黑龙江省高中数学竞赛初赛试题-柳州高中数学老师
人教A版高中数学选修2-2第《类比推理》说课稿
一、【教材分析】
类比推理是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第一小
节
的内容，是合情推理的一个重要内容。对整个高中阶段类比推理思维形式进行高
度概括与总结
，也将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前，起到点睛作
用。让学生认识到数学既是演绎的科学
又是归纳类比的科学，数学是结论的体系，
其结论的发现过程也是数学，从而形成对数学较为完整的认识
，为进一步向高等
数学学习作准备。
二、【学情分析】
类比推理被安排在
高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象
的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中
阶段大部分的知识板块，具备一
定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节
，学生
已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例
和生活中
的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。
三、【教学目标】
（一）知识与技能：
1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它
用于对问题的发现
中去；
2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进
行类比。
（二）过程与方法：
本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法—类比推理，在
整
个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，采用以学生活动为主，自
主探究，合作交流
，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学
活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围
（三）情感态度与价值观：
1．正确认识类比推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观
察事物、分
析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知
识。
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善
数学的正确数学意
识。
四、【教学重点、难点】
教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：能找到事物之间的
共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上
进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。
五、【教法分析】
根据本节课的教学内容和学生的实际，我将采用引导发现法和讲练结合的方
法，紧密联系学生已经学过的知识，创设问题情境，引导学生积极思考、大胆探
索，鼓励学生积
极主动回答问题，创设一个和谐平等的课堂模式。将类比推理思
想逐步提炼出来，从而内化为自己的思想
。为巩固教学效果，老师通过动画演示，
学生进行适当练习来规范学生的作业行为，巩固所学知识，达到
学以致用的目的，
提高学生灵活运用知识的能力。
六、【学法指导】
基础教育课程
改革要求加强学习方式的改变，提倡学习方式的多样化，各
学科课程通过引导学生主动参与，亲身实践，
独立思考，合作探究，发展学生搜
集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及
交流合作
的能力，基于此，本节课从实例引入，引导学生积极思考，寻找知识的生长点，
同时安
排一定的时间让学生进行课堂练习，布置适量的作业以进一步巩固所学知
识并及时做好知识反馈，让学生
主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相
结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的
发现者和知识的研究者。
七、【教学过程】
环节 教 学 程 序 师生互动
设计意图
情境一：公输班（鲁班）发明锯子的传说（类比在生
活中的体现、作用）。
从身边仿
本课“引入情
境”中，首先出现
的不是数学问题，
却是生活中仿生
学中的例子，一方
面让学生耳目一
新；另一方面，细
学生活
动: 春秋时代鲁国的公输班也就是
创
设
情
景
鲁班发明的,是他受到路边的齿形草能割破行
人手的启发.
情境二：飞机及潜水艇的发明（类比推动发现、发明、
生学的几个例
创造）
子作为情境，
让学生倍感新
品之下，凸显类比
奇、兴趣大增。
法之魅力！自然合
理地提出问题，让
学生感受推理在
现实世界中无处
不在，为
“数学
是生动活泼的，发
现问题是数学学
习的目的”埋下伏
笔。
学生活动:雷达与蝙蝠等等。
环节 教 学 程 序
问题1：前面的推理是归纳推理吗它与归纳推理有什
么不同
师生互动
设计意图
与归纳推理
进行比较这也是
学生活动:归纳推理:“特殊 一般” 归纳
一种类比
推理:“特殊
特殊”
授
新
课
请大家回忆回忆我们高中所学过的知识，
哪些知识板块可以放在一起进行类比呢
学生活动：等式与不等式，平面上的圆与空间
中的球，等差与等比数列，平面几何与立体几
何，椭圆与双曲线，空间向量与平面向量等等。
大家根据自己的直觉提出了这么多可以进
行类比的知识，那我们就选几个板块展开来看
看，它们为什么可以进行类比，具体怎样类比
引例1：
a?b
若a,b?R
?
,则?ab
．
2
(当且仅当a?b时等号成立)
若a,b,c?R
?
,你能得到什么结论？
学生活动：
若a,b,c?R
?
