高中数学必修一培优精品讲义

2020年9月18日发(作者：明澈)

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第01讲--- 集合

P实战演练 S归纳总结
① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
② 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
教学目标 ③ 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
④ 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
⑤
能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。

授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建
知识概念
（一）元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（二）集合间的基本关系
表示
关系

集合间
的

基本关
系
[来源:]


文字语言

集合
A
与集合
B
中的所有元素都相同

符号语言
相等
[来源:学,科,网]
A
＝
B
[来源:]

子集

真子集

空集

A
中任意一个元素均为
B
中的元素

A
中任意一个 元素均为
B
中的元素，且
B
中至少有一
个元素不是
A
中的元素

A
?
B

AB


空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集



1

（三）集合间的基本运算

图形
语言

符号
语言

集合的并集

集合的交集

集合的补集



?
U< br>A
＝{
x
|
x
∈
U
，且
x
?
A
}
A
∪
B
＝{
x
|
x∈
A
，或
x
∈
B
}
A
∩
B
＝{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}

（四）集合的运算性质
并集的性质：
A
∪?＝
A
；
A
∪
A
＝
A
；
A
∪
B
＝
B
∪
A
；
A
∪
B
＝
A
?
B
?
A
．
交集的性质：
A
∩?＝?；
A
∩
A
＝
A
；
A
∩
B
＝
B
∩
A
；
A
∩
B
＝
A
?
A
?
B
．
补集的性质：
A
∪(?
U
A
)＝
U
；
A
∩(?
U
A)＝?；?
U
(?
U
A
)＝
A
．
典例分析

考点一：集合的含义与表示
例1、设集合A＝ {1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6


??
b
例2、设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
?
0，，b
?
，则b－a＝________.
a
??

例3、现有三个实数的集合，既可以表示为
{a,

例4、设非空集合
S?{x|m?x?l}
满足：当
x?S
时，有
x?S
.给出如下 三个命题：
2
b
2
2014
?b
2014
?________ 也可以表示为
{a,a?b,0}
，则
a
,1}，
a
①若
m?1
，则
S?{1}
；②若
m??
是（ ）
2
111
?m?0
.其中正确命题的个数，则
?l?1
；③若
l?
，则
?
2
242
A
． 0
B．
1


C
．2
D
．3

2

考点二：集合间的基本关系
例1、已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝? C．A?B D．B?A

例2、若
P?{xx?1},Q{xx??1}
，则（ ）
A.
P?Q
B.
Q?P
C.
C
R
P
?
Q
D.
Q
?
C
R
P


考点三：集合的运算
例1、角度1
50
名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为
40
人和
31
人，
2
项测验成绩均不及
格的有
4
人，
2
项测验成绩都及格的人数是 （ ）
A．
35
B．
25
C．
28
D．
15


例2、若全集
U?{1,2,3,4,5,6},M? {2,3},N?{1,4}
,则集合
{5,6}
等于（ ）
A.
M



N
B.
MN
C.
(
C
U
M
)?(
C
U
N
)
D.
(
C
U
M
)?(
C
U
N
)

例3、已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(?UB)等于( )
A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}


考点四：补集思想的应用
例1、已知集 合
A?{x|x?2x?a?0},B?{x|a?x?4a?9},
若
A,B
中至少有一个不是空集，则
a
的
取值范围是__________



2


3

考点五：集合创新问题的探究 例1、设数集
M?{x|m?x?m?},N?{x|n?
3
4
1
?x?n},
且
M,N
都是集合
Q?{x|0?x?1}
的子3
集，如果把
b?a
叫做集合
{x|a?x?b}
的“长度”， 那么集合
MN
的“长度”的最小值是（ ）
A． B．


考点六：忽视空集
1
3
215
C． D．
3
1212
例1、设
A?{x|2? x?6},B?{x|2a?x?a?3},
若
B?A
，则实数
a
的 取值范围是_________
易失分提示：由
B?A
可知，有
B??和
B??
两种情况，容易忽略空集的情况.


考点七：忽视集合中元素的三特性
例1、设数集
A?{1,3,x},B?{x,1 },
且
A
2
B?{1,3,x}
，则
x
的不同取值 的个数是（）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5




P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}





4

2、已知集合P={n|n=2k﹣ 1，k∈N
+
，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元 素的个数为（ ）
A．147 B．140 C．130 D．117


3、已知全集U=R，A=，B={x|lnx＜0}，则A∪B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|x＜﹣1或x≥2} D．{x|0＜x＜2}


4、若集合
A．2 B．﹣1


5、已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a的取值个数为（ ）
A．0


??
2
??
，则?UA＝________.
x|x＝，x，n∈ Z
6、已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝
n－1
??
，B ={1，m}，若A?B，则m的值为（ ）
C．﹣1或2 D．2或
B．1 C．2 D．3



7、已知有限集 A={a
1
，a
2
，a
3
…，a
n
}（n ≥2）．如果A中元素a
i
（i=1，2，3，…，n）满足a
1
a
2
…a
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
，
就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合{，}是“复活集”；
②若a< br>1
，a
2
∈R，且{a
1
，a
2
}是“复活 集”，则a
1
a
2
＞4；
③若a
1
，a
2
∈N则{a
1
，a
2
}不可能是“复活集”；
④若a
i
∈N，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）

*
*


5

? 课后反击
??
3
∈Z
?
，则集合A中的元素个数为( ) 1、已知集合A＝
?
x|x∈Z，且
2－x
??
A．2 B．3 C．4 D．5


2、已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，3}


3、设集合P={x|0≤x≤}，m=，则下列关系中正确的是（ ）
B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
A．m?P B．m?P


C．m∈P D．m?P
24、设集合A＝{x|>1，x∈R}，B＝{x|y＝1－x2}，则(?RA)∩B等于( )
1－x
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1

5、用C（A）表示非空集合 A中的元素个数，定义A*B=
﹣2=0，a∈R}，B={x||x+bx+2|=2，b∈R}，且 A*B=2，则b的取值范围（ ）
A．b≥2或b≤﹣2 B．b＞2或b＜﹣2
2
，若A={x|x﹣ax
2
C．b≥4或b≤﹣4 D．b＞4或b＜﹣4








6

6、已知集合A＝{x|1≤x<5 }，C＝{x|－a


7、设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：
（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a#b）#c=a#（b#c）；
（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M．
则称M对运算#封闭．
下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ．
①{﹣2，﹣1，1，2}
②{1，﹣1，0}
③Z
④Q．





战术指导


集合新定义题
解决以集合为 背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所
叙述的问题的 本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所
在；(2)用 好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合
的运算与 性质．
直击高考

1、【2016高考新课标1理数】设集合
A?xx?4x?3?0
,
x2x?3?0
,则
A
（A）
?
?3,?



7

?
2
?
??
B?
（ ）
?
?3
?
3
???
3
??
3
?
?3,1,
（B） （C） （D）
??????
,3
?

2
?
2
?
?
?
2
??
2
?

2、【2016年高考四川理数】设集合
A?{x|?2?x?2}
，Z为整数集，则
A
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

Z
中元素的个数是（ ）
3、【2016高考新课标2理数】已知集合
A?{1,2,3}
，
B?{x|(x?1)(x?2)?0,x?Z}
，则
AB?
（ ）
，，2，3}
（D）
{?1，01，，2，3}

，2}
（C）
{01
（A）
{1}
（B）
{1

4、【2016高考浙江理数】已知集合
P?x?R1?x?3,Q?x?Rx?4,
则
P?(
?
R
Q)?
（ ）
A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．
(??,?2]?[1,??)


5、【2015高考浙江，理1】已 知集合
P?{xx
2
?2x?0}
，
Q?{x1?x?2}
，则
(?
R
P)
A.
[0,1)
B.
(0,2]
C.
(1,2)
D.
[1,2]


??
?
2
?
Q?
（ ）
S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：集合的含义与表示
考点二：集合间的基本关系
考点三：集合的运算
考点四：补集思想的应用
考点五：集合创新问题的探究
考点六：忽视空集
考点七：忽视集合中元素的三特性


8

名师点拨

集合题目的方法总结：
一： (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须 优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元 素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足
的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
二：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白 集合的
类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要 特别注意．分
类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
三：一般来讲，集合中的元素若 是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数
轴表示，此时要注意端点的情况 ．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会
使运算简化．

学霸经验

? 本节课我学到了

? 我需要努力的地方是









9

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第02讲---函数的基本概念

P实战演练 S归纳总结
了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建


（一）函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设A，B是 两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记
作y＝f(x) ，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈ A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
（二）函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
（三）映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个元素x，


10

在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
（四）分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系， 这样的函数通常叫做分
段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
（五）区间的概念


（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
（1）满足不等式
a?x?b
的实数的x 集合叫做闭区间，表示为
?
a,b
?
；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做开区间，表示为
?
a,b
?
； （3）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为
?
a，b
?
；
（4）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做也 叫半开半闭区间，表示为
?
a,b
?
；
说明：① 对于
?
a,b
?
，
?
a,b
?
，
?
a， b
?
，
?
a,b
?
都称数a和数b为区间的端点，其中a为 左端点，b为右端
点，称b-a为区间长度；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
7
?
； 不等式表示法：3x3?x?7
；区间表示法：
?
3，
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点 表示包括在
区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；
④ 实数集R也可以用区间 表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作
“正无穷大 ”，还可以把满足x
?
a, x>a, x
?
b, x(-∞,b)、(-∞,b)。
??
典例分析







11

考点一：函数的概念与三要素
例1、设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤ 2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关
系的是________．



例2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=x
2
，g（x）=
3
x
3
； （2）f（ x）=
x?0,
?
1
|x|
，g（x）=
?
?1x?0;
x
?
（3）f（x）=
2n?1
x
2n? 1
， g（x）=（
2n?1
x
）
2n
－
1
（n∈N
*
）；
（4）f（x）=
x
x?1
， g（x）=
x
2
?x
；
（5）f（x）=x
2
－2x－1，g（t）=t
2
－2t－1



考点二：函数解析式的求法
例1、已知函数
f(x )
=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)] .






