高中数学双曲线常用结论-高中数学微课视频设计说明
第二章 2.2 等差数列
2.2.2 等差数列的前n项和
第一课时
等差数列的前n项和
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1.已知等差数列{a<
br>n
}的前n项和为S
n
,a
5
+a
7
=14
,则S
11
=( )
A.104
C.154
B.70
D.77
111111
解析:S
11
=(a<
br>1
+a
11
)=(a
5
+a
7
)=×14=
77.
222
答案:D
2.(2018·河南信阳月考)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
4
=18-a
5
,
则S
8
=( )
A.18
C.54
B.36
D.72
解析:由a
4
=18-a
5
,得a
4<
br>+a
5
=18,
8?a
1
+a
8
?
∴S
8
=
=4(a
4
+a
5
)=72,故选D.
2
答案:D
3.等差数列{a
n
}共有20项,其中奇数项的和为
15,偶数项的和为45,则该数列的公
差为( )
A.-3
C.-2
B.3
D.-1
解析:S
偶
-S
奇
=10d,
∴45-15=10d,
∴d=3.故选B.
答案:B
4.已知{a<
br>n
}是等差数列,a
10
=10,其前10项和S
10
=70
,则其公差d=( )
2
A.-
3
1
C.
3<
br>10?a
1
+a
10
?
解析:S
10
==70,
2
∴a
1
+a
10
=14,∴a
1
=4,
a
10
-a
1
62
∴d===
.故选D.
993
答案:D
a
5
5.(2019·甘肃兰州月考)设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,S
5
=3(a
2+a
8
),则的值为
a
3
( )
5
A.
6
3
C.
5
1
B.
3
1
D.
6
1
B.-
3
2
D.
3
解析:由S
5
=3(a
2<
br>+a
8
),得5a
3
=6a
5
,
a
5
5
∴=,故选A.
a
3
6
答案:A
6.设S
n
是等差数列{a
n
}(n∈N
*
)的前
n项和,且a
1
=1,a
4
=7,则S
5
=_______
_.
5×4
解析:设{a
n
}的公差为d,∵a
4
=a
1
+3d,且a
1
=1,a
4
=7,∴d=2
.∴S
5
=5×a
1
+d
2
=5+5×4=25.
答案:25
7.已知{a
n
}是等差数列,S
n
为其前n
项和,n∈N
*
.若a
3
=16,S
20
=20,则S10
的值为
________.
解析:设{a
n
}的公差为d,则a
1
+2d=16,
2
0×19
20a
1
+d=20,解得a
1
=20,d=-2,
2
10×9
所以S
10
=10a
1
+d=110.
2
答案:110
8.在等差数列{a
n
}中,
(1)已知a
6
=10,S
5
=5,求a
8
;
48
(2)已知a
2
+a
4
=,求S
5
.
5
解:(1)解法一:∵a
6
=10,S
5
=5,
??
?
a
1
+5d=10,
?
a
1
=-
5,
∴
?
解得
?
?
5a
1
+10d=5,
?
??
d=3.
∴a
8
=a
6
+2d=16.
解法二:∵S
6
=S
5
+a
6
=15,
6?a
1
+a
6
?
∴15=,即3(a
1
+10)
=15.
2
a
6
-a
1
∴a
1
=-5,d==3.
5
∴a
8
=a
6
+2d=16.
48
(
2)解法一:a
2
+a
4
=a
1
+d+a
1
+3d=,
5
24
∴a
1
+2d=.
5
1
∴S
5
=5a
1
+×5×(5-1)d=5a
1
+2×5d=
2
24
5(a
1
+2d)=5×=24.
5
48
解法二:a
2
+a
4
=a
1
+a
5
,∴a
1
+a
5
=.
5
n?a
1
+a
n
?
∵S
n
=,
2
5×?a
1
+a
5
?
548
∴S
5
==×=24.
225
[B组 技能提升]
1.(2018·重庆月
考)已知S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和,若S
5
=5
a
4
-10,则数列{a
n
}的
公差为( )
A.4
C.2
B.3
D.1
解析:由S
5
=5a
4
-10,得5a
3
=5a
4
-10,
∴a
4
-a
3
=2,故选C.
答案:C
S25
S
65
2.(2018·辽宁盘锦月考)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知=5,则=( )
a
23
a
43
A.125
C.45
B.85
D.35
25×24
解析:由题可得25a
1
+d=5(a
1
+22d),
2
19
∴a
1
=-d,
2
65×
6419
64
-
?
