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数集 确界原理(经典课件)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 16:56
tags:高中数学课件

高中数学典型例题解析不等式-高中数学教学研讨内容

2020年9月18日发(作者:仲长统)


§2数集
?
确界原理
教学内容:1.实数集的有关概念;
2.确界的概念和确界原理。
教学目的:1.使学生知道区间与邻域的表示方法;
2.使学生深刻理解确界的与确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理)。
教学难点:确界的定义及其应用。
教学方法:讲授为主。
教学学时:2学时。
引言:
为了以后表述的方便 ,本节课我们先定义实数集R中的两类重要的数集——区间邻域;并讨论有界集与
无界集;最后再由有界 集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理)。后者是我们以后关于实数理论
研究的基础,应给予 充分重视。
一、区间与邻域:
1.区间(用来表示变量的变化范围):

a,b?R

a?b

?
?
?
?
.
?
?
开区间:
?< br>x?R|a?x?b
?
?(a,b)
?
有限区间
?
闭 区间: x?R|a?x?b?[a,b].
??
?
?
?
?
?
闭开区间:
?
x?R|a?x?b
?
?[a,b)
?半开半闭区间
?
?
?
?
?
?
?
开闭区 间:
?
x?R|a?x?b
?
?(a,b]
?

区 间
?
?
?
x?R|x?a
?
?[a,??).
?< br>?
?
?
?
x?R|x?a
?
?(??,a].
?
?
无限区间
?
?
?
x?R|x?a
?
?(a,??).
?
?
?
x?R|x?a
?
?(??,a) .
?
?
?
?
?
?
?
x?R|???x?? ?
?
?R.
?
注:
??
读作正无穷大;
??
读作负无穷大。
2.邻域:
联想字面意思:“邻近的区域”。

a
为任一给定实数,
?
(Delta---- 德耳塔)为一给定正实数。
(1) 点a的
?
邻域:
U(a;
?< br>)?x|x?a|?
?
?(a?
?
,a?
?
)

(2)点a的空心
?
邻域:
U(a;
?
)=x0?|x ?a|?
?
?(a?
?
,a)?(a,a?
?
)

(3)点a的
?
右邻域和点a的空心
?
右邻域:

U
?
(a;
?
)=xa?x?a?
?
?[a;a?
?
)

U
(4)点a的
?
左邻域和点a的空心
?
左邻域:

U
?
(a;
?
)=xa?
?
?x?a?(a?
?
;a]

U

?
? ?
??
??
?
?
?
xa?x?a?
?
?< br>?(a;a?
?
)

(a;
?
)=
???
?
?
xa?
?
?x?a
?
?(a?
?
;a)

(a;
?
)=


注:以后在没有必要指出邻域半径
?
的大小时,以上领域我们可以分别简记为:

U(a),U
?
(a),U
?
(a),U
?
?(a),U
?
(a),U
?
?
(a)

(5)
?
邻域,
??
邻域,
??
邻域:(其中M为充分大的正数)
U(?)?
?
x|x|?M
?
,U(??)?
?
x x?M
?
,

U(??)?
?
xx??M
?

二、有界集与无界集:
什么是“界”?――范围。
定义1(上、下界): 设
S

R中的一个数集。若存在数
M(L)
,使得对一切
x?S
都有
x? M(x?L)
,则称S为有上(下)界的数集,数
M(L)
称为S的上界(下界)。若 数集S既有上界,
又有下界,则称S为有界集。若数集S不是有界集,则称S为无界集。
[问题]:(1)上(下)界若存在,唯一吗?(2)上(下)界与S的关系如何?看下例:
例1 讨论数集
N
?
?n|n为正整数
的有界性。
分析 :有界或无界
?
上界、下界?下界显然有,如取
L?1
;上界似乎无,但需要 证明。
解:任取
n
0
?N
?
,显然有
n
0
?1
,所以
N
?
有下界1;但
N
?
无上 界。证明如下:假设
N
?
有上界
M,则M>0,按定义,对任意
n< br>0
?N
?
,都有
n
0
?M
,这是不可能的, 如取
n
0
?[M]?1,

n
0
?N
?< br>,且
??
n
0
?M
.
综上所述知:
N
?
是有下界无上界的数集,因而是无界集。
这里[
x
]表示不超过
x
的最大整数,如:
[2.5]?2,[5]?5, [?2.5]??3,[?5]??5.

[可以看到]: (1)若数集有(上、下)界,则它不唯一,且有无限多个;
(2)同一数集的上界必大于等于其下界。
三、确界与确界原理:
1、定义:(最小的上界和最大的下界)
定义2(上确界) 设S是R中的一个数集,若数
?
满足:(1) 对一切
x?S,

x?
?
(即
?
是S的上界);
(2) 对任何
?
?
?
,存在
x
0
?S
,使得
x
0
?
?
(即
?
是S的上界中最小 的一个),则称数
?
为数集S的上确
界,记作
?
?supS.

定义3(下确界)设S是R中的一个数集,若数
?
满足:(1)对一切
x?S,

x?
?
(即
?是S的下界);
(2)对任何
?
?
?
,存在
x
0
?S
,使得
x
0
?
?
(即
?
是 S的下界中最大的一个),则称数
?
为数集S的下
确界,记作
?
?i nfS
.
上确界与下确界统称为确界。



(
?
?Yita?艾塔,
?
-Ksai?克西)
例2 讨论数集
S?xx为区间(0,1)中的有(无)理数
的确界。
分析:通过数轴看有无上、下界,进一步讨论上、下确界。
提示:利用有理数集在实数集中的稠密性。
supS?1,infS?0.