2


12

1
1
x＋
?
＝x
2
＋
2
，求f(x)的解析式； 例2、(1)已知f?
?
x
?
x
2
?
(2)已知f
??
x
＋1
?
＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．




例3、已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－ x
2
＋x)＝f(x)－x
2
＋x.
(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；
(2)设有且仅有一 个实数x
0
，使得f(x
0
)＝x
0
，求函数f(x)的解 析式．




考点三：求函数的定义域
例1、若函数
y?


ax
2
?ax?
1
的定义域是R，求实数a 的取值范围
a
例2、若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函数
y?f(x?



例3、已知函数
f(x)?
A.
A



11
)?f(x?)
的定义域
44
1?x< br>的定义域为
A
，函数
y?f
?
的定义域为
B
，则
f
?
x
?
?
??
1?x
B?B
B.
A?B
C.
A?B
D.
AB?B



13

考点四：求函数的值域
例1、求函数
y?


x?3?5?x
的值域
x
2
?2x?2
(x??1)
的值域 例2、求函数
y?
x?1



考点五：分段函数
(x?100)
?
x?3
例1、设函数
f(x)?
?
,求 f(89).

f[f(x?5)](x?100)
?


例2、在同一平面直角坐标系中, 函数
y?f(x)
和
y?g(x)的图象关于直线
y?x
对称, 现将
y?g(x)
的图象沿
x
轴向左平移2个单位, 再沿
y
轴向上平移1个单位, 所得的
图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数
f(x)
的表达式为
（ ）
3
2
y
?< br>2x?2(?1?x?0)
A.f(x)?
?
x

?2(0? x?2)
?
2
?
2x?2(?1?x?0)
B.f(x)?
?
x

?
2
?2(0?x?2)
?
2x?2(1? x?2)
C.f(x)?
?
x

?1(2?x?4)
?2
?
2x?6(1?x?2)
D.f(x)?
?
x

?3(2?x?4)
?
2

1
-2
-1
o
1
x

14

?
2
?x
?1(x?0)
?
例3、设函数
f(x)?
?
1
, 若
f(x
0
)?1
, 则
x
0
得取值范围是（ ）
2
?
(x?0)
?
x
A.(?1,1)

B.(?1,??)

C.(??,?2)?(0,??)

D.(??,?1)?(1,??)




P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴
y
1
?

(x?3)(x?5)
，
y
2
?x?5
； ⑵
y
1
?x?1x?1
，
y
2
?(x?1)(x?1)；
x?3
⑶
f(x)?x
，
g(x)?x
2
； ⑷f(x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x)?x3
x?1
；
⑸
f
1
(x)?(2x?5)2
，
f
2
(x)?2x?5
.
A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸


2、已知集合
A?
?
1,2,3,k
?
,B?4,7,a
4
,a
2
?3a
，且
a?N, x?A,y?B
，使
B
中元素
y?3x?1
和
A
中 的
*
??
元素
x
对应，则
a,k
的值分别为（ ）
A.
2,3
B.
3,4
C.
3,5

D.
2,5








15

3、若函数y＝f(x)的定义域 为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．


x?1
?
?
2e,x＜2，
4、设
f (x)?
?
则f(f(2))的值为
（ ）
2
?
?
log
3
(x?1)，x?2.
A．0 B．1 C．2 D．3

x－x＋1，x＜1
?
?
5、函数f(x)＝
?
1
的值域是________．
?
?
x
，x＞1




6、已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．





x
7、若函数f(x)＝
(a≠0)，f(2)＝1 ，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．
ax＋b




8、已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；






2


16

? 课后反击
1、下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝(x－1)
2
B．y＝x－1与y＝
x－1

x－1
x

100
C．y＝4lg x与y＝2lg x
2
D．y＝lg x－2与y＝lg

2、设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0 ≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是
y
2
o
2
x

y
2
o
2
x

y
2
o
2
x

y
2
o
2
x

-2



A
-2
B
-2
C
-2
D
3、若f(x)对 于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )
A．x－1





B．x＋1
D．3x＋3 C．2x＋1


2
?
?
1－x，x≤1，
1
4、设函数f(x)＝
?
2
则f[]的值为( )
f(2)
?
?
x＋x－2，x＞1，

15278
A. B．－ C. D．18
16169


?
?
2，x∈[－1，1]
5、已知函数f(x)＝
?
若f[f(x )]＝2，则x的取值范围是( )
?
x，x?[－1，1]
?

A．? B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]





17

1
?
6、具有性质：f
?
?
x
?
＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： x，0?
?
0，x＝1，
11
①y＝x－；②y＝x ＋；③y＝
?
xx
1
－
?
?
x
，x>1.
A．①②
C．②③










B．①③
D．

其中满足“倒负”变换的函数是( )
x
?
?
2，x∈(－∞， 1)，
7、设函数f(x)＝
?
2
，)若f(x)>4，则x的取值范围是_ _____．
?
x，x∈[1，＋∞
?
－



8、设二次函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求
f(x)
的解
析式.


战术指导

求函数值域的各种方法：
函 数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数

值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
?
0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数< br>y?
k
(k?0)
的定义域为{x|x
?
0}，值域为{y| y
?
0}；
x
二次函数
f(x)?ax
2
?bx ?c(a?0)
的定义域为R，
2
(4ac?b)
}； 当a>0时，值域为{
y|y?
4a


18

2
(4ac?b)
} 当a<0时，值域为{
y|y?
4a
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f(x)?ax
2< br>?bx?c,x?(m,n)
的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式 法：转化成型如：
y?x?
k
(k?0)
，利用平均值不等式公式来求值域；
x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法（反求法）：通过 反解，用
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过解不等式， 得出
y
的取值
范围；常用来解，型如：
y?
ax?b
,x? (m,n)

cx?d
直击高考

+lg的定义域为（ ） 1、【2015?湖北】函数f（x）=
A．（2，3） B．（2，4]



2、【2013?辽宁】已知函数f（x）=x
2
﹣2（a+2 ）x+a
2
，g（x）=﹣x
2
+2（a﹣2）x﹣a
2
+ 8．设H
1
（x）=max{f
（x），g（x）}，H
2
（x）= min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q< br>中的较小值），记H
1
（x）的最小值为A，H
2
（x）的最大值为B ，则A﹣B=（ ）
A．16




B．﹣16 C．﹣16a
2
﹣2a﹣16 D．16a
2
+2a﹣16
C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]


19

S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：函数的概念与三要素
考点二：函数解析式的求法
考点三：求函数的定义域
考点四：求函数的值域
考点五：分段函数
名师点拨

求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
学霸经验

? 本节课我学到了











20

? 我需要努力的地方是






















21

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第03讲--- 函数的基本性质

P实战演练 S归纳总结
①通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；
②掌握单调性的判断方法，并能简单应用；
教学目标
③理解函数的奇偶性及其图像特征；
④能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征。
授课日期及时段

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建


（一）函数单调性的定义
1、图形描述：
对于函数
f(x)
的定义域I内 某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数
f(x)
在区间D上为单 调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数
f(x)
在区间D
上为单调递减函数。
2、定量描述
对于函数
f(x)
的定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，
（1）若当< br>x
1
?
x
2
时，都有
f(x
1
)?
f(x
2
)
,则说
f(x)
在区间D上是增函数；
（2）若当
x
1
?
x
2
时，都有
f(x
1
)
?
f(x
2
)
,则说
f(x)
在区间 D上是减函数。
3、单调性与单调区间
若函数
y
=
f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数
f(x)
在这一区间具有（严格的）单调性，< br>

