 对本节课学习的难点。
1.4教学的三维目标
1.知识与能力目标:①掌握正弦定理,能利用正弦定理解三角形,判断解的个数;
②培养学生归纳、猜想、论证的能力；
③培养学生的创新意识与逻辑思维能力。
目 标分析：此目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要
环节，符合新课标的要求 ．
2.过程与方法目标:①分析研究正弦定理的探索过程；
②体验先猜想后证明，由特殊到一般，分类讨论的数学思想方法。
目标分析：此目标体现了知 识的演绎过程与数学思想方法的渗透，以达到培养学生
良好思维品质，发展数学能力的目的。
3.情感态度价值观目标:通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，激发学生
的求知欲望，给学生 成功的体验，感受数学活动的探索与创造，数学的严谨性以及
数学结论的确定性。
目标分析： 此目标是在教学过程中通过以上两个目标实现的，体现了使学生获得知
识、培养能力的同时，更加注重情 感态度的体验，与价值观的正确导向。
二．教法分析
建构主义认为:教师的角色是学生建构知识的引导 者和帮助者。在教学过程中，
学生为主体, 教师为主导。教师通过创设问题情境，引导学生质疑、探索、反思， 为
学生的学习搭建支架。学生由问 题开始，以正弦定理的发现为基本内容，从而得
出猜想、证明猜想，并逐步得到深化。
因此为了有效的突出重点，突破难点达到三维教学目标，本节课主要采用支架
式教学法。
在这里问题支架的核心，通过提出问题，分析问题，解决问题，来演绎知识的
发生，发展和应用，组织并 推动学生的学习。
2

提出问题 分析问题
反思升华 解决问题
三．学法分析 < br>教与学是和谐统一的整体，是相互促进的体系。学生以自主探究,合作交流为主
要学习方式,结合 “观察——归纳——猜想——证明——应用”的方法将直角三角形、
三角函数的知识应用于对任意三角形 边角关系的探究。体现学生的主体地位，提升
学生的数学思维能力。
四．教学过程设计及简要分析
遵循“最近发展区”的认知规律，结合可接受性和可操作性原则 ，把教学目标
的落实融入到教学过程之中，通过正弦定理的发现,证明和应用过程，让学生体会知
识的发生和发展，帮助学生主动建构知识体系。

1. 创设情景、建立模型
从学生熟悉而有兴趣的例子出发引导学生建立
数学模型并探索结论；
从特殊情况——直角三角形入手，引导学生观
察归纳，得出并推广猜想，最后证明；
从形式上分析定理的结构，让学生体会数学的
形式美与变化；
从简单题型切入，回归到情境问题。让学生通
过应用正弦定理，加深对定理的认识；
引导学生整理新知，归纳方法，将知识形成体
系，从而内化为数学能力。
2、归纳猜想、证明定理
3、结构研究、分析定理
4. 例题练习、应用定理
5. 小结反思、巩固提高

（一） 创设情境，建立模型
兴趣 是最好的老师，如果一堂课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半。
因此，我从学生熟知的国际时事 中的索马里海盗问题创设情景，建立模型，为学生
提供问题之源，把学习任务转移给学生，为新知的建构 做好铺垫。
问题一：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。某日
3

我A舰队突然发现其正东处有一海盗舰艇B正以30节的速度朝正北方向追击 商船,
我方决定全速拦截海盗。已知我方舰队A的速度为60节，问怎样确定航行角度使得
两舰 恰好相遇？

分析一：
学生一般会想到利用直角三角形中，30 所对的边 等于斜边的一半，
得A=30。问题思路简单，学生信心十足。顺利的解决，为下面的问题变换打下了良
好的基础。
问题二：如果其他条件不变，问题一的划线部分改为“海盗舰艇朝北偏西 40
方向追击商船”，此时我方舰队A又如何确定航行角度，使得两舰恰好相遇？
0
0
0
分析二：
由特殊情况到一般情况，激发学生迫切解决问题与探索一般规律的愿< br>望。学生多数会想到做高转化为直角三角形，但限于非特殊角的存在,学生较难计算.
C
C





