高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

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高中数学典型例题分析
第八章 平面向量与空间向量
§8.1平面向量及其运算
一、
、疑难知识导析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”
向量是既有大小，又有方向的量．向量的 模是正数或0，是可以进行大小比较的，
由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的 模相等，方向相同，我们
称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量 都是共线
向量；
2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；
3．对于坐标 形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两
个公式，切不可混淆。因此，建 议在记忆时对比记忆；
4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开
计算的；
5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的
坐标给出 ，同时注意顺序。
二知识导学
1.模（长度）：向量
AB
的大小，记作|
AB
|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１
个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
??
4.相反向量：我们把与向量a
长度相等，方向相反的向量叫做
a
的相反向量。记作-
a
。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
??
??
已知
a
，
b
。在平面内任取一点，作
AB
=
a
，
BC=
b
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和。
?
?
记作
a
+
b
。
?
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
???
???
已知
a
，
b
。在平面内任取一点O，作
OA
=
a
，
OB
=
b
，则向量
BA
叫做
a
与
b
的差。
?
?
记作
a
-
b
。
7.实数与向量的积：
??
（1）定义： 实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，并规定：
①λ
a
的长度|λ
a
|=|λ|·|
a
|；
??
②当λ＞0时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；
当λ＜0时，λ
a
的方向与
a
的方向相反；
?
?
当λ＝0时，λ
a
=
0

（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则
??
①λ(μ
a
)=(λμ)
a

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??
?
??

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②(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a

③λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

?
?
8.向量共线的充分条件：向量
b
与非零向量
a
共线的 充要条件是有且只有一个实数λ，
?
?
使得
b
＝λ
a
。
??
??
另外，设
a
=（x
1
,y
1
）,
b
= (x
2
,y
2
)，则
a

b
?
x
1
y
2
－x
2
y
1
=0
??
???
9.平面向量基本定理：
?
??
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且
只有一对实数λ
1< br>、λ
2
?
????
使
a
＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
，其中不共线向量
e
1< br>、
e
2
叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P
1
，P
2
是直线l上的两点，点P是 不同于P
1
，P
2
的任意一点则存在一个实数λ,使
P
1< br>P
2
=λ
P
1
P
2
，λ叫做分有向线段所成 的比。若点P
1
、P、P
2
的坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x,y)，
(x
2
,y
2
)，则有

x
1
?x
2
?
x?
?
2
特别当λ =1，即当点P是线段P
1
P
2
的中点时，有
?

y
1
?y
2
?
y?
2
?
11.平面向量的数量积
???
???
(1)定义：已知两个非零向量
a< br>和
b
，它们的夹角为θ，则数量|
a
||
b
|cos θ叫做
a
与
b
的
??
???
数量积(或内积)，记 作
a
·
b
，即
a
·
b
＝|
a||
b
|cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积是0。
???< br>????
(2)几何意义：数量积
a
·
b
等于
a的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b< br>|cosθ的乘积。
??
????
(3)性质：设
a
，b
都是非零向量，
e
是与
b
方向相同的单位向量，θ是
a
与
e
的夹角，则
??
???????
e
·
a
＝
a
·
e
＝|
a
|cosθ ，
a
⊥
b
?
a
·
b
＝0
???
???
当
a
与
b
同向时，
a
·
b
＝|
a
||
b
|
???
???
当
a
与
b
反向时，
a< br>·
b
＝－|
a
||
b
|
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特别地，
a
·
a
＝|
a
|
2
或|
a
|＝
a?a

?
?
??
??
a?b
cosθ＝
?
?
|
a
·
b
|≤|
a
||
b
|
a?b
????
??
(4)运算律：
??
??

a
·
b
＝
b
·
a
(交换律)
???
???
(λ
a
)·
b
＝λ(
b
·
a
)＝
a
·(λ
b
)
??
?????
(
a
＋
b
)·
c< br>＝
a
·
c
＋
b
·
c

（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：
?
?
设
a
=（x
1
,y
1
）,
b
= (x
2
,y
2
)，则
???
?? ?
a
?
b
?
a
·
b
=|
a
|·|
b
|cos90°=0
?
?
a
?
b?
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
12.平移公式：
设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F