22

这一区间叫做函数
f(x)
的单调区间。 此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的
图象是上升的，减函数的图象是下降的 。
（二）用定义证明函数的单调性：
定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：
1、取量定大小：即设
x
1
,x
2
是区间上的任意两个实数，且
x
1<
x
2
；
2、作差定符号：即
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，并通过因式分解、配方、有 理化等方法，向有利于判断差的符
号的方向变形；
3、判断定结论： 即根据定义得出结论。
（三）判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
1、函数
y??f
?
x
?
与函数
y?f
?
x
?的单调性相反
2、当
f
?
x
?
恒为正或恒为负时，函 数
y?
1
与函数
y?f
?
x
?
的单调性相 反
f
?
x
?
3、在公共区间内，增函数
?
增函数
?
增函数，增函数
?
减函数
?
增函数，减函数
?< br>增函数
?
减函数。
（四）复合函数单调性的判断
对于函数y?f(u)
和
u?g(x)
，如果
u?g(x)
在区间
(a,b)
上是具有单调性，当
x?(a,b)
时，
u?(m,n)
，且
y?f(u)
在区间
(m,n)
上也具有单调性，则复合函数
y?f(g(x))
在区间
(a,b)
具有单调
性的规律见下表：以下规律可 总结为：“同增异减”。
y?f(u)u?(m,n)

u?g(x)x?(a,b)

y?f(g(x))x?(a,b)

（五）函数奇偶性定义
1、图形描述：
增 ↗
增 ↗
增 ↗
减 ↘
减 ↘
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
函数
f
?
x
?
的图像关于
y
轴对称
?
f
?
x
?
为偶函数；
函数
f
?
x
?
的图像关于原点轴对称
?
f
?< br>x
?
为奇函数


23

2、定量描述：
一般地 ，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
， 都有
f(?x)?f(x)
，则称
f
?
x
?
为偶函 数；如
果都有
f
?
-x
?
?-f
?
x?
，则称
f
?
x
?
为奇函数；如果
f(?x) ?f(x)
与
f
?
-x
?
?-f
?
x?
同时成立，那么函
数
f
?
x
?
既是奇函数又 是偶函数；如果
f(?x)?f(x)
与
f
?
-x
?
?-f
?
x
?
都不能成立，那么函数
f
?
x?
既不
是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数
f?
x
?
是奇函数或偶函数，则称函数
y?f(x)
具有奇偶性。
（六）函数具有奇偶性的几个结论
1、
y?f
?
x
?是偶函数
?
y?f
?
x
?
的图像关于
y
轴对称；
y?f
?
x
?
是奇函数
?
y?f
?
x
?
的图像
关于原点对称。
2、奇函数
f< br>?
x
?
在
x?0
有定义，必有
f
?
0
?
?0
。
3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反； 奇函数在定义域内关于原点对称的两个
区间上单调性相同。
4、
f
?
x
?
,g
?
x
?
是定义域为
D
1
,D
2
且
D
1
D
2
要关于原点对称，那么就有以 下结论：
奇
?
奇
?
奇 偶
?
偶
?偶奇
?
奇
?
偶偶
?
偶
?
偶 奇
?
偶
?
奇
5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。
nn?1
6、多项整式函 数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶 性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项的系 数和常数项全为零；
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)的奇次项的系数全为零。
典例分析

考点一：函数单调性
例1、已 知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)


2



24

例2、求f(x)＝x＋x－1的最小值．




2< br>例3、已知函数f(x)对任意x、y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时， f(x)<0，f(1)＝－.
3
(1)求证：f(x)是R上的单调递减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．


考点二：分段函数单调性
例1、若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.




－，x≥2，
?
?
例2、已知函 数f(x)＝
?
?
1
?
x
??
－1，x<2
?
?
?
2
?
则实数a的取值范围为()
13
???
13
?
A．(－∞，2) B.
?
－∞，
?
C．(－∞，2] D.
?
，2
?

8
???
8
?






满足对任意的实数x
1
≠x< br>2
，都有
（fx
1
）-（fx
2
）
<0 成立，
x
1
x
2


25

?
1
?
x
?
－≤x≤1
?
，
?
?
?
2
?
例3、已知函数f(x)＝
?
1
，
?
?
x
＜
2

求f(x)的最大值、最小值．

考点三：参数问题讨论
x
2
?2x?a
例1、已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］
x
1
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
2
（2）若对任 意x∈[1，＋∞
)
，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．



例2、设函数f(x)=
x
2
?1
－ax，(a＞0)， 试确定：当a取什么值时，函数f(x)在(0，＋∞)上为单调函
数．


考点四：函数奇偶性判断
?
－x＋
?
例1、用定义判断函数f(x )＝
?
2
?
?
x－
2

的奇偶性．







26

例2、若f(x)是定义在R上的 奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)
的解析式．




例3、已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数 a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x)为奇函数．


考点五：函数奇偶性应用
例1、已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函 数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取
值范围．



例2、已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f( －1)＝8，求
f(1)．


考点六：函数单调性与奇偶性综合问题
例1、已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x＋2x(x≥0)，若f(3－a)>f(2a)，则 实数a的取值范围是
________．


例2、（1）设定义在[－2 ,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的
取值范围．
（2）若函数
y?f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且 在区间
?
??,0
?
上是增函数，又
f(2a?1)?f(3?a)
，求
a
的
取值范围。
22


27

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击 < br>1、若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区 间(a，c)上( )
A．必是增函数
C．是增函数或是减函数

2、设
f(x)
是奇函数，且在
(0,??)
内是增函数，又
f( ?3)?0
，则
x?f(x)?0
的解集是（ ）
A．
x|?3?x?0或x?3
B．
x|x??3或0?x?3

C．
x|x??3或x?3


1，x>0
?
?
3、设函数f(x)＝
?
0，x ＝0，
?
?
－1，x<0
B．必是减函数
D．无法确定单调性

????
??

D．
?
x|?3?x?0或0?x?3
?


2
，g(x)＝xf(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()
2
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)


4、 已知函数
f(x)?(m?1)x?(m?2)x?(m?7m?12)
为偶函数，则
m
的值是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4



5、已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(- x)=-f(x).若方程f(x)=0有2009个实数解，则这2009个实数
解之和为 .

2



28

6、设f(x)是R上的偶函数， 且在(－∞，0)上为减函数，若x<0，且x＋x>0，则f(x)与f(x)的大小关
11212< br>系为__________．

7、已知函数f(x)=ax+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a-1,2a］,则a= ,b= .

2
?x
2
?a
8、求函数
f
?
x
?
?
?
a?0
?
的单调区间。
x

9、如果函数
f
?
x
?
?x?bx? c
，对任意实数
t
都有
f
?
2?t
?
?f
?
2?t
?
，比较
f
?
1
?
,f
?
2
?
,f
?
4
?
的大
2
小。


10、写出二次函数f(x)＝x＋1在区间[a，a＋1]上的最小值．


? 课后反击
1、函数y＝ax＋1(a＜0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为()
A．1,2a＋1 B．2a＋1,1 C．1＋a,1 D．1,1＋a


2
、下列判断正确的是（

）

2
1?x< br>x
2
?2x
A
．函数
f(x)?
是奇函数
B
．函数
f(x)?(1?x)
是偶函数

1?x
x?2< br>C
．函数
f(x)?x?x
2
?1
是非奇非偶函数
D
．函数
f(x)?1
既是奇函数又是偶函数






29

3、
函数
y?f(x)
与
y?g(x)
有相同的定义域，对定义域中任何
x
，有
f(x)?f(?x )?0
，
g(x)g(?x)?1
，则
F(x)?
2f(x)
?f(x)
是（）
g(x)?1
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数



a
4、若函数f(x)＝－x
2
＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函 数，则a的取值范围是________．
x＋1



ax＋1
5、若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
x＋2



6、
（1）已知函数f(x)是奇函数，且x ∈[3a＋1,3a＋5]，则a的值为__________．
（2）已知函数f(x)＝x＋2mx＋1是偶函数，则m的值为__________．




7、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝1－x
2
＋x
2
－1； (2)f(x)＝3
x
－3
x
；
－
2
x＋2，x >0，
?
2
?
4－x
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
?
0，x＝0，
|x＋3|－3
?
?
－x
2
－2，x<0.






2



30

8、已知f(x)是R上的奇函数 ，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2－x(1＋x)，求f(x)．



战术指导

利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：
3
因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x－1．
通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号．
分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．如f(x)＝x＋1．
判断函数的奇偶性的步骤:
(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(若不对称则为非奇非偶函数)
(2)判断f(－x)与f(x)的关系．
(3)根据定义，写出结论．
①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．
②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．
③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
直击高考

x
1、【2016?浙江】已知函数f（x）满足：f（x） ≥|x|且f（x）≥2，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤|b|，则a≤b B．若f（a）≤2，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b D．若f（a）≥2，则a≥b





b
b

31

2、【2015?怀化模拟】设f（x）是周期为2的奇函 数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则
（ ）
A．﹣






3、【2015?山东】若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
B．﹣

C．D．

=
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）


S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：函数单调性

考点二：分段函数单调性
考点三：参数问题讨论
考点四：函数奇偶性判断
考点五：函数奇偶性应用


32

考点六：函数单调性与奇偶性综合问题
名师点拨

1、函数是增函数还是 减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在
另一些区间上不是增函数 .例如函数
y?x
（图1），当
x?
?
0,??
?
时是增函数，当
x?
?
??,0
?
时是减函
2
数。 而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、
x
1,x
2
应是该区
间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函 数是增函数（或减函数）。
2、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关 于原点对称。换言之，若所
给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数 奇偶性的定义判断函数是否具
有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对 称，可直接判定该函数不具有奇
偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断
f
?
?x
?
?f
?
x
?
与
f
?
?x
?
??f
?
x
?
这两个等式的成立情况，根
据定义 来判定该函数的奇偶性。
学霸经验

