新课标版数学选修2-1(书;课件)作业11

课时作业(十一)
x
2
2
1．已知直线l：x＋y－3＝0 ，椭圆＋y＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
4
A．相交
C．相离
答案 C
x
2
2
2．过椭圆＋y＝1的右 焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB|等
4
于( )
A．4
C．1
答案 C
3．椭圆4x
2
＋9 y
2
＝144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线
方程为( )
A．3x＋2y－12＝0
C．4x＋9y－144＝0
答案 B
解析 设弦的两端点为A(x
1
，y
1
)，B( x
2
，y
2
)，又弦AB中点为P(3，2)，所以x
1
＋ x
2
＝6，
y
1
＋y
2
＝4.
又因为4x
1
2
＋9y
1
2
＝144，①
4x
2
2
＋9y
2
2
＝144，②
y< br>1
－y
2
222
①－②整理可得＝－
，即k
AB＝－，所以弦AB所在直线方程为y－2＝－(x－3)，
333
x
1
－x
2
即2x＋3y－12＝0.故选B.
x
2
2
4．直线y＝x与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|等于( )
4
A．2
4
C.10
5
答案 C
解析 应用弦长公式，得|AB|＝1＋k
2
·|x
A
－x
B
|.
45
B.
5
8
D.10
5
B．2x＋3y－12＝0
D．9x＋4y－144＝0
B．23
D．43
B．相切
D．相切或相交

x
2
y
2
5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别是( )
43
A．8，6
C．2，3
答案 B
解析 最长为2a，弦垂直于x轴时最短(即通径最短)．
x
2
2
6．经过椭圆＋ y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为
2
→→
坐 标原点，则OA·OB等于( )
A．－3
1
C．－或－3
3
答案 B
x
2
y
2
7．AB为过椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)中心的弦，F
2
(c，0)是其右焦点， 则△ABF
2
的面积的最
ab
大值是( )
A．bc
C．ac
答案 A
11
解析 S△ABF
2
＝|O F
2
|·|y
A
－y
B
|＝c·|y－y|，当AB与x轴 垂直时|y
A
－y
B
|＝2b.
22
AB
∴S△ABF
2
的最大值为bc.
x
2
y
2
3
8．椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0 )的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的
ab3
值为( )
A．±1
C．±
3

3
B．±2
D．±3
B．ab
D．b
2

1
B．－
3
1
D．±
3
B．4，3
D．4，23
答案 C
解析 因为椭圆的离心率为
3c3312
，所以有
＝
，即c＝a ，c
2
＝
a
2
＝a
2
－b
2
，所 以b
2
＝
a
2
.
3a3333
b
2
k
2
b
2
2
当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b ，kb)，代入椭圆方程
2
＋
2
＝1，即＋k
2
ab313
＝1，k
2
＝
，所以k＝±.选C.
33

x
2
y
2
9．设F
1
，F
2
分别 是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F
1
P的中点，|OM|
2516
＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
答案 4
x
2< br>2
π
10．F
1
，F
2
是椭圆＋y＝1的两个焦点， 过右焦点F
2
作倾斜角为的弦AB，则△F
1
AB的
24
面 积等于_______________________________________________ ______________________．
4
答案
3
1
解析 S△ABF
1
＝|F
1
F
2< br>|·|y
A
－y
B
|＝c·|y
A
－y
B< br>|.
2
y－2
x
2
2
11．若P满足＋y＝1(y ≥0)，则的最小值是________．
4
x－4
答案
4－7

6
y－2
解析 设k＝，则y－2＝k(x－4)．
x－4
??
y－2＝k（x－4），
由
?
x
2

2?
?
4
＋y＝1，
得(4k
2
＋1)x
2＋16k(1－2k)x＋16(1－2k)
2
－4＝0.
4±7
由Δ＝0得12k
2
－16k＋3＝0，∴k＝
.
6
4－74＋7
又∵y≥0，∴k＝
(k＝
舍)．
66
y－24－7
故的最小值为
.
6
x－4
1x
2
y
2
12．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：
2＋
2
＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M
2ab
是线段AB的中 点，则椭圆C的离心率等于________．
答案
2

2
解析 利用点差法，设而不求，建立方程组求解．
x
1
2
y
1
2
＋＝1， ①
a
2
b
2
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2，y
2
)，则

x
2
2
y
2
2
＋＝1， ②
a
2
b
2
?
?
?