,则
a?b?c
3
?abc
3
(当且仅当a?b?c时等号成立)
在此过程中，
引导学生
课件内容的展现、
观察两个个推
让学
理的前提与结
教师的引导，
论，根据前提
生感受到类比的
与结论的关系
魅力，由浅入深、
由学生尝试命
由易到难由生活
名，
中熟悉的类比转
向正题。
引例2．等差数列与等比数列
等差数列等比数列
定义
通项
中项a
n?1
?a
n
?d
a
n
?a
1?(n?1)d
a?b
2
a
n?1
?q
a
n<
br>a
n
?a
1
q
n?1
?ab
性质
若
p?q?m?n(m,n,p,q?N*),
若p?q?m?n(m,n,p,q?N*),
则
a
p
?a
q
?a
m
?a
n
则a
p
?a
q
?a
m
?a
n
学生活动：它们的定义、通项
、中项是相似的，
类比出性质相似
环节 教 学 程 序 师生互动
设计意图
提出类比推理的概念
类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简
称类比）。
问题： 类比的形式是怎么样它的一般步骤是什
么
学生交流，由教师总结。
类比推理的形式可表示为：
A对象具有属性a、b、c、d；
B对象具有属性a、b、c；
所以，B对象具有属性d。
一般步骤：
⑴
找出两类对象之间可以确切表述的相似特
授
新
课
征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象
的特征，从而得出一个猜想；
⑶
检验猜想。即思维过程是
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
通过对前
培养学生抽
面例子的分象概括能力和研
析，让学生推究性学习的科学
出类比推理的态度。讨论降低了
概念。引导学概念学习的难度，
生进行讨论归使学生能够更多
纳出一般的步的围绕重点展开
骤，
探索和研究。
（三）例题讲解
例：三角形与四面体的有关性质的类比：
(电脑动画演示)
三角形的性质
三角形的任意两边交
于一点
三角形的中位线等于
四面体三个面的面积之和
第三边的一半，且平
大于第四个面的面积
行于第三边
三角形的面积
四面体的体积
四面体的性质
四面体任意两个面交于一
条直线
通过例题
利用电脑动画演
引导让学生理
示帮助学生对问
解常见的类
题的理解
比：
点 线
线 面
面积 体积
1
1
环节 教 学 程 序
师生互动 设计意图
问题1：三角形和四面体之间为什么可以进行
类比呢，它们在哪些方面是相似的
学生活动：
（1）三角形是边数最少的平面图形，四面体是
面数最少的空间立体图形
（2）三角形任意两边都相邻，四面体任意两面
也相邻
问题2： 如何展开类比的
电脑动画演示：
三角形与四面体
引导让学
是学生比较熟悉
生理解常见的
的可以进行类比类比：
点 线
线 面
的知识，所以直接
交给学
生，由学生
发挥，让他们体会
第二小题把三角形看成是一段线段一点向上
面积
体积
类比推理的过程
拉起形成有两边之和大于第三边类比出四面
体是三角形内一点拉
起形成得出三个面的面
积之和大于第四个面的面积
第三小题把三角形看成内切圆圆心与三个顶
点分割成三个小的三角形，其高为内切圆半
授
新
课
学生交流，由教师总结：
“点 线 ；边 面 ；面积
体积 ”
学生分组讨论举例
（把全班同学分成四组，互相交流身边的，学
径类比出四面体看成内切球球心与四个顶点
分割成四个小的三棱锥，其高为内切球半径
让
学生分
和获得新知的得
到过程，以最大的
热情投入到课堂
中来。又利用电脑<
br>动画演示，分散难
点。
给学生创建
一个开放的、有活
力、有个性的数学
学习环境。
感受发
现的
喜悦，激发学生更
积极地去寻找规
过的类比例子，然后每组请一个学生代表发言<
br>组讨论，各组
举例，看哪一位同学举得又快例子又易于接受）
各举一例。体
学生活动：互相交流，推举代表举例，
如：热水瓶装热水后瓶盖跳起类比蒸汽机
正方形类比正方体
长方形类比长方体
现学生的主体
意识合作、互
助的团队精
神。
环节
发散举例
教 学 程 序 师生互动
让学生学
C
设计意图
来源于例题
又高于例题，培
养
学生空间想象能
力，激发学生的求
知欲。感受类比推
理的魅力。
直角三角形的性质到三面两两垂直的四面体的
性质(电脑动画演示)
三面两两垂直的四
直角三角形的性质
面体的性质
Ｂ
A
c
Ａ
授
新
课
a
Ｃ
O
会变式学会延
伸，体会处处
有类比。
b
B
c
2
=a
2
+b
2
B
S
2
△
ABC
=S
2
P
22
1
+S
2
+S
3
a
C
b
c
D
F
A
E
斜边中线等于斜边斜面的一条中位线
的二分之一
与直角顶点形成的
三角形面积等于斜
面的四分之一
（四）课堂练习
练习1．若数列
?
a
n
?