? 本节课我学到了













33

? 我需要努力的地方是















34

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
①理解n次方根与根式的概念；
②理解分数指数幂的意义，会将根式与分数指数幂之间的相互转化；
③理解有理数指数幂的含义及其运算性质；
教学目标
④了解无理数指数幂的意义和分类讨论思想在解题中的应用;
⑤理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质;
⑥理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程;
⑦熟练运用对数的性质和对数运算法则解题。
授课日期及时段

年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第05讲--- 指数与对数

P实战演练 S归纳总结
T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建
知识概念
（一）指数与指数幂的运算
1、根式
n
（1）定义：一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n?1,n?N


?
?
?
，
n
a叫做根式，
n
叫
做根指数，
a
叫被开方数。
（2）根式性质
①负数没有偶次方根；
②零的任何次方根都是零。


35

?
a
③当
n
是奇数，则
a?a
；当
n
是偶数，则
a?a?
?
?
? a
n
n
n
n
a?0
a?0
；
2、有理指数幂
（1）整数指数幂
n个
①正整数指数幂
a
n
?a?a?a?
②负整数指数幂
a
?n
?
0
? a(n?N
?
)
；
1
a?0,n?N
?
?

n
?
a
③零指数幂
a?1(a?0)
；
（2）分数指数幂
①
a
②
a
m
n
m?
n
?
n
a
m
?
a?0,m,n?N
?
,n?1
?
；
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
?
a?0,m,n?N
?
,n? 1
?

③ 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
（3）有理指数幂性质
①
a
②
m
a
n
? a
m?n
?
a?0,m,n?Q
?

n
?
a
m
?
?a
mn
?
a?0,m,n?Q
?

m
③
?
ab
?
?a
m
b
m
?
a?0,b?0,m?Q
?

3、无理指数幂
若
a< br>＞0，
P
是一个无理数，则
a
表示一个确定的实数，上述有理指数幂的 运算性质，对于无理数指
数幂都适用。
p
（二）对数的概念
1、定义
一般地，如果
a
?
a?0,a?1
?
的b次幂等于N, 就是
a
b
?N
，那么数 b叫做以a为底 N的对数，
log
a
N?b
，a叫做对数的底数，N叫做真数
2、底数与真数取值范围


36

底数的取值范围：
(0, 1)?(1,??)
；真数的取值范围
(0,??)

3、指数式与对数式的互化
例如：
4
2
?16
?
log
4
16?2
;
10
2
?100
?
log
10
100?2

4?2
?
log
4
2?
注意：负数与零没有对数
4、几个重要性质
(1)
log
a
1?0
，
(2)
log
a
a?1

1
2
1
;
10
?2
?0.01
?< br>log
10
0.01??2

2
logN
(3)对数恒等式:如果把
a
b
?N
中的 b写成
log
a
N
, 则有
a
a
?N

5、常用对数
log
10
5
我们通常将以10为底的对数 叫做常用对数为了简便,N的常用对数
log
10
N
简记作lgN，例如：< br>简记作lg5
log
10
3.5
简记作lg3.5.
6、自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数， 以e为底的对数叫自然对数，为了简便，
N的自然对数
log
e
N
简 记作lnN，例如：
log
e
3
简记作ln3
log
e
10
简记作ln10.
（三）对数的运算法则
1、运算法则

log
a
(MN)?log
aM?log
a
N


log
a
(M
)?log
a
M?log
a
N

N
m
log
a
M

n

log
a
n
M
m
?
2、对数换底公式
log
a
N?

log
m
N
( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)
log
m
a


37

证明：设
log
a
N = x , 则
a
x
= N，两边取以m 为底的对数：
log
m
a
x
?log
m< br>N?xlog
m
a?log
m
N

从而得：
x?
log
m
Nlog
m
N
∴
log
a< br>N?

log
m
alog
m
a
3、两个常用的推论
①
log
a
b?log
b
a?1
，
log
a
b?log
b
c?log
c
a?1

②
log
a
m
b
n
?
n
log
a< br>b
（ a, b > 0且均不为1）
m
典例分析

考点一：根式
例1、求下列各式的值
5
2
（1）
(5
?8)
（2）
3
(?8)
3
（3）
10（4）
(?10)
2






1
2
?
5
例2、(1)用根式表示下列各式：a ；a；
a
3
；
1
33
(2)用分数指数幂表示下列各式：a
5
；a
6
；.
3
2
a

考点二：有理指数幂运算
例1、把下列各式中的
a
写成分数指数幂的形式
5?4
（1）a?256
；（2）
a?28
；（3）
a
?3n
?3< br>5m
?
m,n?N
?
?






38

1
43
?
7
?
例3、化简：1.5
3
×
－
6
0
＋8
0.25
×2＋(2×3)
6
－
??
?
－
3
?
3
；
?
2
?
2

考点三：无理数指数幂
例1、化简（式中字母都是正数）
2x


考点四：指数与对数的互化
例1、将下列指数式与对数式进行互化．
1
?
x
1
(1)3
x
＝ (2)
?
?
4
?
＝64；
27
1
1
－
(3)5
2
＝；
5
(5)lg0.001＝－3;

考点五：对数的运算
例1、计算下列各式的值：
（1）
2(lg2)?lg2?lg5?(lg2)?lg2?1
；
（2）
2log
3
2?log
3
2
?
2
?3y< br>?3
??
2x
2
?3y
?3
?

(4)
log
(6)
log
2
4
＝4；
2?1
(2?1)
＝－1.
22
32
?log
3
8?3
2?log
3
5
；
9
2
（3）
lg2?lg250?lg5?lg40
；
（4）
log
2








111
；（5）
(log
2
3?log
8
9)(log
3
4?log
9
8).

?log
3
?log
5
25827

39

15
例2、计算：lg－lg＋lg12.5－log
8
9·lo g
27
8.
28


考点六：对数的互相表示
例1、（1）已知
a?log
3
2
，
3
b
?5，用
a,b
表示
log
3
（2）设
lg2?a,lg3 ?b
，用
a,b
表示
log
5
12
；
（3）已知
log
2
9?a,log
2
5?b
，用
a,b
表示
log
2
75
．




例2、已知
log
a
x=b+
log
a
c，求x
30
；


P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、下列命题中正确命题的个数为( )
n
①a
n
＝a；②若a ∈R，则(a
2
－a＋1)
0
＝1；



40

4
3
2
③x＋y＝x
3
＋y；④－5＝
6
(?5)
.
3
43
A．0
C．2
2、设a>0，将
a
2
3
a·a
2
A．
a

C．
a



2
1< br>3、若a<，则化简
4
?
4a?1
?
的结果是( )
4
5
6
3
2
B．1
D．3
写成分数指数幂，其结果是( )
B．
a

D．
a

7
6
1
2
A．1－4a
C．－1－4a


4、
5
log
5
(?a)
2
B．4a－1
D．－4a－1
（a≠0）化简得结果是（）
A．－a B．a
2
C．｜a｜ D．a
5、log
7
［log
3
（log
2
x）］＝0，则< br>x
A．

6、
log
n?1?n
?
1
2
等于（ ）
1
1
1
1
B． C． D．
3
2333

22
1－n
）等于（ ） （
n＋
A．1 B．－1 C．2 D．－2

7、化简


3
?
1?2
?
3
?
4
1?2
??
4
= .


41

8、若
x?1?
4
x?y
=0,则x
2015
+y
2016
= .


9、若log
a
x＝log
b
y＝－

10、若lg2＝a，lg3＝b，则log
5
12＝________


? 课后反击
1、函数
y?16-4
x
的值域是（ ）
A．[0,+ ∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)

2、若3
a
=2, 则log
3
8-2log
3
6用a的代数式可表示为（ ）
A．a-2 B．3a-(1+a)
2
C．5a-2 D．3a-a
2

3、2log< br>a
(M-2N)=log
a
M+log
a
N,则
A．

4、已知x
2
+y
2
=1,x>0,y>0,且log< br>a
(1+x)=m,loga
1
log
c
2，a，b，c均为 不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝
ab
，则xy＝________
2
M
的值为（ ）
N
1
B．4 C．1 D．4或1
4

1
y
?n,则log
a
等于（ ）
1?x
11
A．m+n B．m-n C．(m+n) D．(m-n)
22

5、如果方程l g2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ）
A．lg5·lg7 B．lg35 C．35 D．

6、已知log
7
[log
3
(log
2< br>x)]=0，那么x
?
1
2
1
35

等于（ ）


42

A．


111
1
B． C． D．
3
2322

33

7 、若1b
x,c=log
a
x,则a,b,c的关系是 （ ）
A．a
8、解不等式：
a
x


9、化简:
（1）
n
?
x??
?
(x<π，n∈N
*
). （2）
4a?4a? 1
?
a?
n
2
2
２
?2x?2
＞a(a＞ 0且a?1)
。
?
?
1
?
?

