高考数学考前综合辅导专题

2006年考前综合辅导专题


集合与简易逻辑


一、要点概述
本专题是掌握和 使用数学语言的基础，是高中数学学习的新起点，在函数及其它后继内容中
将得到充分的运用.逻辑是研 究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学、日常生活和工作中
都离不开逻辑知识的掌握和运用.集 合与逻辑是我们认识问题、研究问题不可缺少的工具.
本专题重点：理解集合、子集、交集、并集 、补集的概念；掌握解绝对值不等式及一元二次
不等式的方法；充要条件的判定等内容.
本专题难点：集合之间包含关系的确定；集合术语的理解，集合与不等式问题综合时转化技
巧的应用，逻 辑联结词的意义领会等内容.
突破难点的关键在于要掌握集合的语言、符号以及或且非逻辑联结词 的含义；要准确
掌握集合、元素，子集、交集、并集、补集、命题、充要条件等概念；要强化数形结合意 识，自
觉利用韦恩图、数轴、函数图象帮助解题，提高数学解题中的形象思维能力.在遇到集合语言与< br>集合思想的运用问题时，如函数定义域、值域、方程与不等式的解集、解几中曲线间的相交问题
等 ，这些问题多是集合与其他知识点的揉合，所以要注意数学思想方法的学习，解题时要广泛应
用数形结合 、逻辑划分、函数方程思想、等价能力思想等，并辅之以配方法、图象法、判别式法
达到灵活解题的目的 .
二、命题走向
考查热点：考查集合概念的认识与理解；考查集合知识的应用，如求不 等式和不等式组的解
集；考查准确使用数学语言的能力；考查命题的形式及等价性；考查充要条件的判定 ；考查逻辑
推理和分析问题的能力等.
1．集合部分试题考查的知识点主要是集合的基本 概念，子集、交集、并集、补集的定义.
近几年的考题偏重于集合的交、并、补运算.
集合部分试题的难易程度基本上属于中偏下水平.
值得注意的是近几年在高考试题的带动下，一大 批以集合为背景的、所谓创新脱俗的开放
题相继问世，这些题涉及的知识面广，同时灵活性极强，之所以 如此，它是由集合{P|P所适合
的条件}的代表元素的任意性和所适合的条件的灵活性决定的，学习中 要注意提高这方面

的适应能力.实际上这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问 题的已知条件嵌入集合
之中，只不过是语言形式的变通罢了，解决问题的理论依据、方法等仍类似于其它 问题的求解.
2．逻辑部分的内容是课本新增加的内容，高考也仅是对基本内容的考查，一般难度 不大，
主要涉及以下几个方面：
（1）正确地使用逻辑联结词，或、且、非，会判别复合命题的真假.
（2）已知四种命题中的一种，求其它三种，并会判断真假.
（3）会一些较简单的充要条件的判别.并会用充要条件的知识解决一些与其它知识相关的问
题.
3．涉及集合与简易逻辑知识的试题将会在今后的考查中继续以选择、填空题的形式出现，
主要考查集合语言与集合思想的运用，充要条件的判断，四种命题间的关系及真假判断，展示以
集合语言 或逻辑关系为背景的应用性、开放性问题，具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，
将会是未来高考 出活题，考能力的高考命题新趋向.
三、例题讲解
[例1]已知集合M＝{y|y=x
2
+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N＝（ ）
A.(0,1)，(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1}
[分析]集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对（x,y ），因此M、N分别
表示函数y＝x
2
+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域 ，求M∩N即求两函数值域的交集.
[解答]M={y|y=x
2
+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D.
[点评]①本题 求M∩N，经常发生解方程组得或从而选B的错误。
这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元 素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么.
事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不 是点集.
②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x< br>2
+1}、
{y|y=x
2
+1,x∈R}、{(x,y)|y=x< br>2
+1,x∈R},这三个集合是不同的.
[例2]已知集合A＝{a,a+b, a+2b},B={a,ac,ac
2
}.若A＝B，求c的值.
[分析]要解 决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素
完全相同及集合中元素的 确定性、互异性，无序性建立关系式.
[解答]分两种情况进行讨论.
（1）若a +b=ac且a+2b=ac
2
,消去b得：a+ac
2
－2ac=0,

