高中数学—复数的历届高考试题解析 (2).doc

高中数学辅导网 http:
复数历届高考试题荟萃
考点扫描：
1、数的概念的发展;复数的有关概念.
2、复数的向量表示.
3、复数的加法与减法，乘法与除法.
考向定位
复数的重点是复数的概念及代数形 式的运算.难点是复数的复数的四则运算，复数的概
念及其运算是高考命题热点，从近几年高考试题来看 ，主要考查复数的概念及其运算，难度
不大，常以填空题出现，但在高考试卷中属于必考题，应引起注意 。复数的概念，搞清楚实
部与虚部，
i
＝－1，共轭复数等概念，及复数和运算
2

2010年高考复数

1.【2010·浙江理数】对任意复数
z?x?yi
?
x,y?R
?
，
i
为虚数单位，则 下列结论正确的
是（ ）
A.
z?z?2y
B.
z?x?y

C.
z?z?2x
D.
z?x?y

【答案】D
【解析】可对选项逐个检查，A项，
z?z?2y
，故A错；B项，
z?x?y?2xyi
，故
B错；C项，z?z?2y
，故C错；D项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数
及其几何意 义，属中档题.
222
222
?
3?i
?
2.【2010 ·全国卷2理数】复数
??
?
（ ）
?
1?i
?

A.
?3?4i
B.
?3?4i
C.
3?4i
D.
3?4i

【答案】A
【解析】本试题主要考查复数的运算. 2
?
(3?i)(1?i)
?
?
3?i
?
2< br>?(1?2i)??3?4i
.
?
??
??
2
??
?
1?i
?
3.【2010·陕西文数】复数
z
=
A.第一象限
【答案】A
22
i
在复平面上对应的点位于（ ）
1?i
C.第三象限 D.第四象限 B.第二象限
京翰教育1对1家教 http:
- 1 -

高中数学辅导网 http:
【解析】本题考查复数的运算及几何意义.
ii(1?i)1111
???i
，所以点（
,)
位于第一象限 < br>1?i22222
1+2i
4.【2010·辽宁理数】设a,b为实数，若复数
?1?i
，则（ ）
a?bi
31
A.
a?,b?
B.
a?3,b?1

22
13
C.
a?,b?
D.
a?1,b?3

22
【答案】A
【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力.
?
a? b?1
1?2i31
由，解得
a?
，
b?
，故
?1 ?i
可得
1?2i?(a?b)?(a?b)i
，所以
?
a?bi2 2
?
a?b?2
选A.

5.【2010·江西理数】已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1 D. x=1，y=2
【答案】D
【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法， 得
(x?i)?(1?x)i?y
，没有虚部，
x=1,y=2.
2
6.【2010·安徽文数】已知
i??1
，则i(
1?3i
)=（ ）
2
A.
3?i
B.
3?i
C.
?3?i
D.
?3?i

【答案】B
2
【解析】直接乘开，用
i??1
代换即可.
i(1?3i)?i?3
，
选B.
7.【2010·浙江文数】设i为虚数单位，则
5?i
?
（ ）
1?i
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i
【答案】C
【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题.
8．【2010·山东文数】已知
a?2i
?b?i
?
a,b?R< br>?
，其中
i
为虚数单位，则
a?b?
（ ）

i
A.
?1
B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
9.【2010·北京文数】在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB
的中点，则点C对应的复数是（ ）
A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i
京翰教育1对1家教 http:
- 2 -

高中数学辅导网 http:
【答案】C
23
10.【2010·四川理数】
i
是 虚数单位，计算
i
＋
i
＋
i
＝（ ）
A.－1 B.1 C.
?i
D.
i

【答案】A
223
【解析】由复数性质知：
i
＝－1，故
i
＋
i
＋
i
＝
i
＋(－1)＋(－
i)＝－1.
11.【2010·天津文数】i是虚数单位，复数
3?i
=（ ）
1?i
A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i
【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i改为-1.
2
3?i（3?i）(1+i)2?4i
???1?2i

1-i(1-i)(1+i)2
12．【2010·天津理数】i 是虚数单位，复数
?1?3i
?
（ ）
1?2i
A.1＋i B.5＋5i C.-5-5i D.-1－i
【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i改为-1.
2
?1?3i
（-1+3i）(1-2i)5?5i
??1?i
< br>?
(1?2i)(1?2i)5
1?2i
13.【2010·广东理数】若复数
z
1
=1+
i
，
z
2
=3-
i< br>，则
z
1
·
z
2
=（ ）
A．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3
【答案】A
【解析】
z
1
?z
2
?(1 ?i)?(3?i)?1?3?1?1?(3?1)i?4?2i
.
14.【2010·福建文数】
i
是虚数单位,
(
A．i
【答案】C
【解析】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力.
1?i
4
)
等于 ( )
1-i
D．-1 B．-i C．1
1?i
4
(1?i)
2
44
]=i=1
,故选C．
()
=
[
2
1-i
京翰教育1对1家教 http:
- 3 -

