人教A版高中数学同步辅导与检测必修1全集

第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义

A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合
A
中的元素
x
满足－
A ．－1∈
A

C.3∈
A

5≤
x
≤
B．0∈
A

D．1∈
A

5，且
x
∈N
*
，
5≤
x
≤5，且
x
∈N
*
，则必有( )
解析：－
所以
x
＝1，2，所以1∈
A
.
答案：D
2．下列各对象可以组成集合的是( )
A．中国著名的科学家
B．2017感动中国十大人物
C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆
D．中国最美的乡村
解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，
C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成
集合．
答案：B

3．由
x
2
，2|
x
| 组成一个集合
A
中含有两个元素，则实数
x
的取值可以
是( )
A．0 B．－2 C．8 D．2
解析：根据集合中元素的互异性，验证可知
a
的取值可以是8.
答案：C
4．已知集合
M
具有性质：若
a
∈
M
，则2
a
∈
M
，现已知－1∈
M
，则下
列元素一定是
M
中的元素的是( )
A．1 B．0 C．－2 D．2
解析：因为a
∈
M
，且2
a
∈
M
，又－1∈
M< br>，
所以－1×2＝－2∈
M
.
答案：C
5．由
a
2
，2－
a
，4组成一个集合
A
，
A
中 含有3个元素，则实数
a
的
取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
解析：因
A
中含有3个元素，即
a
2
， 2－
a
，4互不相等，将选项中的数
值代入验证可知答案选C.
答案：C
二、填空题
6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过10的所有正整数；
②高一(6)班中成绩优秀的同学；
③中央一套播出的好看的电视剧；

④平方后不等于自身的数．
解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定
的，不能组成集合．
答案：①④
7. 以方程
x
2
－2
x
－3＝0和 方程
x
2
－
x
－2＝0的解为元素的集合中共有
_____ ___个元素．
解析：因为方程
x
2
－2
x
－3＝0的解 是
x
1
＝－1，
x
2
＝3，方程
x
2－
x
－2
＝0的解是
x
3
＝－1，
x
4
＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素
应为－1，2，3，共有3个元素．
答案：3
8．已知集合
M
含有两个元素
a
－3和2
a
＋1，若－2∈
M
，则实数
a
的
值是________ ____．
解析：因为－2∈
M
，所以
a
－3＝－2或2
a
＋1＝－2.若
a
－3＝－2，则
a
＝1，此时集合
M< br>中含有两个元素－2，3，符合题意；若2
a
＋1＝－2，则
39
a< br>＝－，此时集合
M
中含有两个元素－2、－，符合题意；所以实数
a
的
22
3
值是1、－.
2
3
答案：1、－
2
三、解答题
9．若集合
A
是由元素－1，3组成的集合，集合< br>B
是由方程
x
2
＋
ax
＋
b
＝0的 解组成的集合，且
A
＝
B
，求实数
a
，
b
.

解：因为
A
＝
B
，所以－1，3是方程
x
2
＋
ax
＋
b
＝0的解．
??
?－1＋3＝－
a
，
?
a
＝－2，
则
?
解得
?

??
?
－1×3＝
b
，
?
b
＝－3.
10．已知集合
A
中含有三个元素
a
－2，2
a
2
＋5
a
，12，且－3∈
A
，求
a< br>的值．
解：因为－3∈
A
，所以
a
－2＝－3或2
a
2
＋5
a
＝－3，
3
所以
a
＝－1或
a
＝－.
2
当
a
＝－1时，
a
－2＝－3，2
a
2
＋5
a＝－3，集合
A
不满足元素的互异
性，所以
a
＝－1舍去．
当
a
＝－时，经检验，符合题意．所以
a
＝－.
22
B级 能力提升
1．集合
A
中含有三个元素2，4，6，若< br>a
∈
A
，且6－
a
∈
A
，那么
a< br>为
( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
解析：若
a
＝2，则6－2＝4∈
A
；
若
a
＝4，则6－4＝2∈
A
；
若
a
＝6，则6－6＝0?
A
.故选B.
答案：B 33
2．设
x
，
y
，
z
是非零实数，若
a
＝
元素的集合中元素的个数是______．
x
|
x
|
＋＋＋，则以
a
的值为
|
y
||
z
||
xyz
|
yzxyz

解析：当
x
，
y
，
z
都是正数时，
a
＝4，当
x
，
y< br>，
z
都是负数时
a
＝－4，
当
x
，
y
，
z
中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，
a＝0.所以以
a
的值为元素的集合中有3个元素．
答案：3
3．设< br>A
为实数集，且满足条件：若
a
∈
A
，则∈
A
(
a
≠1)．
1－
a
1
求证：(1)若2∈
A
，则
A
中必有另外两个元素；
(2)集合
A
不可能是单元素集．
证明：(1)若
a
∈< br>A
，则
1
∈
A
.
1－
a
又因为2∈
A
，所以＝－1∈
A
.
1－2
11
1
因为－1∈
A
，所以
11
＝∈A
.
1－（－1）2
因为∈
A
，所以
2
＝2 ∈
A
.
1
1－
2
1
所以
A
中另外两个元素为－1，. < br>2
1
(2)若
A
为单元素集，则
a
＝
1－< br>a
，
即
a
2
－
a
＋1＝0，方程无解．
所以
a
≠，所以
A
不可能为单元素集．
1－
a