若a=0，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.
∴c
2
－2c+1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解；
（2）若a+b=ac
2
且a+2b=ac，消去b得：2ac
2
－ac－a =0,∵a≠0，∴2c
2
－c－1=0,
即(c－1)(2c+1)=0,又c≠1，故c = - 12 。
[点评]解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.
[例 3]设a,b∈R，A＝
{(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m ,y=3(m2+5),m∈Z},C={(x,y)|x
2
+y
2
≤144 }是平面xoy内的点
集，问是否存在实数a和b使得(1)A∩b≠φ，(2)(a,b)∈C同时成 立？
[分析]解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来.
[解答]A∩B≠φ，即成立.
即na+b=3n
2
+15 ①
又(a,b)∈C ，即a
2
+b
2
≤144 ②
若满足①和②的a,b存在，则关于a,b的方程组有解.
从而在直角坐标系ao′b中，直线 ：na+b－3(n
2
+5)=0与a
2
+b
2
≤144表示的区域应有公
共点.
于是圆心O′(0,0)到直线 的距离不大于半径12，即： ≤12(n2－3)2≤0.
即n
2
=3而n∈Z，这是不可能的，故满足①，②的a，b不存在.
[点评] （1）进行各种语言形态间的互译，不仅有利于对数学知识的理解和运用，还可以有
利于利用数学知识解 答问题.
[例4]判断下列复合命题的真假
（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
（2）方程x
2
+3x+2=0的根是x=±1；
（3）A(A∪B)。
[分析]先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单命题，然后研究各简单命题的真假，最
后再根据相应的真值表判定复合命题的真假.
[解答]（1）这个命题是且q的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，

q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，
因p真q真，则且q真，所以该命题是真命题；
（2）这个命题是或q的形式，其中p：方程x
2
+3x+2=0的根是1，
q：方程x
2
+3x+2=0的根是－1，
因p假q真，则p或q真，所以该命题是真命题；
（3）这个命题是非p的形式，其中p：A（A∪B），
因p真，则非p假，所以该命题是假命题.
[点评]一个复合命题，从字面上看不一定是或，且、 非字样，这样需要我们掌握一些
词语，符号或式子与逻辑联结词或、且、非的关系，如或者、1、的含义 为或；
并且、的含义为且；不是，的含义为非
[例5]（1）探求使函数的反函数恰好是它本身的充要条件.
（2）证明：在（1）中，若a=1，则函数y的反函数不是它自身.
[分析]（1）先寻找必要条件，再证明所寻找的必要条件同时是充分条件.
（2）正难则 反.用反证法证明数学问题，首先要反设，即假设结论反面成立，反设为
的反函数是它自身.
[解答]1、①先探求必要条件：
若函数
即
的反函数恰好是它本身，则
恒成立，
恒成立，
∴ ∴a=－1.
②再证明充分性：
若a=－1，则，其反函数为，是它本身.

综上，知函数的反函数是它本身的充要条件是a=－1.
2、若a=1，则，
假设
1,0)在原函数图象上，
的反函数是它自身，则这一函数图象必关于直线y=x对称，由点(－
∴（0，－1）也在原函数图象上，但x=0时，
设不正确，
＝1与y=－1矛盾.∴假
故此时函数的反函数不是它自身.
[ 点评]1、探求充要条件时一般可先探求必要条件，再看所得的必要条件是否充分.若探求过
程中每一步 都是等价转化，则最后所得条件即为所求的充要条件.
2、使用反证法证题时，注意利用反证假设去导出矛盾.
[例6]解不等式|x
2
－3|>2x.
[分析]考查含绝对值不等式的解法.
[解答]解法1：（定义法）当x
2
－3≥0，即x≥或x≤－
；
时，x
2
－3>2x，即x
2
－2x－3>0,
则x>3或x<－1，∴x>3或x≤－
当x
2
－3<0，即－< x<时，－x
2
＋3＞2x，即x
2
＋2x－3<0,
＜x＜1. 则－3＜x<1,因此，－
综上，原不等式的解集为|x|x>3或x<1|.
解法2：（图象法）令y
1
=|x
2
－3|,y
2
=2x,分别在如图所示坐标系中画出y
1
=|x
2
－3|
和y
2
=2x的图象，如右图，解方程|x
2
－ 3|＝2x可得x
1
＝1，x
2
=3(∵x≥0)
故满足y
1
>y
2
的不等式即原不等式的解集为{x|x>3或x<1}.
解法3：（利用等价转化）原不等式可化为x
2
－3>2x或x
2
－3<－2x.
∴x>3或x<－1或－33或x<1}.
[点评]比 较上述各种解法，解法1分类讨论，不重漏，全面周到；解法2形象、直观；解法

