新课标版数学必修二(新高考 新课程)(课件)作业16

课时作业(十六)
1．已知直线a，b与平面α，则下列四个命题中错误的是( )
A．如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
C．如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b
答案 D
解析 b∥α或b?α.
2．已知直线a，b，c和平面β，具备以下哪个条件时，a∥b成立．( )
A．a∥β，b∥β
C．a⊥c，b⊥c
答案 B
3 ．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异
面直线AE ，BC所成角的正切值为( )
A.2
C．2
答案 A
解析 取BD中点O，连接OE，OA，则OA⊥BD.
∴OA⊥平面BDC，又OE?平面BDC，
1
∴OA⊥OE，又OE綊BC，
2
∴∠AEO即为AE与BC所成的角．
在Rt△AOE中，OA＝
2
a(设正方形棱长为a)，
2
B.
2

2
B．a⊥β，b⊥β
D．a与c，c与b所成角相等
B．如果a⊥α，a∥b，那么b⊥α
D．如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α
1
D.
2
2
a< br>1aOA
2
OE＝BC＝，∴tan∠AEO＝＝＝2.
22OEa
2
4．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下列四个命题中正确的是( )
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l∥m，则α∥β.
A．③④
C．②④
答案 B
B．①③
D．①②

5．下列命题中错误的是( )
A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线
B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C．若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
答案 C
6.如图，在斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中， ∠BAC＝90°，BC
1
⊥AC，则点
C
1
在平面ABC上的射影 H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC
1
，∵∠BAC＝9 0°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC
1
，BA∩BC
1
＝B，∴AC⊥平面 ABC
1
.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC
1
.
又平面ABC∩平面ABC
1
＝AB，∴C
1
在平面ABC上的射影必在直线 AB
上．
7．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m?α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．
答案 ②③④
解析 对于命题①，可利用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线 m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为
β，显然这些直线和平面满足 题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相 交于直线l，则l∥n，由m⊥α知
m⊥l，从而m⊥n，结论正确．
由平面与平面平行的定义知命题③正确．
由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．

8.如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的
一点 ，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；
②EF⊥PC；③AF⊥B C；④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是________．
答案 ①③
9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB
以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________．

答案 2
解析 取AB的中点E，连接DE，CE.
由题意知DE⊥AB，
当平面ADB⊥平面ABC时，
DE⊥平面ABC，CE?平面ABC，则DE⊥CE.
由已知可得DE＝3，CE＝1.
∴在Rt△DEC中，CD＝DE
2
＋CE
2
＝2.
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD
垂直，底面 ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，
过A，D，N三点的平面交PC于M ，E为AD的中点，求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明 (1)∵AD∥BC，BC?面PBC，AD?面PBC，

∴AD∥面PBC，又面ADN∩面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
1
又N为PB的中点，∴点M为PC的中点∴MN綊BC.
2
又E为AD的中点，∴MN綊DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，又DM?面PCD，EN?面PCD，
∴EN∥面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD，
又∵PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥面PBE.
(3)由(2)知AD⊥面PBE.
又PB?面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.
π
1
11．(20 15·陕西)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，
22
E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折至图2中△A
1
BE的 位置，得
到四棱锥A
1
BCDE.

(1)证明：CD⊥平面A
1
OC；
(2)当平面A
1
B E⊥平面BCDE时，四棱锥A
1
BCDE的体积为362，求a的值．
π
1
解析 (1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，
22

所以BE⊥AC.
在题图2中，BE⊥A
1
O，BE⊥OC，又A
1
O∩OC＝O，
从而BE⊥平面A
1
OC，
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A
1
OC.
(2)由已知，平面A
1
BE⊥平面BCDE，
且平面A
1
BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)，A
1
O⊥BE，
所以A
1
O⊥平面BCDE，
即A
1
O是四棱锥A
1
-BCDE的高．
由题图1知，A
1
O＝
22
AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a
2
.
22
11222
从而四棱锥A
1
-BCDE的体积 为V＝×S×A
1
O＝×a
2
×a＝a
3
，由a
3
＝362，得a
33266
＝6.
12.如图所示，ABC-A
1
B
1
C
1
是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC
1< br>的中点，P是B
1
B的中点，O是△ABC的中心．求证：
(1)平面AB
1
D⊥平面ABB
1
A
1
；
(2)OP∥平面AB
1
D.
证明 (1)如图，取AB
1
的中点E，连接DE.连接CO并延长交AB于点F，
则F是AB的中点，且CF⊥AB.连接EF， 则CF∥DE.
由题意，知B
1
D＝AD，∴DE⊥AB
1
.
又CF⊥AB，∴DE⊥AB.
又AB
1
∩AB＝A，
∴DE⊥平面ABB
1
A
1
.
又DE?平面AB
1
D，
∴平面AB
1
D⊥平面ABB
1
A
1
.
(2)如图，连接PF，PC.

∵P，F分别为BB
1
，BA中点，
∴PF∥AB
1
，PC∥B
1
D.
又PF∩PC＝P，AB
1
∩B
1
D＝B
1
，
∴面CPF∥面AB
1
D.
又∵PO?面PFC，
∴PO∥面AB
1
D.