高中数学试卷

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、
选择题（本大题 共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得 分，每题6分，共48分）

x
2
y
2
1．“a =2，
b?2
”是“曲线C：
2
?
2
?1(a,b?R,ab?0 )
经过点
ab
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A.
?

2,1
”的( A )．
?
x
2
y
2
解答：当a =2，
b?2曲线C：
2
?
2
?1
经过
ab
点
?< br>x
2
y
2
2,1
；当曲线C：
2
?
2
?1
经过
ab
?
?
2,1
时，即有
?< br>21
?
2
?1
，显然
a??2,b??2
也满足上式 。所以“a =2，
b?2
”
2
ab
x
2
y2
是“曲线C：
2
?
2
?1
经过点
ab
?
2,1
”的充分不必要条件。
?
2．已知一个角大于120?的三角形 的三边长分别为
m,m?1,m?2
，则实数
m
的取值范围为
( B )．
A．
m?1
B．
1?m?
D
1
A
1
B
1
M
C
B
C
1
33
C．
?m?3
D．
m?3

22
答案：B.
解答：由题意可知：
?
m?(m?1)?m?2
3
1?m?
解得。
?
222
2
?
(m?2)?m?(m?1)?m(m?1)

3． 如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为BB
1
的中点，
则二面角M- CD
1
-A的余弦值为( C )．
A．
D
A
第3题图
336
1
B． C． D．
633
2
答案：C.
解答：以
D
为坐标原点，
DA,DC,DD
1
所在的直线分别为
x,y,z
轴 建立空间直角坐标系，
则
D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D
1
(0,0,1),M(1,1,
1
)
，且平面
ACD
1
的法向量为
n
1
?
2
3
，即二面角M-CD
1
-A
3
平面
MCD
1
法向量为
n
2< br>?(?1,2,2)
。因此
cos?n
1
,n
2
??
(1,1,1)
，

的余弦值为
3
。 3
?
a?b?2?0
a?2b
?
4．若实数
a,b满足
?
b?a?1?0
，则的最大值为 ( C )．
2a?b
?
a?1
?
A．
1
B．
答案：C.
解答：由
a,b
满足的条件知
1?
57
C． D． 2
45
a?2b37
b
13
?2??
，当
(a,b)?(,)
取等
?3
，所以
b
52a?b
a22
2?
a
号。

5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分 别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC
的面积分别为S
△
PQR< br>，S
△
ABC
，则
S
?PQR
S
?ABC< br>的最小值为( D )．
1111
B． C． D．
2345
参考答案：D.
解答：如图5-1所示，

A．
A
A
P
H
R
P
B
Q
C
R
Q
B C

图5-1 图5-2
（1）当
?PQR
的直角顶点在
?ABC
的斜边上，则< br>P,C,Q,R
四点共圆，
?APR??CQR?180??BQR,
所以sin?APR?sin?BQR.
在
?APR,?BQR
中分别应
用正 弦定理得
PRARQRBR
.又
?A??B?45,
故
PR?QR< br>,故
?,?
sinAsinAPRsinBsinBQR
AR?BR
即
R
为
AB
的中点.

S
?PQR
1
过
R
作
RH?AC
于
H
，则
P R?RH?BC
,所以
S
?ABC
2
时
1
(BC)
2
PR1
2
,此
???
BC
2
BC
2
4
2
S
?PQR
S
?ABC
的最大值为
1
.
4
（2）当
?PQR
的直角顶点在
?ABC
的直角边上，如图5-2所示，设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ?
?
(0?
?
?
在
Rt?CPR
中，
PR?
?
2
)
,则
?CPR?90??PRC??BRQ?
?
.

CRx
?,

sin
?
sin
?
x3,?RQB?
?
??QRB??B?
?
?
?
,
sin
?
4
x
PQRB1?x
由正弦定理,
??
sin
?
??