上对应点为P

（x

，y

），且设
，则由
OP
PP
的坐标为（h，k）



＝
OP
＋
PP

，得：（x

，y

）＝（x，y）+（h，k）
三、经典例题导讲

?
[例1] 和
a
= (3,－4)平行的单位向量是_________；
??
1
错解：因为
a
的模等于5，所以与
a
平行的单位向量就是
5
错因：在求解平行向量 时没有考虑到方向相反的情况。
??
1
正解：因为
a
的模等于5， 所以与
a
平行的单位向量是
?
5
?
34
a
，即 ( ，－ )
55
?
3434
a
，即( ，－ )或(－ ， )
5555
?
点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求 解“和
a
= (3,－4)垂直
的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2 ]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第
四 个顶点D的坐标。
错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标
为（-2，3）。
错因：思维定势。习惯上，我们认 为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在
这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。因此，还需要分类讨论。
正解：设D的坐标为（x，y）
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当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的
坐标为（-2，3）；
当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D
的坐标为（6，-1）；
当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐
标为（0，5）。
故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P
1
(3,2)，P
2
（8，3），若点P在直线P
1
P
2
上，且满足|P
1
P|=2|PP
2
|，求点P的坐
标。
错解：由|P
1
P|=2|PP
2
|得，点P 分P
1P
2
所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（
198

,< br>）
33
错因：对于|P
1
P|=2|PP
2
|这个等 式，它所包含的不仅是点P为 P
1
，P
2
的内分点这一种情况，
还有点P是 P
1
，P
2
的外分点。故须分情况讨论。
正解：当点P为 P
1
，P
2
的内分点时，P 分P
1
P
2
所成的比为2，此时解得P（
198
,
）；
33
当点P为 P
1
，P
2
的外分点时，P 分P
1
P
2
所成的比为-2，此时解得P（13，4）。
则所求点P的坐标为（
198
,
）或（13，4）。
33
点评：在 运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的
数学思想。
?
?
?
?
?
?
[例4] 设向量
a?( x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
b?0
，则“
ab
”是“
x
1y
2
?x
2
y
1
”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．
?
?
?
?
?
?
解：若
ab
，∵
b? 0
，则
a?rb
，代入坐标得：
(x
1
,y
1)?r(x
2
,y
2
)
，即
x
1
?r x
2
且
y
1
?ry
2

．
消去< br>r
，得
x
1
y
2
?x
2
y
1
；
反之，若
x
1
y
2
?x
2
y
1
，则
x
1
?rx
2
且
y
1< br>?ry
2
，即
(x
1
,y
1
)?r(x2
,y
2
)

?
?
?
?
则
a?rb
，∴
ab

?
?
故“
ab
”是“
x
1
y
2
?x
2
y
1 ”的充要条件．
答案：C
点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．
??
????
[例5]．已知
a
=（1，-1），b=（-1，3），
c
=（3，5），求实数x、y，使
c
=x
a
+yb ．
分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．
解：由题意有
?
?
x
a
+y
b
=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．
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又
c
=（3，5）
∴x-y=3且-x+3y=5
解之得 x=7 且y=4
点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．
[例6]已知A（-1，2），B（2，8），
AC
=
的坐标．
分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量
AC

AB
，
DA
和
CD
关系进行坐标
运算，用方程思想解之．
解：设C、D的坐标为
(x
1,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，由题意得

AC
=（
x
1
?1,y
1
?2
），
AB
=（3，6），
DA
=（
?1?x
2
,2?y
2
），
BA
=（-3，-6）
又
AC
=
1
3
1
3
?
-
AB
，
DA
=
1
3
BA
，求点C、D和向量
CD
AB
，
DA
= -
1
3
1
3
BA

1
3
∴（
x
1
?1,y
1
?2
）=（3，6）， （
?1?x
2
,2?y
2
）=-（-3，-6）
即 (
x
1
?1,y
1
?2
)=(1,2) ， (
?1?x
2
,2?y
2
)=(1,2)
∴
x
1
?1?1
且
y
1
?2?2
，
?1?x
2
?1
且
2?y
2
?2

∴
x
1
?0
且
y
1
?4
，且
x
2
??2

y
2
?0

∴点C、D和向量
CD
的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）
小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．



§8.2平面向量与代数、几何的综合应用
一、疑难知识导析
1．初中学过的 勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当
C
=
有
c?a?b
；
2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥
曲 线等知识非常熟悉方可。
222
?
2
时，
cosC
=0， 此时
二、
知识导学
1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减 去这两边与它们夹角的余
弦的积的2倍,即
a
2
?b?c?2bccosA