（问题一）

（问题二）

将实际问题转化为数学问题，建立模型，并提出“解三角形”的概念。
（二） 归纳猜想，证明定理






教师引导
学生观察 学生归纳 学生猜想
通过以上的猜想，学生自然会去思考猜想 的证明方法。因此，及时强调将猜想
转化为定理必须经过严格的理论证明，让学生牢固树立“先猜想后证 明”的数学思
想方法，引导学生进一步探索正弦定理。
1.回顾直角三角形的边角关系，要求学生写出三个角的正弦式，观察特点；
学生得出结论有：
(1)sinA?sinB?sinC?

ab
;

c
2

(2)abc?c
3
sinA?sinB?sinC;
4

abc
；
，sinB?，sinC?
的表达式中 发现联系（都有C）
ccc
abc
3.继续引导学生观察特点得
c?
，故对直角三角形有
，c?，c?
sinAsinBsinC
abc
。
??
sinAsinBsinC
abc
4.提出猜想 是否对任意三角形都成立？(学生探寻证明)
??
sinAsinBsinC
2.引导学生从
sinA?
5.证明定理——分直角、锐角和钝角三种情况
锐角的情况由学生叙述，老师板书；钝角由学生课后完成。







B
a
C
证：
C作CD⊥AB，则有 过
sinA=
b
b
CD
a
sinB=
CD
CD=
b
sinA
a
CD=
si nB
ab
=
sinAsinB
ac
=
sinAsinCc
D
A
同理可得，过B作BE⊥AC，则有
提出问题：是否有其他方法证明正弦定理？引起学生一题多解的好奇心。
（教师提示可用向量的方法来证明）
【设计意图】爱因斯坦说过：发现问题比解决问题更重要 。这样设计是通过教师的
引导，让学生从熟知的特殊情况---- 直角三角形入手，主动探究、合作交流：观察
-归纳-猜想，从而体验知识的发生，为一般性证明打下良 好的基础,并感受“由特
殊到一般”的数学思想方法。体现学生为主体，教师为主导的教学思想。
（三） 结构研究，分析定理
正弦定理（law of sines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
abc
??

sinAsinBsinC
abbcac
???
（1）等价于 ，，；
sinAsinBsinBsinCsinAsinC
即

（2）正弦定理说 明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正
数，即存在正数k使
< br>a?ksinA
b?ksinB
c?ksinC
或，
sinA?ta< br>sinB?tb
sinC?tc

t?
1
；
k
5

【设计意图】通过教师引导学生对定理进行结构分 析。让学生发现公式的对称美，
学会公式的变形用法，体会从形式上研究公式变化，提升对定理的认识。
辨析题：
(1)在?ABC中，若a?b?c,则A?B?C;
(2)在?ABC中 ，若A?B,则sinA?sinB;
(3)在?ABC中，若sinA?sinB,则A?B;

(T)





(T)
(T)
【设计意图】通过此题让学生体会：正弦定理是如何量化“大边对大角，小边对小
角”， 并进一步理解课本P3的原话:由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理
很好的描述了任意三角形边 与角的一种数量关系。
（四）例题练习，定理应用(1)
例1 在△ABC中，若A=45°,B=60°,a=8cm，解三角形.