?
3
sinBsin ?PQB
sinsin(
?
?
?
)
44
x111x
2
11
，因此
S
?PQR
?PR
2
?(? )?()
2
.
sin
?
cos
?
?2sin?
22sin
?
2cos
?
?2sin
?
在< br>?BRQ
中，
BR?1?x,RQ?PR?
这样，
S
?PQR
S
?ABC
?(
111
，当且仅当
?
?arcta n2
取
)
2
??
222
cos
?
?2si n
?
(1?2)(cos
?
?sin
?
)5
的最小 值为. 等号，此时
S
?PQR
S
?ABC
1
5
6. 已知 数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?
nx
(x?1)(2x?1)(nx?1)
n?N
， ，若
a
1
?a
2
?
*
?a
2015
?1
，
则实数< br>x
等于（ D )．
A．
?
35911
B．
?
C．
?
D．
?

2124060
答案：D.
a
n
?

(nx?1 )?111
??
(x?1)(2x?1)(nx?1)(x?1)(2x?1)[(n?1)x ?1](x?1)(2x?1)(nx?1)
2015
则
?
a
k?1?
k?1
1
?1?(x?1)(2x?1)
(x?1)(2x?1) (2015x?1)
?(?
(2015x?1)?0
，所以
111
x?(?1,?)?(?,?)?
234
符合题意。
111 11
,?)?(?,??)
，经检验只有
x??
20

7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形， 则
该正方形的面积不可能等于 ( C )．
．．．
163626196
B． C． D．
175553
答案：C.
A．
解答：不妨设四条直线交成的 正方形在第一象限，且边长为
a
，面积为
S,
过
P
的直线的 倾
斜角为
?
(0?
?
?
?
)
。
2
当过点
P,Q
的直线为正方形的对边所在的直线时，
4
，此时正方 形的面积
17
PQsin
?
?a?RScos
?
?sin< br>?
?4cos
?
?sin
?
?
S?(PQsin?
)
2
?
16
。
17
同理，当过点
P,R
的直线为正方形的对边所在的直线时，
S?
方形的对边所在的直线时，
S?
36
；当过点
P,S
的直线为正
5
196
.
53
8．若集合
A?(m,n)(m?1)?(m?2)?
?
?(m ?n)?10
2015
,m?Z,n?N
*
?
，则集合
A< br>中的元素个数为( B )．
A．4030 B．4032 C． 2015
2
D． 2016
2

答案：B.
解答：由已知得
n(n?2m?1)?2
20162015
5
，因为
n,n?2m?1
一奇一偶，所以
n,n?2m?1
两
者之一为偶数 ，即为
2
2016
,2
2016
5,2
2016
5
2
,,2
2016
5
2015
共有2016种情况，交换顺 序又得到
2016种情形，所以集合
A
共有4032个元素.

二 、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题
8分，共5 0分）
9．已知函数
f(x)
满足
f(x?1)?f(1?x)?0
，
f(x?2)?f(2?x)?0
，且
f()?1
，则
2
3
1000
f()?
．
3
答案：
?1
.
解答：
f(x?2)?f(2?x)?f [1?(x?1)]??f[1?(x?1)??f(x)?f(x?4)?f(x)
，所以
1 00044112
f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1.< br>
333333

