高一数学试题及答案

第一学期统一检测题
高一数学
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写
在答题卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如
需要改动 ，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或 签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各
题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案 ，然后再写上新
的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
?
?
?
x?a
?
中系数计算公式
b
参考公式：线性回归方程< br>y?b
?
xy
i
i?1
n
2
i?1
n
i
?nx?y
2
?
x

?
?
y
?
b
，
a
?
x
i
?n?x
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知
U?{1,3, 5,7,9}
，
A?{3,5}
，则
C
U
A?

A．
{1,7,9}
B．
{1,3,5,7,9}
C．
{1,3,5}
D．
{1,9}

2．已知集合
P?xx?2,Q?x?1?x?3
，则
P?Q
=
A.
x?1?x?2
B.
x?1?x?3
C.
xx?3
D.
xx??1

2
3．已知函数
f(x)?2x,
则
f(1?x)?

????
????
????
A．
2x?1
B．
2x?4x?2

C．
2x?2x?2
D．
2x?4x?2

4．下列函数中，在区间
(0,??)
上为增函数的是
2
2
2
2
?
x
1

?x
C．
y?ln(x?2)
D．
y??x?1

A．
y?()
B．
y?
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是
A．
3
B．
11

C．
38
D．
123


高一数学试题 第1页 共8页

6．设
x
0是函数
f(x)?lnx?x?4
的零点，则
x
0
所在的区间为
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．已知函数
f
?
x
?
?
??
2x,x?0
，
f
?
a
?
?f
?< br>1
?
?0
，则实数a的值等于
?
x?1,x?0
A．
?3
B．
?1
C．
1
D．
3

8．如果
a
＞
1
，
b
＜
?1
，那么函数
f(x)?ax?b
的图像经过
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、三象限 D．第一、三、四象限
)< br>其中
a?b
）9．已知函数
f(x)?(x?a)(x?b
（，若f(x)
的图象如右图所示，则函数
g(x)?a
x
?b
的图象 是




O
y
1
x
O
B
y
1
x
O
C
y
1
x
O
D
y
1
x
y
-1
O
1
x





A
?
log
2
x,x? 0
?
10．已知函数
f(x)?
?
log(?x),x?0
，若
f(x)?f(?x)
，则x的取值范围是
1
?
?
2
A．（-∞，-1) ∪（1，+∞） B．（-1，0）∪（0，1)
C．（-∞，-1) ∪（0，1) D．（-1，0）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11．函数
y?
1
?x?2
的定义域是 ▲ ．
x< br>12．函数
y?log
a
(2x?3)?4
的图象恒过定点M，且点M 在幂函数
f(x)
的图象上，则
f(3)
＝ ▲ ．
13．某种饮 料每箱装6听，如果其中有2听不合格，则质检人员从中随机抽出2听，检测出
不合格产品的概率为 ▲ ．
14．对于方程
xx?px?q?0
进行讨论，下面有四个结论：
①至多有三个实根； ②至少有一个实根；
2
③仅当
p?4q?0
时才有实根； ④当
p?0
且
q?0
时，有三个实根．
以上结论中，正确的序号是 ▲ ．

高一数学试题 第2页 共8页

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）
已知
f (x)?log
2
(1?x)?log
2
(1?x)
.
（1）求函数
f(x)
的定义域；
（2）判断函数
f(x)
的奇偶性；
（3）求
f(


16．（本小题满分12分）
某公司近年来科研费用支出
x
万元 与公司所获得利润
y
万元之间有如下的统计数据：
2
)
的值.
2
x

y

2
18
3
27
4
32
5
35
?
x
?
a
?
?
b
?
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性回归方程
y
（参考数值：
2?18?3?27?4? 32?5?35?420
）；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用 支出为10万元时公司所
获得的利润．


