高中数学单元设教学计-教辅知识清单高中数学
高一数学综合测试题
一、选择题(每小题
1.设集合
A
A.
[ 1,1]
B.
2.设向量
a
A.
5 分,共 12 个小题,共
2
60 分)
x x
x
6
0 ,
B
x x
2
1
,则
A B
()
( 3,1]
C.
( 1,2)
D.
[
1,2)
1,2
, b
11
2
3,5 , c
29
2
2
4, x ,
若
a
29
2
b cR
,则
x
的值为
(
)
11
2
B.
C.
D.
3.函数
f (
x)
ln x
的零点所在的大致区间是
( )
x
A.
(1,2)
B. (2,3) C.
(1, )
和
(3,4) D.
(e
e
-??+1
1
,+∞ )
4.函数 ??(??) = 1 +
log
2
??与 ??( ??) =
2
在同一直角坐标系下的图象大致是
( )
A.
B.
C.
的函数是 (
)
D.
5.下列函数中,是偶函数且最小正周期为
A.
y sin 2x cos2 x
B.
y sin x cos
x
C.
y
cos(2 x)
D.
2
y sin( 2x)
2
6.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:
二斤.”意思是:“现有一根金锤,头部的
量构成等差数列 .
”则下列说法错误的是 ( )
A. 该金锤中间一尺重
“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重
1 尺,重 4
斤;尾部的
1 尺,重
2 斤;且从头到尾,每一尺的重
3 斤 B. 中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的
15 斤
D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为
3 倍
0.5 斤
C. 该金锤的重量为
7.定义在
R
上的函数
f x
满足:
f
x 1
25
16
1
x
0,1
时,
f x 2
则
f log
2
9
等于
( )
x
f x
A.
16
25
B.
9
8
C.
8
9
D.
8.如图,在正方体
ABCD A BC D
中,异面直线
A D
与
D C
所成的角为
( )
1 1 1 1 1 1
A.
30
9.已知
B.
45
C.
60
D.
90
ABC
的三边长为
a,b,c
,满足直线
ax
by
B.
锐角三角形
C.
钝角三角形
2c
D.
0
与圆
x
2
y
2
4
相离,则
ABC
是(
)
A. 直角三角形
10.将函数
y
以上情况都有可能
sin
4x
的图象向左平移
个单位, 得到新函数的一条对称轴为
x
π
,则
的值不
4
16
试卷第 1页,总 4页
可能是( )
A.
3
4
B.
C.
3
4
2
D.
5
4
11.已知
a
2
4
2a
2
x
4
1
对于任意的
x
x
1,
恒成立,则 (
)
x
A.
a
的最小值为
3
B.
a
的最小值为
4
C.
a
的最大值为
2
a, b, c
,且满足
2 2
D.
2
a
的最大值为
4
,
ac CA AB
12.
ABC
中,角
A, B, C
的对边分别为
a
c
b
0,
b
3
,则
a
c
的
取值范围是 (
A.
)
(2,3)
B.
( 3,3)
C.
(1,3)
D.
(1,3]
二、填空题(每小题
13.设
5 分,共
4 个小题,共 20 分)
为第二象限角,
P
x,4
为其终边上的一点,且
sin
4
5
,则
tan2
________.
14.不论
m
为何实数,直线
15.已知等比数列
m
1 x
2m 1 y
m
5
恒过的定点坐标是
_______.
a
n
中,有
a
3
a
11
4a
7
,数列
b
n
是等差数列,且
b
7
a
7
,则
b
5
b
9
5,AC
7
,若
O
为
70
分)
________.
16.在
ABC
中,
AB
三、解答题(本题共
ABC
外接圆的圆心,则
AO BC
的值为
________.
6 个大题,共
17.(本题 10 分)已知函数
f
x
sin
xcos
x
3cos
x
2
3
(
2
0)
图像的两条相邻对称轴为
π
.
2
(1) 求函数
y f x
的对称轴方程;
(2) 若函数
y f x
1
3
在
0, π
上的零点为
x
1
, x
2
,求
cos x
1
x
2
的值
.
18.(本题 12 分)设
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
b
;
a
,
b
,
c
,已知
b
2
c
2
a
2
3bc
.
(1)若
tanB
6
12
2
3
,求
a
(2)若
B
,
b 2
3
,求
BC
边上的中线长
.
