高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

高中数学讲义之解析几何

圆锥曲线第2讲 双曲线

【知识要点】
一、双曲线的定义
1. 双曲线的第一定义：
平面内到两 个定点
F
1
、
F
2
的距离之差的绝对值等于定长
2 a
（
0?2a?F
1
F
2
）的点的轨迹
叫双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的定义中，必须强调： 到两个定点的距离之差的绝对值（记作
2a
），不但要
小于这两个定点之间的距离双曲线。具体情形如下：
（ⅰ）当
2a?0
时，点的轨迹是线段
F1
F
2
的垂直平分线；
（ⅱ）当
2a?2c
时，点的轨迹是两条射线；
（ⅲ）当
2a?2c
时，点的轨迹不存在；
（ⅳ）当
0?2a?2c
时，点的轨迹是双曲线。
特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：若用
M
表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为
F
1
F
2
（记作
2c
），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个
MF
1
?MF< br>2
?2a
（
0?2a?2c
，
F
1
F
2
?2c
），即
MF
1
?MF
2
?F
1
F
2
。
2. 双曲线的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它 到定直线的距离之比等于常数
e
（
e?1
）的点的轨迹叫做双
曲线。

二、双曲线的标准方程
1. 双曲线的标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
x
（1）焦点在轴、 中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（
a?0
，
b?0
）；

1

高中数学讲义之解析几何
y
2
x
2< br>?
2
?1
2
y
b
（2）焦点在轴、中心在坐标原点的 双曲线的标准方程是
a
（
a?0
，
b?0
）.
注 ：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在
x
轴还是在
y
轴，主要 看实半轴跟
谁走。若实半轴跟
x
走，则双曲线的焦点在
x
轴；若实半 轴跟
y
走，则双曲线的焦点在
y
轴。
2. 等轴双曲线
当双曲线的实轴与虚轴等长时（即
2a?2b
），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标< br>22
x?y?
?
（
?
?0
） 准方程为
注： 若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为
x
2
?y
2
?
?
（
?
?0
），再结合其它条件，求出
?
的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进
一步讲，若求得的
?
?0
，则该等轴双曲线的焦点在
x
轴、中心在坐标原点；若求得的
?
?0
，
则该等轴双曲线的焦点在
y
轴、中心在坐标原点。

三、双曲线的性质
x
2
y
2
?
2
?1< br>2
ab
以标准方程（
a?0
，
b?0
）为例，其他形 式的方程可用同样的方法得到相关
结论。
（1）范围：
x?a
，即
x?a
或
x??a
；
（2）对称性：关于
x
轴、
y
轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左、右顶点分别为
A
1
(?a,0)
、
A2
(a,0)
；
（4）焦点：左、右焦点分别为
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
；
（5）实轴长为
2a
，虚轴长为
2b
，焦距为
2c
；
（6）实半轴a
、虚半轴
b
、半焦距
c
之间的关系为
c?a?b；
222
a
2
x??
c
； （7）准线：

2

高中数学讲义之解析几何
b
2
（8）焦准距：
c
；
e?
（9）离心率：
c
a
且
e?1
.
e
越小，双曲线的开口越小；
e
越大，双曲线的开口越大；
b
y??x
a
； （10）渐近线：
x
2
y
2
?
2
?1
2
P(x
0
,y
0
)
ab
（11）焦半径：若为双曲线右支上一点，则由双曲线的第二定义，有
PF1
?ex
0
?a
，
PF
2
?ex
0< br>?a
；
b
2
2
（12）通径长：
a
. < br>a
y
2
x
2
a
2
??1y??
y? ?x
22
a?0b?0
abc
b
注1：双曲线（，）的准线方程为， 渐近线方程为。
x
2
y
2
?
2
?1
2< br>b
注2：双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线
a
的
a
2
a
2
c
2
?a
2
b
2
x?c???
F(c,0)
l
cccc
； 右焦点
2< br>和右准线：为例，可求得其焦准距为
注3：双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲 线交于不同两点的直线所构成
的弦。双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是 双曲线的所有焦
x
2
y
2
?
2
?1
2ab
点弦中最短的弦。设双曲线的方程为（
a?0
，
b?0
）， 过其焦点
F
2
(c,0)
且垂
b
2
A(c,)a
，
xx
ABA
直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方 ），则
b
2
b
2
b
2
b
2
B(c ,?)AB??(?)?2
a
，于是该双曲线的通径长为
aaa
.