10．若数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?
n?n
，
n?N
，则
?
32*
i?1
2015
1
= ．
a
i
?8i?2
答案：
2015
.
6048
2*
2
a?a?3n?5n?2,
a?3n?5n?2(n?N)
, 又，故
a?0
?
i
?
i
n
1
i?1i?1
nn?1
解答：
a
n
?
20152015
2015
111
2015
11
.
??(?)?
???
3< br>i?1
ii?1
6048
i?1
a
i
?8i?2i?1
3i(i?1)
11． 已知F为抛物线
y
2
?5x
的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当
|MA
取最小值时，点M的坐标为 ．
答案：
(
1
,1)
.
5
解答：设抛物线的准线为
l:x??
5
.过M作
l
的垂线，垂足为
H,
则
4
AM?MF?AM?MH?AH
,当
A,M,H
三点共线时取等号 ，此时M的坐标为
1
(,1)
。
5
12．若
16
答案：
?
sin
2
x
?16
cos
2
x< br>?10
，则
cos4x?
.
1
. < br>2
?16
sin
2
x
解答:设
t,1?t?16，则
16
cosx
?16
1?sinx
?
22
16
16
?10?t?2,
或，代入方程得
t?
t
t
t?8
，即
sin
2
x?
1
13
或，所以cos4x?
?
。
44
2
f(x)?min{x
2< br>?1,x?1,?x?1}
，其中
min{x,y,z}
表示
x,y, z
中的最小者．若13. 设函数
f(a?2)?f(a)
，则实数
a
的取值范围为 ．

答案：
(??,?2)?(?1,0)
.
解 答：当
a?2??1
时，
a?a?2??1,
此时有
当
1? a?2?0
时，
?3?a??2,
此时有
当
0?a?2?1
时，
?2?a??1,
此时有
当
1?a?2?2
时，
?1? a?0,
此时有
当
a?2?2
时，
a?0,
此时有
14． 已知向量
a,b
的夹角为
f(a)?f(a?2)
；
f(a)?f(?2)??1?f(a?2)
；
f(a)?f(a?2)
；
f(a)?f(a?2)
；
f(a)?f(a?2)
。
2
?
，
c?a?23
，
3
?
3
，
a?b?5
，向量
c?a
，
c?b
的夹角为
则a?c
的最大值为 ．
答案：24.
解答：
OA ?a,OB?b,OC?c
，则
AC?c?a?23,AB?a?b?5.
又
?AOB?
?
3
,?ACB?
2
?
3
,
此时
O,A,C,B
共圆，由正弦定理得
sin?ABC?
，则
5< br>3
cos?ABC?
4
。在
?ACO
中，
?AOC? ?ABC
,由余弦定理得
5
22
8
AC
2
?a?c ?2accos?AOC
,即
12?2ac?ac?ac?30
，所以
5?
14
a?c?accos?AOC?24
，当
?ACO??arcta n
时取“=”，因此
a?c
的最大值为
423
2
24. < br>15．设
a,b?Z
，若对任意
x?0
，都有
(ax?2)( x?2b)?0
，则
a?______
,b?_______.

答案：
a?1,b??2
.
解答：首先令
x?0,
知b?0
.其次考虑过定点（0,2）的直线
y?ax?2
，与开口向上的抛
物线
y?x?2b
，满足对任意
x?0
所对应图象上的点不在
x< br>轴同侧，因此
?
又
a,b?Z
，故
a?1,b??2
.

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）
16． 设
a,b?R
，函数
2
?2b?
2
.a
f(x)?ax
2
?b(x?1)?2
．若对任意实数
b，方程
f(x)?x
有两个
相异的实根，求实数
a
的取值范围．

参考答案：
因为方程
f(x)?x
有两个相异的 实根，即方程
ax
2
?(b?1)x?b?2?0
有两个相异的实数
根，所以
?
a?0
,
………………………………4分
?
x
?(b?1)
2
?4a(b?2)?0
即
?
a?0
对任意实数
b
恒成立，所以
b
2
?2(1?2a)b?8a?1 ?0
?
a?0
，…………………………………………………12分
?
b
?4(1?2a)
2
?4(8a?1)?0
解得
0?a?1.…………………………………………………………………………16分





x
2
y
2
17．已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为
ab< br>3
，右焦点为圆
2
C
2
:(x?3)
2
?y
2
?7
的圆心．
(I)求椭圆
C
1
的方程； < br>(II)若直线l与曲线C
1
，C
2
都只有一个公共点，记直线l与圆 C
2
的公共点为A，求点A的坐
标．

