高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思

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高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思

作者：刘加军

来源：《读写算》2011年第64期

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值
等方面有着广泛 的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考
试题的重点和热点之一。本 学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在
导数的应用中疑点较多，本文对几类常 见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。
问题⑴：若x0为函数f(x)的极值点，则f、（x0）= 0吗？
答：不一定, 缺少一个条件(可导函数)。反例：函数y=｜x｜在x=0处有极小值，而f、
（x0）= 0不存在。
正确的命题是：若为可导函数f、(x0)的极值点，则= 0
问题⑵：若f、（x0）= 0, 则函数f(x)在x0处一定有极值吗？
答：不一定。反例：函数y=x3有f、（0）= 0，而f(x) 在x=0处没有极值。
正确的命题是：若f、（x0）= 0,且函数f(x)在x0处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在
x0处有极值.
问题⑶：在区间（a，b）上的可导函数f(x)，f、（x）>0是函数f(x)在该区间上为增函数
的充要条件吗？
答：不一定。反例：函数y=x3 在（-∞，+∞）上为增函数，而f、（0）= 0。
正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间（a，b）上，f、（x）>0是f(x)在该区
间上为增函数的充分而不必要条件.
（函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内0。
另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一
致。数学分析上函 数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。
问题⑷：单调区间）（a，b）应写成开区间还是写成闭区间？
答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能
写成开区间。