四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于双曲线的标准方程，最基本的两 个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，
并给出了“特征值”（指
a
、
b
、
c
的值或它们之间的关系，由这个关系结合
c?a?b
，
3
222

高中数学讲义之解析几何
我们可以确定出
a
、
b
、
c
的值）时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标 准方程；其二，
当题目已给出双曲线的标准方程时，我们便能准确地判断出双曲线的位置特征，并能得到
a
、
b
、
c
的值。
（2）双曲线的标准方程中的 参数
a
、
b
、
c
是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关；
a
、
b
、
c
三者之间的关系：
c
2
?a
2
?b
2
必须牢固掌握。
（3）求双曲线的标准方程，实质 上是求双曲线的标准方程中的未知参数
a
、
b
。根据题目
已知条件， 我们列出以
a
、
b
为未知参数的两个方程，联立后便可确定出
a、
b
的值。特别
需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在
x轴或
y
轴上，则以
a
、
b
为未知参数的
方程组 只有一个解，即
a
、
b
只有一个值；若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上， 则以
a
、
b
为未知参数的方程组应有两个解，即
a
、
b
应有两个值。
22
mx?ny?1
，但此时（4）有时为方便解题，中 心在坐标原点的双曲线的方程也可设为
m
、
n
必须满足条件：
mn? 0
.
（5）与椭圆不同，双曲线中，
c
最大，离心率
e?1，它除了有准线，还有渐近线，而且渐
近线是双曲线特有的性质。对于渐近线：①要掌握渐近线的方 程；②要掌握渐近线的倾斜角、
斜率的求法；③会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求 出双曲线的方程。
b
x
2
y
2
x
2
y< br>2
??1??0
y??x
2222
a?0b?0
ababa
；（6）双曲线（，）的渐近线方程可记为，即
a
y
2
x2
y
2
x
2
??1??0
y??x
2222< br>a?0b?0
abab
b
双曲线（，）的渐近线方程可记为，即. 特
22
x?y?
?
（
?
?0
）的渐近线方程为
y?? x
. 反过来讲，若已知某一别地，等轴双曲线
y??
双曲线的渐近线方程为
n
x
m
（
m
，
n
为给定的正数），则该双曲线的实 半轴
a
与虚半
bnan
??
b
轴具有关系：
am< br>或
bm
.
（7）双曲线的焦点到其渐近线的距离为
b
.

4

高中数学讲义之解析几何
x
2
y< br>2
?
2
?1
2
b
证明：设双曲线的方程为
a
（
a?0
，
b?0
），其左、右焦点为
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
，
b
y??x< br>a
，即
bx?ay?0
. 渐近线方程为
则焦点
F
1
(?c,0)
到渐近线
bx?ay?0
的距离
d
1
?
b?(?c)?a?0
b
2
?a
2
?
bc
c
2
?
?bc
c
2
?
bc
?b
c
，
焦点
F
2
(c,0)
到渐近线
bx?ay? 0
的距离
显然
d
1
?d
2
?b

d
2
?
b?c?a?0
b
2
?a
2
?bc
?b
c
.
x
2
y
2
?
2
?1
2
b
故双曲线
a
的焦点到其渐近线的距离为
b

（8）与椭圆类似，求双曲线的离心率
e
的值，就是要寻找除
c ?a?b
这一等量关系之外
222
a
、
b
、
c之间的另一等量关系；求双曲线的离心率
e
的取值范围，就是要寻找
a
、
b
、
c
之
间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方 程和不等式的数学思想。

【例题选讲】
题型1：双曲线定义的应用
1. 若一动点
P(x,y)
到两个定点
F
1
(?1,0) 、F
2
(1,0)
的距离之差的绝对值为常数
a
（
0?a? 2
），求点
P
的轨迹方程.
解：由题意知，
PF
1
?PF
2
?a
（
0?a?2
），
F
1
F
2
?2


（ⅰ）当
a?0
时，
PF1
?PF
2
?0?PF
1
?PF
2
此时点P
的轨迹是线段
F
1
F
2
的垂直平分线，其方程为x?0

（ⅱ）当
a?2
时，
PF
1
?PF< br>2
?F
1
F
2

此时点
P
的轨迹是 两条射线，其方程分别为
y?0(x?1)
或
y?0(x??1)

（ⅲ）当
0?a?2
时，
PF
1
?PF
2
?F1
F
2


5

高中数学讲义之解析几何
1
a
F(?1,0)、F(1,0 )
2
此时点
P
的轨迹是以
1
为左、右焦点的双曲线，其中实 半轴长为
2
，半
x
2
y
2
??1
2
22
1a
aa
b?c
2
?(a)
2
?1?
1?
24
c?1
4
焦距，虚半轴，所以其方程为
4
.