17．（本小题满分14分）
某地统计局就本地居民的月收入调查了
10000
人，并根据所得数据画了样本数据的 频率
分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在
[1000,15 00)
）.
（1）求居民月收入在
频率组距
0.0005
0.0 004
0.0003
[3000,3500)
的频率；
（2）根据频率分布直方图算
出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与
年龄、职业等方面的关系，必须按
0.0002
0.0001
月收入（元）
10001500
2
35004000
月收入再从这
10000人中用分层抽样方法抽出
100
人作进一步分析，则月收入在
[2500,300 0)
的这段应抽多少人？


高一数学试题 第3页 共8页

18．（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?a?
2
(a?R)

x
2?1
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数
f(x)
为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下 ，若对任意的
t?R
，不等式
f(t
2
?2)?f(t
2< br>?tk)?0
恒成立，
求实数k的取值范围．




19．（本小题满分14分）
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元 ，每生产一台仪器需增加投入100元，
1
2
?
400x?x,0?x?40 0
?
已知总收益满足函数：
R(x)?
?
，其中x（单位：台）是仪 器的月产
2
?
?
80000,x?400
量．（总收益=总成本+利 润）
（1）将利润表示为月产量x的函数
f(x)
；
（2）当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元?




20．(本小题满分14分)
已知函数
f(x)?x
2
?2ax?2a
，其中a为常数，且
a?R
.
（1）若函数
f(x)
没有零点，求a的取值范围；
（2）若
x? [?1,2]
时，
f(x)??2
恒成立，求a的取值范围．






高一数学试题 第4页 共8页

2013—2014学年第一学期统一检测题
高一数学参考答案及评分标准

一、选择题
题号
答案

二、填空题
11．[2，+∞）； 12．9； 13．

三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：（1）依题意，得
?
1
A
2
C
3
B
4
C
5
B
6
C
7
A
8
D
9
A
10
D
3
； 14．① ②；
5
?
1?x?0
， （2分）
?
1?x?0
解得
?1?x?1
. （3分）
所以函数
f(x)
的定义域为（-1，1）. （4分）
（2）函数
f(x)
的定义域为（-1，1）.
当
x?(?1,1)
时，
?x?(?1,1)
， （5分）
因为
f(?x)?log
2
(1?(?x))?log
2
(1?(?x))
（6分）

?log
2
(1?x)?log
2
(1?x)


?f(x)
（7分）
所以函数
f(x)?log
2
(1?x)?log
2(1?x)
是偶函数. （8分）
（3）因为
f(
222
)?log
2
(1?)?log
2
(1 ?)
（9分）
222
22
)(1?)]
（10分）
22

?log
2
[(1?

?log
2
(1?)
?log
2


1
2
1
=
?1
（12分）
2
高一数学试题 第5页 共8页

16．（本小题满分12分）
解：（1）因为
x?
2?3? 4?518?27?32?35
?3.5
，
y??28
， （2分）
44
?
xy
i
i?1
4
4
i
?2 ?18?3?27?4?32?5?35?420
， （3分）
?
x
i?1
2
i
?2
2
?3< br>2
?4
2
?5
2
?54
， （4分）
?
?
所以
b
?
xy
i
i?1< br>4
i?1
4
i
?4xy
?
22
x?4x?
i
420?4?3.5?28
?5.6
， （6分）
2
54?4?3.5
?
x?
28
?
5. 6
?
3.5
?
8.4
. （7分）
?
?y?ba
?
?5.6x?8.4
. （8分） 故所求线性回归方程为
y
?
?5.6?10?8.4?64.4
（ 万元）（2）由（1），当x=10时，
y
， （11分）
故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元. （12分）


17．（本小题满分14分）
)?0.15
（3分） 解：（1） 月收入在
[3000,3500)
的频率为
0.0003?(3500?3000)?0.1
，
0.0004?(2000?1500)?0.2
， （2）
?0.0002?(1500?1000
0.0005?(2500?2000)?0.25
， （4分）
所以
0.1?0.2?0.25?0.55?0.5
. （6分）
故可设中位数为t，
t?(2000,2500)
，则
0.3?( t?2000)0.0005?0.5
， （8分）
解得
t?2400
，因此样本数据的中位数为
2400
（元）. （9分）
)?0.25
，（3）因为居民月收入在
[2500,3000)
的频率为
0.0005?(3000?2500
（10分）
所以
10000
人中月收入在
[2500,3000)
的人数为
0.25?10000?25 00
（人）， （12分）
再从
10000
人中用分层抽样方法抽出
100
人，则月收入在
[2500,3000)
的应该抽取
100?




