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作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 18:53
tags:高中数学教学反思

高中数学建模社团-高中数学选修2-2主要内容

2020年9月18日发(作者:陶焘)


《空间几何体》教学感悟
一.本章大纲要求
(一).本章教学要求 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。本部分内容的设计遵循从整体到局部、
具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体,帮助学生认识空间
几何体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,巩固和提高义务教育阶段有关三
视图的学习和理解,帮助学生运用平行投影与中心投影,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
具体要求如下:
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结
构。
② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 )的三视图,能识别上述的
三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。
③了解空间图形的不同表示形式(平行投影与中心投影)。了解平行投影的简单性质。
④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。
(二)、新课标教材与大纲版教材差异对比分析

在立体几何初步部分,新课标教材的 编排体系与大纲版教材已有较大区别,学生将先从对空间几何
体的整体观察入手,认识空间图形;再以长 方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能
用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判 定,并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的
表面积与体积的计算方法。其内容的设计遵 循从整体到局部、具体到抽象的原则,这与大纲版教材截然相
反。其中更有一些具体知识点及其要求发生 了变化,如下表:
知识点
台的结构特征、体

积、表面积
中心投影 无
积的计算公式。
与平行投影对比,了解空间图形的不同表示形式。
能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视图所
三视图 无
表示的立体模型,并能求其体积与表面积。
在人教社A版的探究与发现中出现(B版直接写进了教
祖暅原理 无
材正文),相应的柱体体积的分割也作了介绍,应当重视。
大纲版教材要求 新课标教材要求
认识台及其简单组合体的结构特征,了解其表面积和体

1


了解平行六面体的概念、四
无平行六面体的相关内容,直观感受长方体的线面关系,
平行六面体 棱柱的分类,掌握平行六面
不需要掌握长方体的性质。
体及长方体的性质。
理解正棱柱、正棱锥的概
正棱柱、正棱锥 念,掌握正棱柱、正棱锥的
性质。
了解凸多面体的概念,了解
凸多面体、正多面
正多面体的概念,了解正多
体的欧拉公 式
面体的欧拉公式。


在老教材中是将点、线、面放在前面后讲空 间几何体,新教材中恰恰相反。产生这一原
因,我认为是人类对信息技术不断认识能直接接受几何体。先 给几何体在后续的学中能及时
得到应用。
二、本章的特点
(一)、概念多且抽象
有些概念直接给出了定义如多面体、旋转体、棱柱、棱锥三视图??由于没有点、线、
面的相关 知识(如面面平行、垂直)。所以本章教学不能建立严格的逻辑推理(定义)给教
学带来困难。只有利用 实物模型、图片、幻灯向学生展示更多的具有典型几何体结构特征的
空间几何体,增强学生的直观感受。 但在做题时题中涉及到如斜、直、正棱柱的概念及性质
可能补讲。
(二)、考试题型
三视图对学生并不陌生,在初一、初三都有所涉及。但难度大多了,新教材虽然删除了
像“三垂线定义 ”等这些学生较难掌握的内容,但对学习立体几何的主要任务是培养空间想
象能力这一宗旨不变。三视图 几乎是新课改地区的必考内容,在2011年的高考试题中也只
有江西、海南、江苏没有考。考试都以选 择、填空题形式出现,属中、低档题。但也有难题
出现其中北京、山东、广东才在倒2题出现。
1、
作出几何体的三视图
此类问题在前几年的高考中还经常出现,但在今年的高考中只有浙江才是这
样的。
(1)
(浙江理3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是







【答案】D
(2): (2008广东5).将正三棱柱截去三个角(如图1所示
A,B,C
分别是
△GHI


2


边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A )
H
B
A
I
C
G
侧视
B
D
F
图1
E
F
图2
A
C
B
E
A. B.
B
B
B
E
D
E
E
C.
E
D.

