1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(集合部分)解析

高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
第一章 集合
集合 是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学
的基础.它的基础性体 现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函
数、数列、方程与不等式、立体几何 与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛
中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不 仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学
大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问 题.

第一节 集合的概念与运算
【基础知识】
一．集合的有关概念
1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的
元素.
2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
3．集合的分类：无限集、有限集、空集
?
.
4. 集合间的关系：
二．集合的运算
1．交集、并集、补集和差集
差集：记A、B是两个集合，则所有 属于A且不属于B的元素构成的集合记作
AB
.
即
AB?{x?A
且
x?B}
.
2.集合的运算性质
(1)
A?A?A
,
A?A?A
(幂等律);
(2)
A?B?B?A
,
A?B?B?A
(交换律);
(3)
(A?B)?C?A?(B?C)
,
(A?B)?C?A?(B?C)
(结合律);
(4)
A?(B?C)?( A?B)?(A?C)
,
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
(分配律);
(5)
A?(B?A)?A
,
A?(A?B)?A
(吸收律);
(6)
C
U
(C
U
A)?A
(对合律);
(7)
C
U
(A
?
B)
?
(C
U
A)
?
(C
U
B)
,
C
U
(A?B) ?(C
U
A)?(C
U
B)
(摩根律)
(8)
A (B?C)?(AB)?(AC)
,
A(B?C)?(AB)?(AC)
.
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1

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3.集合的相等
(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;
(2)利用定义,证明两个集合互为子集;
(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;
( 4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集
合相等的必要条 件.
【典例精析】
【例1】在集合
{1,2,?,n}
中,任意取出一个 子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之
和是 .
〖分 析〗已知
{1,2,?,n}
的所有的子集共有
2
个.而对于
?i? {1,2,?,n}
,显然
{1,2,?,n}
中
包含
i
的 子集与集合
{1,2,?,i?1,i?1,?,n}
的子集个数相等.这就说明
i< br>在集合
{1,2,?,n}
的所有子集中一共出现
2
n?1
n
次,即对所有的
i
求和,可得
S
n
?2
n?1n?1
(
?
i).

i?1
n
【解】集合{1,2,?,n}
的所有子集的元素之和为
2
=
n?(n?1)?2< br>n?1
.

(1?2?
?
?n)?2
n?1
?
n(n?1)

2
〖说明〗本题的关键在于得出
{1,2,?,n}
中包含
i
的子集与集合
{1,2,?,i?1,i?1,?,n}
的
子集个数相等.这种一一 对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.
222
【例2】已知集合
A?{x|x?3x?2?0},B?{x|x?4ax?3a?0}
且
A?B
,求 参数
a
的取值范围.
〖分析〗首先确定集合A、B,再利用
A?B
的关系进行分类讨论.
【解】 由已知易求得
A?{x|?2?x??1},B?{x|(x?a)(x?3a)?0}
当
a?0
时,
B?{x|a?x?3a}
,由
A?B
知 无解;
当
a?0
时,
B?
?
,显然无解;
当
a?0
时,
B?{x|3a?x?a}
,由
A?B解得
?1?a?
综上知,参数
a
的取值范围是
[?1,]
.
〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.
2
.

3
2
3
2
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【例3】已知
x ?R,y?R
?
,集合
A?{x?x?1,?x,?x?1},B?{?y,?
则
x
2
?y
2
的值是( )
A.5 B.4 C.25 D.10
2
y
,y?1}
.若
A?B
,
2
【解】
?(x?1)
2
?0
,
?x?x?1??x
,且
?x?x?1?0
及集合中 元素的互异性知
22
x
2
?x?1??x
,即
x??1< br>,此时应有
x
2
?x?1??x??x?1.

而
y ?R
?
,从而在集合B中,
y?1??
y
??y.

2
?
x
2
?x?1?y?1
(1)
?
y
?
A?B
?x??(2)
由,得
?
2
?
(3)< br>?
?
?x?1??y
由(2)(3)解得
x?1,y?2
,代 入(1)式知
x?1,y?2
也满足(1)式.
?x
2
?y
2
?1
2
?2
2
?5.