2500
?25
（人）. （14分）
10000
高一数学试题 第6页 共8页

18．（本小题满分14分）
解：（1）函数
f(x)
为R上的增函数． （1分）
证明如下：
显然函数
f(x)
的定义域为R，对任意
x
1
，
x
2
?R
，设
x
1
?x2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?(a?
2 2
)?(a?)
（2分）
x
1
x
2
2?12?1
2(2
x
1
?2x
2
)
（3分）
?
x
1
x
2
(2?1)(2?1)
xx
因为
y?2
x
是R上的增函数，且
x
1
2
，所以
2
1
-2
2
＜０， （4分）
所以
f(x
1
)-f(x
2
)
＜０，即
f(x
1
)2
)
，故函数
f(x)
为R上的增函数. （5分）
（2）因为函数
f(x)
的定义域为R，且为奇函 数，所以
f(0)?0
. （7分）
即
f(0)?a?
2
?0
，解得a=1. （8分）
0
2?1
（3）解：因为
f(x)
是奇函数，从而不等式
f(t
2
?2)?f(t
2
?tk)?0
对任意的
t?R
恒成立
等价于不等式
f(t
2
?2)?f(tk?t
2
)
对任意的
t?R
恒成立． （10分）
又因为
f(x)
在R上为增函数，所以等价于不等式
t?2?tk?t
对任 意的
t?R
恒成立，即不
等式
2t?kt?2?0
对任意的
t?R
恒成立． （12分）
2
所以必须有
??k?16?0
，即
?4?k?4
， （13分）
2
22
所以，实数
k
的取值范围是（-4，4）． （14分）

19．（本小题满分14分）
解：（1）设月产量为
x
台，则总成本为
20000?100x
元． （1分）
依题意得，利润表示为月产量x的函数：
?
1
2
?
?x?300x?20000,0?x?400
f(x)?
?
2
（5分）
?
?
60000 ?100x,x?400
（2）当
0?x?400
时，
f(x)??
1
(x?300)
2
?25000
（7分）
2
则当
x?300
时，函数
f(x)
有最大值，
f (x)
max
?25000
（元）； （9分）
当
x< br>＞
400
时，函数
f(x)?60000?100x
是减函数， （11分）

高一数学试题 第7页 共8页

所以
f(x )
＜
60000?100
×
400
＜
25000
. （12分）
综上，当
x?300
时，
f(x)
max
?2 5000
元． （13分）
故月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元. （14分）


20．（本小题满分14分）
解：（1）函数
f(x)
没有零点，即函数
f(x)?x
2
?2ax?2a
的图象与x轴没有交点， 也就是
方程
x?2ax?2a?0
没有实根. （2分）
所以，
??(2a)?8a?0
， （4分）
解得：
0?a?2
（5分）
（2）函数
f(x)?x?2ax?2a
图象的对称轴为
x?a
. （7分）
当
a?2
时，函数
f(x)
在[-1，2]上单调递减 ，要使
x?[?1,2]
时，
f(x)??2
恒成立，必须
2
2
2
f(x)
min
?f(2)?4?2a??2
，解得
2?a?3
； （9分）
当
?1? a?2
时，函数
f(x)
在[-1，2]上的最小值为
f(a)
，要 使
x?[?1,2]
时，
f(x)??2
恒
成立，必须
f( a)??a
2
?2a??2
，解得
1?3?a?2
； （11分）
当
a??1
时，函数
f(x)
在[-1，2]上单调递 增，要使
x?[?1,2]
时，
f(x)??2
恒成立，必须
f(x )
min
?f(?1)?4a?1??2
，解得
a?
?
. （13分）
综上所得a的取值范围是
[1?3,3]
. （14分）


高一数学试题 第8页 共8页