高一数学试题及参考答案

第一学期期末学业质量监测
高一数学试题及参考答案
时量：120分钟 分值：150分
参考公式：球的表 面积
S?4
?
R
，球的体积
V?
2
4
3< br>?
R
， 圆锥侧面积
S
侧
?
?
RL

3
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合
题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.（集合的运算）集合
A ?x?2?x?2
，
B?{x0?x?2}
，则
AIB?
（ ）
A．
?
0,2
?
B．
?
0,2
?
C．
?
0,2
?
D．
?
0,2
?

??
2.（函数的概念）下列四个函数中，与
y?x
表示同一函数的是（ ）
A.
y?(x)
2

x
2
B.
y?

x
C.
y?x
2
D.

y?
3
x
3

3.（直线的截距）直线< br>5x?2y?10?0
在
x
轴上的截距为
a
，则（ ）
A.
a?5
B.
a??5
C.
a?2
D.
a??2

4.（函数的单调性）下列函数中 ,在区间
?
0,1
?
上是增函数的是（ ）
A．
y?x
B．
y?3?x
C．
y?
1
2
D．
y??x?4
x
5.（直线平行）已知直线
x?y?1?0
和直线
x?2y?1?0< br>，它们的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-1，0） D．（-2，-1）
6.（函数的图像）当
0?a?1
时，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
ax
的图象是（ ）

(A) (B) (C) (D)
M,N
分别为棱
BC
和 棱
CC
1
7.（异面直线所成的角）在右图的正方体中，
的中点，则异面直线
AA
1
和
MN
所成的角为（ ）

A．
30


o
B．
45
C．
60

oo
D．
90

o
8.（函数的零点）已知函数
f(x)
的图像是连续不断的，有如下
x
，
f(x)
对应值表：
x

f(x)

1
132.5
2
210.5
3
-7.56
4
11.5
5
-53.76
6
-126.8
函数
f(x)
在区间
[1,6]
上有零点至少有（ ）
A． 2个 B. 3个 C .4个 D. 5个
9.（球的体积与表面积）已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是
表面积等于（ ）
A．
4
?
B.
8
?
C.
12
?
D.
16
?

10.（函数的奇偶性和单调性）若偶函数
f(x)
在
?
??,?1
?
上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
32
?
，那么球的
3
3
2
33
C．< br>f(2)?f(?1)?f(?)
D．
f(2)?f(?)?f(?1)

22
A．
f(?)?f(?1)?f(2)
B．
f(?1)?f(?)?f(2)


11.（指对数的综合）三个数< br>0.7
6
，6
0.7
，log
0.7
6
的大 小关系为（ ）
A.
0.7
6
?log
0.7
6?6
0.7

B.
0.7
6
?6
0.7
?log
0.7
6

C．
log
0.7
6?6
0.7
?0.7
6

D.
log
0.7
6?0.7
6
?6
0.7

12.(函数综合) 对于函数
f(x)
定义域中任意的
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
有如下结论
①
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
②
f(x
1
?x
2
)?f( x
1
)?f(x
2
)

③
3
2
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
f(x
1
)?f(x
2
)
)?

?0
④
f(
1
22
x
1
?x
2
当
f(x)?log
3
x
时,上述结论中正确的序号是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．请将答案填在答
题卡相应位置. < br>13．（圆的标准方程）已知圆的方程为
(x?2)?(y?1)?4
，则圆心坐标22

为
(2,?1)
，半径为 2 .
14.（三视图）如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是
224

3
15.（直线的斜率）直线
3x?2y?1?0
的斜率是
?
n
3

2
16.（幂函数）幂函数
f(x)?x
的图象过点
(2,2)
，则
f(9)?
______
3
17.（定义域）函数
y?lg2x?3
的定义域为 .
(,??)

3
2
?
log
3
x,x ?0,
?
18.（分段函数与解不等式）已知函数
f(x)?
?
?< br>1
?
x
则
f(f(?2))
的值 ．
2

??
?
,x?0,
?
?
3
?
19.（函数的奇偶性）已知函数
f(x)
错误！未找到引用源。是定义错误！未找 到引用源。在上的奇函数，当
x?0
错误！未找到引用源。时，
f(x)?xln(x ?1)
，那么
x?0
时，
f(x)?
.
xln(?x?1)

20.（立体几何的综合）
已知两条不同直线
m
、
l
，两个不同平面
?
、
?
，给出下列命题：
①若
l
垂直于
?
内的两条相交直线，则
l
⊥
?
；
②若
l
∥
?
，则
l
平行于
?
内的所有直线；
③若
m
?
?
，
l
?
?
且
?
∥
?
，则
m
∥
l
；
④若
l
?
?
，
l?
?
，则
?
⊥
?
；
其中正确命题的序号是 ①④ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题:本题共有5个小题，8分+10分+10分+10分+12分=50分．
21.(指数与对数的运算)（本题满分8分）计算：
8
(1)
lg100 0?log
3
42?log
3
14?log
4
8
； (2)
(3)?(?2)?3?()
3

27
20?1
1
解：（1）原式=

3?log
3
4235
?log
2
2
2
3
?3?1??
1422
…………（4分）
12
??5
…………………………（8分）
33
（2）原式=
3?1?