〖说明〗本题主要考查 集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中
对应的元素应分别相等才能保证两 个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的
关键.
【例4】已知集合
A ?{x,y,lg(xy)},B?{0,|x|,y}
.若
A?B
,求
(x ?
11
)?(x
2
?
2
)?
……
yy+
(x
2008
?
1
y
2008
)
的 值.
〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决.
【解】
?A?B
,
?
?
?
x?xy?lg(xy)?|x|?y
,根据元素的互异性, 由B知
x?0,y?0
.
?
x?xy?lg(xy)?0
?0?B
且
A?B
,
?0?A
,故只有
lg(xy)?0
, 从而
xy?1.

又由
1?A
及
A?B
,得
1?B.

所以
?
?
xy?1
?
xy?1
或
?
,其中x?y?1
与元素的互异性矛盾!
?
|x|?1
?
y?1
所以
x?y?1,
代入得:
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(x?) ?(x
2
?
2
)?
……+
(x
2008
?
2008
)
=(
?2
)+2+(
?2
)+2+…… +(
?2
)+2=0.
yyy
〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相 等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的
必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和 、各元素之积及元素个数相等.这是解
决本题的关键.
【例5】已知A为有限集,且
A?N
,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写
出所有这样的集合A. 【解】设集合A=
{a
1
,a
2
,
?
,an
}(n?1)
且
1?a
1
?a
2
??an
,由
a
1
?a
2
???a
n
?a
1
?a
2
???a
n
,
*
an
?n(n?N*)
,得
na
n
?
a
1
?a
2
???a
n
?
a
1
?a
2
???a
n
?a
n
(n?1)!
,即
n?(n?1)!< br>
?n?2
或
n?3
(事实上,当
n?3
时,有(n?1)!?(n?1)(n?2)?(n?1)?2?n)
.
当
n?2时,
a
1
?a
2
?a
1
?a
2
?2a
2
,?a
1
?2,?a
1
?1
,而
1?a
2
?1?a
2
,?n?2.

当
n?3< br>时,
a
1
?a
2
?a
3
?a
1?a
2
?a
3
?3a
3
,?a
1
?a
2
?3
,
?a
1
?1,a
2
?2.

由
2a
3
?3?a
3
,解得
a
3?3.

综上可知,
A?{1,2,3}.

〖说明〗本题根据 集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分
析题设条件中所给出的信息 ,根据条件建立方程或不等式进行求解.
22
【例6】已知集合
P?{x|x?3x ?2?0},S?{x|x?2ax?a?0}
,若
S?P
,求实数
a
的
取值组成的集合A.
2
【解】
P?{x|1?x?2}
,设< br>f(x)?x?2ax?a
.
2
①当
??(?2a)?4a?0,即
0?a?1
时,
S?
?
,满足
S?P
;
2
②当
??(?2a)?4a?0
,即
a?0
或
a ?1
时,
若
a?0
,则
S?{0}
,不满足
S?P
,故舍去;
若
a?1
时,则
S?{1}
,满足
S?P
.
2
2
③当
??(?2a)?4a?0
时,满足
S?P
等价于方程
x?2ax?a?0
的根介于1和2之间.
4
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??0< br>?
?
a?0或a?1
(?2a)
?
?
1?a?21???2
??
2
?a?
?
. 即
?
?
?
f(1)?0
??
1?a?0
?
f(2)?0
?
?
4?3a?0
?
综合①②③得
0?a?1
,即所求集合A
?{a|0?a?1}
.
〖说明〗先讨论特殊情形(S=
?
),再讨论一 般情形.解决本题的关键在于对
?
分类讨论,确定
a
的取值范围.本题可以利 用数形结合的方法讨论
??0.

