高中数学典型例题解析不等式-高中数学教学研讨内容
§2数集
?
确界原理
教学内容:1.实数集的有关概念;
2.确界的概念和确界原理。
教学目的:1.使学生知道区间与邻域的表示方法;
2.使学生深刻理解确界的与确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理)。
教学难点:确界的定义及其应用。
教学方法:讲授为主。
教学学时:2学时。
引言:
为了以后表述的方便
,本节课我们先定义实数集R中的两类重要的数集——区间邻域;并讨论有界集与
无界集;最后再由有界
集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理)。后者是我们以后关于实数理论
研究的基础,应给予
充分重视。
一、区间与邻域:
1.区间(用来表示变量的变化范围):
设
a,b?R
且
a?b
。
?
?
?
?
.
?
?
开区间:
?<
br>x?R|a?x?b
?
?(a,b)
?
有限区间
?
闭
区间: x?R|a?x?b?[a,b].
??
?
?
?
?
?
闭开区间:
?
x?R|a?x?b
?
?[a,b)
?半开半闭区间
?
?
?
?
?
?
?
开闭区
间:
?
x?R|a?x?b
?
?(a,b]
?
区
间
?
?
?
x?R|x?a
?
?[a,??).
?<
br>?
?
?
?
x?R|x?a
?
?(??,a].
?
?
无限区间
?
?
?
x?R|x?a
?
?(a,??).
?
?
?
x?R|x?a
?
?(??,a)
.
?
?
?
?
?
?
?
x?R|???x??
?
?
?R.
?
注:
??
读作正无穷大;
??
读作负无穷大。
2.邻域:
联想字面意思:“邻近的区域”。
设
a
为任一给定实数,
?
(Delta----
德耳塔)为一给定正实数。
(1) 点a的
?
邻域:
U(a;
?<
br>)?x|x?a|?
?
?(a?
?
,a?
?
)
(2)点a的空心
?
邻域:
U(a;
?
)=x0?|x
?a|?
?
?(a?
?
,a)?(a,a?
?
)
(3)点a的
?
右邻域和点a的空心
?
右邻域:
U
?
(a;
?
)=xa?x?a?
?
?[a;a?
?
)
U
(4)点a的
?
左邻域和点a的空心
?
左邻域:
U
?
(a;
?
)=xa?
?
?x?a?(a?
?
;a]
U
?
?
?
??
??
?
?
?
xa?x?a?
?
?<
br>?(a;a?
?
)
(a;
?
)=
???
?
?
xa?
?
?x?a
?
?(a?
?
;a)
(a;
?
)=
注:以后在没有必要指出邻域半径
?
的大小时,以上领域我们可以分别简记为:
U(a),U
?
(a),U
?
(a),U
?
?(a),U
?
(a),U
?
?
(a)
(5)
?
邻域,
??
邻域,
??
邻域:(其中M为充分大的正数)
U(?)?
?
x|x|?M
?
,U(??)?
?
x
x?M
?
,
U(??)?
?
xx??M
?
二、有界集与无界集:
什么是“界”?――范围。
定义1(上、下界): 设
S
为
R中的一个数集。若存在数
M(L)
,使得对一切
x?S
都有
x?
M(x?L)
,则称S为有上(下)界的数集,数
M(L)
称为S的上界(下界)。若
数集S既有上界,
又有下界,则称S为有界集。若数集S不是有界集,则称S为无界集。
[问题]:(1)上(下)界若存在,唯一吗?(2)上(下)界与S的关系如何?看下例:
例1 讨论数集
N
?
?n|n为正整数
的有界性。
分析
:有界或无界
?
上界、下界?下界显然有,如取
L?1
;上界似乎无,但需要
证明。
解:任取
n
0
?N
?
,显然有
n
0
?1
,所以
N
?
有下界1;但
N
?
无上
界。证明如下:假设
N
?
有上界
M,则M>0,按定义,对任意
n<
br>0
?N
?
,都有
n
0
?M
,这是不可能的,
如取
n
0
?[M]?1,
则
n
0
?N
?<
br>,且
??
n
0
?M
.
综上所述知:
N
?
是有下界无上界的数集,因而是无界集。
这里[
x
]表示不超过
x
的最大整数,如:
[2.5]?2,[5]?5,
[?2.5]??3,[?5]??5.
[可以看到]:
(1)若数集有(上、下)界,则它不唯一,且有无限多个;
(2)同一数集的上界必大于等于其下界。
三、确界与确界原理:
1、定义:(最小的上界和最大的下界)
定义2(上确界)
设S是R中的一个数集,若数
?
满足:(1)
对一切
x?S,
有
x?
?
(即
?
是S的上界);
(2) 对任何
?
?
?
,存在
x
0
?S
,使得
x
0
?
?
(即
?
是S的上界中最小
的一个),则称数
?
为数集S的上确
界,记作
?
?supS.
定义3(下确界)设S是R中的一个数集,若数
?
满足:(1)对一切
x?S,
有
x?
?
(即
?是S的下界);
(2)对任何
?
?
?
,存在
x
0
?S
,使得
x
0
?
?
(即
?
是
S的下界中最大的一个),则称数
?
为数集S的下
确界,记作
?
?i
nfS
.
上确界与下确界统称为确界。
(
?
?Yita?艾塔,
?
-Ksai?克西)
例2
讨论数集
S?xx为区间(0,1)中的有(无)理数
的确界。
分析:通过数轴看有无上、下界,进一步讨论上、下确界。
提示:利用有理数集在实数集中的稠密性。
supS?1,infS?0.