高中数学辅导网 http:
3?2i
?
（ ）
2?3i
A.i B.
?i
C.12-13
i
D. 12+13
i

15.【2010·全国卷1理数】复数
【答案】A

16.【2010·山东理数】已知
位，则a+b=（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】本题考 查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题.由
所以由复数相等的意义知
a=-1,b=2
,所以
a+b=
1,故选B.
17.【2010·安徽理数】
i< br>是虚数单位，
a?2ia?2i
，其中i为虚数单
?b?i(a,b)?b?i
（a,b∈R）
ii
a+2i
=b+i
得
a+2i=bi- 1
,
i
i
?
（ ）
3?3i
C.A.
13
?i

412
B.
13
?i

412
13
?i

26
D.
13
?i

26
【答案】B
【 解析】
i
为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数
3? 3i
?3i
，然后利用复数的代数运算，结合
i
2
??1
得 结论.
ii(3?3i)3i?313
????i
，选B.
3?9124 12
3?3i
19.【2010·湖北理数】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z， 则表示复数
点是（ ）
A.E B.F C.G D.H
【答案】D
【解析】观察图形可知
z?3?i
,则
z< br>的
1?i
z3?i
，故D正确.
??2?i
，即对应点H（ 2，－1）
1?i1?i
20.【2010·浙江理数】某程序框图如左图所示，若输出的S= 57，
则判断框内位（ ）
A.
k
＞4? B.
k
＞5? C.
k
＞6? D.
k
＞7?
【答案】A
【解析】本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简
京翰教育1对1家教 http:
- 4 -

高中数学辅导网 http:
单运算，属容易题.
21.【2010·辽宁文数】如果执行下图（左）的程序框图，输入< br>n?6,m?4
，那么输出的
p
等于（ ）
A.720 B.360 C.240 D.120
【答案】B
【解析】
p?1?3?4?5?6?360.


22.【2010·辽宁理数】如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那
么 输出的P等于（ ）
A.
C
n
m?1
B.
A
n
m?1
C.
C
n
D.
A
n

m
m
【答案】D
【解析】本题考查了 循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推
理的能力.
第一次循环 ：
k
=1,
p
=1,
p
=
n
-
m
+1;
第二次循环：
k
=2,
p
=(
n
-
m
+1)(
n
-
m
+2)；
第三次循环：k
=3，
p
=(
n
-
m
+1) (
n
-
m
+2) (
n
-
m
+3)
……
第
m
次循环：
k
=3，
p
=(
n
-
m
+1) (
n
-
m
+2) (
n
-
m
+3)…(
n
-1)
n

此时结束循环，输出
p
=(
n
-
m
+1) (
n
-
m
+2) (
n
-
m
+3)…(< br>n
-1)
n
=
A
n

23.【2010·浙江文数】某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A.
k
>4? B.
k
>5? C.
k
>6? D.
k
>7?
【答案】A
【解析】本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题.
m
京翰教育1对1家教 http:
- 5 -

高中数学辅导网 http:

24.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.3
【答案】B
【解析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题.第一次运行 程序时
i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第 四次运行程序
时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.
2009年高考复数
一、选择题
1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使
i
=1(i是虚数单位）的是
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
【答案】C
【解析】因为
i?1
,故选C.
2. （2009广东卷理）设
z
是复数，
a(z)
表示满足
z?1
的最小正整数
n
，则对虚数单
位
i
，
a(i)?

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】
a(i)?
i?1
，则最小正整数
n
为4，选C.
3.（2009浙江卷理）设
z?1?i
（
i
是虚数单位），则n
4
n
n
2
2
?z?
( )
z
A．
?1?i
B．
?1?i
C．
1?i
D．
1?i

答案：D
京翰教育1对1家教 http:
- 6 -

高中数学辅导网 http:
【解析】对于
2
2
2
?z??(1?i)
2< br>?1?i?2i?1?i

z1?i
2
2
?z?
（ ）
z
4.（2009浙江卷文）设
z?1?i
（
i
是虚数单 位），则
A．
1?i
B．
?1?i
C．
1?i
D．
?1?i
D 【命题意图】本小题主 要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接
考查了对于复数概念和性质的理解程度．
【解析】对于
2
2
2
?z??(1?i)
2
?1? i?2i?1?i

z1?i
5.（2009北京卷理）在复平面内，复数
z ?i(1?2i)
对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.
∵
z?i(1?2i)?i?2i??2?i
，∴复数
z
所对应的点为
?
?2,1
?
，故选B.
3?i
等于（ ）.
1?i
A．
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i

6.(2009山 东卷理)复数
3?i(3?i)(1?i)3?2i?i
2
4?2i
???? 2?i
,故选C. 【解析】:
2
1?i(1?i)(1?i)1?i2
答案:C
【命题立意】:本题考查 复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母
变为实数，将除法转变为乘法进行运算 .
7.(2009山东卷文)复数
3?i
等于（ ）.
1?i
A．
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i

3?i(3?i) (1?i)3?2i?i
2
4?2i
????2?i
,故选C. 【解析】:
1?i(1?i)(1?i)1?i
2
2
答案:C
【命题立意】: 本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母
变为实数，将除法转变为乘法 进行运算.
8.（2009全国卷Ⅰ理）已知
Z
=2+i,则复数z=（B ）
1＋i
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
京翰教育1对1家教 http:
- 7 -