22
【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集
M?{(x,y)||x?y?1|?2(x?y),x,y?
R},
N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?
R}. 若
M
．
N??
, 则
a
的取值范围是
【解】由题意知
M
是以原点为焦点、直线
x?y?1?0
为
准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，
N
是以
(a,1)
为中
y
心的正方形及其内部的点集(如图)．
考察
MN??
时,
a
的取值范围:
令
y?1
, 代入方程
|x? y?1|?
2
3
2
1
-2
2(x?y)
, -3
22
-1
O
-1
1
2
345
67
x
得
x?4x?2?0
，解出得
x?2?6
． 所以，
当
a?2?6?1?1?6
时,
MN??
． ………… ③
2(x
2
?y
2
)
, 得
x
2
?6x?1?0
. 解出得 令
y?2
，代入方程
|x?y?1|?
x?3?10
．所以，当
a?3?10
时,
MN??
． ………… ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当
1?6?a?3?10
，即
a?[1?6,3?10]
时,
MN??
．故填
[1?6,3?10]
.
2222
【例 8】已知集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
,
B?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
,其中
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
?N
.若
A?B?{a
1
,a
4
}
,
a
1
?a
4
?10
.且
A? B
中的所有元素之和为124,求
集合A、B.
【解】
?
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
,且
A?B?{ a
1
,a
4
}
,
?
a
1
?a1
,又
a
1
?N
,所以
a
1
?1.< br>
2
又
a
1
?a
4
?10
,可得< br>a
4
?9
,并且
a
2
?a
4
或a
3
?a
4
.

2
2
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2
2
若
a
2
?9
,即
a
2
?3< br>,则有
1?3?a
3
?9?a
3
?81?124,
解 得
a
3
?5
或
a
3
??6
(舍)
}.
此时有
A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81
2
若
a
3
?9
,即
a
3
?3
,此时应有< br>a
2
?2
,则
A?B
中的所有元素之和为100
?< br>124.不合题意.
}.
综上可得,
A?{1,3,5,9},B?{1 ,9,25,81
〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中 使用
发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部
分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【例9】满足条件
|g(x
1
)?g(x
2
)|?4|x
1
?x
2
|
的函数
g(x)
形成了一个集合M,其中
2
x
1
,x
2
?R
,并且
x
1
2
,x
2
?1
,求函数
y?f(x)?x
2
?3x?2(x?R)
与集合M的关系. < br>〖分析〗求函数
f(x)?x
2
?3x?2
集合M的关系,即求该函数 是否属于集合M,也就是判断
该函数是否满足集合M的属性.
2
【解】
?| f(x
1
)?f(x
2
)|?|(x
1
2
?3x< br>1
?2)?(x
2
?3x
2
?2)|?|x
1
?x
2
|?|x
1
?x
2
?3|

取
x
1
?
459
,x
2
?
时,
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|x
1
?x
2
|?4|x
1
?x
2
|.

662
由此可见,
f(x)?M.

〖说明〗本题中M是一个关于函 数的集合.判断一个函数
f(x)
是否属于M,只要找至一个或
几个特殊的
x
i
使得
f(x
i
)
不符合M中的条件即可证明
f( x)?M.

}
及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按【例10 】对集合
{1,2,?,2008
递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如
{1,2,4,6,9}
的“交替和”是
9?6?4?2?1?6
,集合{7,10}
的“交替和”是10－7=3,集合
{5}
的“交替和”是5等等.
试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合
{1,2,?,n}
求出所有的“交 替和”.
〖分析〗集合A的非空子集共有
2
2008
?1
个,显然 ,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能
的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的 方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15
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个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 {3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;
{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;
{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以
外,可以把{1,2,3,4}的子集 分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设
A
i
是{1,2 ,3,4}中一个不含有的子集,令
A
i
与
{4}?A
i
相 对应,显然这两个集合的“交替和”的和
为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为 4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”
为32.
}
的子集中,除了集合
{2008}
,还有
2
【解】集合
{1,2,?,2008
2008
?2
个非空子集.将其分为两
类:第一类是含2008的子集,第二类是不含 2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果
}
是第一类的集合;如果
B< br>j
是第一类中的集合,则
B
j
中除
A
i
是第 二类的,则必有
A
i
?{2008
2008外,还应用1,2,……,200 7中的数做其元素,即
B
j
中去掉2008后不是空集,且是第二类中
的.于 是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替
和”为
1
2008
(2?2)?2008?2008?2
2007
?2008.< br>
2
n
同样可以分析
{1,2,?,n}
,因为
n< br>个元素集合的子集总数为
2
个(含
?
,定义其“交替和”
为0 ),其中包括最大元素
n
的子集有
2
n?1
个,不包括
n< br>的子集的个数也是
2
n?1
个,将两类子集
一一对应(相对应的子集只 差一个元素
n
),设不含
n
的子集“交替和”为S,则对应的含
n< br>子集
的“交替和”为
n?S
,两者相加和为
n
.故所有子集的 “交替和”为
2
n?1
?n.

〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特 殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,
这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的 过程中应注意强化.
【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4 人编队，最后
差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游
行队伍的人数最少是多少？
〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为< br>5n
.“按每横排4人编队，
最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样 按3人、2人编队都可理解为“多
1人”，显然问题转化为同余问题.
5n
被4、3、 2除时都余地，即
5n?1
是12的倍数，再由
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总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.
【解】设游行队伍的总人数为
5n(n?N
?
)
，则由题意知
5n
分别被4、3、2除时均余1， 即
5n?1
是4、3、2的公倍数，于是可令
5n?1?12m(m?N
?< br>)
，由此可得：
n?
12m?1
①
5
要使游行队 伍人数最少，则式①中的
m
应为最少正整数且
12m?1
为5的倍数，应为2 .于是
可令
m?5q?2(p?N
?
)
，由此可得：
n?[ 12?(5p?2)?1]?12p?5
，
5n?60p?25
②
所 以
60p?25?1000
，
p?16
1
5
1
.
4
取
p?17
代入②式，得
5n?60?17?25?1045
故游行队伍的人数最少是1045人.
〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题 目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词
语，可以根据补集思想方法，从词义气 反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，
用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难 为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，
实现解题的目的.
【例12】设
n?N< br>且
n
≥15，
A,B
都是{1，2，3，…，
n
}真 子集，
A
且
AB
={1，
B?
?
，
2，3 ，…，
n
}.证明：
A
或者
B
中必有两个不同数的和为完全 平方数.
【证明】由题设，{1，2，3，…，
n
}的任何元素必属于且只属于它的 真子集
A,B
之一.
假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，
n
}的真子集
A,B
，使得无论是
A
还
是
B
中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.
2
不妨设1∈
A
，则3
?
A
，否则1+3=
2
，与假设矛盾，所以3∈B
.同样6
?
B
，所以
6∈
A
，这时10?
A
，，即10∈
B
.因
n
≥15，而15或者在A
中，或者在
B
中，但当15∈
A
时，因1∈
A
，1+15=
4
，矛盾；当15∈
B
时，因10∈
B
，于 是有10+15=
5
，仍然矛盾.
因此假设不真,即结论成立.
2
2
【赛向点拨】
1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的 基础.因此，深刻理解集合的概念,熟
练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所 以抓好概念的理解和应用尤
其重要.
2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般 而言,一是考查集合本身的知识;二是考
8
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高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
查集合语言和集合思想的应用.
3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么, 具有怎样的性质?这是解决集合问题
的前提.
4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.
【针对练习】
(A 组)
1.(2006年江苏预赛) 设在
xOy平面上，
0?y?x
2
，
0?x?1
所围成图形的面积为
1
，
3
则集合
M?{(x,y)y?x?1},N?{(x,y)y?x< br>2
?1}
的交集
M?N
所表示的图形面
积为( )
12
4
B. C.
1
D.
3
33
b
2. (2006年陕西预赛)
a,b
为实 数,集合M=
{,1},P?{a,0},f:x?x
表示把集合M中的元
a
素
x
映射到集合P中仍为
x
,则
a?b
的值等于( )
A.
?1
B.0 C.1 D.
?1

A.
3. (2004年全国联赛)已知M=
(x,y) |x
2
?2y
2
?3
，N=
?
(x,y)|y?m x?b
?
，若对于所有
的
m?R
，均有
M?N?
?
,
则
b
的取值范围是
??
A．[
?
666623232323
] B.（
?
）C.（
?
） D.[
?
]
,,,,
22223333
a
1
a
2
a
3
a
4
?
2
?
3
?
4
|a
i
?T, i?1,2,3,4},