2、利用三视图还原几何体进行计算或证明
(1): (全国新课标理6)。在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则
相应的侧视图可以为







(2)、(2008海南 12).某几何体的一条棱长为
7
,在该几何体的正视图中,这条棱的投
影是长为6
的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的
线段,则a +b的最大值为( C )
A.
22
B.
23
C.
4
D.
25

注:若该题不放在几何体中单独放在平面中如 图1所示理解了题意,但不能很好的完成后续
问题,将其放入到几何体中借助长方体问题就迎刃而解了。 同时也是不等式、方程的立体几
何的综合的应用。
(3)、 (北京理7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是
6
a
b

A.8 B.
62
C.10 D.
82

解三视图的有关问题时注意以下几点:一、真正 理解三视图中图形之间“长
对正,高平齐,宽相等”的内在联系。其二、在画三视图轮廓线时,看得见的 轮

3


廓线要画成实线,看不见的轮廓线要画成虚线,与投影面垂直 的轮廓部分不画线。
其三、画三视图算动手能力较强的数学部分,所以正确定位我们的角色,使学生成为学习的主人,让学生动手去做才是关键。需由三视图还原的几何体一般都是
由两个简单几何体构 成的组合体,训练掌握简单几何体的三视图是关键。
3、求面积、体积
(1)、展 展开 空间几何体是将立体几何平面化的常用方法,应用该方法可
化折为直、化曲为直。一般用于求多面体、旋 转体的侧面两点间的距离,求侧面
积。
例:如图,已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面边长都为1,各侧面为全等矩形,高为8,
沿一质点 自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A
1
点,求最短路线的长。

A
B
C
A
A
平面化

C
1
B2
(1)等积法
三棱锥的独特性以任意一个为顶点都能表示该几何体,算
体积 时看哪个面面积易求、哪个面的高易求。
(2009辽宁高考)正六棱锥P- ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC
与三棱锥P-GAC体积之比为
(A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2
P< br>G
F
A
B
C
E
D
11
V
P ?GAC
?V
G?PAC
?V
B?ACP
?V
P?ABC< br>
22
(2)割补法
将组合体分割成简单几何体或补形成为一个简单几何体
从而达到求体积的目的。
(2 005全国高考)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△

4


ADE、△BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为( A )
A.
2

3
B.
4
3
C.
3
3
F
D.
3

2
E
D
C
AB


4、关于截面的几个处理
在空间几何平面化的思想有方法下,找几何体的截面是解决问题的又 一重要
方法。所找的截面要能反映几何体的重要特征,如球半径、棱、母线、轴等元素。
通常会 找轴截面,中垂面、大圆面等
(同步P25.8).一个高为16的圆锥内接于一个体积为972?
的球,在圆锥内又有一个内切球。
求:()圆锥的侧面积;(12)圆锥内切球的体积。
S
O
O1
A
B

三、本章课后作业挖掘
课本P28,
第二题一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为a,求球的体
积?为培养学生的 空间想象能力引伸到球与正方体的接切。
求正方体内切球半径( )
求正方体外接球半径( )
与正方体各棱都相切球半径( )
同步探究(2002全国高考22).(
本小题满分12分,附加题满分4分)
( Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三
棱锥模型,另一块 剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请
设计一种剪拼方法,分别用虚线 标示在图1、图2中,并作简要说明;
(Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;

5


(Ⅲ)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分.)
如果给出的是一 块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它
的全面积与给出的三角形的面积相 等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简
要说明.







四、本章体现的数学思想方法
数学思想方法做为 学习数学的最高目标,本章体现有函数方程思想、数形结
合的思想及转化化归思想(立体几何平面化)。
如(2011江苏高考17)
请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正 方形
硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得
ABCD< br>四
个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等< br>腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)
D
最大,试问x应取何值?
( 2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最
大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的
高与底面 边长的比值。
解析:考察空间想象能力、运用数学知识
A
决实际问题的能力、建模能 力、导数的运
2222
3
2
C
x
EF
x
B

用,中档题。
(1)
S?60?4x?(60?2x)?240x?8x
(02
(2)
V?(2x )
2
(60?2x)?42x
2
(30?x)(0?x?30)
,所 以,
V
'
?122x(20?x),

2

0?x ?20,
时,
V递增,当20?x?30时,V递减
,所以,当x=20时,V最大。
2
(60-2x)
1
2
?
此时,包装盒的高与底面边长的比值为
2
2x



6

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