?
c?3
?
a?2
参考答案：（Ⅰ）设椭圆
C
1
的半焦距长为
c，则
?
c3
，解得
b?1
，所以椭圆方程为
?
?
2
?
a
?
x
2
?y
2
?1.………………………………………………………………………………4分
4
（Ⅱ）当直 线
l
的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线
l
的率存在时，可设直线l
的
方程为
y?kx?m(k,m?R)
，点
A
的坐标 为
(x
A
,y
A
)
，其中
y
A
? ?
km?3
.
2
1?k
2
?
x
2
?
联立方程
?
?y?1
，消去
y
得
(1?4k< br>2
)x
2
?8kmx?4m
2
?4?0
…………（1 ）
4
?
y
?
?kx?m
所以
?
1
?16(4k
2
?m
2
?1)?0,
即

4k
2
?m
2
?1?0
……………………（2）…………… ………………………………8分
22
?
?
(x?3)?y?7
联立 方程
?
消去
y
得
?
?
y?kx?m
(1 ?k
2
)x
2
?2(km?3)x?m
2
?4?0
………………（3）
所以
?
2
?16(4k
2
?m
2
?23mk?7)?0,
即
4k
2
?m
2
? 23mk?7?0
……………………………（4）…………………………12分
（2）-（4）得
km?3
……………………………… （5）
（5）代入 （3）得
x
A
??
2
km?3
?0
………………（ 6）…………………………16分
2
1?k
2
（6）代入
C
2
:(x?3)?y?7
得
y
A
??2
.
经检 验
A(0,2),
或
A(0,?2)
符合题意，这样点
A
的 坐标为
(0,2),(0,?2)
.…………18分




1
?
a?a?,
n
?
?
n?1
b
n
,n?N
*
．证明:
a
50
?b
50
?20
． 18．已知数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足
a
1
?0,b
1
?0 ,
?
1
?
b
n?1
?b
n
?
a< br>n
?
?
参考答案：
证明：因为
a
n?1
? b
n?1
?a
n
?b
n
?
49
2222< br>a
n
b
n
11
??2(?)
， 所以
2< br>a
n
b
n
2
b
n
a
n
49
ab
11
a?b?a?b?
?
(
2
?
2< br>)?2
?
(
i
?
i
)

b
i
a
i
i?1
a
i
i?1
b
i
2
50
2
50
2
1
2
1

?a
1
?b
1
?
22
11
??2?2?4 9?4?4?49?200.
……………………8分
a
1
2
b1
2
又
a
n?1
b
n?1
?a
nb
n
?
1
?2
，
a
n
b
n
11
?2?49?98?ab??100
.……………………16分
?11
abab
i?1
ii11
49
所以
a
50
b
50
?a
1
b
1
?

< br>所以
(a
50
?b
50
)?a
50
?b50
?2a
50
b
50
?200?200?400
.因 此
a
50
?b
50
?20
……18分
四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）
附加1已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n? 1
?3a
n
?22a
n
?1
，
n?N
．
2
*
222
(I) 证明：
?
a
n
?
是正整数数列；
(II) 是否存在
m?N
，使得
2015a
m
，并说明理由．
参考 答案：（Ⅰ）由
a
n?1
?3a
n
?22a
n
?1
得
22
a
n?1
?6a
n
a
n?1?a
n
?4?0
，……………………………… （1）
2
*
同理可得
a
n?2
?6a
n?2
a
n?1
?a
n?2
?4?0
，………………（2）………………… …5分
由（1）（2）可知，
a
n
,a
n?2
为方程x?6a
n?1
x?a
n?1
?4?0
的两根，又
a< br>n
?a
n?2
，即有
22
22
a
n
?a
n?2
?6a
n?1
，即
a
n?2
?6an?1
?a
n
.