7777
4. (2005年全国联赛) 记集合
T?{0,1,2,3,4,5,6},
M?{
将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第20 05个数是（ ）
55635562
?
2
?
3
?
4
B．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
11041103
C．
?
2
?
3
?
4
D．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
A．
5. 集合A,B的并集A∪B={ a
1
,a
2
,a
3
}，当且仅当A≠B时，(A,B)与( B,A)视为不同的对，则这
样的(A,B)对的个数有( )
A.27 B.28. C.26 D.25
6.设A={n|100≤n≤60 0,n∈N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为
______________.
1?x2
2
7. 已知
A?{xx?4x?3?0,x?R}
,B?{x2?a≤0,且x?2(a?7)x?5≤0,x?R}
.若
A?B
,则 实数
a
的取值范围是 .
8. 设M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且满足条件: 当x∈A时,15x
?
A，则A中元素的
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9

高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
个数最多是_______________.
9. (2006年集训试题)设n是正整数 ，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对
于M的任何一个k元子集，其中必有4个 互不相同的元素之和等于
10. 设
A
＝ {
a
|
a
＝
x
2
?y
2
,
x,y?Z
}，
求证：⑴
2k?1
∈
A
(
k?Z
)； ⑵
4k?2?A (k?Z)
.
??
?2a?
??
1 1.（2006年江苏）设集合
A?
?
xlog
1
?
3?x
?
??2
?
，
B?
?
x?1
?
． 若
AB??
，
??
?
x?a
?
2
??求实数
a
的取值范围．
12. 以某些整数为元素的集合
P
具 有下列性质：①
P
中的元素有正数，有负数；②
P
中的
元素有奇数, 有偶数；③－1
?
P
；④若
x
，
y
∈
P< br>,则
x
＋
y
∈
P
试判断实数0和2与集合
P
的关系.
(B 组)
1. 设
S
为满足下列条件的有理数的集 合：①若
a
∈
S
，
b
∈
S
，则
a
+
b
∈
S
，
ab?S
；②对任一个有理数
r
，三个关系
r
∈
S
，－
r
∈
S
，
r
＝0有且仅有一个成立.证明：
S
是由全体正有理数组成的集合. < br>2．对于1，2，3的任意一个排列
i,j,k
，若
x?S
i
,y?S
j
，则
x?y?S
k

S
1
,S
2
,S
3
为非空集合，
（1）证明：三个集合中至少有两个相等.
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
3．已知集合：
A?{(x,y) |ax?y?1},B?{(x,y)|x?ay?1},C?{(x,y)|x
2
?y
2
?1}
问
（1）当
a
取何值时，
(A?B)?C
为含有两个元素的集合？
（2）当
a
取何值时，
(A?B)?C
为含有三个元素的集合？
4．已知
A?(x,y)x?y?4x?4y?7?0,x,y?R
,
?< br>22
?
B?
?
(x,y)xy??10,x,y?R
?
.
⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A与B的
距离定义;
⑵依据⑴中的定义求出
A
与
B
的距离.
5.设集合
P?
｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若
n?P
，定义
f(n )
为不是
n
的约数的最小正整数，例如
f(7)?2,f(12)?5
.记函数
f
的值域为Ｍ.证明：
19?M,99?M.

6．为了 搞好学校的工作，全校各班级一共提了P
(P?N
?
)
条建议.已知有些班级 提出了相同
的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证< br>10
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高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
该校的班级数不多于
2
P?1
个.
【参考答案】
A组
1.解：
M?N
在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此
M?N
的图形面积只要
算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可 以了.由题意
可得，
M?N
的图形在第一象限的面积为A＝
所以选B.
2.解:由M=P,从而
3. 解：
M
1112
??
.因此
M?N
的图形面积为. 2363
b
?0,a?1
,即
a?1,b?0
,故
a? b?1.
从而选C.
a
N??
相当于点（0，b）在椭圆
x
2
?2y
2
?3
上或它的内部
2b
2
66
.故选A.
??1,???b?
322
4.解: 用
[a
1a
2
?
a
k
]
p
表示k位p进制数，将集合M 中的每个数乘以
7
，得
4
M
?
?{a
1
?7
3
?a
2
?7
2
?a
3
?7?a4
|a
i
?T,i?1,2,3,4}?{[a
1
a
2
a
3
a
4
]
7
|a
i
?T,i? 1,2,3,4}.

