高一数学题库

※※高一数学题库 第一章 ~3

一、多重选择题
1.在xy坐标平面上，设L为过点(2，1)及点( ? 1，2)的直
线，L?为过点( ? 2，1)而与L垂直的直线，若L? 的方程
式为ax ? by ? 1，则下列何者为真？
(A) a，b皆为整数 (B) a ? b ? 0 (C) ab ? 0
(D)1
a
1.设x为实数，求
(x?4)
2
?25
?
(x?4)
2
?1
之最小值
为 。【解答】10
2.设A(4，1)，B( ? 2，5)，G(
2
3
，1)，G为?ABC的重心，
则?ABC的垂心坐标为 。
【解答】(
12
5
?
1
b
? 0 (E) a
2
? b
2
【解答】(D)(E)
，)
5
3
2.平面坐标系中，下列叙述何者正确？
(A)点P(x
0
，y
0
)对x轴的对称点为( ? x
0
，y
0
) (B)点P(x
0
，
3.设点A( a，b)在第一象限，则通过A且和x轴、y轴在第
一象限所围成三角形面积为
21
a b之直线必存在。
y
0
)对y轴的对称点为(x
0
，? y
0
) (C)点P(x
0
，y
0
)对原点
的对称点为( ? x
0
，? y
0
) (D)点P(x
0
，y
0
)对直线y ? x的
对称点为(y
0
，x
0
) (E)点P(x
0
，y
0
)对直线y ? ? x的对称
点为( ? y
0
，? x
0
) 【解答】(C)(D)(E)
平面上，下列叙述何者正确？
(A)直线y ? ? 2x ? 7之斜率为2 (B)过两点( ? 2，1)，
(1，3)之直线斜率为
2
3
(C)直线2x ? 3y ? 6 ? 0的x截
距为 ? 2 (D) a，b，c?R，a ? b，则两直线ax ? by ? 3
? 0，bx ? ay ? c ? 0互相垂直 (E)?k?R，直线(2 ? k)x ?
(k ? 1)y ? (k ? 3) ? 0恒过点(1，1) 【解答】(B)(D)
4.若y
2
? axy ? 3x
2
? bx ? cy ? 0表示相交于点A(1，? 1)之
两直线，a，b，c?R，则
(A)有一直线过原点 (B)有一直线方程式为x ? y ? 0
(C) a ? 2 (D) b ? 4 (E) c ? 4
【解答】(A)(B)(C)(D)(E)
5.设P(x，y)为坐标平面上一点，且满足< br>(x?1)
2
?(y?3)
2
?
(x?4)
2
?(y?12)
2
? 5
10
，则P
点的位置可能在哪里？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象
限 (E)原点 【解答】(B)(D)(E)
6.如图，O，A，B，C，D，E六等分一个圆，此圆半径为
2，则

(A) A点的坐标为(1，
3
) (B) B点的坐标为(0，2
3
)
(C) C点的坐标为( ? 2，2
3
) (D) D点的坐标为( ? 3，
3
) (E) E点的坐标为( ? 2，0)
【解答】(A)(B)(C)(D)(E)
7.设不共点的三直线之方程式分别为：ax ? 4y ? 1，(a ? 1)x
? 3y ? 2，x ? 2y ? 3，其中a为实数。试问a为何值时，
上述三直线会围出一个直角三角形？
(A) ? 8 (B) ? 4 (C) 1 (D) 3 (E) 5
【解答】(A)(B)(D)(E)

二、填充题
11
(1)真伪： 。 (2)理由： 。
【解答】(1)伪
4.二直线L
1
：ax ? 6y ? 5a ? 3，L
2
：2x ? (a ? 7)y ? 29 ? 7a，
(1)当a ? 时，则L
1
L
2
。 (2)当a ?
时，则L
21
1
? L
2
。 【解答】(1) a ? 4 (2) a ?
2

5.已知A(2，? 2)，B(1，1)，C(3，5)，
(1)过A，B两点之直线方程式为 。
(2)过C点且x截距与y截距的绝对值相等，而不过原点
之直线方程式为 。
(3)?ABC之外心坐标为 。
【解答】(1) 3x ? y ? 4 ? 0 (2)
x
?2
?
yy
2
? 1或
x
8
?
8
? 1 (3)
(6，1)
6.已知三角形的三顶点为A(3，3)，B( ? 1，? 5)与C(6，0)，
则边
BC
上之高所在的直线方程式为 ；三高交
点的坐标为 。【解答】7x ? 5y ? 36 ? 0；(
14
，
2
33
)
7.设?ABC中，A(0，4)，B( ? 2，0)，重心G(
15
3
，
3
)，则
垂心H的坐标为 。 【解答】(
17
3
，
3
)
8.?ABC中，
AB
= 5，
BC
= 6，
AC
= 3，M为
AC
之中
点，则
BM
? 。 【解答】
113
2