是等差数列，且
练
习
让学生学
让学生通过
会变式学会延
a<
br>1
?a
2
?...?a
n
类比
b
n
?,
则
?
b
n
?
也是等差数列。
n
体会方
法运
伸，体会处处
分析，
上述性质，相应地，数列
?
c
n<
br>?
是等比数列，且
用类比推理。
有类比。
c?0
，
d?___________
，则
?
d
?
也是等比数<
br>
n
n
n
列（以上
n?N
*
）。
环节 教 学 程 序
练习2．若矩形ABCD的对角线BD与边AB和<
br>BC所成角分别为
?、?
，则
cos
2
?
?cos<
br>2
?
?1,
练
习
若把它推广到长方体ABCD—A
1
B
1<
br>C
1
D
1
中，试写
出相应命题形式：
__________ .
学生活动：
（1）若
?
,
?,
?
是长方体对角线与过同一点三个
面所成的角时，
sin
?
?sin
?
?sin
?
?1
；
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2?
?1
；
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2
222
师生互动
设计意图
对于理科班，
让学生自由发
我
们可以适当的
挥尝试从不同
增加类比的难度，
角度思考得出
况且近几年的高<
br>多次出现
不同结论，体
考题中，
（2）若
?
,
?,
?
是长方体对角线与过同一点三个
会类比推理的
了以类比的形式
棱所成的角时，
cos
2
?
?cos
2
?
?c
os
2
?
?1
sin
?
?sin
?
?sin
?
?2
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2?
?1
222
加强了
过程和获得新
的新题型，
不能
知的得到过
能力的考查，
程，以最大的
仅把类比停留在
热情投
入到课
叙述方式或数学
堂中来。
结构等外层表象
练习3（学生上台演示）：
①课本
P
78
：练习3。②（广东高考）由图（1）
有关面积关系
S
V
PA
'
B
'
S
V
PAB
PA
'
?PB
'
?,
则图（2）
PA?PB
有关体积关系：________________。
P
B
A
B
C
C
之上，还需要对数
学结论的运算、推
理过程等进行类
比分析，从解题的
思想方法、思维策
略等
层面寻求内
在的关联。
A
B
A
A
P
B
学
生活动：先思考，然后两位同学上台演示，
师生共同点评
环节 教 学 程 序
（五）课堂小结
从类比的概念，类比的步骤，类比的方式三个
师生互动
学生讨论
总结，相互补
充，教师点评。
设计意图
让学生自己
小结，
这是一个多
维整合的过程，是
一个高层次的自
我认识过程。
小
结
部分总结。
在几何中一般的类比对象,点—线； 线—面；
边长—面积；面积—体积。
问:类比的结果是一定可靠吗（不可靠）
b
a
c
?
?
?
,
?
?
?
?
?
?
a?b,b?c
?ac
（以下三题选二题）
1．在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
10
?0,
则
有等式
a
1
?a
2
?????a
n
?a
1
?a
2
?????a
19?n
(n?19)n?N
*类比上述性质，相应地，在等比数列
?
b
n
?
中，
若<
br>b
9
?1,
则有：_ ___。
作
业
布
置
3．过圆心的弦称作直径。圆
中有如下性质：若
AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点（异于A、
B），则
K
MA
K
MB
??1
。定义：过圆锥曲线（椭
圆、双曲线）中心的弦叫
作圆锥曲线（椭圆、
x
2
y
2
双曲线）的直径，那么对于椭圆
2
?
2
?1
ab
2．已知矩形ABCD中
AC
2
?AB
2
?BC
2
，若把
巩固课内
设计选做题
它推广到长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，试写
所学内容，对是让不同层次、不
出相应命题形式：
所学类比推理
同爱好的同学有
的检测。
各自的选择，提高
学习的积极性。
____________________ .
能否得到类似的结论对于双曲线
x
2
y
2
?
2
?1
呢
2
ab
环节 教 学 程 序 师生互动 设计意图
思考题：如图，在平面上,设h
a
,h
b
,h
c
是三角形<
br>
ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相
应三边的距离分别为p
a
,
p
b
,p
c
,我们可以得到结
课
后
思
考
论:
p
a
p
b
p
c
???1
h
a
h
b
h
c
让学生带着
问题走出课堂，进
一步提升思维品
质。
加深对类比推
理的理解
试通过类比,写出在空间四面体中的类似结论。
B
A
A
P
Pc
P
Pb
B
C
D
Pa
C
.
八、【板书设计】
类 比 推
理
课题引入
新课讲授
作业布置（三选二）
课外思考
点 线
边 面
面积 体积
等差 等比
敢于猜想
课堂小结