（x
1
－x< br>2
）（x
1
＋x
2
）
（y
1
－y< br>2
）（y
1
＋y
2
）
①－②得＋＝0.
a
2
b
2
y
1
－y
2
b
2
x
1
＋x
2
∴＝－
2
·
.
a
y
1
＋y
2
x
1
－x
2
y
1
－y
2
1
∵＝－
，x
1
＋x
2
＝2，y
1
＋y
2
＝2，
2
x
1
－x
2
b
2
1
∴－
2
＝－
.
a2
∴a
2
＝2b
2
.又∵b
2
＝a
2
－c
2
，
c2
∴a
2
＝2(a
2
－c
2< br>)，∴a
2
＝2c
2
，∴
＝
.
a2
x
2
2
42
13．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y＝1交于M，N两 点，且|MN|＝，则k＝________．
23
答案 ±1
?
?
y＝kx＋1，
解析 设M(x
1
，y
1)，N(x
2
，y
2
)，由
?
x
2
消 去y并化简得(1＋2k
2
)x
2
＋4kx＝0，
＋y
2
＝1，
?
2
?
4k
所以x
1
＋x
2
＝－，x
1
x
2
＝0.
1＋2k
2
4 232
由|MN|＝
，得(x
1
－x
2
)
2
＋(y
1
－y
2
)
2
＝
，
39
－4k
323232
2
＝所以(1＋k
2
)(x
1
－x
2
)
2
＝
，所以(1＋k
2
)[(x
1
＋x
2
)
2
－4x
1
x
2
] ＝，即(1＋k
2
)().
999
1＋2k
2
化简得k< br>4
＋k
2
－2＝0，所以k
2
＝1，所以k＝±1.
14．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1，0)和(1，0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
解析 (1)∵2 b＝23，c＝1，∴b＝3，a
2
＝b
2
＋c
2
＝4.
x
2
y
2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
43
?< br>?
y＝x＋m，
(2)联立方程组
?
x
2
y
2
消去y并整理得7x
2
＋8mx＋4m
2
－12＝0.
?
?
4
＋
3
＝1，
x
2
y
2若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)
2
－28(4m2
－12)>0，即
43

m
2
<7，解得－7< m<7.
15．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为3，若椭圆被直线x＋y＋ 1
2
＝0截得的弦的中点的横坐标是－，求椭圆的方程．
3
解析 设椭圆方 程为mx
2
＋ny
2
＝1(01< br>，y
1
)，B(x
2
，y
2
)．
x
1
＋x
2
2
y
1
＋y
2
1
由题 意得＝－
，
＝－
.
2323
?
?
y＝－x－1，
由
?
可得(m＋n)x
2
＋2nx＋n－1＝0.
??
mx
2
＋ny
2
＝1，
∴x
1
＋x
2
＝－
2n4
＝－
，即n＝2m.①
3
m＋n
3
，即
2
113
－＝
.②
mn2
∵2c＝3，∴c＝
24
由①②解得m＝
，n＝.
33
2
2
4
2
x
2
y
2
所以椭圆 的方程为
x
＋
y
＝1，即＋＝1.
3333
24

1．若椭圆ax
2
＋by
2
＝1与直线y＝1－x交于A，B两点， 过原点与线段AB中点的直线的斜
率为
A.
3a
，则的值为( )
2b
23
B.
3
23
D.
27
3

2
93
C.
2
答案 A
x
2
y
2
2．椭圆＋＝1的一个焦点为F
1
， 点P在椭圆上，若线段PF
1
的中点M在y轴上，则点
123
M的纵坐标是( )
3
A．±
4
C．±
3

2
2
B．±
2
3
D．±
4
答案 D
解析 OM为△PF
1
F
2
的中位线，P点横坐标为c或－c. < /p>

3．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过
椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的焦点，长轴长为
2a， 焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹
后第一次回到点 A时，小球经过的路程是( )
A．4a
C．2(a＋c)
答案 D
x
2
y
2
4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点， 则实数k的取值范围是( )
164
A．(－
55
，)
44
55
)∪(，＋∞)
44
B．[－
55
，]
44
555
)∪(－，)
444
B．2(a－c)
D．以上答案均有可能
C．(－∞，－
答案 C
D．(－∞，－
?
?
y＝kx＋3，
55
解析 由
?
x
2
y
2
得(4k
2
＋1)x
2
＋24kx＋20＝0.当Δ＝16(16k
2
－5)>0，即k>或k<－
44< br>＋＝1，
?
?
164
时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.
x
2
y
2
5．已知椭圆
2
＋
2
＝1(a >b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，
ab
1)，则椭 圆的离心率是( )
1
A.
2
C.
3