2222
(x?6)?y?(x?6)?y?8
表示的曲线是（） 2. 方程
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
解：设
P(x,y)
是平面内 一点，
F
1
(?6,0)
，
F
2
(6,0)

2222
(x?6)?y?(x?6)?y?8
即为
PF
2
?PF
1
?8
则方程
该式表示平面内 一点
P(x,y)
到两个定点
F
1
(?6,0)
、
F
2
(6,0)
的距离之差等于定长8. 显然
8?12
。故由双曲 线的第一定义知，点
P(x,y)
的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。

2222
(x?4)?y?2(x?4)?y?2
，动圆
M
与两圆
C
1
、
C
2
都相
CC
12
3. 已知两圆：，：
切. 则动圆圆心
M
的轨迹方程是__________.
2222
(x?4)?y?2(x?4)?y?2
的
CC(?4,0)C
2< br>解：圆
1
：的圆心为
1
，半径为；圆
2
：
圆 心为
C
2
(4,0)
，半径为
2
.
动圆
M
与两圆
C
1
、
C
2
都相切，有以下四种情况：
（ⅰ）动圆
M
与两圆
C
1
、
C
2
都外切；（ⅱ）动圆
M
与两圆
C
1
、
C
2
都内切；
（ⅲ）动圆
M
与圆
C
1
外切、与圆
C< br>2
内切；（ⅳ）动圆
M
与圆
C
1
内切、与圆
C
2
外切.
设动圆
M
的半径为
r

由（ ⅰ）知，
MC
1
?MC
2
?r?2
；由（ⅱ）知，
MC
1
?MC
2
?r?2

于是由（ⅰ）、（ⅱ）可知，点
M
的轨迹方程是线段
C
1
C
2
的垂直平分线，其方 程为
x?0

由（ⅲ）知，
MC
1
?r?2
，MC
2
?r?2


6

高中数学讲义之解析几何
?MC
1
?MC
2
?(r?2)?(r?2)?22?8?C
1
C
2
由（ⅳ）知，

MC
1
?r?2
，
MC
2
?r?2



?MC
2
?MC
1
?(r?2)?(r?2) ?22?8?C
1
C
2
于是由（ⅲ）、（ⅳ）有，
MC
1< br>?MC
2
?22?8?C
1
C
2
这表明，点
M
的轨迹方程是以
C
1
(?4,0)
、
C
2
(4,0)
为左、右焦点的双曲线，其中
2a?22
，
222
2c ?8

?a?2,c?4,b?c?a?16?2?14

x
2< br>y
2
??1
214
M
即由（ⅲ）、（ⅳ）可知，点的轨迹方程 为
x
2
y
2
??1
214
故动圆圆心
M
的轨迹方程是或
x?0


22
x?y?1
有且仅 有一个公共点，则
k
=__________.
y?kx?1
4. 已知直 线与双曲线
?
x
2
?y
2
?1
?
22y?kx?1
(1?k)x?2kx?2?0

?
解：联立得，
22
2
x?y?1
有且仅有一个公共
y?kx?1
k??1
1?k?0
（ⅰ）当，即时，直线与双曲线
点
(1,0)
或
(?1, 0)
，不满足题意.
2
（ⅱ）当
1?k?0
，即
k??1
时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知，
??(2k)
2
?4(1? k
2
)(?2)??4k
2
?8?0
，解得
k??2

故
k??1
或
k??2


x
2
y
2
??1
P(1,0)
412
5. 已知过点的直线与双曲线的右支交于
A
、
B
两点，则直线
AB
的斜率
k
的取值范围是__________.
x
2
y
2
??1
22222
a?4,b?12,c?a?b?4?12?16

412
解：在双曲线中，

7

高中数学讲义之解析几何
?a?2,b?23,c?4

由 直线与双曲线的右支交于
A
、
B
两点知，直线
AB
的斜率< br>k?0

由直线
AB
过点
P(1,0)
可知，直线< br>AB
的方程为
y?0?k(x?1)
，即
y?k(x?1)