解 先证
supS?1

(ⅰ)对一切
x?S
,显然 有
x?1
,即1是
x

S
上界。
(ⅱ) 对任何
?
?1
,若
?
?0
,则任取
x
0
?S
都有
x
0
?
?
;若
?
?0
, 则由有理数集在实数集中
的稠密性,在
(
?
,1)
中必有有理数x
0
,即存在
x
0
?S
,使得
x
0< br>?
?

类似可以验证
infS?0.

例3 (1)
S?[0,1],supS?1,infS?0.

??
?
(?1)
n
?
1
(2)
S??
n?1,2,
?
?
,supS?,infS??1.

2
?
n
?
(3)
N
?
,supN
?
不存在,inNf
?
?

1
2、确界的性质:
? 唯一性:若数集S存在上(下)确界,则一定是唯一的;
? 若数集S存在上、下确界,则有
infS?supS

? 数集S的确界可能属于S,也可能不属于S;
? 存在性——定理1.1(确界原理)设S为非空数集 ,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,
则S必有下确界。
定理1.1(确界原理)设 S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界。
证 这里只证明定理的前半部分,后半部分可类似的证之。
为叙述方便起见,不妨设S含有非负数,由于S有上界,故可以找到非负整数
n
,使得:
(1) 对任何
x?S
,有
x?n?1

(2) 存在
a
0
?S
,使
a
0
?n
.
对区间
[n,n?1)
作10等分,分点为:
n.1,n.2,?,n.9
, 则存在
0,1,2,?,9
中的一个数
n
1
,使得:
(1) 对任何
x?S
,有
x?n.n
1
?
(2) 存在
a
1
?S
,使
a
1
?n.n
1
.
对区间
[n.n
1
,n.n
1
?
使得:
(1)对 任何
x?S
,有
x?n.n
1
n
2
?
1< br>;
10
1
)
作10等分,分点为:
n.n
1
1,n.n
1
2,?,n.n
1
9
,则存在
0,1,2, ?,9
中的一个数
n
2
10
1

2
10


(2)存在
a
2
?S,使
a
2
?n.n
1
n
2
.
如此不 断10等分前一步骤所得区间,可知对任何
k?1,2,?
存在
0,1,2,?,9< br>中的一个数
n
k
,使得:
(1)对任何
x?S
,有
x?n.n
1
n
2
?n
k
?
(2)存在< br>a
k
?
S
,使
a
k
?n.n
1n
2
?n
k
.
将以上步骤无限进行下去,得到实 数
?
?n.n
1
n
2
?
n
k
?< br>,以下证明
?
?supS
,即证:(ⅰ)对一切
1

k
10
x?S
,有
x?
?
;(ⅱ)对任何
??
?
,存在
x
0
?S
使得
x
0
?S
.
先证(ⅰ): (反证)假设存在
x?S
,使
x?
?
,则可找到非负整数
k
,使
x
k
?
?
k
,而
x?x
k

?
k
?n.n1
n
2
?n
k
?
11
x??n?
,故 与(1)矛盾,故对一切
x?S
,有
x?
?
.
12k
kk
1010
再证(ⅱ): 由
?
?
?
知存在非负整数
k
,使
?
k
?
?
k
,而
?
k
?n.n
1
n
2
?n
k
,
?
k
?
?
,故
n.n
1
n
2
?n
k
?
?
,
由(2)便知存在
x
0
?S
使
x
0
?
n. n
1
n
2
?n
k
?
?

确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位,应对定理的内容充分理解,给予充分重视。
例4 设数集S有上界,证明:
?
?supS?S?
?
?maxS.

分析:由确界原理,
supS
意义,按确界定义证明。
证:(必要性)∵
?
?supS
∴对一切
x?S
x?
?
,又
?
?S
,故
?
?maxS

(充分性)设
?
?maxS
,则:对一切
x?S
,有
x?
?
;对任何
?
?
?
,只需取
x< br>0
?
?
?S
,则
x
0
?
?


?
?supS

例5 设A、B为非空数集,满足:对一切
x?A

y?B

x?y
. 证明:数集A有上确界,数集B有
下确界,且
supA?infB.

分析: 首先,证明
supA,infB.
有意义,用确界原理。其次,证明
supA?inf B.

证:由假设,数集B中任一数
y
都是数集A的上界,A中任一数
x
都是B的下界,故由确界原理推知数
集A有上确界,数集B有下确界.
对任何
y?B
,
y
是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,
su pA
是数集A的最小上界,故有
supA?y
.而此式又表明
supA
是数集B的一个下界,故由下确界定义证得
supA?infB.

例6 设A、B 为非空有界数集,
S?A?B
,证明:(1)
supS?max
?
s upA,supB
?
;(2)
infS?min
?
infA,inf B
?


分析:首先,由
S?A?B
及A 、B的性质知,S也是非空有界集。其次,证明(1)、(2)。
证:由于
S?A?B
显然也是非空有界数集,因此
S
的上、下确界都存在.
(ⅰ) 对任何
x ?S
,有
x?A

x?B
?
x?supA

x?supB
,从而有
x?max
?
supA,supB
?
,故
upS
?
supA
?s

supS?max
?
supA,supB
?
.另一方面,对任何
x?A
,有
x ?S
?
x?s
upS

同理又有
supB
?sup S
.所以
supS?max
?
supA,supB
?
.综上 ,即得
supS?max
?
supA,supB
?
.
(ⅱ) 可类似于(ⅰ)证之.

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