22
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222
b?a?c?2accosB

c
222
?a?b?2abcosC

2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直
径，即


三 经典例题导讲
[例1]在ABC中，已知a＝b＋bc＋c，则角A为( )
A．
?
3
222
a
sinA
?
b
sinB
?
csinC
?2R

B．
?
6
C．
2
?
3
D．
?
3
或
2
?
3

错解：选A
错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解：∵a＝b＋bc＋c＝b＋c－2bc(－
∴∠A＝
选 C.
[例2]在△ABC中，已知
acosA?bcosB
，试判别其形状。
错解：等腰三角形。
错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由
acos A?bcosB
得，
sinAcosA?sinBcosB
，即
sin2A? sin2B
，则
2A?2B
。接着下结论，所求三角形为
等腰三角形
正解：由
acosA?bcosB
得，
sinAcosA?sinBcosB
，即
sin2A?sin2B

则
2A?2B
或
2A?2B?180
，故三角形为直角三角形或等腰三角形。
0
22222
1
2
)＝b＋c－2bc·cos
22
2
?
3

2
?
3

[例3]在中，，其内切圆面积为，求
面积。
分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直 接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理
又由边联系起来了。
解：由已知,得内切圆半径为2
3
. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.
[例5]已知定点A(2,1)与定直线
l
:3x-y+5=0,点B在
l
上移动,点M在线段AB上,且分AB的
比为2,求点M的轨迹方程.
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分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系
的新纽带 .
解:设B(x
0
,y
0
),M(x,y)
∴
AM
=(x-2,y-1),
MB
=(x
0
-x ,y
0
-y),由题知
AM
=2
MB

3x?2< br>?
x?
0
?
?
x?2?2(x
0
?x)?
2
∴
?

?

?

y ?1?2(y?y)
3y?1
0
?
?
y?
0
?2
?
由于3x
0
-y
0
+5=0,∴3×
3x ?2
2
-
3y?1
2
+5=0
化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0


[例4]在
三角形的形状。
中，试求周长的最大值。并判断此时
错解：由于 题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最
值
错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。
正解：由正弦定理,得a=2(
6?
a+b=2(
6?
A?B
2
2
)sinA, b=2(
6?
6?2
)sin
2
)sinB.
A?B2
2
)(sinA+sinB)=4(cos
A?B
2

sin=sin75
o
=
6?
4
2

a+b=(
6?2
)
2
cos
A?B
2
≤(
6?2
)
2
=8+4
3
.
3
+
6?2
. 此时三角形为等腰三角形 当a=b时,三角形周 长最大,最大值为8+4
[例6]过抛物线:y
2
=2px(p>0)顶点O作两条互 相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一
定点,并求出这一定点.
分析: 对于 向量
a
=(
x
1
,
y
1
),
b< br>=(
x
2
,
y
2
),有
a

b
?
x
1
y
2
-
x
2
y
1
=0.可以用来处理解析几何中的三
点共线与两直线平行问题.
t
12
证明:由题意知可设A点坐标为(
2p
,t
1
),B点坐标为 (
t
2
2
2p
,t
2
) ∴
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OA
=(
t
1
2
2p
,t
1
),
OB
=(
t
2
2
2p
,t
2
),
∵OA⊥OB,∴
OA
?
OB
=0
?
t
1
2
2p
?
t
2
2
2p
+t
1?t
2
=0
①
t
2
2
?
t
1
?t
2
=-4p
2
设直线AB过点M(a,b),则< br>BM
=(a-
2p
,b-t
2
),
BA
=(
t
1
2
2p
-
t
2
2
2p
,t
1
-t
2
),
由于向量
BM
与
B A
是共线向量,∴（a-
化简得2p(a-2p)=b(t
1
+t
2
)
t
2
2
2p
）(t
1
-t
2
)= (b-t
2
)(
t
1
2
2p
-
t
2
2
2p
)
显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立
∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)

四 典型习题导练
1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．
5
＜x＜
13
C．
13
＜x＜5 D．1＜x＜
5

2．三顶点，则的面积为__ _。
3．△ABC中，若边a：b：c＝
2
：(1＋
3
)：2，则内角A＝ 。
4．某人在C点 测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10
米到0，测得塔顶A仰角 为30°，则塔高＝ 。
5．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判断三角形的形状。
，判定△ABC是什么三角形。 6．在△ABC中，已知
cotA?cotB?cotC
＝