试卷第 2页,总 4页
19.( 本题 12 分)如图,三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的侧面
ABB
1
A
1
为正方形,侧面
BB
1
C
1
C
为菱形,
CBB
1
60
,
AB B
1
C
.
(Ⅰ)求证:平面
ABB
1
A
1
BB
1
C
1
C
;
(Ⅱ)若
AB 2
,求三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的体积
.
20.(本题 12 分)已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
3n
2
8n
,
b
n
是等差数列,且
(Ⅰ)求数列
b
n
的通项公式;
(a
n
1)
n
1
(Ⅱ)令
c
n
(b
n
n
项和
T
n
.
n
2)
,求数列
c
n
的前
试卷第 3页,总 4页
a
nn
b
n
1
.
b
l : 4x 3
y 10 0
21
12
.(本题
分)已知直线
C
,半径为
2
的圆
l
与
相切,圆心
C
x
l
在
轴上且在直线
的
上方.
(Ⅰ)求圆
C
的标准方程;
(Ⅱ)过点
M (1,0)
的直线与圆
C
交于
A, B
两点(
A
在
x
轴上方),问在
x
轴正半轴上是否存在点
N
,使得
x
轴平分
ANB
?若存在,请求出点
N
的坐标;若不存在,请说明理由.
b
22.(本题 12 分)已知函数
f x
ax
是定义在
a
2, a
上的奇函数
.
x
2
1
(1) 求
f x
的解析式;
(2) 证明:函数
f x
在定义域上是增函数;
m
(3) 设
h xf x
,
是否存在正实数
21
使得函数
1
,
内的最小值为
?若存在,求出
f
x
m,
h
x
在
1
2
25
m
的值;若存在,请说明理由
.
试卷第 4页,总 4页
2
1. A
参考答案
≤??≤1}
,
【解析】由
??= { ??| -
3
<
??
<
2}
,又
??= { ??| ?? ≤ 1} = {??| -
1
所以 ??∩??= {??| - 3
<
??
<
2} ∩{??| -
1 ≤ ??≤1} = [-
1
,
1]
.
本题选择 A 选项 .
2. C
【解析】由已知可得
1,2
3,5
4, x
{
4
x
2
7
{
1
2
x
x
14
29
,故选 C.
2
3. B
2
的图象,观察图象交点在区
(2,3)
【解析】画出函数
??= ln ??和 ??=
间
??
内,下面证明:
当??=
2时,
ln2 <
ln ??= 1;当 ??= 3 时, ln3
>
ln ??>
2
3
,则交点在区间
(2,3) 内 .
4. C
【解析】 ∵???? =
1 + ????
1-??- ??-1-??
故排除 A、B,又 ∵???? =
2 = 2
的图象是由 ??= 2
2
??的图象是由
??= ????
2
??的图象上移
1 而得,∴其图象必过点
的图象右移 1 而得,
(1,1).
故其图象也必过 (1,1)
点 , 及 (0,2)
点,故排除 D,
本题选择
C选项 .
5. D
??
【解析】对于 A, 函数 ??=
????2??+
????2??=
2??????(2
?+
4
) ,是非奇非偶的函数,不满足题意;
??
)
对于 B, 函数 ??=
??????+ ????????=
2??????(
+
对于 C, 函数 ??=
??????(2
??
2
??
4
,是非奇非偶的函数,不满足题意;
?+
) = -??????2
?,是奇函数,不满足题意;
3
4
5
对于 D, 函数 ??=
??????(2
+
2
) = ????2??,是偶函数,且最小正周期为
π ,满足题意。
2
本题选择 D选项 .
??
6. B
【解析】依题意,从头至尾,每尺的重量构成等差数列
{??} ,可得 ?? =
4, ?? = 3.5,
?? = 3, ?? = 2.5, ?? = 2,可
1
知选项 A、C、 D都正确,而中间三尺的重量和不是头尾两尺重量和的
7.
C
【
3倍,故选 B.
解
析
】
由
已
知
可
得
函
数
的
周
期
8
T 2
f
log
2
9
f
log
2
9
2
f
log
2
9
4
f
9
log
2
4
1
1
1
f
log
2
9
8
1
9
2
log
2
8
,故选 C.