设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

?
x
2
y
2
?
??1
?
412
2222
?
y?k(x?1)
( 3?k)x?2kx?k?12?0
（
x?2
）
?
联立，得
?
3?k
2
?0
?
22222
??(2k)?4(3?k )(?k?12)??36k?144?0
?
?
2k
2
2k
2
?
x
1
?x
2
???
2
?0
2
3?kk?3
?
?
?k
2
?12k
2
?1 2
x
1
x
2
??
2
?0
?
23?kk?3
由题设条件及韦达定理，有
?

解得：
?2?k??3
或
3?k?2

故直线
AB
的斜率
k
的取值范围是
(?2,?3)?(3,2)

< br>注：对于中心在坐标原点，焦点在
x
轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的 两
点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般有四个结论：①二次项
系 数不为零，②判别式
??0
，③两交点的横坐标之和小于零，④两交点的横坐标之积大于
零；若直线与其右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方
程后，一般 也有四个结论：①二次项系数不为零，②判别式
??0
，③两交点的横坐标之和
大于零 ，④两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。

x
2
?y
2
?1
2
6. 已知双曲线
a< br>（
a?0
）的两个焦点分别为
F
1
、
F
2< br>，点
P
为该双曲线上一点，
?
PF
1
?PF
2
?FPF?90
12
且，则=__________.
x
22
?y?1
22222
2
解：在双曲线
a
中，
b?1

?c?a?b?a?1


8

高中数学讲义之解析几何
222
PF?PF?FF?4c?4(a? 1)?4a?4
Rt?FPF
1212
12
中，在①
222
又
?PF
1
?PF
2
?2a
22

②

2
?PF
1
?PF
2
?2PF
1
?PF
2
?4a
①代入②得，
(4a
2
?4)?2PF< br>1
?PF
2
?4a
2
(4a
2
?4)?4a
2
PF
1
?PF
2
??2
2
故

题型2：求双曲线的方程
x
2
y
2
??1
7. （1）与双曲线
916
有共同的渐近线，且过点
(?3,23)
的双曲线的方 程是
__________；
x
2
y
2
??1
164
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
(32,2)
的双曲线的方程是__________.
x
2
y
2
??
?
916
解：（1）设所求 双曲线的方程是（
(
?
?0)
）
9121
??
?
?
?
?
4
则由该双曲线 过点
(?3,23)
，有
916
x
2
y
2
??1
x
2
y
2
1
9
4
??
故所 求双曲线的方程是
9164
，即
4

x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
（2）设所求双曲线的方程是（
a?0,b?0
）
184
?
2
?1
2
(32, 2)
ab
则由该双曲线过点，有①
又
?c?16?4?20

2
?a
2
?b
2
?20
②
22
a?12b
由①、②得，，
?8


9

高中数学讲义之解析几何
x
2
y
2
??1
8
故所求双曲线的方程是
12


y
2
x
2
??1
F(0,5)
m9
m
8. 设是常数，若点是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程是
__________.
y
2
x
2
??1
22
m9
解：在双曲线中，
a?m
，
b?9

而由题意知，
c?5

?m?9?5
2
?25?m?16

y
2
x
2
??1
169
故该双曲线的方程是

P(3,
9. 已知双曲线的中心在坐标原点，两对称轴都在坐标轴上，且过
则该双曲线的方程是__________.
解：设所求双曲线的方程为
mx?ny?1
（
mn?0
）
22
1516
)Q(,5)
4
、
3
两点，
2251
??
9m?n?1m??
??
1616
?
??
25 61
1516
??
m?25n?1n?
P(3,)Q(,5)
9
?
4
、
3
则由该双曲线过两点，有
?
91
2
1
2
y
2
x
2
??1
? x?y?1
916
169
故所求的双曲线的方程是，即.
x
2y
2
C:
2
?
2
?1,(2,3),60
?< br>,a
2
?1,b
2
?3
ab
bb
2
3
?
?tan60?3?
2
?3?,e?1?

aa1c
2
a
2
?b
2
1?3
2
e?
2
???4,e?4?2
2
aa1
x
2
y
2?
2
?1
?
2
(2,3)
C
ab
60
10. 已知双曲线：经过点，两条渐近线的夹角为，则双曲线
C
的方