22. (直线方程) （本题满分10分）已知
?ABC
三个顶点是A(?1,4)
，
B(?2,?1)
，
C(2,3)

(1)求
BC
边上的垂直平分线的直线方程；（7分）
（2）求点
A
到
BC
边所在直线的距离．（3分）
解：（1）
Q
y
A
C
B(?2,?1)
，
C(2,3)


?k
BC
3?1
??1
2?2
，………（2分）
则所求直线的斜率为：
k
又
BC
的中点
D
的坐标为
??1
………………………………………（4分）
B
O
x
(0,1)
，所以
BC
边的上的中垂线所在的直线方程为：
x?y?1?0
………………………………………………………………………………（7分）
（2）直线
BC
的方程为：
x?y?1?0

d?
?1?4?1
2
?22
……………（10分）
A(?1,4)
到直线
BC
：
x?y?1?0
的距离为： 则点

23.在三棱柱
ABC?EFG
中，侧棱垂直于底面，
AC? 3,BC?4,AB?5,AE?4,点D是AB的中点.

(1) 求证：
AE平面BFGC
； (2) 求证：
AC?BG
； （3）求三棱锥
C?DBF
的体积.
解：（1）证明：
∵
AECG
，
CG?平面BFGC
…………（2分）
G
E
F
AE?平面BFGC
…
C
∴
AE平面BFGC
……………（3分）
（2）证明：在直三棱柱
ABC?EFG
中
AC?CG
……………………………（4分）
B
D
A
QA C
2
?BC
2
?9?16?25?AB
2

?AC?BC.
……………………………（5分）
又QGC?BC?C,
? AC?面GBC.
……………………………………………（6分）
QGB?面GBC,
?AC?BG.
……………………………………………………（7分）

（3 ）
S
?CDB
?
13?4
S
?ABC
??3
24
…………………………………………………（8分）
13?4
?V
C ?DBF
?V
F?CDB
?S
?CDB
?FB??4.
33
……………………………………（10分）

24. (函数与单调性) （本小题满分10分）
右图是一个二次函数
y?f(x)
的图象.
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)当实数
k
在何范围内变化时，
g(x)?f(x)?kx
在区间
[?2,2]
上是单调函数．
解：（1）由图可知二次函数的零点为
?3,1
………………（2分）
（2）设二次函数为
y?a(x?3)(x?1)
,点
解得
a??1

2
y??(x?3)(x?1)??x?2x?3
………………………………………………（6分） （3）所以
(?1,4)
在函数上，
g(x)??x
2
?2x?3?kx??x
2
?(k?2)x?3< br>，开口向下，对称轴为
x??
k?2
2

k?2
??2
2
当，即
k?2
时，
g(x)
在
[?2,2]
上递减………………………………（8分）
?
k?2
?2
2
当， 即
k??6
时，
g(x)
在
[?2,2]
上递增 ?
综上所述
k??6
或
k?2
……………………………………… …………………………（10分）
注：第(1)小题中若零点写为
(?3,0)
，
(1,0)
，扣1分。
25. (函数的奇偶性) （本小题满分12分）
已知
f(x)?log
a
(1?x)?log
a
(1?x)(a?0,且a?1)
。
（1）求函数
f(x)
的定义域；
（2）判断函数
f(x)
的奇偶性，并予以证明；
（3）求使
f(x)?0
的
x
的取值范围。
?
x?1?0
??1?x?1
?
1?x?0
解：(1)
?
…………………………………………………………………（2分）

(?1,1)
………………………………………………………（3分） 所以函数
f(x)
的定义域为
(2) 任意取
x?(?1,1)，则
?x?(?1,1)
……………………………………………………（4分）

?f(?x)?log
a
(1?x)?log
a
(1?x)??[l og
a
(1?x)?log
a
(1?x)]??f(x)
即
?f(?x)??f(x)
…………………………………………………………………（6分）
所以函数
f(x)
是奇函数．…………………………………………………………………（7分）
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?0
loga
(1?x)?log
a
(1?x)
(3) 由
f(x)?0
，可得，即
?
x?1?0
?
当a?1时，
?
x?1?0?0?x?1;
?
1?x?1?x
?
………… ………………………………………………（9分）
?
x?1?0
?
当0?a ?1时，
?
x?1?0??1?x?0
?
1?x?1?x
?
……………………………………………………（11分）
0?x?1
，
当0?a?1 时,?1?x?0
………………………………………（12分） 所以
当a?1时，

