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高一数学综合测试题(A)试题+答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 17:35
tags:高中数学试题

高中数学单元设教学计-教辅知识清单高中数学

2020年9月18日发(作者:缪维)







高一数学综合测试题


一、选择题(每小题

1.设集合
A

A.
[ 1,1]
B.

2.设向量
a

A.

5 分,共 12 个小题,共

2

60 分)

x x
x

6

0 , B

x x
2

1

,则
A B
()



( 3,1]

C.

( 1,2)

D.

[

1,2)

1,2

, b

11

2



3,5 , c

29

2

2



4, x ,

a

29

2



b cR
,则



x
的值为

( )

11

2


B.

C.

D.


3.函数
f ( x)


ln x


的零点所在的大致区间是

( )





x

A. (1,2)

B. (2,3) C.

















(1, )


(3,4) D. (e

e

-??+1
1

,+∞ )



4.函数 ??(??) = 1 +

log
2
??与 ??( ??) =

2 在同一直角坐标系下的图象大致是

( )

A.

B.

C.

的函数是 (

)

D.

5.下列函数中,是偶函数且最小正周期为

A.
y sin 2x cos2 x
B.
y sin x cos x
C.
y


cos(2 x)
D.

2


y sin( 2x)

2

6.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:

二斤.”意思是:“现有一根金锤,头部的

量构成等差数列 . ”则下列说法错误的是 ( )

A. 该金锤中间一尺重






“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重

1 尺,重 4 斤;尾部的

1 尺,重

2 斤;且从头到尾,每一尺的重


3 斤 B. 中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的

15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为


3 倍


0.5 斤

C. 该金锤的重量为

7.定义在

R
上的函数

f x
满足:


f x 1

25

16


1

x 0,1
时,
f x 2

f log
2
9
等于

( )

x
f x

A.

16

25

B.

9

8

C.

8




9

D.

8.如图,在正方体

ABCD A BC D
中,异面直线
A D

D C
所成的角为

( )

1 1 1 1 1 1
A.
30

9.已知

B.

45

C.

60

D.
90


ABC
的三边长为
a,b,c

,满足直线
ax by

B.

锐角三角形

C.

钝角三角形

2c

D.

0
与圆

x
2

y
2

4
相离,则

ABC
是(

)


A. 直角三角形

10.将函数
y









以上情况都有可能

sin

4x


的图象向左平移


个单位, 得到新函数的一条对称轴为
x

π
,则



的值不

4


16

试卷第 1页,总 4页







可能是( )

A.


3

4

B.



C.

3


4

2

D.

5

4

























11.已知

a
2
4

2a

2

x

4





















1
对于任意的

x

x


1,


恒成立,则 (


)



x

A.

a
的最小值为

3
B.


a
的最小值为

4
C.

a
的最大值为

2

a, b, c
,且满足










2 2
D.



2
a
的最大值为

4

,

ac CA AB




12.
ABC
中,角
A, B, C
的对边分别为







a







c









b





0,


b







3










,则
a


c


取值范围是 (

A.

)


(2,3)

B.

( 3,3)
C.

(1,3)

D.

(1,3]



二、填空题(每小题

13.设


5 分,共

4 个小题,共 20 分)

为第二象限角,

P

x,4
为其终边上的一点,且



sin


4

5

,则
tan2
________.





14.不论
m
为何实数,直线

15.已知等比数列

m

1 x

2m 1 y

m 5
恒过的定点坐标是

_______.


a
n

中,有
a
3
a
11
4a
7

,数列
b
n

是等差数列,且

b
7

a
7

,则
b
5


b
9

5,AC

7
,若
O


70 分)


________.

16.在
ABC
中,
AB

三、解答题(本题共

ABC
外接圆的圆心,则

AO BC
的值为

________.




6 个大题,共

17.(本题 10 分)已知函数



f

x


sin

xcos


x


3cos

x


2
3

(

2


0)
图像的两条相邻对称轴为


π
.

2

(1) 求函数
y f x
的对称轴方程;

(2) 若函数
y f x












1

3


0, π
上的零点为
x
1
, x
2

,求
cos x
1


x
2

的值

.


18.(本题 12 分)设

ABC
的内角

A



B


C
的对边分别为

b





a


b


c
,已知

b
2

c
2

a
2



3bc
.