10

高中数学讲义之解析几何
程为__________. 49
x
2
y
2
??1
?
2
?1
22
2
(2,3)
C
ab
b
解：由双曲线：经过点，有< br>a
?
b
?
?tan60?3
?
(2,3)
由双曲线
C
的两条渐近线的夹角为
60
，并且其经过点，可知
a< br>?
联立?、?，得
a?1
，
b?3

22
y
2
x??1
C
3
故双曲线的方程为
2

5
x
2
y
2
??1
4
11. 已知双曲线 的离心率等于
2
，且与椭圆
9
有公共的焦点，则该双曲线的方程
是_ _________.
x
2
y
2
??1
22222
a?9b?4c?a?b?9?4?5

94
11111
解：在椭圆中，， ，
?a
1
?3
，
b
1
?2
，
c< br>1
?5

x
2
y
2
??1
94于是椭圆的左、右焦点分别为
F
1
(?5,0)
、
F
2
(5,0)

又
?
所求双曲线的离心率
e?
5
2

?
c
2
5
?
a
2
2

而
c
2
?c
1
?5

?
a
2
?2

2222
a?4b?c?a?5?4?1

2222
于是，
x
2
?y
2
?1
故所求双曲线的方程为
4



11

高中数学讲义之解析几何
x
2
y
2
??1
4
12. 与双曲线
16
有相同焦点，且经过点
(32,2)
的双曲线的标准方程是_________. < br>x
2
y
2
??1
22222
a?16,b?4,c? a?b
164
1111
?16?4?20
解：在双曲线中，
1?a
1
?4,b
1
?2,c
1
?25

x
2
y
2
??1
4
于是双曲线
16
的左 、右焦点分别为
F
1
(?25,0)
、
F
2
(25 ,0)

x
2
y
2
?
2
?1
2< br>ab
据此可设所求双曲线的方程为
184
?
2
?1
2
(32,2)
b
则由其过点，有
a
?
又
?c
2
?c
1
?25

?a
2
?b
2
?c
2
?20
?
联立?、?，得
a
2
?12
，
b
2
?8

22
222
x
2
y
2
??1
128
故所求双曲线的方程为

x
2
y
2
?
2
?1
2
b
13. 已知双曲线
a
（
a?0,b?0
）的一条渐近线方程是
y?3x
，它的一个焦点
2
y?24x
的准 线上，则该双曲线的方程是__________. 在抛物线
b
?3?b
2
?3a
2
解：由
y?3x
是所求双曲线的一条渐近线知，
a
①
由抛物线
y?24x
的准线方程为
由①、②得，
a?9
，
b?27

22
2
x??
12
??6
2 22
2
知，
c?6

?a?b?6?36
②
x< br>2
y
2
??1
故该双曲线的方程是
927



12

高中数学讲义之解析几何
题型3：双曲线的性质
22
2x?y?8
的实轴长是__________. 14. 双曲线
x< br>2
y
2
??1
22
22
2x?y?8
a?4 ,b?8?a?2,b?22

48
解：在双曲线，即中，
故该双曲线的实轴长
2a?2?2?4


22
mx?y?1
的虚轴长是实轴长的2倍，则实数
m
= _________. 15. 双曲线
x
2
y??1
1
1
2
?
b??
22
2
m
m
解：在双曲线
m x?y?1
，即中，
a?1
，
2
?2b?2?2a
，即b?2a

?b
2
?4a
2

1
?4?1?4
于是有
m

?
m??
故

1
4

x
2
y
2
??1
2
9
16. 设双曲线< br>a
（
a?0
）的渐近线方程为
3x?2y?0
，则
a
=__________.
x
2
y
2
??1
2< br>2
a9
解：在双曲线中，
b?9?b?3

3
y??x
a
于是该双曲线的渐近线方程为
3
y??x
2
又由题意知，该双曲线的渐近线 方程为
3x?2y?0
，即
33
??
a2

故
a?2



13

高中数学讲义之解析几何
17. 已知点
P
和点
Q
的横坐标相同，点
P
的纵坐标是点
Q
的纵坐标的2倍，点
P
和点
Q
的
轨迹分别为双曲线
C
1
和
C2
. 若
C
1
的渐近线方程为
y??3x
，则
C
2
的渐近线方程为
__________.
x
2
y2
x
2
y
2
?
2
?1?
2
? 1
22
aba
C
2
的方程为
2
b
21解：设
C
1
的方程为
1
（
a
1
?0, b
1
?0
），（
a
2
?0,b
2
?0）
设
Q(x
0
,y
0
)
，则由题设条件知，
P(x
0
,2y
0
)