3较为 简捷、直接.

[例7]设函数的定义 域为集合A，关于x的不等式lg2ax<1g(a+x),(a∈R
+
)的解集
为B ，求使A∩B＝A的实数a的取值范围.
[分析]利用函数的思想求解.
[解答]∵A∩B＝A，∴A
使不等式
lg2ax+
)成立，而A＝{x|1 当1＜x≤时，对不等式进行参数分离得：2ax＜a+x,即（2x－1）aB，即属于A的元素一定属于B，也就是集合A的每一个x值恒
由1＜x≤2，知2x－1＞0，即有.
要使a<恒成立，只须amin
(x) ,
而,在1＜x≤2的情况下为减函数，
∴ .
故正数a的取值范围为.
[点评]高中数学集合中有一类问题：给出两个集合，其中一个集合含有 参数，且已知两个集
合具有包含关系，求参数的取值范围，常规解法是尽可能地解出两个集合，对比子集 关系，得出
相应的不等式或不等式组，从而得解.而本例我们利用函数化的解答方法.显然这种方法简洁 明快.
[例8]命题甲：方程x
2
+mx+1=0有两个相异负根；命题乙：方 程4x
2
+4(m－2)x+1=0无实根，
这两个命题有且只有一个成立，求m的取 值范围.
[分析]使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合为B，有且只有一个命 题
成立是求A∩C
R
B与C
R
A∩B的并集.

[解答]使命题甲成立的条件是：
m>2. ∴集合A＝{m|m>2}.
使命题乙成立的条件是：△
2
＝16(m －2)
2
－16<0，∴1＜m＜3.∴集合B＝{m|1 若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：
（1）m A∩C
R
B，（2）m C
R
A∩B.
若为（1）， 则有：A∩C
R
B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；
若为（2），则有：B∩C
R
A＝{m|1 综合（1）、（2）可知所求m的取值范围是{m|1 [点评]（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；
（2）用集合语言来表示m的范围既准确又简明；
（3）今后注意结合问题具体情况，运用交集思想、并集思想、补集思想.
[例9]设
试求a的最大值与最小值.
[分析]如图，已知的A、B两个集合都是以平面上的点为元素的集合，可以利用点集的几何
意义解题。
，B={(x，y)|(x-1)
2
+(y-)
2
=a
2< br>，a>0}，且A∩B≠φ，

[解答]A、B两点集分别表示以O（0,0）和O′（1,
与圆.因A∩B≠φ，
所以半圆O与圆O′应有公共点.
由图可知，当半圆O与O′外切时（实线），a最小；
当半圆O与圆 O′内切时（虚线），a最大.
∴
解之得
.
.
.
）为圆心，以