附加题:
22
x?y?5
相切，
A(?6,?4)y?x?1B
26．从点处发出一条光线，与直线相遇于点后反射，反射光线恰与圆
求线段
A B
的长．
y
A
?
(x
0
,y
0
)
解： 设点
A(?6,?4)
关于直线
y?x?1
对称的点为
?
y
0
?(?4)
??1
?
?
x
0
?(?6 )
A
?
?
x
0
??5
?
y
0?(?4)
?
x
0
?(?6)
?1
?
y??5
?
22
则
?
，解得
?
0
…………………… …（3分）
?
据物理学知识可知反射光线的反向延长线必过
A(?5,?5)
，……（4分）
x
B
A'
所以设直线
A
?
B< br>的方程为：
y?5?k(x?5)
…………………………………………………………（5分）
则圆心到直线
A
?
B
的距离
d?
5k?5
k?1
2
?5
…………………………………………………………（7分）
解得
k?2
或
k?
1
2
(根据题意要舍去) ……………………………………………（8分）

?
y?5?2(x?5)?
x??4
??
y??3
，
y?x?1
联立直线方程
?
，解得
?
即
B
的坐标为
(?4,?3)
………………………………………………………………（9分）
AB?(?6?(?4))
2
?(?4?(?3))
2
?5

……………………………（10分）
27.已知四面体的
4
条棱的长为2
，
2
条棱的长为
3
，求它的体积。
解： 根据分析可知满足题目条件的四面体有两种情况，也就是棱长为
3
的棱共面和异面
（1）当棱长为
3
的棱异面时，四面体的图形如右图
A
2
D
3
E
2
C
3
2
11
V
A?BC D
?V
B?AEC
?V
D?AEC
?S
?AEC
? BE?S
?AEC
?DE
33

1
?S
?AEC
?(BE?DE)
3

2
1
?S
?AEC
?BD
B
3
…………………………………… ………………（2分）

CE=AE?
经过计算，
7
2
， ………………………………………（4分）
QCE+AE?AC

，所以三角形
AEC
并不存在，即这种情况的三棱锥也不存在………………（5分）
（2）当棱长为
3
的棱共面时，四面体的图形如右图
11
V
A?BCD
?V
B?AED
?V
C?AED
?S
?AED
?BE?S
?AED
?CE
33

1
?S
?AED
?(BE?CE)
3

A
2
D
3
B
E
2
2
3
C
2
1
?S
?AED
?BC
3
………………………………………………… …（7分）
S
?AEC
?
47
4
…………………………… ………………………（9分）
114747
?V
A?BCD
?S
? AED
?BC???2?
3346
………………………………………………………（1 0分）

28．设函数
f(x)
的定义域关于原点对称，对 定义域内任意的
x
存在
x
1
和
x
2
，使< br>x?x
1
?x
2
，且满足：
（1）
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)< br>；
1?f(x
1
)?f(x
2
)
（2）当
0?x?4
时，
f(x)?0

请回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性并 给出理由；（2）判断
f(x)
在
(0,4)
上的单调性并给出理由． 解：（1）函数
f(x)
在定义域内是奇函数…………………………………………………… …（1分）
因为在定义域内，对任意
x
存在
x
1
和
x
2
，使
x?x
1
?x
2
，且满足：
f (x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
1?f(x
1
)?f(x
2
)
；
由于 函数
f(x)
的定义域关于原点对称，
?x
必与
x
同时在定 义域内，…（2分）
同样存在存在
x
1
和
x
2
， 使
?x?x
2
?x
1
，且满足：
即
f(x)??f (?x)

f(?x)?f(x
2
?x
1
)?
f( x
2
)?f(x
1
)
1?f(x
2
)?f(x1
)
，……（3分）
?
f(?x)??f(x)
………………………………………………………………………………………………（4分）
?
函数
f(x)
在定义域内是奇函数. ……………………………………………………………………………（5分）
（2）函数
f(x )
在
(0,4)
上是单调递增函数…………………………………………………………… ………（6分）
任意取
x
1
,x
2
?(0,4)
，且
x
1
?x
2
，则
x
2
?x
1
?0

Q
函数
f(x)
在定义域内是奇函数，且当
0?x?4
时，
f(x)?0
，
?

f(x
1< br>)?0
，
f(x
2
)?0
，
f(x
1
?x
2
)??f(x
2
?x
1
)?0
…………… ……………………………………（7分）
Q
f(x
1
?x
2
)?
又
f(x
1
)?f(x
2
)
1?f(x1
)?f(x
2
)


?f(x
1
) ?f(x
2
)?0
?f(x
1
)?f(x
2
)……………………………………………………………………………………………（9分）
?
函数
f(x)
在
(0,4)
上是单调递增的…………………………………… ………………………………（10分）