?
x
0< br>2
4y
0
2
?
2
?
2
?1
?
a
1
?a
2
?a
1
b
1
??
2
?
2
xy
?
b
1
?2b
2
?
0
?
0
?1
22
?
ab
P( x
0
,2y
0
)Q(x
0
,y
0
)
CC
22
?
于是由、两点分别在
1
和
2
上，有
又
?
双曲线
C
1
的渐近线方程为
y??3x

?
b
1
?3
a
1

1
b< br>b
2
2
1
1b
1
13
?????3?
aa
1
2a
1
22
于是
2
故双曲线
C
2
的渐近线方程为

y??
3
x
2

题型4：与双曲线的焦点有关的三角形问题
x
2
?y
2
?1
?
?FPF?90
FF< br>4
12
P
18. 设
1
、
2
为双曲线的两个 焦点，点在该双曲线上，且满足，
则
?F
1
PF
2
的面积为 __________.
x
2
?y
2
?1
22222解：在双曲线
4
中，
a?4,b?1?c?a?b?4?1?5

?a?2,b?1,c?5

于是
F
1
(?5,0)
，
F
2
(5,0)

在
Rt?F
1
PF
2
中，

PF?F1
F
2
?4c
2
?4?5?20
1
?PF2
14
222
①

高中数学讲义之解析几何
又
?PF
1
?PF
2
?2a?2?2?4
22

②
?PF
1
?PF
2
?2PF
1
?PF
2
?16
20?2PF
1
?PF
2
?16
①代入②得，
?PF
1
?PF
2
?
20?16
?2
2

故

S
?F
1
PF
2
?
11
PF?PF??2?1
12
22

x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1?< br>2
?1
22
a?b?0
abmn
19. 已知椭圆（）与双曲 线（
m?0,n?0
）有公共焦点，
点
P
是它们的一个公共点. < br>（1）用
b
和
n
表示
cos?F
1
PF2
；
（2）设
S
?F
1
PF
2
?f (b,n)
，求
f(b,n)
.
解：（1）在
?F
1PF
2
中，由余弦定理有
cos?F
1
PF
2
?
PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
2 PF
1
?PF
2
222

x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1?
2
?1< br>22
abmn
P
?
点是椭圆与双曲线的一个公共点
1
?PF
2
?2m
?
PF
1
?PF
2
?2 a
，
PF

222
?PF?(PF
1
?PF
2
?F
1
F
21
?PF
2
)?F
1F
2
?2PF
1
?PF
2
?4a?4c?2PF
1
?PF
2
2222

?4b
2
?2PF
1
?PF
2
22
22
222
PF?(PF
1
?PF
2
?F
1< br>F
21
?PF
2
)?F
1
F
2
?2 PF
1
?PF
2
?4m?4c?2PF
1
?PF
2

??4n
2
?2PF
1
?PF
2
cos ?F
1
PF
2
?

4b
2
?2PF
1
?PF
2
2PF
1
?PF
2
?
2b< br>2
?PF
1
?PF
2
PF
1
?PF
2
?
2b
2
?PF
1
?PF
2
?
1?cos?F
1
PF
2
2n
2
?PF
1
?PF
2
?
1?cos?F
1
PF
2
①
cos?F
1
PF
2
?
?4n
2
?2PF
1
?PF
2
2PF
1
?PF
2
?
?2n< br>2
?PF
1
?PF
2
PF
1
?PF
2
②

15

高中数学讲义之解析几何
2b2
2n
2
?
1?cos?FPF1?cos?F
1
PF
2

12
于是由①、②有
22222222
b?bcos? FPF?n?ncos?FPF?(b?n)cos?FPF?b?n
121212
?

b
2
?n
2
cos?F
1
PF
2
?
2
b?n
2
故
2b
2
PF
1
?PF
2
??
1?cos?F
1
PF
2
（2）由（ 1）知，
2
2b
2
2b
2
(b
2
?n2
)
22
??b?n
b
2
?n
2
2b
2
1?
2
b?n
2