9.L为过A(2，1)且与L
1
：2x ? y ? 0，L
2
：2x ? y ? 0各交于
P，Q之直线，若A为
PQ
的中点，则L之方程式
为 。
【解答】
y ? 8x ? 15
10.设A(2，? 1)，B(5，1)，C(3，a)为一个直角?的三顶点，
则实数a之值为 。【解答】?
5
2
，4，?
3

11.若直线y ? mx ? 3与图形 | x | ? | y | ? 2不相交，则m的
范围为 。 【解答】?
3
2
? m ?
3
2

12.直线L通过点( ? 2，2)，且与两坐标轴所成三角形的面
积为1，则L之方程式为 。
【解答】
x
?1
?
y
?2
? 1或
x
2
?
y
1
? 1
13.若直线L的斜率为
3
5
，且和两坐标轴所围成的三角形面
积为30，若L不经过第四象限，得方 程式为ax ? by ? 30
- 1 -

? 0，试求序对(a，b)之值为 。
【解答】(3，? 5)
14.直线L
1
：31x ? 17y ? 1 ? 0，L
2
：19x ? 13y ? 2 ? 0相交
于点A，而B是原点，则
AB
的方程式为 。
【解答】27x ? 7y ? 0
15.直线L：mx ? y ? 3 ? 0恒通过一定点P，且L交x轴于
A，交y轴于B，以A-B- P之顺序共线，且
AB
：
BP
? 1：
3，求L的方程式 。
【解答】9x ? 4y ? 3 ? 0
16.设?ABC的三个顶点坐标各为A(2，? 5)，B(3，1)，C( ?
4，2)，则?A，?B，?C的大小顺序为 。
【解答】?B ? ?A ? ?C
17.设A(1，9)，B(6，2)，
(1)在y轴上找一点P使
PA?
PB
有最小值，则P点坐标
为 。又此最小值为 。
(2)在直线x ? 5y ? 12上找一点Q使 |
QA
?
QB
| 有最
大值，则Q点坐标为 ，又此最大值
为 。
【解答】(1) P(0，8)；最小值7
2
(2) Q (8，?
4
5
)；最大
值
74

18.在xy平面上，有三点A(3，0)，B(1，2)，C( ? 1，? 2)
及点P，则当P之坐标是 时，
PA
2
?
PB
2
?
PC
2
之值最小，其值为 。
【解答】
P(1，0)；最小值16
19.设m?R，二直线mx ? 3y ? 1 ? 0与x ? (m ? 2)y ? m ? 0
相交于第二象限内，则m之范围为 。
【解答】1 ? m ? 3
20.已知三角形的三顶点为A(3，3)，B( ? 1，? 5)与C(6，
0)，则?ABC之垂心坐标为 。【解答】(
142
3
，
3
)
21.设直线方程式为3x ? 4y ? k ? 0，其被两坐标轴所截出之
线段长为4，则k之值为 。【解答】?
48
5

22.已知A(1，2)与B(3，4)为两定点，P(x，y)为直线x ? 2y
? 3上一点，问
PA
?
PB
时，P点的坐标为 。
【解答】(7，? 2)
23.设点P到A(3，0)，B(0，1)，C(0，6)都等距，则P的
坐标为 。【解答】(
5
，
7
22
)
24.已知三点A(2，1)，B(4，3)，C( ? 3，4)及直线L：x ? 2y
? 5 ? 0，求
(1)在直线L上找一点P，使
PA
2
?PB
2
之值最小，则P
之坐标为 。
(2)在直线L上找一点 Q，使
BQ
?
CQ
之值最小，则Q
之坐标为 。
【解答】(1) (
1118510
5
，
5
) (2) (
3
，
3
)
25.?k，m?R，k
2
? m
2
? 0，直线(4k ? 3m )x ? (k ? m)y ? 13k
? 10m ? 0恒过定点 。（请写出点坐标）
【解答】(
23
，
?1
7
7
)
26.有三直线L
1
：x ? 2y ? 6 ? 0，L
2
：2x ? 3y ? 10 ? 0，L
3
：
kx ? 2y ? 8 ? 0
(1)若L
3
L
1
，则k ? 。 (2)若L
1
，L
2
，L
3
不能围成一个三角形，则k ? 。
【解答】(1) ? 1 (2) ? 1或
4
3
或6
27.三直线L
1
：3x ? y ? 8 ? 0，L
2
：3x ? y ? 2 ? 0，L
3
：y ? 2
? 0围成?ABC，其中A为L
1
，L
2
之交点
(1)过A点之高，其方程式为 。
(2)?ABC之垂心坐标为 。
【解答】(1) x ? 1 (2) (1，
7
3
)
28.设A( ? 1，4)，B(3，2)，C(4，3)，P(x，y)为任意一点
(1 )
PA
2
?
PB
2
?
PC
2
之最 小值为 。 (2)此时P
点坐标为 。【解答】(1) 16 (2) (2，3)
29.一直线L与二直线x ? 2y ? 10及2x ? y ? 10分别交于点
P，Q，而
PQ
被原点所平分，则
(1) P点坐标为 。 (2) L之方程式
为 。【解答】(1) ( ? 2，6) (2) 3x ? y ? 0
30.已知A(5，2)，B(1，? 2)，C(1，? 4)，求过B点且将
?ABC的面积等分的直线方程式为 。（以ax
? by ? c ? 0之形式表之）
【解答】
x ? 2y ? 5 ? 0