9
考点:函数的周期性、函数的解析式
8. C
【解析】试题分析:由题可知,在正方体
ABCD
A
1
BC
1
1
D
1
中,
, 所以异面直线
A
1
D
与
D
1
C
所
答案第 1页,总 8页
成的角与异面直线
A
1
D
与
A
1
B
所成的角相等,连接
A
1
B
,
BD,
,故
=
60
.
为所求角,设正方体的边长为
1,在
中,三条边长均为
考点:异面直线所成角
9. C
【解析】圆心到直线的距离
d
2c
a
2
b
2
, 所以
c
2
2
a
2
b
2
,在
ABC
中,
cosC
a
2
b
2
c
2
0
,
2ab
所以
10. C
C
为钝角。
ABC
为钝角三角形。选
C
【 解 析 】 将 函 数
y
s
i n4
x
的图象向左平移
4
个单位,得到新函数的解析式为
y
sin
4
x
4
sin 4x
,再根据所得函数的图象的一条对称轴为
x
,则
4
k
, k
z
,即
2
k
,故
3
,故选 C.
16
16
4
4
11. A
【
解 析 】 因 为
x
2
1,
,
所 以
x 1 0 x,
2
0
。
不 等 式
a
2
2a 2
x
4
2
x
x
,
1
可化为
4
2
a
2a
3
x
x
x
1
即
a
2a
3
4
x
1
x
1
1
因
为
4
x
1
1
2
4
x
1
x
5
,当且仅当
1
1
{
4
即
x
3
时,上式取“
=”号。所以
x 1
x
1
x
1
x
1
a
2
2a
3
5
,解得
3
a
1
。故选
A。
??
【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题。
12. B
1
??
2
22
【解析】由 a +
c -
b
=
ac, 得 cos??=
2
,因为
??∈(0,
??), 所以 ??=
3
. 又
????????> 0, 得 A 为钝角 . ??∈(0,
6
) ,
由正弦定理 2??=
2??
2, ??+ ??=
2(sin ??+ sin
??) =
=
2(sin(
-
3
sin ??
??
??) + sin??) =
2
3sin( ??+
??
??
) ,
<
??+
??
6
<
??
,
6
6
3
所以
??+ ??∈(
【点睛】
3,3) ,选
B.
在解三角形中 ,
对于求边的线性和的范围
13.
24
7
, 常转化为角做 , 这样比化边做更容易控制范围
.
答案第 2页,总 8页
【解析】
是第二象限角,
P
x,4
为 其 终 边 上 的 一 点 ,
x
0,
cos
x
5
x
2
,
24
x
3,
x
3
tan
y
x
4
,
3
tan2
2tan
2
1
tan
,
故答案为
24
x 16
.
7
7
14.
9, 4
【解析】直线方程即:
m x 2 y
1
x
y
5
x
9
y
,
0
,
求解方程组:
{
x
2 y
1
0
x
y
5
0
可得:
{
4
即直线恒过定点
15. 8
【解析】
16. 12
9,
4
.
在等比数列
a
n
中,
a
3
a
11
4a
7
a
7
,
a
7
2
4
b
7
b
5
b
9
2b
7
8
,故答案为
8
【解析】取
BC
的中点
H
,连接
AH
、
OH
,则
OH
1
AC
AB
AC
AB
HO
BC
1
AC
2
BC, AO BC
AH
AB
49
25
12
.
2
HO
BC
2
2
2
17. (1)
x
kπ 5π
k
2
12
Z
;(2)
1
.
3
【解析】试题分析:
(1) 化简可得
f x
π
sin
2 x
,由题意可得周期
T
π
,所以
的值,易得函数的对称轴;
(2) 由 (1)
3
x
1
可得
x
5π
12
的一条对称轴,则
x
2
5π
6
5π
x
2
,
cos x
1
cos
2x
1
,结合条件求解即可 .
6
试题解析:
(1)
f
x
sin
x cos
x
3cos x
2
1
3
2
2
sin2
x
3
2
cos2
x
答案第 3页,总 8页
sin 2
x
π
3
由题意可得周期
T
π
,所以
2π
1
T
所以
f x
sin
2x
π
3
故函数
y
f
x
的对称轴方程为
2x
即
x
π 5π
k Z
π
3
π
π
2
Z
2
12
(2) 由条件知
sin
2x
1
π
3
sin
2x
2
π
3
5π
12
1
3
,且
0 x
1
0
5π
12
x
2
2π
3
易知
x
1
, f
x
1
与
x
2
,
f
x
2
关于
x
对称,则
x
x
1 2
5π
6
所以
5π
5π
x
1
cos x
1
x
2
cos
x
1
6
cos
2x
1
6
cos
2x
1
π
3
π
]
2
7
18.( 1) (2)
2
sin
2x
1
3
π
1
3
5
【解析】试题分析 : ( 1)由
b
c
22
a
2
bc3
3
根据余弦定理得
cosA
,
A
.