(1)若
tanB


6

12

2

3

,求





a










(2)若
B
















b 2


3
,求

BC

边上的中线长

.




试卷第 2页,总 4页







19.( 本题 12 分)如图,三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1

的侧面
ABB
1
A
1

为正方形,侧面
BB
1
C
1
C
为菱形,

CBB
1
60


AB B
1
C
.

(Ⅰ)求证:平面
ABB
1
A
1

BB
1
C
1
C


(Ⅱ)若
AB 2
,求三棱柱

ABC A
1
B
1
C
1

的体积

.

20.(本题 12 分)已知数列
a
n

的前
n
项和
S
n
3n
2

8n

b
n

是等差数列,且
(Ⅰ)求数列
b
n

的通项公式;


(a
n

1)
n

1

(Ⅱ)令
c
n

(b
n
n
项和
T
n

.



n

2)
,求数列

c
n

的前


试卷第 3页,总 4页

a
nn
b
n 1

.




















































b








































l : 4x 3 y 10 0

21

12

.(本题

分)已知直线





C

,半径为
2

的圆


l




相切,圆心


C

x

l




轴上且在直线




上方.

(Ⅰ)求圆
C
的标准方程;

(Ⅱ)过点
M (1,0)
的直线与圆
C
交于
A, B
两点(
A


x

轴上方),问在

x

轴正半轴上是否存在点
N
,使得

x
轴平分

ANB
?若存在,请求出点
N
的坐标;若不存在,请说明理由.

b
22.(本题 12 分)已知函数
f x

ax


是定义在
a

2, a
上的奇函数

.


x
2

1


(1) 求
f x
的解析式;
(2) 证明:函数
f x
在定义域上是增函数;
m
(3) 设
h xf x


是否存在正实数
21

使得函数

1


内的最小值为

?若存在,求出
f

x

m,

h x



1


2


25

m
的值;若存在,请说明理由

.

试卷第 4页,总 4页


























































































2

1. A







参考答案





≤??≤1}



【解析】由 ??= { ??| -

3

??

2}
,又
??= { ??| ?? ≤ 1} = {??| -

1

所以 ??∩??= {??| - 3


??

2} ∩{??| -

1 ≤ ??≤1} = [- 1

1]



本题选择 A 选项 .

2. C

















【解析】由已知可得




1,2



3,5



4, x




{


4

x


2

7



{



1

2








x














x


14



29

,故选 C.

2






3. B


2

的图象,观察图象交点在区


(2,3)


【解析】画出函数

??= ln ??和 ??=




??

内,下面证明:



















当??=

2时, ln2 <

ln ??= 1;当 ??= 3 时, ln3

> ln ??>











2
3

,则交点在区间

(2,3) 内 .


















4. C


【解析】 ∵???? =

1 + ????




1-??- ??-1-??
故排除 A、B,又 ∵???? = 2 = 2

的图象是由 ??= 2

2
??的图象是由 ??= ????
2
??的图象上移
1 而得,∴其图象必过点

的图象右移 1 而得,






















(1,1).








故其图象也必过 (1,1)

点 , 及 (0,2)

点,故排除 D,

本题选择 C选项 .

5. D






















??











【解析】对于 A, 函数 ??=

????2??+ ????2??=

2??????(2

?+

4
) ,是非奇非偶的函数,不满足题意;


??


)












对于 B, 函数 ??=

??????+ ????????=

2??????(

+

对于 C, 函数 ??=


??????(2


??

2

??


4

,是非奇非偶的函数,不满足题意;




?+

) = -??????2

?,是奇函数,不满足题意;


































3

4






5





对于 D, 函数 ??=

??????(2


+

2
) = ????2??,是偶函数,且最小正周期为




π ,满足题意。





2

本题选择 D选项 .



??









6. B


【解析】依题意,从头至尾,每尺的重量构成等差数列




{??} ,可得 ?? =

4, ?? = 3.5, ?? = 3, ?? = 2.5, ?? = 2,可

1


知选项 A、C、 D都正确,而中间三尺的重量和不是头尾两尺重量和的

7. C






3倍,故选 B.







































8
T 2




f log
2
9




f

log
2
9

2
















f

log
2

9


4








f


9

log
2

4

1


1


1

f

log
2


9

8


1

9
2

log
2

8
,故选 C.