※§8.3空间向量及其运算

一、知识导学
1 空间直角 坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为
1
，这个基底叫单
? ??
位正交基底，用
{i,j,k}
表示；（2）在空间选定一点
O
和一个单位正交基
??????
底
{i,j,k}
，以点
O
为原点，分别以
i,j,k
的方向为正方向建立三条数轴：
z
A(x,y,z )
k
i
O
j
y
x
轴、
y
轴、z
轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
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x

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???
O?xyz
，点
O
叫原点，向量
i,j,k
都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为
xOy
平面，
yOz
平面，
zOx
平面；
2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角 坐标系
O?xyz
中，对空间任一点
A
，存在唯一
的有序实数组(x,y,z)
，使
OA?xi?yj?zk
，有序实数组
(x,y,z )
叫作向量
A
在空间
直角坐标系
O?xyz
中的坐标，记作
A(x,y,z)
，
x
叫横坐标，
y
叫纵坐标，
z
叫竖坐标．
??
3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若
a?(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，
????
则
a?b ?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
，
a?b?(a
1
?b
1< br>,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)，
???
?
a?(
?
a
1
,
?a
2
,
?
a
3
)(
?
?R)
，
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
，
????

ab?a
1< br>?
?
b
1
,a
2
?
?
b
2
,a
3
?
?
b
3
(
?
?R)，
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2?a
3
b
3
?0
．
????
（2）若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
，
B(x2
,y
2
,z
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点
的坐标
?
?
4 模长公式：若
a?(a
1
,a
2
,a
3
)
， 则
|a|?
??
a?a?a
1
?a
2
?a
3
．
222
??
??
a? b
?
?
5．夹角公式：
cosa?b?
?
|a|?|b|< br>a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a
1
?a
2
?a
3
222
b
1
?b
2
?b
3
2
222
．
????????
6．两点间的距离公式：若
A(x
1
,y
1
,z
1
)
，
B(x
2
,y
2
, z
2
)
，则
|AB|?AB?x(
2
?x)
1?y(
2
2
?y)
1
?z(
2
?z)
1
22


二、疑难知识导学
1、对于这部分的一些知识点，读者 可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，
哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便 于记忆；
2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特
别是体会 其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为
用向量解决，如何取向 量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距
离用向量怎样来表达是问题的关键．
3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：
(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直；
(2)求空间两点间的距离；
(3)求两条异面直线所成的角.
4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。

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三、经典例题导讲
[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（ ）



A B C D
错解：B、C、D中任选一个
错因：对于空间直角坐标 系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只
要符合右手系的规定，就可以作为空间直角 坐标系．
正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．

[例2] 已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，
使它们与A、B两点等距离．
错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。
分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x
的值．类似可求得点M、N的坐标．
解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．
由题意，得
(x＋3)
2
＋1＋1＝(x＋2)
2
＋4＋9，
9＋(y＋1)
2
＋1＝4＋(y－2)
2
＋9，
9＋1＋(z－1)＝4＋4＋(z－3)．
分别解得
x?3.y?1,z?
3
2
22
，
3
2
故
L(3,0,0),M(0,1,0),N(0,0,)
< br>评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x
1，
y
1
，z
1
)、(x
2
，y
2，z
2
)，则P、Q的距离为
PQ?(x
2
?x
1< br>)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)

222
必须熟练掌握这个公式．
????
??
??
[例3]设
a?(a
1
,a
2
,a
3
)< br>，
b?(b
1
,b
2
,b
3
)
，且
a?b
，记
|a?b|?m
，求
a?b
与
x
轴正方
向的夹角的余弦值
?
错解：取
x
轴上的任一向量
c?(x,0,0)
，设所求夹角为
?
，
???
∵
(a? b)?c?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
, a
3
?b
3
)?(x,0,0)?(a
1
?b
1< br>)x

???
(a?b)?c(a?b
1
)xa
1< br>?b
1
?
?
1
∴
?
cos
?
?
??
，
?
mxm
|a?b|?|c|
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即余弦值为
?
a
1
?b
1
m