2
?



10、若
3
x
2?2x?1?
4
x?y?0
，则x
2015
+y
201 6
=.



战术指导

指数数运算技巧：

1、根式化简求值问题，首先分清根式为奇次根式还是偶次根式，再利用根式性质进行化简求值。 2、式子中既有分数指数幂又有根式时，一般将根式统一化为分数指数幂形式，再利用有理指数幂性质进行< br>化简、求值。
对数运算技巧：


43

当对数的底数相同时，直 接利用对数的运算法则进行运算，注意真数之间的联系（若不会找联系可以
利用公式将真数化为质数来运 算）；当对数的底数不同时，可以考虑利用对数的运算法则第三条或换底公式
将底数变成相同再继续运算 。
直击高考

1、【2014?辽宁】已知a=

，b=log
2
，c=log，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C． c＞a＞b D．c＞b＞a



2、【2014?天津】设a=log
2
π，b=logπ，c=π
，则（ ）
﹣
2
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a

3、【2016?全国Ⅰ卷】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．a＜b
cc
B．ab＜ba
cc
C．alog
b
c＜blog
a
c D．log
a
c＜log
b
c




4、【2012?上海文】方程
4
x
?2
x?1
?3?0< br>的解是_________.


S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：根式



44

考点二：有理指数幂运算
考点三：无理数指数幂
考点四：指数与对数的互化
考点五：对数的运算
考点六：对数的互相表示
学霸经验

? 本节课我学到了





? 我需要努力的地方是

















45

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第06讲--- 基本初等函数(Ⅰ)的性质

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
⑥ 掌握指数函数的概念、图像和性质；
⑦ 体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机 画出具体对数函
数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
教学目标 ⑧ 掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数
y
=
a x
与对数函数
y
=log
a x
互为反函数. （
a
>0,
a
≠1）；
⑨ 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况；
⑩ 通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

前情回顾


（一）一次函数

解析式：y=kx+b(k ≠0)，当b=0时，y=kx（k ≠0）是正比例函数；
过两个定点：（0,b）,(-
?
图像：
b
,0)的一条直线；
k
（二）二次函数


46

解析式：一般式y=ax
2
+bx+c(a≠0)，当a=0且b≠0时，y=bx+c是一次函数；
顶点式y=a（x-h)
2
+k(a≠0),其中（h,k)为其顶点坐标；
交点式y=a（x-x
1)
(x-x
2
)(a≠0），其中（x
1< br>,0)，（x
2,
0）为其交点坐标。
图像：a
?
0,开口向上；a
?
0，开口向下；
4ac?b
2
bb
对称轴：-；顶点：（-，）；
4a
2a2a
（三）反比例函数
解析式：y=
图像：
k
(k ≠0)；
x
体系搭建

一、 知识框架


二、知识概念
（一）指数函数
对指数函数定义的理解：一般地，函数
y?a(a?0且a?1)
叫做指数函数。


47

x

1、定义域是
R
。因为指数的 概念已经扩充到有理数和无理数，所以在
a?0
的前提下，
x
可以是任意实数。
2、规定
a?0
,且
a?1
的理由：
x?
?
当x?0时，a恒等于0；
（1）若
a?0
，
?< br>
x
?
?
当x?0时，a无意义。
（2）若
a?0< br>，如
y?(?2)
，当
x?
x
x
11
、等时 ，在实数范围内函数值不存在。
42
（3）若
a?1
，
y?1?1
，是一个常量，没有研究的必要性。
为了避免上述各种情况，所以规定
a?0
,且
a?1
。
3、式上的严格性：
x
指数函数的定义表达式
y?a
中，
a
x
前的系数必须是1。自变量
x
在指数的位置上。比如
y?2a< br>x
,y?a
x
?1,y?a
x?1
等，都不是指数函数；有些 函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
y?a
?x
11
1
?(a?0且a?1)
，因为它可以化为
y?
?
，其中，且
?0? 1
。
??
aa
?
a
?
x
指数函数的图象和性质：

a?1

0?a?1

图象

定义域：
R


性
质
在
R
上是增函数
图像都过点
?
0,1
?

在
R
上是减函数
值域：
?
0,??
?


特别提醒：角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：
在< br>y
轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在
y
轴左侧，图像从上往下相应 的底数由小变大。即不
论在
y
轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。
比较幂值得大小：


48

底数相同：利用函数的单调性进行比较；
指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较； 方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角
坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律： 即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小
变大。
指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
指数方程的可解类型，可分为：
形如
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?
?
a?0,a?1
?
的方程，化为
f
?
x
?
?g
?
x
?
求解。
2
形如
a
2x
?b?a
x
?c?0
的方程，可令
t?a
x
进行换元，转化成
t?bt?c?0
?
t?0
?
一元二次方程进行< br>求解。
指数不等式的解法：
当
a?1
时，
a
解。
f
?
x
?
?a
g
?
x
?
与
f
?
x
?
?g
?
x
?
同解，当
0?a?1
时，
a
f
?
x
?
?a
g
?
x
?
与
f
?
x
?
?g
?
x
?
同
（二）对数函数
对数函数的定义：函数
y?l og
a
x
(a?0且a?1)
叫做对数函数。
对数函数的图像和性质：

a??

0?a?1

图
像

定义域：
?
0,??
?

性
值域：
R

质
过点
?
1,0
?
，即当
x?1
时，
y?0




49

x?(0,1)
时，
y?0
；
x?(1,??)
时， x?(0,1)
时，
y?0
；
x?(1,??)
时，
y ?0

y?0

在
?
0,??
?
上是增函数 在
?
0,??
?
上是减函数
比较对数值的大小，常见题型有以下几类：
1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；
2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；
3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。
对数不等式的解法：
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
当a?1时， log
a
f
?
x
?
? log
a
g
?
x
?
与
?
同解。
fx?0
?
??


?
f
?
x
?
?g
?
x
?
当0?a?1时，log
a
f
?
x
?
? log
a
g
?
x
?
与
?
同解。
fx?0
?
??
对数方程常见的可解类型有：
形如
log
a
f
?
x
?
?log
a
g
?
x
?
a?0且a?1,f
?
x
?
?0,g
?
x
?
?0
的方程，化成
f
?
x
??g
?
x
?
求解；
形如
F
?
log
a
x
?
?0
的方程，用换元法解；
形如
log< br>f
?
x
?
g
?
x
?
?c
的 方程，化成指数式
?
?
f
?
x
?
?
??g
?
x
?
求解
指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
c
??
（三）幂函数
定义：一般地，我们把形如
y?x
幂函数性质：
a
?
a?R
?
的函数叫做幂函数，其中
a
为常数。
1、所有的幂函数在
?
0,??
?
都有定义，并且图像都通过点?
1,1
?
；


50

2、如果
a?0
，则幂函数的图像经过原点，并且在区间
0,??
?
上为增函数；如果
a?0
，则幂函数
的图像不经过原点，并且在区间
?
0,??
?
上 为增函数
?
3、幂函数的图像及其奇偶性：
令
a
?
q
（
p
、
q
互质）
p
a
?
0

0
?
a
?
1

a
?
1

p
、
q
是奇数



y?x
q
p
（
p
、
q
互
质）
p
是奇数、
q
是偶数



p
是偶数、
q
是奇数

y


y?x

O
x

y
y?x
0

O
x

特别提醒：（1）当a > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,
??
) 上是增函数.（2）当a < 0 时，图象过定点
(1,1)；在(0,
??
)上是减函数；在第一象限内，图象向上及 向右都与坐标轴无限趋近.







51

如图
a,b,c,d,e,f
的大小关系为：

a?b?c?d?e?f



典例分析

考点一：指数函数
例1、下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝10
x
；②y＝10
x1
；③ y＝10
x
＋1；④y＝2·10
x
；
＋

⑤y ＝(－10)
x
；⑥y＝(10＋a)
x
(a>－10，且a≠－9)；
⑦y＝x
10
.



例2、比较下列各组数的大小：
(1)1.7
2.5,
1.7
3
；
(2)0.8
－
0.1,
0.8
－
0.2
；
(3)1.7
0.3,
0.9
3.1
；



例3、函数f(x)＝x
2
－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x) ，且f(0)＝3，比较f(b
x
)与f(c
x
)的大小．




考点二：对数函数
例1、求下列函数的定义域：
(1)
y?lg(2?x)
；
(2)y＝
1
；
log
3
(3x?2)


52

例2、比较下列各组中两个数的大小：
(1)log
2
3.4和log
2
8.5； (2)log
0.5
3.8和log
0.5
2；



例3、求函数y＝2
x
＋1(x<0)的反函数．





例4、函数y＝log
1
|x|的大致图象是( )
2







考点三：幂函数
例1、幂函数y＝x
m
，y＝x
n
，y＝ x
p
，y＝x
q
的图象如图，则将m、n、p、q的大小关系用“<”连接起 来结果是
________．











53

例2、比较下列各组数的大小







P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、函数y＝a
x
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝( )
1
A．
2
C．4


1
2、设a>1 ，函数f(x)＝log
a
x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于( )
2
A．4
C．2


3、函数y＝lg(x
2
－4x－5)的值域为( )
A．(－∞，＋∞)
C．(5，＋∞)

4、函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( )
A．(1,2)
C．(1,3)


B．2
1
D．
4
B．22
D．2
B．(－1,5)
D．(－∞，－1)
B．(2,1)
D．(3,1)

54

1
5、如图曲线是幂函数 y＝x
n
在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，相应于曲线C
1
、 C
2
、C
3
、C
4
2
的n依次为( )

11
A．－2，－，，2
22
11
C．－，－2,2，
22


6、下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图象不经过点(－1,1)
B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝x
a
是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限



7、函数y＝
x
|的图象大致为( )
1
2
11
B．2，，－，－2
22
11
D．2，，－2，－
22



8、设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2
x
－3，则当x<0时 ，f(x)＝________.