9








考点:函数的周期性、函数的解析式

8. C





























【解析】试题分析:由题可知,在正方体







ABCD

A
1
BC
1 1
D
1

中,

, 所以异面直线

A
1
D

D
1
C


答案第 1页,总 8页








成的角与异面直线



A
1
D

A
1
B
所成的角相等,连接
A
1
B


BD,

,故

=
60
.

为所求角,设正方体的边长为

1,在

中,三条边长均为




考点:异面直线所成角

9. C

【解析】圆心到直线的距离


d


2c

a
2

b

2
, 所以
c

2
2


a





2
b




2
,在

ABC
中,
cosC
















a

2

b
2


c
2

0











2ab











所以

10. C

C
为钝角。

ABC
为钝角三角形。选

C


【 解 析 】 将 函 数
y



s i n4

x


的图象向左平移


4


个单位,得到新函数的解析式为


y


sin

4

x




4






sin 4x


,再根据所得函数的图象的一条对称轴为






































x


,则

4

k







, k

z
,即

2







k



,故


3



,故选 C.

16





16



4





4













11. A


【 解 析 】 因 为
x



2
1,










, 所 以
x 1 0 x,






2


0


不 等 式




a
2









2a 2

x




4

2
x

x





1
可化为


4

2

a

2a

3

x

x

x

1




a




2a



3

4

x

1


x 1

1









4




x

1

1

2



4



x

1




x




5
,当且仅当

1

1

{

4





x

3

时,上式取“



=”号。所以



x 1






x

1







x



1









x

1














a
2

2a

3

5
,解得

3

a

1

。故选 A。











??































【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题。

12. B










1






??

2
22
【解析】由 a +

c -

b

=

ac, 得 cos??=
2
,因为 ??∈(0,

??), 所以 ??=
3

. 又 ????????> 0, 得 A 为钝角 . ??∈(0,
6
) ,


由正弦定理 2??=



2??

2, ??+ ??=

2(sin ??+ sin ??) =

=

2(sin(

-


3


sin ??


??

??) + sin??) =

2

3sin( ??+























??

??

) ,

<

??+








??

6

<


??

,

6

6

3

所以














































??+ ??∈(

【点睛】


3,3) ,选 B.




在解三角形中 , 对于求边的线性和的范围

13.





24
7

, 常转化为角做 , 这样比化边做更容易控制范围 .











































答案第 2页,总 8页







【解析】




是第二象限角,




P

x,4
为 其 终 边 上 的 一 点 ,


x


0,




cos

x

5

x

2
,


24
x


3,

x



3

tan





y

x


4



3



tan2




2tan

2
1

tan


,
故答案为



24
x 16




.




7

7



14.

9, 4


【解析】直线方程即:







m x 2 y



1

x

y

5

x

9

y










0











求解方程组:

{

x

2 y

1

0

x

y

5

0



可得:

{

















4




即直线恒过定点

15. 8

【解析】

16. 12


9,

4

.






















在等比数列


a
n

中,
a
3
a
11

4a
7


a
7
,

a
7




2
4

b
7
b
5


b
9

2b
7

8

,故答案为
8


【解析】取
BC
的中点
H
,连接

AH


OH
,则
OH

1

AC





















AB


AC


AB


HO

BC


1

AC


2
BC, AO BC

AH

AB

49 25

12
.


2
HO







BC






2


2


2


17. (1)

x


kπ 5π
k

2

12



Z

;(2)



1
.


3





















【解析】试题分析:


(1) 化简可得
f x





π
sin

2 x






,由题意可得周期
T


π
,所以


的值,易得函数的对称轴;

(2) 由 (1)

3

x
1




可得
x




12



的一条对称轴,则

x
2





6


x
2







cos x
1



cos

2x
1



,结合条件求解即可 .