和a为半径的半圆
[点评]平面点集的交集问题是中学数学中的一类重要题型，处理这类问 题的常用方法是解方

程组法.若能充分注意到平面点集的几何性质，利用数形结合思想， 并借助解析几何知识，则往
往可以形成较为简洁的解法.
[例10]集合A＝{x|x< br>2
－ax+a
2
－19=0},B={x|x
2
－5x+6= 0}，C＝{x|x
2
+2x－8=0}.a取何实数时，
φ（A∩B）与A∩C＝φ 同时成立？
[分析]由集合形式给出条件，要求求出题设中的参数值是常见题型之一.本题的解题 切入点是
用好两个集合的关系条件，用对应算式表示出φ（A∩B）与A∩C＝φ同时成立的数学含义。
[解答]B＝{x|x
2
－5x+6=0}={2,3},C={x|x
2
+2x－8=0}={2,－4}.
由φ（A∩B）与A∩C＝φ同时成立可知3是A的元素，
故3是方程x
2
－ax+a
2
－19=0的解，将3代入方程得a
2
－3a－10=0,解 得a=5或a=－
2.
当a=5时，A＝{x|x
2
－5x+6 =0}={2,3},此时A∩C＝{2},与题设A∩C＝φ矛盾，故应舍
去；
当a=－2时，A＝{x|x
2
+2x－15=0}={3,－5}，此时满足φ
－2 即为所求.
[点评]由于这类集合问题中含有参数，从而使题目的难度增大，使其成为同学们学习 中的一
个薄弱环节.要顺利解答此类问题题，一方面需要把集合知识与其他代数知识有机结合起来求解< br>参数，另一方面需做好参数值的检验工作.由于受多种因素的制约与影响（主要是变形过程不能
自 始至终保持等价变形所至），求出的参数值并不是都能满足已知条件的，所以进行检验是非常
必要的.在 通常情况下，不满足条件的参数值主要有两种：（1）所求参数值使已知的某集合中出
现相同的元素，与 集合中元素的互异性相矛盾；（2）由求出的参数值推出了与已知条件相矛盾的
结论.所以在检验时，可 着重从这两方面入手，舍去不满足条件的参数值.
四、方法归纳
集合概念及其理论，称 为集合论，是近、现代数学的一个重要基础.集合论及其反映的数学
思想，在越来越广泛的领域中得到应 用，而逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，本章
又是高中数学的起始章，在学习中应注意以下 各点：
1．要搞清楚集合的元素是什么？是函数关系中自变量的取值范围，还是因变量的取值范围 ，
还是曲线上的点. 正确掌握集合的确定性、互异性和无序性，特别是互异性的应用；
2．搞清（元素与集合关系）与（集合与集合关系）的应用区别，注意
(A∩B)与A∩C＝φ，故a=

元素与集合是相对的.记忆集合运算中的相应结论：
①若A∩B＝A，则A
②若A∪B＝A，则B
B.
A.
③含有n个元素的集合有2
n
个子集，2
n
－1个真子集.
④集合运算的两个恒等式：（C
U
A）∩(C
U
B)=C
U
(A∪B),(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)
3．注意空集与全集在解题中的作用，讨论问题时重点防止遗漏.
4．利用集合求参数时，分析问题要严谨全面.
5．认真理解，反复推敲本章各知识点的涵义，注 意对于容易混淆的知识仔细辨识区分，达
到熟练掌握，逐步建立和集合与逻辑知识结构相适应的理论体系 与思考方法.
6．解不等式问题的关键是等价转化，对于含绝对值不等式的转化目标是去掉绝对 值符号，
其具体方法有多种，常用的有定义法、平方法及零点分段法.对于一元二次不等式的转化目标是
化为相应的一元一次不等式或直接利用解集公式。对于分式不等式的转化目标则是设法得到一个
高次不等式，利用标根连线法.
7．重视数形结合（数轴，坐标系，文氏图）和等价转化思想的应 用，通过学习，要努力培
养自己观察、比较、抽象、概括能力.
8．当一个命题的真假不 易判断时，往往可以判断其逆否命题的真假，从而判断出原命题的
真、假.因此要提高构造命题的能力。
9．正确掌握反证法的证题步骤。反证法常用来证明含一些特殊词语如非，至多，至少
等命 题.它的一般步骤是：一否定命题（即反设）；二推出矛盾；三得出结论.其关键是第二步.
10 ．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，或用集合显示其关系，或用命题
帮助推理和判断 . 设条件集合为A，结论集合为B，若A
若A
B，则条件是结论成立的充分条件；
B ，则条件是结论成立的必要条件；若A＝B，则条件是结论成立的充要条件. 当充要条
件的判断以选择题的形式出现时，可以用特殊值方法进行筛选判定.