55

b－2
x
9、已知定义域为R的函数f(x)＝
x
是奇函数．
2＋a
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；







? 课后反击
1、已知函数y＝f(x)与y＝e
x
互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，
则实数a的值为( )
A．－e
1
C．
e



3x
2
2、函数f(x)＝＋lg(2＋5x－3x
2
) 的定义域是( )
1－x
1
－，2
?
A．
?
?
3
?
1
－2，
?
C．
?
3
??



3、设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数



1
B．－
e
D．e
1
－，1
?
B．
?
?
3
?
1
－∞，－
?
D．
?
3
??
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

56

4、 已知函数f(x)＝log
a
(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f
1
(x)的图象过点( 1,7)，则f(x)是( )
－
A．增函数
C．奇函数



B．减函数
D．偶函数
5、如图所示为幂函数y＝x
m
与y＝x
n
在第一象限内的图象，则( )

A．－1＜n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1


< br>6、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中 正确
的是( )
A．x>22%
C．x＝22%



7、某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成2
12
个需经
过( )
A．12h
C．3h


8、若函数
y?a?2a?3



?
log2
xx
9、已知函数f(x)＝
?
x
x
?
3< br>B．n＜0＜m＜1
D．n＜－1，m＞1
B．x<22%
D．x的大小由第一年产量确定
B．4h
D．2h
?
2
?
x
是一个指数函数，求实数
a
的取值范围。

1
，则f[f()]＝________.
4


57

10、已知函数f(x)＝
m?2mx
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．




?
2
?
?
m
2
?m?1?
，m为何值时，f(x)是
11、定义函数f(x)＝max{x
2
，x
2
}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
－



12、已知函数f(x)＝log
a
(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f
1
(x)；
－
(3)判断f
1
(x)的单调性．
－






直击高考

1、【2014?四川】 已知b＞0，log
5
b=a，lgb=c，5
d
=10，则下列等式一定成 立的是（ ）
A．d=ac


]


B．a=cd C．c=ad D．d=a+c


58

2、【2014?福建】若函数y =log
a
x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
A．


B． C． D．
3、【2014?山东】已知函数y =log
a
（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图
所示，则下 列结论成立的是（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1



4、【2009?湖南】若log
2
a＜0，＞1，则（ ）
C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0
D．0＜a＜1，0＜c＜1
A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0



5 、【2014?广西】函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（ x）的反函数
是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x）


6、【2008?天津】设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2
]满足方程log
a
x+log
a
y=3，这时a的取
值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}




59

C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）

7、【2010?安徽】设
A．a＞c＞b


，则a，b，c的大小关系是（ ）
D．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b
8、【2005?湖北】在 y=2
x
，y=log
2
x，y=x
2
这三个函数中，当0 ＜x
1
＜x
2
＜1时，使
恒成立的函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：指数函数
考点二：对数函数
考点三：幂函数

学霸经验

? 本节课我学到了






? 我需要努力的地方是




60

61

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
②会用二分法求函数零点的近似值。
授课日期及时段

T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第07讲--- 函数与方程

P实战演练 S归纳总结
①掌握函数的零点和二分法的定义；
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建
知识概念
（一）函数的零点
定义：一般地，如果函数
y?f
?< br>x
?
在实数
a
处的值等于零即
f
?
a
?
?0
，则
a
叫做这个函数的零点。对于
任意函数，只要它的图像 是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）
时函数值变号；相邻两个 零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：
函数零点个数的确定方法：
1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；
2、对于二次函数在某个闭区间上零 点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次
函数的图像进行；
3、对 于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间
a,b
上是连续不间断的，且f(a)f（b ）＜0，
还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
（二）二分法


??


62

定义：对于区间
a,b< br>上连续的，且
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
的函数
y?f
?
x
?
，通过不断地把函数f
?
x
?
的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼 近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：
用二分法求函数零点的近似值
第一步：确定区间
a,b
，验证：f(a)f（b）＜0，给定精确度；
第二步：求区间
a,b
得中点
x
1
；
第三步：计 算
f
?
x
1
?
；若
f
?
x
1
?
=0，则
x
1
就是函数零点；若f(a)f（）＜0，则令< br>b?x
1
；若f()f
（b）＜0，则令
a?x
1

第四步：判断是否达到精确度
?
，即若
a?b?
?
，则得到零点近似值
a
(或b)
，否则重复第二、
三、四步。
（三）二次函数零点的分布
2
设方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
,x
2
，且x
1
＜x
2
，相应的二次函数为
??
??
??
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c?0
，方程 的根即为二次函数图象与
x
轴的交点。根据方程的根的不同要求，所对应
的的
a,b,c
也需要满足不同的条件。
所对应的的要求如下表格所示：
分
布
情
况
两根都小于
k
即 两根都大于
k
即 一个根小于
k
，一个大于
k
即
x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k?x
2




63

大
致
图
象
（
k
k
k
a?0
）




得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k

?
?
2a
?
?
?< br>f
?
k
?
?0
?
??0
?
b
?
?k

?
?
2a
?
?
?
f< br>?
k
?
?0
f
?
k
?
?0

a?0
）





大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0< br>?
b
?
?k

?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
?
??0
?< br>b
?
?k

?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
f
?
k
?
?0


综
合
结
论
（
不
讨论
a
?
??0
?
b
?
??k

?
2a
?
?
?
a?f
?
k
?
? 0
?
??0
?
b
?
??k

?
2 a
?
?
?
a?f
?
k
?
?0
a? f
?
k
?
?0

）




64

分
布
情
况
两根都在
?
m,n
?
内
两根有且仅有一根在
?
m,n
?
内 一根在
?
m, n
?
内，另一根在
?
p,q
?
（图象有两种情况，只画了一 种）
内，
m?n?p?q

a?0
）



a?0
）




大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0< br>?
?
f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0

?
b
?
m???n
2a
?
?
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

?f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
或
?

?
fpfq?0
fp?0
????
??
?
?< br>?
?
f
?
q
?
?0
?

大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
?
f
?
m
?
?0
??
f
?
n
?
?0

?
b
?< br>m???n
2a
?
?
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

?f
?
?
f
?
?
f
?
f
?
?
m
?
?0?
n
?
?0
?
?
f
?
m
?< br>f
?
n
?
?0
或
?

?
p
?
?0
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
q
?
?0

（不
讨
论
a
综
合
结
论
—————— < br>f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

）

?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
?

?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
根在区间上的分布还有一种情况 ：两根分别在区间
?
m,n
?
外，即在区间两侧
x
1
?m,x
2
?n
，（图形分别



65

如下）需满足的条件是

??
?
f
?
m
?
?0
?
f
?
m
?
?0
（1）
a?0
时，
?
； （2）
a?0
时，
?

??
?
f
?
n
?
?0
?
f
?
n
?
?0
典例 分

考点一：函数零点的求解与判断
?
x
2
?2x ?3,x?0
例1、函数
f(x)?
?
的零点是：
?
?2?lnx,x＞0



例2、函数
f(x)?x?3?log
3
x
的零点一定在区间( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)


考点二：利用函数图象判断零点
例1、若关于x的方 程x
2
＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间 ，
求实数k的取值范围．






66

例2、求方程
x
2
?4?3?0
的根的个数



考点三：二分法
例1、函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．




例2、 求函数f(x)＝x
3
＋2x
2< br>－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．




67

考点四：二次函数零点的分布
例1、已知方程
4x?2(m?1)x?(2m?3) ?0(m?R)
有两个负根，求
m
的取值范围．




例2、求实数
m
的范围，使关于
x
的方程
x?2 (m?1)x?2m?6?0
．
（1）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（2）有两个实根
?
,
?
，且满足
0?
?
?1?< br>?
?4
．
（3）至少有一个正根．

2
2






68

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、二次函数y＝ax
2
＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．1个




2、函数y＝f(x)在区间[a，b ]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )
A．只有一个变号零点
B．有一个不变号零点
C．至少有一个变号零点
D．不一定有零点



3、用二分法求方程x
3
＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x
3
＋3x－7，算得f (1)<0，f(1.25)<0，
f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )
A．(1,1.25)
C．(1.5,1.75)



B．2个 C．0个 D．无法确定
B．(1.25,1.5)
D．(1.75,2)

69

4、函数f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)