1

第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示

A级 基础巩固
一、选择题
1．集合{
x
∈N
＋
|
x
－2<4}用列举法可表示为( )
A．{0，1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}
B．{1，2，3，4}
D．{1，2，3，4，5}
解析：{
x
∈N
＋
|
x
－2<4}＝{
x
∈N
＋
|
x
<6}＝{1，2，3，4，5}．
答案：D
2．集合{(
x
，
y
)|
y
＝2
x
＋3}表示( )
A．方程
y
＝2
x
＋3
B．点(
x
，
y
)
C．函数
y
＝2
x
＋3图象上的所有点组成的集合
D．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
解析：集合{(
x
，
y
)|
y
＝2
x
＋3}的代表元素是(
x
，
y
)，
x
，
y
满足的关系式
为
y
＝2x
＋3，因此集合表示的是满足关系式
y
＝2
x
－1的点组成的 集合．
答案：C
3．已知集合
A
＝{
x
∈N|－
A．－1∈
A

3≤
x
≤3}，则有( )
B．0∈
A

C.3∈
A
D．2∈
A

3≤
x
≤3，所以0∈
A
. 解析：因为0是整数且满足－
答案：B
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )
A．{
x
|－3<
x
<11，
x
∈Q}
B．{
x
|－3<
x
<11，
x
∈R}
C．{
x
|－3<
x
<11，
x
＝2
k
，
k
∈N}
D．{
x
|－3<
x
<11，
x
＝2
k
，
k
∈Z}
解析：{
x
|x
＝2
k
，
k
∈Z}表示所有偶数组成的集合．
由－ 3<
x
<11及
x
＝2
k
，
k
∈Z，可限 定集合中元素．
答案：D
??
y
＝
x
2
???
?
?
，正确的是( ) 5．用列举法表示集合
?
（x
，
y
）
?
?
??
y
＝－
x
?
?
A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)}
C．{
x
＝－1或0，
y
＝1或0} D．{－1，0，1}
??
?
y
＝
x
2
，
?
x
＝－1，
?
?
x
＝0，
解析：解方程组
?
得
?
或
?
所以答案为{(－1，1)，
??
?
y
＝ －
x
，
?
?
y
＝1
?
y
＝0，< br>(0，0)}．
答案：B
二、填空题
6．下列各组中的两个集合
M
和
N
，表示同一集合的是_______(填序号)．
①
M
＝{π}，
N
＝{3.141 59}；

②
M
＝{2，3}，
N
＝{(2，3)}；
③
M
＝{
x
|－1<
x
≤1，
x
∈N} ，
N
＝{1}；
④
M
＝{1，3，π}，
N
＝{π，1，|－3|}．
解析：④中的两个集合的元素对应相等，其余3组都不表示同一个集
合．所以答案为④.
答案：④
7．若集合
A
＝{
x
∈Z|－2≤
x< br>≤2}，
B
＝{
x
2
－1|
x
∈
A
}．集合
B
用列举法
可表示为________．
解析：因为A
＝{－2，－1，0，1，2}，所以
B
＝{3，0，－1}．
答案：
B
＝{3，0，－1}
??
10
??
∈N
?
＝______________. 8．用列举法表示集合
A
＝
?
x
|
x
∈Z，
6－
x
??
??
解析：因为
x
∈Z，
10
6－
x
∈N，所以6－
x
＝1，2，5，10，
得
x
＝5，4，1，－4.故
A
＝{5，4，1，－4}．
答案：{5，4，1，－4}
三、解答题
9．设集合
A
＝{x
|
x
＝2
k
，
k
∈Z}，
B
＝{
x
|
x
＝2
k
＋1，
k
∈Z}，若
a
∈
A
，
b
∈
B
，试判断
a＋
b
与集合
A
，
B
的关系．
解：因为
a
∈
A
，则
a
＝2
k
1
(
k< br>1
∈Z)；
b
∈
B
，则
b
＝2
k
2
＋1(
k
2
∈Z)，
所以
a
＋
b
＝2(
k
1
＋
k
2
)＋1.
又k
1
＋
k
2
为整数，2(
k
1
＋k
2
)为偶数，

故2(
k
1
＋
k
2
)＋1必为奇数，所以
a
＋
b
∈
B
且
a
＋
b
?
A
.
10．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集．
(1)不超过10的非负偶数的集合；
(2)大于10的所有自然数的集合．
解： (1)不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故
集合用列举法表示为{0， 2，4，6，8，10}，集合是有限集．
(2)大于10的自然数有无限个，故集合用描述法表示为 {
x
|
x
>10，
x
∈N}，
集合是无限集．
B级 能力提升
1．已知集合
A
＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰 三角形}，则
A
中
元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
解析：两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2 ，
底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素．
答案：C
2．有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合
M
＝{3，4}与
N
＝{(3，4)}表示同一个集合； < br>③方程(
x
－1)
2
(
x
－2)＝0的所有解的集合 可表示为{1，1，2}；
④集合{
x
|4＜
x
＜5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是________(填序号)．
解析：①{0}表示元素为0的集合，而0 只表示一个元素，故①错误；

②集合
M
是实数3，4的集合，而集合< br>N
是实数对(3，4)的集合，不正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素 有无穷多个，不能一一列举，
故不能用列举法表示．
答案：④
?
b
?
??
?
3．含有三个实数的集合可表示为
a
，，1
?< br>，也可表示为{
a
2
，
a
＋
b
，
a
??
??
0}，求
a
2 016
＋
b
2 017
的值．
?
b
?
??
?
解：由
a< br>，，1
?
可得
a
≠0，
a
≠1(否则不满足集合中元 素的互异性)．
a
??
??
?
?
1＝
a
，
所以
?
b
＝0
?
?
a
2
a＝
a
＋
b
，
?
?
1＝
a
＋< br>b
，
?
?
a
＝－1，
?
?
a
＝1，
或
?
解得
?
或
?

??
b
?
b
＝0
?
b
＝0.
＝0，
?
?
a
a
＝
a
2
，
经检验
a
＝－1 ，
b
＝0满足题意．
所有
a
2 016
＋
b
2 017
＝(－1)
2 016
＝1.