又
tanB
b
a
2
的值
6
6
,
12
根据同角三角函数的基本关系可得
sinB
1
, 最后由正弦定理可得
5
c
(2)由题意可得
C
6
2
, 由正弦定理可得
2
,
在在
ABD
中根据余弦定理可得
BC
边上的中线长
试题解析 : ( 1)由
b
c
2
a
2
3bc
得
cosA
3
,
A
2
.
6
tanB
6
12
,
sinB.
1
5
b
由正弦定理得,
a
,则
b
a
sinB
sinA
1
5
2
1
5
2
.
sin A
sinB
(2)
A
,
C
A
B
,
AB
BC
.由
c
b
得
c
2
.取
BC
中点
D
,在
ABD
6
6
sinC
sinB
答案第
4页,总 8页
中,
AD AB
22
BD 2 AB BD
cosB 7
,
2
AD
7
,即
BC
边上的中线长为
7
.
点睛:
本题考查余弦定理和正弦定理的运用,考查内角和定理,以及化简和求值的运算能力,属于中档题
19.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)
2 3
.
【解析】试题分析: ( I )证
AB
垂直于平面内的两条相交直线,再由线面垂直
棱锥
B
1
? 面面垂直;(II )先求得三
ABC
的体积,再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解
.
试题解析:(Ⅰ)由侧面
ABB
1
A
1
为正方形,知
AB
所以
AB
平面
BBC
11
C
,又
AB
BB
1
, 又
AB
B
1
C
,
BB
1
B
1
C
B
1
,
平面
ABB
1
A
1
,所以平面
ABB
1
A
1
⊥
BB
1
C
1
C
.
(Ⅱ)设
O
是
的中点,连结
CO
,则
1
.由(Ⅰ)知,
CO
平
面
, 且
BB
1
BC
CO
BB
ABB
1
ABB
1
A
1
3
CO
3
AB
3
.
2
连结
AB
1
,则
V
C
1
S
ABB
CO
1
2
1
V
1
3
11
1
AB
2
CO
6
2
3
, 因
3
V
B
ABC
1
V
C ABB
3
ABC
A B C
1
1
2
1
3
3
,故三棱柱
ABC
ABC
的体积
V
1 ABC
2
3
.
A B C
1
1
1
点睛:本题考查面面垂直
的判定及空间几何体的体积,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直
的判定是关键
;证明面面垂直的关键是证明线线垂直,证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角
形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等,利用等体积法求三棱锥的高是最常用的方式
20.( 1)
.
,
( 2)
【解析】试题分析: ( 1)根据公式
a
n
项公式;(
2)求出数列
c
n
试题解析:(Ⅰ)由题知,当
S
n
S
n
1
n
2
求出数列
a
n
的通项公式,再求数列
b
n
的通
的通项,利用错位相减法求数列
时,
c
n
的前
n
项和
T
n
.
;当
时,
,符合上式 .
所以
. 设数列
.
的公差
,由
即为
,解得
,
,所以
(Ⅱ)
,
,
,则
,
两式作差,得
答案第 5页,总 8页
.
所以
.
21.(Ⅰ)
x
2
y
2
4
;
(Ⅱ)当点
N
的坐标为
4,0
时,能使得
ANM
BNM
成立
.
5
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设圆心
C
a,0 (a
)
,由圆
C
与直线
l
相切,求出
a
0
,得到圆
C
的标准
2
方程;(Ⅱ)当直线
AB
x
轴,在
x
轴正半轴上任一点,都可使
x
轴平分
ANB
; 当直线
AB
斜率存在
时,设直线
AB
方程为
y
k
x 1
,
N
t,0 , A x
1
, y
1
, B
x
2
, y
2
,
联立直线与圆的方程,消去
x
1
x
2
, x
1
x
2
,因为
k
AN
y
,得
到一个关于
x
的二次方程,由韦达定理,求出
试题解析:(Ⅰ)设圆心
C a,0
2
k
BN
(a
5
2
, 求出
k
的值
.