M
?
中的最大数为
[6666]
7
?[2400]
10
.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第
2 005个数是2400－2004=396.而
[396]
10
?
[1104 ]
7
将此数除以
7
，便得M中的数
4
1104
?< br>2
?
3
?
4
.
故选C.
7
777
5.解：A=φ时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二
元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.
故共有 1+6+12+8=27个.从而选A.
6．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k≤85.
又若某个k使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即
k?
57n?2
7
?
56n?n?2
7
?2
.
?8n?
n
7
即n－2应为7的倍数. 设n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是
所求的个数为85－(14－1)－2=70．
７．解：依题意可得A?{x1?x?3}
,设
f(x)?2
1?x
?a
,
g(x)?x
2
?2(a?7)x?5

要使
A?B
,只需
f(x)
,
g(x)
在(1,3)上的图象均在
x
轴的下方 ,则
f(1)≤0
,
f(3)≤0
,
g(1)≤0
,
g(3)≤0
,由此可解得结果.
8．解：由于1 995=15?133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超
过1995的整数. 由于这时己取出了15?9=135, … 15?133=1995. 故9至133的 整数都不能
再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.
另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133） 共得133—8=125对，
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高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.
9 .解：考虑M的n+2元子集P={n－l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小
于(n－1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k≥n +3．将M的元配为n对，B
i
=(i，2 n +1－i)，
1≤i≤n． 对M 的任一n+3元子集A，必有三对
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
同属于A(i
1
、I
2
、I
3
两两不同)．又
将M的元配为n－1对，C
I
(i，2n－i)，1≤ i≤n－1．对M的任一n+3元子集A，必有一对
C
i
4
同属于A，这一对
C
i
4
必与
B
i
1
,B
i
2
,B
i
3
中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和
为 2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k= n +310．
10.解: ⑴∵k
,
k?1
∈
Z
且
2k?1
＝
k2
?(k?1)
2
,∴
2k?1
∈
A
；
⑵假设
4k?2?A (k?Z)
,则存在
x,y?Z
,使
4k?2
＝
x
2
?y
2
即
(x?y)(x?y)? 2(2k?1)
(*)
由于
x?y
与
x?y
具有相同的 奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的
倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余 2的数，故（*）式不能成立.由此，
4k?2?A(k?Z)
.
11.解：
A?x?1?x?3
，
B?x
?
x?a
??
x?3a?
?0
．
??
??
??
当
a?0
时 ，
B?
?
x3a?x?a?0
?
，由
A
当
a?0
时，
B?x0?a?x?3a
，由
A
2
当
a ?0
时，
B?xx?0??
，与
A
B??
得
0?a ?3
；
B??
得
a??1
；
??
B??
不符．
综上所述，
a?
?
?1,0< br>??
0,3
?
．
12．解：由④若
x
，
y
∈
P
,则
x
＋
y
∈
P
可知，若< br>x
∈
P
，则
kx?P (k?N)