因为
a
1
?1, a
2
?5,
所以
a
n
为正整数.……………………………… ……………………10分
（Ⅱ）不存在
m?N
，使得
2015a
m
.…………………………………………………15分
假设存在
m?N
，使得
2015a
m
，则
31a
m
.
2
一方面 ，
a
m
a
m?2
?a
m?1
?4
，所以< br>31a
m?1
?4
,即
2
a
30
??4< br>15
??2
30
(mod31)
.
a
m?1
??4(mod31)
，所以
m?1
*
*
2
由费马小定理 知
2
30
?1(mod31)
，所以
a
m?1
?? 1(mod31)
…………………………20分
30
(a
m?1
, 31)?1
.事实上，另一方面，假设
(a
m?1
,31)?d?1
，则
d31
，即
d?31
，所以
31a
m?1
，< br>而
31a
m?1
?4
，这样得到
314
.矛盾.
30
所以，由费马小定理得
a
m?1
?1(mod31)
.
2
这样得到
1??1(mod31)
.矛盾.所以不存在
m?N，使得
2015a
m
.………………25分





*

附加2 设k为正整 数，称数字
1~3k?1
的排列
x
1
为“N型”的，如果这些数满足
（1）
x
1
?
,x
x
2
??x
k ?1
； （2）
x
k?1
?x
k?2
??x
2k? 1
；（3）
x
2k?1
?x
2k?2
??x
3k? 1
．
记
d
k
为所有“N型”排列的个数．
(I)求
d
1
，
d
2
的值； (II)证明：对任意正整数k，
d
k
均为奇数．

参考答案：
首先注意到
x
k?1
的值只能取
3k?1,3k,
而
x
2k?1
的值只能取
1,2,
因为必须有2k个值比它小，
,2 k?1
这些数字，
,k?1
这些数字，因为必须有2k个值比它大。
,k?1
）时的N型排列个数为
d
k
(i,j)
，则
，
d
k
?
记
x
k?1
?3k? 2?j,x
2k?1
?i
（
i,j?1,2,
d
化简得 < br>(i,j)
k
?C
k?1?i
3k?1?(i?j)
C
k?1?j
3k?1?(i?j)?(k?1?i)
i,j?1
?
d
k?1
(i,j)
k
.
d
k
(i,j)
?(3k?1?i?j)!
.………………………………………………………10分
(k?1)!(k?1?i)!(k?1?j)!
(1) 计算可得
d
1
?5,d
2
?71
………………………………………………………………15 分
(i,j)
(2) 易知
d
k

d
k
?d
k
(j,i)
，
(i,i)
?
(3k?1?2i)!
（
i?1,2,
(k?1)!(k?1?i)!(k?1?i)!
，
d
k
(k?1,k?1)
?1
.
,k
）
当
k?1
时，对于所有
i?1,2,
（
i?1,2,
,k
，
d
k
(i,i)
是偶数。事实上对于
x
2k?1
? i
，
x
k?1
?3k?2?i
,i?1
只能放在
x
1
,x
2
,
,k
）时的任何一个N型排列，此时数字
1,2,
,x
i?1
的
位置，数字
3k?2?(i?1),3k? 2?(i?2),,3k?2?1
只能放在
x
3k?2?(i?1)
,x< br>3k?2?(i?2)
,
x
i
,x
i?1
,
（字母N的两头），
,x
3k?1
上
,x
k
和
x< br>3k?2?i
,x
3k?2?(i?1)
,,x
2k?2
(i ,i)
的数字可以互换得到一个新的N型排列，于是
d
k
是偶数（
i ?1,2,,k
）.……25分
（也可以从表达式说明
(m?2n)!
是偶 数（
n?1
），它的组合意义就是将m个白球，n个红
m!n!n!
球，n个 蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。

于是
d
k
?
i,j?1
?
d
k?1
(i ,j)
k
?
?
d
i?1
k
(i,j)
k< br>?d
(k?1,k?1)
k
?
i?j,i,j?1
?
k?1
d
k
(i,j)
为奇数！………………………25分）