6

试题解析:

(1)
f







x


sin

x cos

x


3cos x


2
1
3

2

2

sin2

x


3
2

cos2


x



答案第 3页,总 8页








sin 2

x


π



3







































































































由题意可得周期
T


π
,所以










1

T





所以
f x



sin


2x


π



3


故函数
y

f x

的对称轴方程为

2x


x


π 5π






k Z







π

3






π

π

2



Z



















2

12







(2) 由条件知
sin


2x
1


π

3


sin


2x
2

π

3



12


1

3





,且
0 x

1

0





12

x
2







3


















易知
x
1
, f


x
1




x
2
, f



x
2

关于
x


对称,则
x


x

1 2




6





所以







x
1

















cos x
1


x
2



cos

x
1


6


cos

2x
1

6




cos

2x
1

π

3


π
]

2


7





18.( 1) (2)


2
sin

2x
1

3






π

1

3











































5


【解析】试题分析 : ( 1)由
b

c

22

a

2

bc3


3
根据余弦定理得

cosA




A

. 又
tanB

b
a

2


的值






6



6



12

根据同角三角函数的基本关系可得



sinB

1

, 最后由正弦定理可得

5


c






(2)由题意可得
C


6


2

, 由正弦定理可得


2
,

在在


ABD
中根据余弦定理可得


BC
边上的中线长



试题解析 : ( 1)由
b



c



2

a
2


3bc


cosA





















3



A

2








.





















6

tanB



6

12




sinB.

1







5



b































由正弦定理得,








a


,则


b

a


sinB

sinA


1

5

2

1

5

2




.


sin A

sinB






















(2)
A





C

A

B




AB


BC
.由



c



b


c


2
.取
BC
中点

D
,在

ABD


6


6


sinC


sinB


答案第 4页,总 8页







中,

AD AB

22
BD 2 AB BD cosB 7


2
AD

7
,即

BC

边上的中线长为

7
.

点睛: 本题考查余弦定理和正弦定理的运用,考查内角和定理,以及化简和求值的运算能力,属于中档题


19.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

2 3

.


【解析】试题分析: ( I )证
AB
垂直于平面内的两条相交直线,再由线面垂直

棱锥
B
1

? 面面垂直;(II )先求得三

ABC
的体积,再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解

.


试题解析:(Ⅰ)由侧面
ABB
1
A
1

为正方形,知
AB

所以
AB

平面
BBC
11
C
,又

AB


BB
1
, 又
AB

B
1
C

BB
1



B
1
C

B
1






平面
ABB
1
A
1

,所以平面
ABB
1
A
1


BB
1
C
1
C
.


(Ⅱ)设
O



的中点,连结

CO
,则



1
.由(Ⅰ)知,




CO



平 面


, 且

BB
1


BC


CO

BB


ABB

1

ABB
1
A
1



3
CO


3


AB


3




2


连结
AB
1

,则
V
C


1

S
ABB
CO


1


2


1

V
1


3

11


1
AB
2
CO



6




2

3

, 因


3



V
B


ABC

1


V

C ABB

3


ABC
A B C

1

1



2

1

3

3



,故三棱柱
ABC




ABC
的体积
V
1 ABC



2

3


A B C

1

1

1












点睛:本题考查面面垂直 的判定及空间几何体的体积,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直

的判定是关键 ;证明面面垂直的关键是证明线线垂直,证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角

形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等,利用等体积法求三棱锥的高是最常用的方式


20.( 1)




.






( 2)


【解析】试题分析: ( 1)根据公式
a
n

项公式;( 2)求出数列
c
n

试题解析:(Ⅰ)由题知,当







S
n
S
n

1
n

2
求出数列

a
n

的通项公式,再求数列


b
n


的通

的通项,利用错位相减法求数列


时,




c
n

的前
n
项和

T
n

.

;当

时,

,符合上式 .

所以









. 设数列

.

的公差

,由

即为

,解得



,所以

(Ⅱ)








,则







两式作差,得




答案第 5页,总 8页





















.


所以


.


21.(Ⅰ)
x
2

y
2

4
;

(Ⅱ)当点
N
的坐标为

4,0

时,能使得

ANM


BNM
成立

.


5
【解析】试题分析: (Ⅰ)设圆心
C

a,0 (a


)
,由圆
C
与直线
l
相切,求出
a 0
,得到圆

C

的标准

2


方程;(Ⅱ)当直线

AB

x
轴,在

x

轴正半轴上任一点,都可使

x
轴平分

ANB
; 当直线

AB

斜率存在

时,设直线
AB
方程为

y

k

x 1

N

t,0 , A x
1
, y
1

, B x
2
, y
2
,

联立直线与圆的方程,消去

x
1

x
2
, x
1
x
2

,因为
k
AN

































y
,得

到一个关于
x
的二次方程,由韦达定理,求出


试题解析:(Ⅰ)设圆心

C a,0



2








k
BN
(a

5
2

, 求出
k
的值 .