三、证明题
1.直角?ABC中，点P，Q为斜边
AB
的三等分点，证明：
3(
CP
2
?
CQ
2
?
PQ
2
) ? 2
AB
2
。
2.(1)已知两直线方程式L
1
：y ? m
1
x，L
2
：y ? m
2
x，若L
1
与
L
2
垂直，试证：m
1
m
2
? ? 1。
(2)设
?
为一实数，直线L
1
的方程式为2x ? (2
?
? 1)y ? 7，
直线L
2
的方程式为(3
?
? 4)x ? (3
?
? 5)y ? 2，若L
1
与L
2
垂直，试求
?
值。【解答】 (2)
?13
6
或 ? 1
3.直线L
1
，L
2
的斜率各为m
1
，m
2
，证明：L
1
? L
2
? m
1
．m
2

? ? 1。
4.(1) a ? 0，b ? 0，试证：
a?b
2
?
ab
，且等号成立之充要
条件为a ? b。
(2)利用(1)求过点(3，2)且与二轴在第一象限所围之三角
形面积最小之直 线方程式为何？又最小面积 ? ？
【解答】 (2)
x
6
?
y
4
? 1；12

四、计算题
1.直角坐标平面上，直线L分别交x轴，y轴于点A与点B，
如图所示 。自原点O作L的垂线
OH
，其中H为垂足；
若
OH
? 2，?AOH ? 60?，
- 2 -

(1)试求H的坐标、直线AB的方程式。
(2)线段AB上，x坐标及y坐标都是有理数的点共有几
个？
请说明你的理由。（已知
p
为无理数，其中p为质数）
【解答】(1) x ?
3
y ? 4 ? 0 (2) 1个
2.设A( ? 3，47)，B(23，? 18)，试求：
(1)线段
AB
上的格子点，共有多少个？
(2)求在(1)中这些格子点的所有横坐标的总和。
【解答】(1) 14 (2) 140
3.设O为原点，正方形OABC，如下图，P(2，0)在
AB
上，
Q(
3
，1)在
BC
上，求正方形OABC的面积。
【解答】3
4.如下图，五边形ABCDE中，若AB线段、BC线段、CD
线段、DE线段、EA线段的 斜率分别为m
1
、m
2
、m
3
、
m
4、m
5
，请比较五边线段之斜率大小？
【解答】
m
5
? m
3
? m
1
? m
4
? m
2

5.已知坐标平面上三点A( ? 1，3)，B(5，7)，C(2，? 1)，
若直线L过C且与A，B两点等距离，求直线L之方程
式。【解答】2x ? 3y ? 7 ? 0或x ? 2 ? 0
6.设?ABC之三顶点为A(2，? 8)，B( ? 6，? 2)，C(6，? 5)，
而且顶点A的分角线交
BC
于D点，求D点的坐标。
【解答】(2，? 4)
7.设A(3，? 2)，B(1，2)，C(2，a)，若?ABC为直角三角
形，则a ?？【解答】?
5
2
，?
5

8.?ABC之三边
AB
，
BC
，
CA
之中点分别为D(5，? 4)，
E(4，1)，F( ? 3，2)，求点A之坐标？
【解答】( ? 2，? 3)
9.设A(2，? 1)，B(4，3)，而P是直线L：x ? y ? 1 ? 0的
动点，
求(1)
PA
?
PB
之最小值。 (2) |
PA
?
PB
| 之最大值。
【解答】(1) 2
13
(2) 2
5

10.有一道光线从第一象限沿着直线L：3x ? 4y ? 1射向x
轴上的P点，经x轴反射后，光线沿着另一条直线L?

离
去，求
(1)点P的坐标。 (2) L?

的方程式。
【解答】(1) (
1
3
，0) (2) 3x ? 4y ? 1
11. 求点P(3，? 1)关于直线2x ? 3y ? 4 ? 0之对称点坐标。
【解答】( ? 1，5)
12.?ABC的三边
BC
，
CA
，
AB
分别在直线x ? 2y ? 9，x ?
y ? 9，3x ? y ? 13上，试求?ABC之(1)重心；(2)垂心；
(3)外心；(4)又此三点是否共线。
【解答】(1) (
16
3
，?
5
3
) (2) (6，1) (3) (5，? 3) (4)是共
线4x ? y ? 23 ? 0
13.?ABC中，A( ? 2，? 5)，B(3，0)，垂心(
11
2
，?
1
2
)，求
C点坐标及?ABC之面积。
【解答】
C(0，5)；20
14. 如图ABCD为梯形，
AD
?
AB
，
AD
交y轴于S，
CD
交x轴于T，已知三顶点A ( ? 3，0)，B(0，? 6)，C(5，
? 1)，试求顶点D的坐标，并求?DST的面积。

【解答】
45
8

- 3 -