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课时作业(二十二)
一、选择题
111
1．用数学归纳法证明：1
＋＋＋…＋
n
且n>1)第一步验证n＝2时，左边计算23
2－1
所得项为( )
A．1
1
C.
3
答案 D
11
解析
当n＝2时，左边最后一项为
2
＝
.
2
－1
3
1
111
2．设f(n)＝＋＋＋…＋
n
，则f(k＋1)－f(k)等于( )
234
2－1
1
A.
k
＋
1
2－1
11
C.
k
＋
k
＋
1
2
2－1
答案 D
111
解析
n＝k时，f(k)＝1＋
＋＋…＋
k
.
23
2
－111111
n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋
＋＋…＋
k
＋
k
＋…＋
k1
.
23
2
－1
2
2
＋
－1
111
∴f(k＋1)－f(k)＝
k
＋
k
＋…＋
k1
.
2
2
＋1
2
＋
－1
3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结
论正确的是( )
A．P(n)对所有正整数n都成立
C．P(n)对所有正奇数n都成立
答案 B
11111111
4．用数学归纳法证明恒等式1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
23
42n
2n－1
2n
n＋1n＋2
由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上
( )
1
A.
2k＋1
1
B．－
2k＋1
B．P(n)对所有正偶数n都成立
D．P(n)对所有自然数n都成立
111
B.
k
＋
k
＋
1
＋
k＋
1
2
22－1
1111
D.
k
＋
k
＋
k
＋…＋
k
＋
1
2
2＋12＋22－1
1
B．1＋
2
11
D．1＋＋
23
1
C.
2（k＋1）
答案 D
11
D.－
2k＋12k＋2
5
．若凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)等于( )
A．f(n)＋n＋1
C．f(n)＋n－1
答案 C
二、填空题
11111
6．设S(n)＝＋＋＋＋…＋
2
，则S(
n)有________项，S(2)＝________．
n
n＋1n＋2n＋3
n
13
答案
n
2
－n＋1；
12
a
n
－a
m
11113
解析
应用等差数列通项公式的变形公式：d＝
即得项数；S(2)＝＋＋＝
.
23412
n－m
7．用数学归纳法证明3
n
>n
3
(n≥3，n∈N
*
)第一步应验证________．
答案 n＝3时是否成立
解析
n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
11111
8．用数学归纳法证明
2
＋
2
＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n
23
（n
＋1）
2
2
n＋2
＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
答案
1111111
＋＋…＋＋＋>－
2
2
3
2
k
2
（k＋1）
2
（k＋2）
2
2
k＋
3
B．f(n)＋n
D．f(n)＋n－2
1111111
解析 观察不
等式中的分母变化知，
2
＋
2
＋…＋
2
＋＋
>－
.
23k
（k＋1）
2
（k＋2）
2
2<
br>k＋3
三、解答题
11112
9．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－
)…(1－)＝(n∈N
*
)．
345
n＋2n＋2
1222
证明
(1)当n＝1时，左边＝1－
＝，右边＝＝，等式成立．
33
1＋2
3<
br>11112
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
*
)时等式成立，即(1－)
(1－)(1－)…(1－)＝.
345
k＋2k＋2
11111
当n＝k
＋1时，(1－
)(1－)(1－)…(1－)(1－)
345
k＋2k＋3
2（k＋2）
212
＝
(1－)＝
＝
.
k＋2k＋3<
br>（k＋2）（k＋3）
k＋3
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N
*
等式都成立．
10．用数学归纳法
证明1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋5
2
－…＋(2n－1)
2
－(2n)
2
＝－n(2n＋1)(n∈
N
*
)．
解析 (1)当n＝1时，左边＝1
2
－2
2<
br>＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋…＋(2k
－1)
2
－(2k)
2
＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋…＋(2k－1
)
2
－(2k)
2
＋(2k＋1)
2
－[2(k＋1)]<
br>2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)
2
－[2(k＋1)]
2
＝－2k
2
－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N
*
，等式成立．
11．已知x>－1，且x≠0，n∈N
*
，且n≥2.
求证：(1＋x)
n
>1＋nx.
证明 (1)当n＝2时，左边＝(1＋
x)
2
＝1＋2x＋x
2
，右边＝1＋2x.
∵x
2
>0，∴原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*
)时不等式成立，即(1＋x)
k
>1＋kx.
当n＝k＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0.
于是左边＝(1＋x)
k
＋
1
＝(1＋x)
k
(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x
＋kx
2
，右边＝1＋(k＋1)x.
∵kx
2
>0，∴左边>右
边，即(1＋x)
k
＋
1
>1＋(k＋1)x.
这就是说，当n＝k＋1时原不等式也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立．
111
12．已知
S
n
＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N
*
)．
23n
n<
br>求证：S
2n
>1＋(n≥2，n∈N
*
)．
2
111252
证明 (1)当n＝2时，S
2n
＝1＋
＋
＋＝
>1＋
，即n＝2时命题成立．
234122
111k
(2)
设n＝k时命题成立，即S
2k
＝1＋
＋＋…＋
k
>1＋
，
当n＝k＋1时，
2322
11111
S
2k＋1
＝1＋
＋＋…＋
k
＋
k
＋…＋
k1
23
2
2
＋1
2
＋
k＋1
k111k2
k
k1
k
>1＋
＋
k
＋
k
＋…＋
k1
,
sup10(2))>1＋
＋
kk
＝1＋＋＝1＋，故当n＝k
2
2
＋1
2
＋2
2
2
＋2
222
2
＋
＋1时，命题成立．
n
由(1)(2)知，对n∈N
*
，n≥2，
S
2n
>1＋
不等式成立．
2
?重点班·选做题
111
a
13．若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并
n＋1n＋23
n＋1
24
证明你的结论．
思路分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a的最
大值，然后再用数学归纳法证明对
一切的正整数n，不等式都成立．
111a26a
解析
当n＝1时，
＋＋
>
，即
>
，
2424
1＋11
＋23＋1
24
∴a<26，又a∈N，∴取a＝25，下面用数学归纳法证明：
11125
＋＋…＋
>.
n＋1n＋23n＋1
24
(1)当n＝1时，已证．
11125
(2)假设当n＝k时，
＋＋…＋
>
成立．
k＋1k＋23k＋1
24
111111
当n＝k＋1时，有＋＋…＋＋＋＋
（k＋1）＋1（k＋1）＋2
3k＋13k＋23k＋33（k＋1）＋1
?
1
＋
1
＋…＋
1
??
1
＋
1
＋
1
－
1
?
2511
＝
?
k＋1k＋2＋
>
＋＋－
???
3k＋1
???
3k＋23k＋33
k＋4k＋1
?
24
3k＋23k＋4
2
.
3（k＋1）
1122
∵＋－＝
>0，
3k＋23k＋43（k＋
1）3（k＋1）（3k＋2）（3k＋4）
11125
∴＋＋…＋
>
也成立
．
（k＋1）＋1（k＋1）＋2
3（k＋1）＋1
24
11125
由(1)、(2)可知，对一切正整数n，都有不等式＋＋…＋
>
成立．
n＋1n＋23n＋1
24
∴a的最大值25.