5、讨论关于
x
的方程
x
2
?2x?3?t?0
的根的个数






6、已知二次方程
(3m?1)x
2
?(2m?3)x ?m?4?0
有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．





7、设
A?[?2,4)
，
B?{xx2
?ax?4?0}
，若
B?A
，求实数
a
的取值范围 ．






8、已知
a
是 实数，函数
f(x)?2ax?2x?3?a
，如果函数
y?f(x)
在区间
?
?11，
?
上有零点，求
a
的取
2
值范 围．



70

9、设关于
x
的方程
4?2
xx?1
?b?0(b?
R），
（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。





? 课后反击
1、若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数 ，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．一个
C．至少两个



2、若关于x的方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx
2
＋bx＋a的零点为 ( )
A．1,2
1
C．1，
2



3、若aA．(a，b)和(b，c)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内

B．两个
D．无法判断
B．－1，－2
1
D．－1，－
2
B．(－∞，a)和(a，b)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

71

4、已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x
2
－3x.则函数g(x)＝f(x )－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3}
C．{2－7，1,3}


a
5、已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函 数g(x)＝ax
2
－bx的零点是( )
x
A．－1或1
C．1或0


6、若函数f(x)＝x
3
＋x
2
－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.25)＝－0.984
f(1.438)＝0.165
f(1.5)＝0.625
f(1.375)＝－0.260
f(1.406 5)＝－0.052
B．0或－1
D．2或1
B．{－3，－1,1,3}
D．{－2－7，1,3}
那么方程x
3
＋x
2
－2x－ 2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2
C．1.4



7、已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
y
1
123.56
2
21.45
3
－7.82
4
11.45
5
－53.76
6
－128.88
B．1.3
D．1.5
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个
C．4个



8、给出以下结论，其中正确结论的序号是________．
①函数图象通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； < br>③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[ a，b]上一定有实根；


72

B．3个
D．5个

④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．


?
?
x＋bx＋c
9、 设函数f(x)＝
?
?
2
?
2
x
x

，
若f(－4)＝2,f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．


10、已知函数f(x)＝ax
3
－2ax＋3a－4在区间( －1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
32
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
17




战术指导

高中数学经典解题技巧
函数与方程及函数的应用是高中数学考试的必考内容，而且 是这几年考试的重点和难点，无论是期中、期末还是会考、
高考，都是高中数学的必考内容之一。
首先，解答函数与方程及函数的实际应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本 概念性问
题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：
1．函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解其零点与方程根的联系，判断一元二次方程 根的存在性及根的
个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
2．函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等


73

不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模 型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函
数模型）的广泛应用。
直击高考



1、【2014?山东】已知函数f（x）=丨x ﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，
则实数k的取值范围是 （ ）
A．（0，） B．（，1）
x2

C．（1，2） D．（2，+∞）
2、【2011 ?湖南】函数f（x）=e﹣1，g（x）=﹣x+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A． B．（2﹣，2+
a2
【解析】∵f（a）=g（b），∴e﹣1=﹣b+4b﹣3
∴﹣b+4b﹣2=e＞0即b﹣4b+2＜0，求得2﹣
x
2a2
）
＜b＜2+
C．[1，3] D．（1，3）
。
故选B
3、【2013?天津】函数f（x）=2|log
0.5
x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x
【解析】函数f（x）=2|log
0.5
x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（）．与y=|log
0.5
x|，如图，
由图可得零点的个数为2．故选B．
x
S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：函数零点的求解与判断
考点二：利用函数图象判断零点
考点三：二分法
考点四：二次函数零点的分布


74

名师点拨

解题技巧：
1、函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有
①零点或零点存在区间的确定；
②零点个数的确定；
③两函数图象交战的横 坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结
合法， 尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。
2、函数零点（方程的根）的应 用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，
解决该类问题关键是利用函数方程思想 或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。
学霸经验

? 本节课我学到了




? 我需要努力的地方是










75

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第8讲---函数的综合

P实战演练 S归纳总结
复习必修一的三章内容，并着重分析易错点。

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建
(一)集合
1．集合中元素的“三性”
确定性(能否构成集合)、无序性(书写)、互异性(检验参数)
注：验证元素的互异性和已知条件，一定要写清舍解的理由。
2．集合的表示方法
列举法、描述法、图示法
3．集合的分类
有限集、无限集、空集
对任意集合
A
及空集
?
，有
??A
，
?
4 ．元素与集合、集合与集合的关系
属于，包含，包含于，真包含，真包含于，相等
5．子集
若
x?A
，则
x?B
，称
A?B

(1 )子集个数的求法：含有
n
个元素的集合的子集个数是
2
个．【每个元素只有 选或者不选两种情况；
n个元素，就有
2
种情况.】
(2)子集问题注意不要遗漏空集
?
．


76

n
n


A??
，
?A? A
，
??
?
?
?
，
??
?
??
．

6．集合的运算
(1)交集——且
A
(2)并集——或
A
B?{xx?A
且
x?B}

B?{xx?A
或
x?B}

(3)补集
?
S
A?{xx?S
且
x?A}
【对应的全集是什么？】
7．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
步骤：先看二次项系 数
a
，若
a?0
，则两边同乘以
?1
，不等号方向改变，然 后求对应方程的根，根
据“大于
0
两根之外，小于
0
两根之间(当< br>a?0
时的符号)”写出解集。
(2)绝对值不等式的解法
< br>f
?
x
?
?a,
?
a?0
?
?f< br>?
x
?
??a
或
f
?
x
?
?a
.

f
?
x
?
?a,
?
a?0
?
??a?f
?
x
?
?a
.
(3)分式不等式的解法
步骤：移项通分(使不等式一边为
0
)—建立不等式 组(大于
0
分子分母同号，小于
0
分子分母异号)—得
到解集(注意 分母不为
0
).
第2步也可转化为分子分母的积大于
0
(小 于
0
)的形式(特别注意分母不为
0
).
(4)恒大于
0
(小于
0
)的问题

ax?bx?c ?0
恒成立
?a?0
且
b?0
且
c?0
，或
?
2
?
a?0

?
??0
?
a?0

?
??0
?
a?0

?
??0
ax?bx?c?0
恒成立
?a?0
且
b?0
且
c?0
，或
?
2

ax?bx?c?0
恒成立
?a? 0
且
b?0
且
c?0
，或
?
(二) 函数概念与基本初等函数(I)
1．映射与函数的定义
2
(1) 映射、函数这两个概念既有共性又有区别，在明白它们概念的基础上，体会函数是一种特殊的映射。
(2)
f:A?B
，
A
中元素：任意性；
B
中元素：存在性 ，唯一性
即：①
A?B
只能一对一或多对一；②
A
中元素不能有剩余，
B
中元素可以有剩余
(3) 函数的三要素是定义域、对应法则、值域【定义域相同且对应法则一致时函数是相同的。】


77

2．函数的单调性与奇偶性
(1)定义：单调性相对定义域内的某个区间而言，奇偶性相对整个定义域而言
本质：单调性是指自变量的大小与对应函数值的大小关系相同或相反的问题；
奇偶性是指自变量任取一组相反数时对应函数值相等或相反的问题。
(2)图象特征
单调性：增—图象上升，减—图象下降
奇偶性：奇—关于原点对称，偶—关于
y
轴对称
(3)常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)
(4)判断函数单调性的方法
①定义法：设元—作差—判断—定论
②图象法
③直接法
④复合函数单调性
(5)判断函数奇偶性
注：先判断函数的定义域是否关于原点对称
(6)单调性与奇偶性的综合应用
奇函数在关于原点对称的区间内单调性相同；偶函数在关于原点的对称区间内单调性相反
3．指数函数、对数函数、幂函数
(1)指、对数运算公式
(2)定 义：
y?a
x
?
a?0,a?1
?
，
y?log< br>a
x
?
a?0,a?1
?
，
y?x
?
?
?
?R
?

注：特别注意指数函数、对数函数、幂函数和指数型函数、对数型函数、幂型函数的区别。
(3)图象与性质
指、对数函数对底数
a
讨论(
a?1,0?a? 1
)，幂函数对指数
?
讨论(
?
?0,
?
?0,< br>?
?0
)
(4)比较大小(同底构造函数，不同底找中间值“0”“1”，图象判断)
“四同”：同底不 同指数构造指数函数，同指数不同底数构造幂函数，同底不同真数构造对数函数，同
真数不同底数转换为 同底倒数。
(5)解方程、不等式
关键：化为同底指数，或同底对数，利用单调性


78

(三) 函数的应用
1．方程的根与函数的零点
(1)零点的定义(对应方程的根，图象与
x
轴交点的横坐标)
(2)零点存在定理应用【注意函数的图像是连续不断的】，根的分布问题
(3)利用图象解方程、确定方程解的个数问题
方法：在同一直角坐标系中分别作出函数
y?f
?
x
?
,y?g
?
x
?
的 图象，则方程
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解的
个数就是两者图象交点的个数，方程的解就是交点的横坐标。
(4)二分法求方程的近似解
原理：函数
y?f
?
x
?
， 若
f
?
m
?
f
?
n
?
?0,m? n
，则存在
x
0
?
?
m,n
?
，使
f
?
x
0
?
?0
，即方程
f
?
x
?
?0
在区间
?
m,n
?
有解。
2．二次函数的零点：
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个
交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax? bx?c?0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个
交点，二次函数有 一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，二 次函数的图象与
x
轴无交点，二次
函数无零点．
2
2
2
2
典例分析

考点一：忽视空集

1?x?2p－1}
．若
B?A
，求实数
p
的取值范围．例1、已知集合
A?{x|x?3x?10?0},B?{x|p＋




2


79

考点二：集合的含义
例 1、已知集合
A?{x|y?1?x
2
}
，
B?{y|y?t,t? A}
，求
B


考点三：忽视定义域
例1、已知
?
x?2
?