高中数学辅导网 http:
解：
z?(1?i)?(2?i)?1?3i,?z?1?3i
故选B。 9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若
1?7i
?a?bi(a,b?R)
，则乘积
ab
的值是
2?i
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15
[解析]
1?7i(1?7 i)(2?i)
???1?3i
，∴
a??1,b?3,ab??3
，选B。
2?i5
10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于
A．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
【解析】依据虚数运算公式可知
i
【答案】D
11.（2009江西卷理） 若复数
z?(x?1)?(x?1)i
为纯虚数，则实数
x
的值为
2
2
??1
可得
i(1?i)?i?1
，选D.
A．
?1
B．
0
C．
1
D．
?1
或
1

答案：A
?
x
2
?1?0
【解析】由
?
?x??1
故选A
?
x?1?0
12.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数 分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)
为实数的概率为
11
B、
34
11
C、 D、
6
12
A、
【答案】C
【解析】因为
(m?ni)(n? mi)?2mn?(n
2
?m
2
)i
为实数
所以
n
2
?m
2
故
m?n
则可以取1、2
???
6，共6种可能，所以
P?
13.（2009全国卷Ⅱ理）
A.
-2+4i

61
?

1
C?C
6
6
1
6
10i
?

2-i
B.
-2-4i
C.
2+4i
D.
2-4i

解：原式
?
10i(2+i)
??2?4i
.故选A.
( 2-i)(2+i)
14.（2009辽宁卷理）已知复数
z?1?2i
，那么
1
=
z
（A）
525525
1212
?i
（B）
?i
（C）
?i
（D）
?i

5555
5555
京翰教育1对1家教 http:
- 8 -

高中数学辅导网 http:
【解析】
111?2i1?2i
12
???
＝
?i

2
1?2i(1?2i)(1?2i)1?2
55
z
【答案】D
15.（2009宁夏海南卷理）复数
3?2i3?2i
??

2?3i2?3i
（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2
3?2i3?2i
?
3?2i
??
2?3i
??
3?2i
??
2?3i
?
26i
???2i
,选D 解析：
??
131313
2?3i2?3i
16.（2009辽宁卷文）已知 复数
z?1?2i
，那么
1
＝
z
（A）
525525
1212
?i
（B）
?i
（C）
?i
（D）
?i

5555
5555
【解析】
111?2i1?2i
12
???
＝
?i

z1?2i(1?2i)(1?2i)1?2
2
55
【答案】C
17.（2009天津卷文）
i
是虚数单位，
5i
=
2?i
A
1?2i
B
?1?2i
C
1?2i
D
?1?2i

【答案】D
【解析】由已知，
5i5i(2?i)
??2i?1

2?i(2?i)(2?i)
【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。
18.已知z是纯虚数,
z?2
是实数,那么z等于
1-i

（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i
答案：D.
解析:设纯虚数
z?bi
,代入

z?2bi?2(bi?2)(1?i)(2?b)?(b?2)i
???

1?i1?i(1?i)(1?i)2
由于其为实数，b= -2, 故选D.

19.（2009宁夏海南卷文）复数
3?2i
?

2?3i
（A）
1
（B）
?1
（C）
i
(D)
?i

【答案】C
【解析】
3?2i
(3?2i)(2?3i)
6?9i?4i?6
?
??i
，故选.C。
2?3i
(2?3i)(2?3i)
13
京翰教育1对1家教 http:
- 9 -

高中数学辅导网 http:
20.（2009天津卷理）i是虚数单位，
5i
=
2?i
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。
解析：
5i5i(2?i)
???1?2i
，故选择D。
2?i5
(1?2i)
2
21.（2009四川卷理）复数的值是
3?4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－
i
Ｄ.
i

【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
(1?2i)2
(4i?3)(3?4i)?16?9
????1
，故选择A。 解析：
3?4i2525
22.（2009重庆卷理）已知复数
z
的实部为
?1< br>，虚部为2，则
A．
2?i
B．
2?i
C．
?2?i
D．
?2?i

【答案】A
5i
=（ ）
z
【解析】因为由条件知
z??1?2i
，则
以选A。
二、填空题
5i5i(?1?2i)?5i?10
???2?i
，所
z(?1?2i)(?1?2i)5
1.（2009江苏卷）若复数
z
1
? 4?29i,z
2
?6?9i,
其中
i
是虚数单位，则复数
(z
1
?z
2
)i
的实
部为 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20
2.（2009福建卷文）复数
i
?
1+i
?
的实部是 -1 。
2
解析
i
?
1+i
?
=-1-I,所以实部是-1。
2
3.（2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I是虚数单位)，则其共轭复数
z
=__________________ .
【答案】i
?
a?b?1
【解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi ）(1+i) =1-i，即 a－b＋（a＋b）i＝1－i，由
?
，
a?b??1
?
解得a＝0 ，b＝－1，所以z＝－i，
z
＝i
京翰教育1对1家教 http:
- 10 -