错因：审题不清。没有看清“
x
轴正方向”，并不是
x
轴
?
正解：取
x
轴正方向的任一向量
c?(x,0,0)
，设所求夹角 为
?
，
???
∵
(a?b)?c?(a
1
?b< br>1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3)?(x,0,0)?(a
1
?b
1
)x

???(a?b)?c(a?b
1
)xa
1
?b
1
?
?
1
∴
cos
?
?
??
，即为所求
?
mxm
|a?b|?|c|
[例4]在ΔABC中，已知
AB
＝(2,4,0),
BC
＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
????????
解：
?
BA?(?2,?4,0),BC?(?1,3,0),

cos?BA,BC??
BA?BC
|BA||BC|
?
2?12< br>25?10
=
?
2
2

∴∠ABC＝135°
[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，
⑴求以向量
AB,AC
为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量
a
分别与向量
AB,AC
垂直，且|
a
|＝
3
， 求向量
a
的坐标
???
分析：⑴
?AB?(?2,?1,3),A C?(1,?3,2),?cos?BAC?
AB?AC
|AB||AC|
?
1
2

∴∠BAC＝60°，
?S?|AB||AC|sin60
?
?73

⑵设
a
＝(x,y,z)，则
a?AB??2x?y?3z?0,

3?x?y?z?3

??
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a
＝(1,1,1)或
a
＝(－1，－1，－1).
a?AC?x?3 y?2z?0,|a|?
222
?
[例6]已知正方体
AC
1
的棱长为
a
，
E
是
CC
1
的中点，
O< br>是对角线
BD
1
的中点，
求异面直线
CC
1
和
BD
1
的距离
解： 以
D
为原点，
DA,DC,DD
1
所在的直线分别为
x轴，
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系，
则
A(a,0, 0),B(a,a,0),C(0,a,0)

A
1
D
1
B
1
O
D
A
B
C
C
1
E
B
1
(a,a,a),A
1
(a,0,a),D(0,0,0)
，
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设
E(x,y,z)
，
∵
E
在平面
A
1
DB
上，
?????? ????????
∴
A
1
E?
?
A
1
D?
?
A
1
B
，即
(x?a,y,z?a)?
?
(?a,0,?a)?
?
(0,a,a)
，
?
x?a?
?
a
?
∴
?
y?
?
a
，
?z?a?
?
a?
?
a
?
?????????????? ???
?
(x,y?2,z)(?a,0,?a)?0
∵
CE?A
1
D,CE?BD
，∴
?
，
(x,y?2,z)(?a,?a,0) ?0
?
????
111
3
解得：
?
?
?< br>?
，∴
CE?(a,?a,?a)
，∴
CE?a
．
3333
3
2
另外,此题也可直接求
B
1
C
与BD
间的距离
设
B
1
C
与
BD
的公 垂线为
OO
1
，且
O
1
?B
1
C,O?B D
，
????????
设
O(x,y,z)
，设
DO?< br>?
BD
，
?
x??
?
a
?
则(x,y,z)?
?
(?a,?a,0)
，∴
?
y??
?
a
，∴
O(?
?
a,?
?
a,0)
，
?
z?0
?
同理
O
1
(
?
a,a ,
?
a)
，
????????????????????????
∴
OO
1
?((
?
?
?
)a,a?
?a,
?
a)
，∴
OO
1
?BD,OO
1
?B
1
C
，
???????????????????
OO?BD?0,OO?BC?0
， ∴
111
?????
?????
111
3
a
． 解 得：
?
??,
?
?
，
OO
1
?
( ?a,a,a)
，
|OO
1
|?
33333
3
21
四、典型习题导练
1．已知向量
a?(0,2,1),b?(?1,1,?2),则a与b
的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
2．设A、B、C、D是 空间不共面的四点，且满足
AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0



则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
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3．已知
a,b
是空间二向量，若
|a|?3,|b|?2,| a?b|?7,则a与b
的夹角为 .
4．已知点G是△ABC的重 心，O是空间任一点，若
OA?OB?OC?
?
OG,则
?
的值为
.
5．直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，BC
1
⊥AB
1
，BC
1
⊥A
1
C
求证：AB
1
=A
1
C






6．如图，直三棱柱ABC—A
1
B
1
C1
，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA
1
=2，M、 N
分别是A
1
B
1
，A
1
A的中点，





（1）求
BN的长;

（2）求
cos?BA
1
,CB
1
?的值;

（3）
求证:A
1
B?C
1
M.


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