《基本不等式》教学设计和教学反思

《基本不等式》教学设计
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式” 是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示
课本和参考书封面） 。它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性
规划”的基础上对不等式的进一步研究．在 不等式的证明和求最值过程中有着
广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合 、化归
等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
２、 教学目标
（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问
题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标: 培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，
领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇 于探索的精神。
３、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创
设问题情景，激发学生开始尝 试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决
实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生 边议、边评；组织学生学、
思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发 挥，
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使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学
生主体，教师为主导.因此 我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学
生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结 合的意识和能力，让学生学
会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大
会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国 人民热情
客。（展示风车）
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH
⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，
Rt△ABE,Rt△BCF, Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角
形，它们的面积之和是S’=＿
从图形中易得，s≥s’,即
a
2
?b
2
?2ab
问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？
问题2：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画
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会
颜
好
Ｄ
Ｇ
Ｈ
a
Ｆ
Ｃ
Ａ
Ｅ
b
a
2
+b
2
Ｂ

板帮助学生理解）
一般地，对于任意实数a、b，我们有
a
2
?b
2
?2ab
当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）
问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）
设计意图
（1）运用2002 年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学
的历史悠久，感受数学与生活的联系。
（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直
观。
（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解．
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a＞0,b＞0 ,
用
a
和
b
分别代替a,b。可以得到
(a-b)
2
?0
a+b
2
ab?(a>0,b>0)
也可写成
（强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）
问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？
a+b?2ab


要证 ①
a+b
?ab
只要证 ②

2

a+b-2ab?0
要证② ,只要证 ③


(a-b)
2
?0
要证③ ,只要证

④

显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
（强调基本不等式取等的条件“等”）
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设计意图
（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这 也能进
一步培养学生的自学能力，符合课改精神；
（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；
（3）此种证明 方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会
重点讲解，此处有必要让学生初步了解。
D
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a, CB=b,
点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD= ,
径为
E
A B
过
半
C
问题５： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? （学生积极思考，通过
几何画板帮助学生理解）
设计意图
几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，< br>是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例１．证明
a+1?2a(a?0)

x+
1
?2(x>0)
x
（学生自己证明）
设计意图 < br>（1）这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够
练习“分析法”证明 不等式的过程；
（２）学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一
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个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；
（３）此例不是课本例题,比课本例题简单,这样，循序渐进, 有利于学生理
解不等式的内涵。
例2：（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？
（让学生分组合作、探究完成）
设计意图
（１）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等
式的应用价值；
（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；
（3）有利于培养学生团结合作的精神。
ba
练习 ：（1）若a,b同号，则
??2

ab
（2）P
113
练习1.2
设计意图
巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用。
小结：（让学生畅所欲言）
设计意图
有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。
作业： 必做题：P
113
A组3、4
若x<0,求x+的最大值
选做题：
1
x
设计意图
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（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学 生基础知识、
基本技能的形成；
（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质
教育。
时间安排：引入约5分钟
证明基本不等式约10分钟
几何意义约10分钟
知识应用约15分钟
小结约5分钟
五、板书设计
Ｄ
Ｆ
基本不等式
几何解释
Ｃ
例2
Ｇ
Ａ
2
Ｈ
a
b
a+b
2
Ｅ
例题讲解
例1

小结
Ｂ
a
2
?b
2
?2ab
分析法证明
作业

教学反思：本节课通过从生活实际问题引入课题，增强学生的学习兴趣，
在教学设计上 抓住一正二定三相等，通过对基本不等式的顺用逆用，掌握基本
不等式的简单的求最值问题，达到本节课 的教学目标。本节课主要采用教师引
导，学生主动探究知识方法，体现了学生为主体的新课标理念。在此 次教学过
程的不足之处在于对时间的分配存在问题，造成了前松后紧。

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