解 先证
supS?1
(ⅰ)对一切
x?S
,显然
有
x?1
,即1是
x
的
S
上界。
(ⅱ) 对任何
?
?1
,若
?
?0
,则任取
x
0
?S
都有
x
0
?
?
;若
?
?0
,
则由有理数集在实数集中
的稠密性,在
(
?
,1)
中必有有理数x
0
,即存在
x
0
?S
,使得
x
0<
br>?
?
。
类似可以验证
infS?0.
例3
(1)
S?[0,1],supS?1,infS?0.
??
?
(?1)
n
?
1
(2)
S??
n?1,2,
?
?
,supS?,infS??1.
2
?
n
?
(3)
N
?
,supN
?
不存在,inNf
?
?
1
2、确界的性质:
? 唯一性:若数集S存在上(下)确界,则一定是唯一的;
? 若数集S存在上、下确界,则有
infS?supS
;
?
数集S的确界可能属于S,也可能不属于S;
? 存在性——定理1.1(确界原理)设S为非空数集
,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,
则S必有下确界。
定理1.1(确界原理)设
S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界。
证
这里只证明定理的前半部分,后半部分可类似的证之。
为叙述方便起见,不妨设S含有非负数,由于S有上界,故可以找到非负整数
n
,使得:
(1) 对任何
x?S
,有
x?n?1
;
(2)
存在
a
0
?S
,使
a
0
?n
.
对区间
[n,n?1)
作10等分,分点为:
n.1,n.2,?,n.9
,
则存在
0,1,2,?,9
中的一个数
n
1
,使得:
(1)
对任何
x?S
,有
x?n.n
1
?
(2) 存在
a
1
?S
,使
a
1
?n.n
1
.
对区间
[n.n
1
,n.n
1
?
使得:
(1)对
任何
x?S
,有
x?n.n
1
n
2
?
1<
br>;
10
1
)
作10等分,分点为:
n.n
1
1,n.n
1
2,?,n.n
1
9
,则存在
0,1,2,
?,9
中的一个数
n
2
10
1
;
2
10
(2)存在
a
2
?S,使
a
2
?n.n
1
n
2
.
如此不
断10等分前一步骤所得区间,可知对任何
k?1,2,?
存在
0,1,2,?,9<
br>中的一个数
n
k
,使得:
(1)对任何
x?S
,有
x?n.n
1
n
2
?n
k
?
(2)存在<
br>a
k
?
S
,使
a
k
?n.n
1n
2
?n
k
.
将以上步骤无限进行下去,得到实
数
?
?n.n
1
n
2
?
n
k
?<
br>,以下证明
?
?supS
,即证:(ⅰ)对一切
1
;
k
10
x?S
,有
x?
?
;(ⅱ)对任何
??
?
,存在
x
0
?S
使得
x
0
?S
.
先证(ⅰ): (反证)假设存在
x?S
,使
x?
?
,则可找到非负整数
k
,使
x
k
?
?
k
,而
x?x
k
且
?
k
?n.n1
n
2
?n
k
?
11
x??n?
,故
与(1)矛盾,故对一切
x?S
,有
x?
?
.
12k
kk
1010
再证(ⅱ): 由
?
?
?
知存在非负整数
k
,使
?
k
?
?
k
,而
?
k
?n.n
1
n
2
?n
k
,
?
k
?
?
,故
n.n
1
n
2
?n
k
?
?
,
由(2)便知存在
x
0
?S
使
x
0
?
n.
n
1
n
2
?n
k
?
?
确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位,应对定理的内容充分理解,给予充分重视。
例4
设数集S有上界,证明:
?
?supS?S?
?
?maxS.
分析:由确界原理,
supS
意义,按确界定义证明。
证:(必要性)∵
?
?supS
∴对一切
x?S
有x?
?
,又
?
?S
,故
?
?maxS
。
(充分性)设
?
?maxS
,则:对一切
x?S
,有
x?
?
;对任何
?
?
?
,只需取
x<
br>0
?
?
?S
,则
x
0
?
?
,
故
?
?supS
。
例5 设A、B为非空数集,满足:对一切
x?A
和
y?B
有
x?y
.
证明:数集A有上确界,数集B有
下确界,且
supA?infB.
分析:
首先,证明
supA,infB.
有意义,用确界原理。其次,证明
supA?inf
B.
证:由假设,数集B中任一数
y
都是数集A的上界,A中任一数
x
都是B的下界,故由确界原理推知数
集A有上确界,数集B有下确界.
对任何
y?B
,
y
是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,
su
pA
是数集A的最小上界,故有
supA?y
.而此式又表明
supA
是数集B的一个下界,故由下确界定义证得
supA?infB.
例6 设A、B
为非空有界数集,
S?A?B
,证明:(1)
supS?max
?
s
upA,supB
?
;(2)
infS?min
?
infA,inf
B
?
。
分析:首先,由
S?A?B
及A
、B的性质知,S也是非空有界集。其次,证明(1)、(2)。
证:由于
S?A?B
显然也是非空有界数集,因此
S
的上、下确界都存在.
(ⅰ) 对任何
x
?S
,有
x?A
或
x?B
?
x?supA
或
x?supB
,从而有
x?max
?
supA,supB
?
,故
upS
?
supA
?s
得
supS?max
?
supA,supB
?
.另一方面,对任何
x?A
,有
x
?S
?
x?s
upS
;
同理又有
supB
?sup
S
.所以
supS?max
?
supA,supB
?
.综上
,即得
supS?max
?
supA,supB
?
.
(ⅱ) 可类似于(ⅰ)证之.