)
,
则
4a
10
0或
a
a
5
(舍去).
5
所以圆
C
的标准方程为
x
2
y
2
4
.
x
轴,在
x
轴正半轴上任一点,都可使
(Ⅱ)当直线
AB
当直线
AB
斜率存在时,
,
设直线
AB
方程为
y
联立圆
C
的方程和直线
x
轴平分
ANB
;
k
x
1
N t,0
, A
x
1
, y
1
, B
x
2
,
y
2
,
AB
的方程得,
{
x
2
y
2
4,
k
2
1 x
2
2k x k
22
4 0
,
y k
故
x
1
x
1
x
2
2k
,
x
1
x
2
k
4
,
22
k
1
k
1
ANB
,则
k
AN
x
2
22
若
x
轴平分
k
BN
y
1
x
1
t
2 k
2
y
2
x
2
4
t
0
2
k x
1
1
k x
2
1
0
x
1
t
1
1
2t 0
x
2
t
t 4
2x
1
x
2
t 1 x
1
2t 0
2k
t
k
2
.
k
2
1
ANM
当点
N
的坐标为
4,0
时,能使得
BNM
成立.
答案第 6页,总 8页
点睛:本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等,属于中档题
22. (1)
. 考查了学生的计算能力 .
1
f x
值为
21
x
,
x
x
2
1
,
;(2)
证明见解析; (3) 存在
m
11
441
2500
,使函数
h x
在
,
内的最小
1
2
.
25
(1)
由题意求得实数
【解析】试题分析:
a,b
的值,则
f x
x
,
2
x
1
x
,
;
11
(2) 由单调性的定义证明函数的单调性即可;
(3)
结合函数的解析式分类讨论可得存在
m
441
,
使函数
h
x
2500
在
1
,
内的最小值为
1
21
.
2
25
试题解析:
∵
a 2
(1)
∴
a,
∴
a
1,
又
∴
b 0,
x
,
.
11
f
0
0,
f
x
,
2
x
1
x
(2) 设
x,
x
为区间
1
2
,
内的任意两个自变量,且
11
x
x ,
1
2
则
f
x
2
2
x
2
x
1
x
2
x
1
=
f
x
1
22
2
x
1
x
2
1
x
1
1
x
2
x
1
x
2
2
x
1
2
1 x
2
1
=
x
1
x
2
x
1
2
x
2
2
x
2
x
1
1
x
1
1 x
2
x
2
x
1
1
x
1
x
2
,
x
1
2
1
x
2
2
1
∵
x ,x
1
2
11,, x x
1
2
11,,
∴
1
x
1
x
2
x
1
2
,
0
又∵
x
1
x
2
,
∴
x
2
x
1
0,
∴
x
2
x
1
1
x
1
x
2
1
x
2
2
1
0,
即
f x
2
f x
1
, f
x
∴
11,
在
上为增函数 .
(3) 由 (2)
知
f
x
,
在
1
内为增函数,∴
1
f
x
2
, ,
2
1
5
2
令
t
f
x ,
则
h t
t
m
, t
2
1
5
2
,
.
t
h
①当
m
1
时
, h
t
在
2
2
1
,
上单调递减
,
h
5
2
t
min
1
2
,
解得
m
17
100
,
矛盾,舍去;
答案第 7页,总 8页
②当
2
1
m
时
, h
t
5
解得
m
2
441
2500
m
2
, t
t
m
t
2 m
21
,
25
21
25
2
1
,
时取等号;
5
2
③当
0
解得
m
22
2
1
上单调递增
, h t
min
时
, h t
在
,
5
5
2
在
2
h
5
,
,
矛盾,舍去 .
125
1
2
所以存在
m
441
2500
,
内的最小值为
1,使函数 h
x
21
.
25
点睛:判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1) 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2) 判断
f
(
x
)
与
f
(
-
x
)
是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式 (
f
(
x
) +
f
( -
x
)
= 0( 奇函数 ) 或
f
(
x
) -
f
(
-
x
) = 0( 偶函数 )) 是否成立.
关于奇偶性、单调性、周期性的综
合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知
区间上的问题.
答案第 8页,总
8页