解：根据三 角形内角和定理，C=180
o
-(A+B)=75
o
ab8b
由正弦定理=得=
sinAsinBsin45
o
sin60
o
8< br>o
即b=sin60=46(cm)
o
sin45
asinC 8sin75
O

同理可得c=

==43+4(cm)
sinAsin45
O
C
a
8
60
0

b
45
0

B
A
【设计意图】以上环节是对正弦定理的猜想与证明，学生迫切需要练习加以巩 固。
因此我首先用例1示范正弦定理的应用,并将题型归纳为：已知两角和一边解三角
形。在解 答过程中，强调解三角形必须画图，标出已知边和角，并注意解答格式的
规范性。例1由教师板书。
例2 在△ABC中,已知a=
3
，b=
2
，B=
?
，解三角形.
4
C
asinB3
=
b2
π2π
∵033

π
（1）A=......
3
2π
（2）A=......
3

解：根据由正弦定理sinA=
6
a

b
A
B
c

y
1
o

-1
?
?
2
2
?
3
?
2
x
【设计意图】例题2是改编于教材P4的例题2，目的是数据便于计算，学生易于接
受。此题让学生明确 利用正弦定理求已知两边及其一边对角时解三角形有两种可能,
并熟练掌握。在这里角A有两解的情况是 难点，学生容易遗漏一解，因此我设计将
正弦函数的图像画出，便于学生思考，突破难点。
（四）例题练习，定理应用(2)
练习：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵 打击海盗。某日我A舰
队突然发现其正东处有一海盗舰艇朝北偏西40方向追击商船,我方决定全速拦截 海
盗。已知我方舰队A的速度为60节，问怎样确定航行角度使两舰恰好相遇

0
解：由正弦定理sinA=
30tsin50
≈0.385
60t
∵0
o
o
∴A≈22.6或157.4
∵aO
∴A?22.6
O




o
【 设计意图】最后的练习回到打击索马里海盗问题，让学生学以致用。一方面与例
题2作比较，阐述已知两 边及其一边对角解三角形时只有一解的情况，对例题2
的情况加以补充,无解的情况则由学生课后自己探 索，从而对题型归纳完整；另一
方面，抓住时机利用时事适当地进行爱国主义教育，激发学生的爱国热情 ，加强学
生努力学习的责任心，在教学中进行德育渗透，寓德于教。
另外，在教学过程中加强 数学教学与信息技术的结合，在解三角形的过程中鼓
励学生利用计算器进行一些繁杂的计算，更好、更快 地实现对新知的探索与发现。
（五）小结巩固，提高认识
1.正弦定理具有对称和谐美；
2.“先猜想后证明”是一种常用的科学研究问题的思路和方法;
3.正弦定理可以解决的三角形的类型：两角一边，两边一对角类型的三角形;
4.在解两边和其中一边对角的三角形时可能出现两解、一解、无解的情况。

7

【设计意图】最后由学生自我总结，教师投影板书。一方面检验学生的知识掌 握；
另一方面锻炼学生的归纳能力。
【任务拓展】如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求 第三边，怎么办？发现正
弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容—余弦定理。布置作业，预习下一 节
内容。
【课后作业】必做题：1.课本P4 练习1(1)，练习2(2)；
2.在ΔABC中，若a=22,b=25,A=133
0
,解三角形。
选做题：1 .在ΔABC中，AB=
3
,AC=1,且B=30
0
,求此三角形的面积；
2.正弦定理的第二种证明。
设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化 学习需求，使他们得到
更深入的发展.将求三角形的面积作为选做题既不影响主体知识建构,
又 能满足学生的进一步的探究需求.
五．板书设计
§1.1.1 正弦定理


1. 正弦定理： 例题1的解答过程


2. 证明：（锐角情况） 练习的解答过程（投影）

六．课后反思
本节课重在创设建构主义学习环境。在教师的引导下，学生完成了对知 识的建
构，形成了完备的知识体系。问题是本节课启发探究的主线，学生以其主体地位参
与其中 ，获得了知识，提升能力。
正弦定理的证明方法很多，本节课从学生的“最近发展区” 入手去设计问题，
思路自然,是学生们易于接受的一种证明方法.
例题2的已知两边 及一边对角的类型，课堂上已涉及两解、一解的情况，无解的
情况由学生课后完成并总结归纳。
这就是我对这节课的理解与设计，有不当之处，敬请各位专家斧正，
谢谢！
8