例2、记< br>f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
，若不等式< br>f
?
x
?
?0
的解集为
?
1,3
?
，试解关于t的不等式
2
2
A

y
2
?? 1
,求
x
2
?y
2
的取值范围
4
f?
t?8
?
?f
?
2?t
2
?
。



例3、已知奇函数
f(x)
是定义在
(?3 ,3)
上的减函数，且满足不等式
f(x－3)?f(x－3)?0
,求
x< br>的取值
范围.



考点四：忽视奇偶函数的前提【定义域关于原点对称】
例1、判断函数
f(x)?


2
lg
?
1?x
2
?
x?2?2
的奇偶性。



80

考点五：反函数问题
例 1、已知函数
f
?
x
?
?
1?2x
，函数
y?g
?
x
?
的图像与
y?f
?1
?
x? 1
?
的图象关于直线
y?x
对称，则
1?x
y?g
?
x
?
的解析式为（）
A、
g
?
x
?
?




例2、已知函数y=log
2
x的反函数是y=f(x)，则函数y= f(1-x)的图象是（）
-1-1
3?2x2?x1?x3
B、
g
?
x
?
?
C、
g
?
x
?
?
D、
g
?
x
?
?

x1?x2?x2?x



考点六：关于反比例函数的问题
例1、求函数
y?



例2、若
(a?1)






?
1
3
1
的定义域和值域
2
x
?1
?(3?2a)
?
1
3
，试求
a
的取值范围.


81

考点七：证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则
例1、试判断函数
f
?
x
?
?ax?






考点八：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据 性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的
真数的限制条件
例1、是否存在实数a使函数< br>f
?
x
?
?log
a
ax
由。





考点九：含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的
例1、解关于
x
的不等式






2
b
?
a?0,b?0
?
的单调性并给出证明。
x
?x
在
?
2,4
?
上是增函数？若存在求出a的 值，若不存在，说明理
a(x?1)
＞1(
a
≠1).
x?2


82

考点十：求函数的定义域与求函数值域错位
例1、已知函数
f
?
x
?
?lg
?
m?3m?2x?2
?
m?1
?
x?5
?
（1）如果函数
f
?
x
?
的定义域为R 求实数
22
?
??
?
m的取值范围。（2）如果函数
f?
x
?
的值域为R求实数m的取值范围。




考点十一：函数与方程及不等式的联系与转化。
例1、已知二次函数
f( x)
满足
f(?1)?0
，且
x?f(x)?
1
2
(x?1)
对一切实数
x
恒成立.
2
(1)
求
f(1)
；
(2)
求
f(x)
的解析式；




考点十二：对于不等式的恒成立问题，如何将问题如何转化成所熟悉的问题
例1、已知函数
f(x)?
11
?(a?0,x?0)
。
ax
⑴求证：
f(x)在(0,??)
上是增函数；（2）若
f(x)
在
[m,n]
的值域为
[m,n](m?n)
，求实数
a
的取值范围，
并求相应的
m,n
的值；（3）若
f(x)?2x在(0,?? )
上恒成立，求实数
a
的取值范围。





83

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击 < br>1、已知
A?{x|x?3x?2?0},B?{x|ax?2?0}
且
A



2、已知集合M={
y
|
y
=
x
＋1,x∈R},N={y|
y
=
x
＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）



3、已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac}．若A=B，求c的值．






4、 设M＝｛a，b，c｝，N＝ ｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
（2）从M到N的映射满足
f
(a)>
f
(b)
2

2
B?A
，求实数
a
组成的集合C．
2
≥f(c),试确定这样的映射
f
的种数.







84

5、设
f(x)
是R上的函数，且满足
f(0)?1,
并且对任意的实数
x,y
都有
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
，求
f(x)
的表达式.





6、已知函数
f
(
x
)在(－1，1)上有定义，
f
(
有
f
(
x
)+
f
(
y
)=
f
(
1
)=－1,当且 仅当0<
x
<1时
f
(
x
)<0,且对任意
x、
y
∈(－1,1)都
2
x?y
),试证明：
1?x y
(1)
f
(
x
)为奇函数；(2)
f
(
x
)在(－1，1)上单调递减








1?2
x
?4
x
?a
7、已知函数< br>f
(
x
)=
lg
, 其中
a
为常数，若当
x
∈(－∞, 1］时,
f
(
x
)有意义，求实数
a
的
a
2
?a?1
取值范围 .









85

? 课后反击
2
1、设集合
A?{x|x?4x?0}
，
B?{x|x?2(a?1)x?a?1? 0}
，
A
22
B?B
，求实数
a
的值．



2、求函数
y?5?4x?x
2
的单调增区间



3、判断函数
f(x)?(1?x)
1?x
的奇偶性.
1?x




4、
设A是实数集，满足若a∈A ，则
1
?
A，
a?1
且1?A.
1?a
⑴若2∈ A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.
⑶若a∈A，证明：1－









1
∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
a


86

5、已知函数
f(x)?log
a
(3?ax)
.
（1） 当
x?[0,2]
时
f(x)
恒有意义，求实数
a
的取值范 围.
（2）是否存在这样的实数
a
使得函数
f(x)
在区间[1， 2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求
出
a
的值；如果不存在，请说明理 由.






6、已知函数
f(x )?x?ax?3?a
若
x?[?2,2]
时，
f(x)
≥0恒成立 ，求
a
的取值范围.





7、已知函数
f(x)?x?2bx?c(c?b?1),f(1)?0
，且方程
f(x)?1?0
有实根.
(1)求证：-3(2)若 m是方程
f(x)?1?0
的一个实根，判断
f(m?4)
的正负并加以证明







2
2


87

战术指导

解不等式对学 生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，
对解不等式的考 查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
直击高考

1、【2012?全国Ⅰ卷?理】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A， y∈A，x﹣y∈A}，则B中所
含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10






2、【2016?全国Ⅰ卷?理】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．a＜b






cc
B．ab＜ba C．alog
b
c＜blog
a
c
cc
D．log
a
c＜log
b
c


88

3、【2014?全国Ⅰ卷?理】 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
则下列结论正确 的是（ ）
A．f（x）?g（x）是偶函数 B．|f（x）|?g（x）是奇函数
C．f（x）?|g（x）|是奇函数 D．|f（x）?g（x）|是奇函数




S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：忽视空集
考点二：集合的含义
考点三：忽视定义域
考点四：忽视奇偶函数的前提【定义域关于原点对称】
考点五：反函数问题
考点六：关于反比例函数的问题
考点七：证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则
考点八： 在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函
数的真数的限 制条件。
考点九：含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
考点十：求函数的定义域与求函数值域错位
考点十一：函数与方程及不等式的联系与转化。
考点十二：对于不等式的恒成立问题，如何将问题如何转化成所熟悉的问题



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名师点拨

1、在解答集合问题时，要 注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。
有时需要进行检验求解的 结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语
言）和自然语言之间的转 化如：
A?
?
?
x,y
?
|x
2
?y2
?4
?
，
B?
?
?
x,y
?
|
?
x?3
?
?
?
y?4
?
22
?r
2
，其中
?
r?0
,若
AB?
?
求 r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以
原点为圆心以2的半径 的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相
离或内含时，求半径 r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也
要注意集合语言的应 用。
2、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性 时一定要
先研究函数的定义域。
3、单调性的定义等价于如下形式：
f
?< br>x
?
在
?
a,b
?
上是增函数
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
，
f
?
x
?
在
?
a,b
?< br>上
x
1
?x
2
是减函数
?
f
?x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
， 这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点
x
1
?x
2
22
?
x,f
?
x
?
?
,
?
x ,f
?
x
?
?
连线的斜率都大于（小于）零。
11
4、
f
?
x
?
?ax?
b
?
a?0,b ?0
?
是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说
x
?
b
??
b
?
,??0,
上为增函数，在
??? ?
?
a
???
a
????
?
b
?
?
?
?
a
,0
?
?
上为减函数,在叙述函数的单调
??
?
b
?
??,?
f
?
x
?< br>在
??
??
a
??
区间时不能在多个单调区间之间添加符号“ ∪”和“或”。
5、对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进 行讨论即函数是一次
函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们 要认真体会这种函数
与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本 题中函数的定义域和
值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数 值必须取遍所有的正
值二者有本质上的区别。


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学霸经验

? 本节课我学到了









? 我需要努力的地方是

















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