+65×
65a
1
+d65×<
br>?
?
2
?
22
S
65
∴===45. a
43
19
a
1
+42d
-+42
2
答案:C
3.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
m
-
1
+a
m
+
1
-a
2
S<
br>2m
-
1
=38,则m=________.
m
=0,解析:∵{a
n
}是等差数列,∴a
m-1
+a
m+1
=2a
m
,
由a
m-1
+a
m+1
-a
2
m
=0,
得2a
m
-a
2
m
=0,∴a
m
=2或a
m
=0(舍),
?2m-1??a
1
+a
2m-1
?
又S
2m-1
=38,即
=38,
2
即(2m-1)×2=38,
解得m=10.
答案:10
?
S
n
?
4.已知S
n
是等差数列{a
n
}
的前n项和,若S
7
=7,S
15
=75,则数列
?
n?
的前20项和为
??
________.
7×6
解析:S<
br>7
=7a
1
+d=7a
1
+21d=7.①
215×14
S
15
=15a
1
+d=15a
1
+105d=75.②
2
?
?
a
1
=-2,
由①
,②可得
?
?
?
d=1.
n?n-1?
15∴S
n
=na
1
+d=n
2
-
n.
222
S
n
15
∴=
n-.
n22
<
/p>
?
S
n
?
1
∴数列
?
n?
是首项为-2,公差为的等差数列.
2
??
20×19
1<
br>∴前20项和为-40+
×
=55.
22
答案:55
5.
在等差数列{a
n
}中,a
1
=-60,a
17
=-12,
求数列{|a
n
|}的前n项和.
解:等差数列{a
n
}的公差
a
17
-a
1
-12-?-60?
d===3,
16
17-1
∴a
n
=a
1
+(n-1)d=-60+(n
-1)×3=3n-63.
由a
n
<0,得3n-63<0,即n<21.
∴数列{a
n
}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设S<
br>n
,S′
n
分别表示数列{a
n
}和{|a
n
|}的前n项之和,
当n≤20时,
S′
n
=|a
1
|+|a
2
|+…+|a
n
|=-a
1
-a
2-…-a
n
n?n-1?
?
=-S
n
=-<
br>?
-60n+×3
2
??
3123
=-n
2
+n;
22
当n>20时,
S′
n
=-S
20
+(S<
br>n
-S
20
)=S
n
-2S
20
n?n-1?
20×19
?
=-60n+×3-2×
?
-60×20
+×3
2
2
??
3123
=n
2
-n+1 260.
22
∴数列{|a
n
|}的前n项和
?
S′=
?
3123
n-
?
22
n+1
260,n>20.
n
2
3123
-n
2
+n,n≤20,
22
6.已知{a
n
}是等差数列.
(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;
(2)S
n
=20,S
2n
=38,求S
3n
;
(3)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.
解:(1)
依题意可知a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=2
1,
a
n
-
3
+a
n
-
2
+a
n
-
1
+a
n
=67,
∴a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
n
-
3
+a
n
-
2
+a
n
-
1
+an
=88,
88
∴a
1
+a
n
==22.
4
n?a
1
+a
n
?
∵S
n
=2
86,即=286,
2
∴11n=286,∴n=26.
(2)由已知可知Sn
,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
成等差数列,
∴2(S
2n
-S
n
)=S
n+(S
3n
-S
2n
),
∴S
3n
=3(S
2n
-S
n
)=3(38-20)=54.
(3)解法一:设项数为2k+1,则:
k+1
a
1
+a
3
+…+a
2k
+
1
=44=(a
1
+a
2k
+
1
),
2
k
a
2
+a
4
+…+a
2k
=33=(a
2
+a
2k
), 2
∵a
1
+a
2k
+
1
=a
2
+a
2k
,
∴
k+1
44
=,
k33
即k=3,
a
1
+a
2k
+
1<
br>∴项数n=7,中间项为=11.
2
解法二:∵a
1
,a
3
,a
5
,…及a
2
,a
4
,a
6
,…均是等差数列,
S
偶
+S
奇
=S
n<
br>,
?
?
∴
?
S
奇
-S
偶
=
a
中
,
?
?
S
n
=na
中
,
S
n
=77,
?
?
∴
?
a
中
=11,
?
?
na
中
=S
n
,
?
n=7,
?
∴
?
?
a=11.
?
中