)











4a

10


0或
a

a



5
(舍去).



5

所以圆
C
的标准方程为

x
2

y
2

4




x
轴,在

x

轴正半轴上任一点,都可使

(Ⅱ)当直线
AB

当直线
AB
斜率存在时,



设直线
AB
方程为

y

联立圆
C
的方程和直线

x
轴平分


ANB



k

x

1

N t,0

, A x
1
, y
1
, B

x
2
, y
2
,































AB
的方程得,

{

x
2

y
2

4,




k
2

1 x

2

2k x k

22


4 0







y k


x
1


x

1

x
2

2k

, x
1
x
2

k


4



22
k

1

k


1


ANB
,则

k

AN




x
2





22





















x
轴平分


k
BN
y
1

x
1

t

2 k
2

y
2

x
2

4

t


0

2
k x
1
1 k x
2


1

0



x
1

t

1

1

2t 0





x
2

t

t 4






2x
1
x
2

t 1 x
1


2t 0


2k

t

k
2

.
k

2
1

ANM







当点
N
的坐标为






4,0

时,能使得

BNM
成立.

答案第 6页,总 8页






点睛:本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等,属于中档题


22. (1)

. 考查了学生的计算能力 .

1
f x


值为
21

x



x

x

2
1



;(2)

证明见解析; (3) 存在

m


11






























441


2500

,使函数
h x










内的最小
1


2




.









25


(1) 由题意求得实数





【解析】试题分析:





a,b

的值,则



f x

x



2
x

1


x




11






(2) 由单调性的定义证明函数的单调性即可;
(3) 结合函数的解析式分类讨论可得存在


m















441


使函数
h

x

2500










1




内的最小值为

1
21

.

2







25







试题解析:




a 2

(1)



















a,

a

1,






b 0,













x








.

11



f

0

0,









f


x




2

x


1



x








(2) 设
x,

x
为区间


1


2


内的任意两个自变量,且

11


x


x ,


1








2


f

x
2



2
x
2


x
1


x
2
x
1


=


f


x
1


22

2
x
1


x
2
1 x
1


1

x
2

x
1
x
2

2
x
1

2
1 x
2

1



=


x
1
x
2
x
1

2
x
2

2

x
2
x
1

1





x
1
1 x
2







x
2


x
1


1

x
1
x
2




x
1

2
1


x
2

2
1


















x ,x



1

2
11,, x x


1

2

11,,



1 x
1
x
2

x
1
2






0




















































又∵
x
1

x
2


x
2


x
1

0,



x
2


x
1


1

x
1
x
2

1

x
2

2
1


0,








f x
2




f x
1


, f

x




11,





上为增函数 .


(3) 由 (2)





f


x












1


内为增函数,∴

1


f

x



2



, ,

2


1



5


2

















t




f

x ,


h t



t



m


, t



2


1

5


2


.










t



h
























①当


m


1



, h

t





2


2

1



上单调递减
, h

5

2




t
min
1


2












解得
m




17

100



矛盾,舍去;










答案第 7页,总 8页





②当
2

1
m




, h t



5

解得
m


2

441

2500

m

2

, t

t

m

t

2 m




21


25













21

25


2

1



时取等号;



5

2


③当
0


解得
m


22
2

1

上单调递增
, h t
min


, h t





5

5

2











2

h

5










矛盾,舍去 .








125

1
2


所以存在

m

441

2500




内的最小值为
1,使函数 h x





21

.

25


点睛:判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

(1) 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2) 判断
f
(
x
)


f
(


x
)

是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式 (
f
(
x
) +
f
( -
x
) = 0( 奇函数 ) 或
f
(
x
) -
f
( -
x
) = 0( 偶函数 )) 是否成立.
关于奇偶性、单调性、周期性的综 合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知
区间上的问题.




































































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本文更新与2020-09-18 17:35,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/403374.html

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