（1）由①可 设
x
，
y
∈
P
，且
x
＞0，
y< br>＜0，则－
y
x
＝|
y
|
x
(|
y
|∈
N
)
故
x
y
,－
y
x
∈
P
,由④,0＝(－
y
x
)+
xy
∈
P
.
（2）2
?
P
.若2∈
P
，则
P
中的负数全为偶数，不然的话，当－（
2k?1
）∈
P
（
k?N
）
时，－1＝（－
2k?1
）＋
2k< br>∈
P
，与③矛盾.于是，由②知
P
中必有正奇数.设
?2m, 2n?1?P (m,n?N)
，我们取适当正整数
q
，使
q?|?2m |?2n?1
，则负奇数
?2qm?(2n?1)?P
.前后矛盾
B组 < br>1．证明：设任意的
r
∈
Q
，
r
≠0,由②知
r
∈
S
，或－
r
∈
S
之一成立.再由①，若∈< br>S
，
2
则
r?S
；若－
r
∈
S，则
r?(?r)?(?r)?S
.总之，
r?S
.
22r
取
r
=1，则1∈
S
.再由①，2=1+1∈
S，3=1+2∈
S
，…，可知全体正整数都属于
S
.
12
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高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
设
p,q?S< br>，由①
pq?S
，又由前证知
p1
1
，所以∈
S.因此，
S
含有全
?S
?pq?
2
2
q
q
q
体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于
S
.即
S< br>是由全体正有理数组成的集合.
2．证明：（1）若
x?S
i
,y? S
j
，则
y?x?S
k
,(y?x)?y??x?S
i，所以每个集合中均
有非负元素.
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立. 否则，设
S
1
,S
2
,S
3
中的最小正元素为
a
，不妨设
a?S
1
，设
b
为
S
2
,S
3
中最小的非负元素，
不妨设
b?S
2
,< br>则
b
－
a
∈
S
3
.
若
b
＞0,则0≤
b
－
a
＜
b
，与
b
的取法矛盾.所以
b
=0.
任取
x?S
1
,
因0 ∈
S
2
,故
x
－0＝
x
∈
S
3< br>.所以
S
1
?
S
3
，同理
S
3?S
1
.
所以
S
1
=
S
3
.
（２）可能.例如< br>S
1
=
S
2
={奇数}，
S
3
={ 偶数}显然满足条件，
S
1
和
S
2
与
S
3
都无公共元素.
3．解：
(A?B)?C
=
(A?C)?(B?C )
.
A?C
与
B?C
分别为方程组
（Ⅰ）
?
?
ax?y?1
?
x?ay?1
（Ⅱ）
?
x
2
?y
2
?1

22
x?y?1
??
2a
1?a
2
的解集.由（Ⅰ）解得（
x, y
）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得
2
2
1?a
1?a2a
1?a
2
（
x,y
）=（1，0），（，）
1? a
2
1?a
2
（1）使
(A?B)?C
恰有两个元素的情况 只有两种可能：
?
2a
?
2a
?0?1
??
?< br>1?a
2
?
1?a
2
①
?
②
?

22
1?a1?a
??
?1?0
22
??
?
1?a
?
1?a
由①解得
a
=0；由②解 得
a
=1.
故
a
=0或1时，
(A?B)?C
恰有两个元素.
2a< br>1?a
2
（2）使
(A?B)?C
恰有三个元素的情况是：= < br>1?a
2
1?a
2
解得
a??1?2
，故当
a??1?2
时，
(A?B)?C
恰有三个元素.
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13

高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(高一部分)
4．解: (1)设
d?min
P
1
?A,P
2
? B
P
1
P
2
(即集合A中的点与集合B中的点的距离的最小值),
则称
d
为A与B的距离.
⑵解法一：∵
A
中点的集合为 圆
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1,
圆心为
M( ?2,?2)
,令
P(x,y)
是
双曲线上的任一点,则
MP?(x?2)
2
?(y?2)
2
=
x
2
?y2
?4(x?y)?8

=
(x?y)
2
?2xy?4 (x?y)
+8=
(x?y)
2
?4(x?y)?28

令
t?x?y
,则
MP
=
t
2
?4t?28?(t? 2)
2
?24

当
t??2
时,即
?
2< br>2
?
xy??10
有解，∴
MP
min
?26
∴
d?26?1

?
x?y??2
解法二：如图,
P
是双曲线上的任一点, Q为圆< br>(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
Q、M
三点共上任 一点,圆心为
M
.显然,
PQ?MQ≥MP
(当
P、
线时取 等号)∴
d?MP
min
?1
.
5．解：记
n?18!< br>时，由于1，2，……18都是
n
的约数，故此时
f(n)?19.
从 而
19?M.

若存在
n?P
，使
f(n)?99
，则对于小于99的正整数
k
，均有
k|n
，从而
9|n,11|n
，但
是
(9,11)?1
，由整数理论中的性质9×11=99是
n
的一个约数，这是一个矛盾！从而
99?M.

6．证明：假设该校共有m
个班级，他们的建议分别组成集合
A
1
,A
2,
?< br>,A
m
。这些集合中没
有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议）， 而任何两个集合都有相同的元素，
因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在
A1
,A
2,
?
,A
m
中至多有A（所有P
条建 议所组成的集合）的

1
?2
P
?2
P?1
个子集 ，所以
m?2
P?1
.

2
14
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