2
B.
D.
2

2
5

5
答案 C
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x
1
， y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则x
1
＋x
2
＝－8，y
1
＋y
2
＝2，
y
1
－y
2
直线AB的斜率k＝＝1.
x
1
－x
2
x
1
2
y
1
2
＋＝1，
a
2
b< br>2
（x
1
＋x
2
）（x
1
－x
2< br>）
（y
1
＋y
2
）（y
1
－y
2< br>）
由得＋＝0，
a
2
b
2
x
2
2
y
2
2
＋＝1，
a
2
b
2
??
?
y
1
－y
2
b
2
x
1< br>＋x
2
b
2
1
∴＝－
2
×
＝1，∴
2
＝
.
a
y
1
＋y
2
a4x
1
－x
2
c
故椭圆的离心率e＝＝
a
b2
3
1－
2
＝
.故选C.
a2

x
2
2
6．已知椭圆＋y＝1.
2
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
(2)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
11
(3)过点P(，)且被P点平分的弦所在直线的方程．
22
解析 (1)设斜率为2的直线的方程为y＝2x＋b.
?
?
y＝2x＋b，
由< br>?
x
2
得9x
2
＋8bx＋2b
2
－2＝0 .
＋y
2
＝1，
?
2
?
由Δ＝(8b)
2
－4×9×(2b
2
－2)＞0，得－3＜b＜3.
x
1
＋x
2
8b4b44b4
设平行弦的端点坐标为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，
＝－＝－
，－
＜－＜
.
29393
2×9
x
1
＋x
2
4b
设弦的中点坐标为(x，y)，则x＝＝－
.
29
44
代入y＝2x＋b，得x＋4y＝0(－＜x＜
)为所求轨迹方程．
33
x
1
2
x
2
2
2
(2)设l 与椭圆的交点为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2< br>)，弦的中点为(x，y)，则
＋y
1
＝1，＋y
2
2
＝1.
22
两式相减并整理，得
(x
1
－x
2
)(x
1
＋x
2
)＋2(y
1
－y
2
) (y
1
＋y
2
)＝0.
又∵x
1
＋x
2
＝2x，y
1
＋y
2
＝2y，∴2x(x
1
－x< br>2
)＋4y(y
1
－y
2
)＝0.
y
1
－y
2
∴x＋2y·
＝0.①
x
1
－x
2
y
1
－y
2
y－1y－1
由题意知 ＝
，代入①，得x＋2y·
＝0.
x
1
－x
2
x －2x－2
化简，得x
2
＋2y
2
－2x－2y＝0.
∴ 所求轨迹方程为x
2
＋2y
2
－2x－2y＝0(夹在椭圆内的部分)． < br>y
2
－y
1
1
(3)将x
1
＋x
2
＝1，y
1
＋y
2
＝1代入(x
1
－x
2
)(x
1
＋x
2
)＋2(y
1
－y
2)(y
1
＋y
2
)＝0，得
＝－
.
2
x
2
－x
1
故所求的直线方程为2x＋4y－3＝0.
x
2
2
7．(1)设P是椭圆
2
＋y＝1(a>1)短轴的 一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|最大值．
a

x
22
→→
(2)设F
1
，F
2
分别是椭圆＋y＝1的左， 右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求PF
1
·PF
2
4
取值范围 ．
解析 (1)依题意可设P(0，1)，Q(x，y)，则|PQ|＝
又因为Q在椭圆上， 所以x
2
＝a
2
(1－y
2
)．
|PQ|
2
＝a
2
(1－y
2
)＋y
2
－2y＋1＝(1 －a
2
)y
2
－2y＋1＋a
2
＝(1－a
2)(y－
1
因为|y|≤1，a>1，若a≥2，则|
|≤1.
21－a
a
2
a
2
－1
1
当y＝时，|PQ|取 最大值
2
.
1－a
2
a
－1
若1(2)易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F
1
(－3，0)，F
2
(3，0)．
→→
设P(x，y)，则PF
1
·PF
2
＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)
＝x
2
＋y
2
－3＝x
2
＋1－
x
2
1
－3＝
(3x
2
－8)．
44
1
2
1
)
－＋1＋a
2
.
22
1－a1－a
x
2
＋（y－1）
2
.
→→
因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF
1
·PF
2
有最小值－2；
→→
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF
1
·PF
2
有最大值1.
→→
所以PF
1
·PF
2
的取值范围为[－2，1]．