4b
2
n< br>2
2bn
?
(b
2
?n
2
)
2b
2
?n
2

b
2
?n
2
2
sin?F
1
PF
2
?1?cos?F
1
PF2
?1?(
2
)?
b?n
2
故

f( b,n)?S
?F
1
PF
2
?
11
2
2b n
2
PF?PF?sin?FPF?(b?n)?bn
1212
22b
2
?n
2

题型5：双曲线的离心率计算问题
x
2y
2
?
2
?1
2
(2,3)
C
b20. 已知点在双曲线：
a
（
a?0
，
b?0
）上，
C
的焦距为4，则它的离
心率
e
为__________.
x
2
y
2
?
2
?1
2
(2,3)
b
解：
?
点在双曲线
C
：
a
上
49< br>?
2
?1?4b
2
?9a
2
?a
2
b
2
2
b
?
a
①
又
?
双曲线
C
的焦距为4
?
2c?4?c?2

2222
a?b?c?2?4
② 于是有
由①、②得，
a?1
或
a?16
（舍去）
?a?1
，
b?
22
3

故双曲线
C
的离心率

e?
c2
??2
a1

21. 若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率

16

高中数学讲义之解析几何
e
=__________.
解 ：由
2a
，
2b
，
2c
成等差数列，有
又
?
b?c?a

222
2?2b?2a?2c?b?
a?c
2

?(
a?c
2
)?c
2
?a
2
?3c
2
?2 ac?5a
2
?0
2
（
?
）
e?
5
3
或
e??1
（舍去） （
?
）式两边同时除以
a
，得
3e?2e?5?0
解得：
22
e?
故该双曲线的离心率

5
3

22. 若双曲线的两条渐近线的夹角为
60
，则该双曲线的离心率为__________.
解：（ⅰ）当双曲线的焦点在
x
轴上时，
?
b3b
21
?
?tan30??
2
?
a3a3
由题意知，c
2
a
2
?b
2
3?14
e?
2???
2
aa33
于是
2
而
e?1

?
此时
e?
42
?3
33

（ⅰ）当双曲线的焦点在
y
轴上时，
bb
2
3
?
?tan60?3?
2
?3?
a1
由题意知，
a
c
2
a
2
?b
2
1?3
e?
2
? ??4
2
aa1
于是
2
而
e?1

?
此时
e?4?2


17

高中数学讲义之解析几何
2
3
故该双曲线的离心率为
3
或2

23. 已知双曲线的渐近线方程为
3x?2y?0
，则该双曲线的离心率为__________.
3b3a3
y??x??
3x?2y?0
2
可知，
a2或
b2
解：由双曲线的渐近线方程为，即
b3
b
2
9 a
2
?b
2
4?913c
2
13
?????
?
222
a4a44a4

a2
当时， ，即
cc
2
1313
e????
2
aa42
于是 此时该双曲线的离心率
a3
a
2
9a
2
99a
2< br>9c
2
13
??
2
????
?
2222b4a?b9?413c13a9
当
b2
时， ，即，亦即
cc
2
1313
e????
2
aa93
于是此时该双曲线的离心率
1313
故该双曲线的离心率为
2
或
3< br>

24. 设
?
?
?(0,)
4
，则曲线
x
2
1
?y
2
tan
?
?1
ta n
?
的离心率
e
的取值范围是（）
122
1
(,)(,2)
(0,)
2
B.
22
C.
2
A. D.
(2,??)

解：由
?
?
?(0,)
1
?0
4
，有
tan
?
，
tan
?
?0< br>
x
2
于是方程
1
?y
2
tan
?
?1
tan
?
表示的曲线是双曲线
x
2
y
2
??1
1
1
tan
?
22
x?ytan
?
?1
tan
?
在双曲线
tan
?
，即中， < br>11tan
2
?
?1
222
a?tan
?
, b?,c?a?b?tan
?
??
tan
?
tan
?
tan
?

22

18

高中数学讲义之解析几何
tan
2
?
?1
c
2
tan
2
?
?11
2
tan
?
?e?
2
???1?
atan
?
tan
2
?tan
2
?

而
?
?
?(0,)
4

?0?tan
?
?1

e
2
?1?
于是< br>1
?2
2
tan
?

又双曲线的离心率
e?1

故
e?

2

x
2
y
2
?
2
?1
2
FF
ab
25. 已知
1
、
2
是双曲线
E
：（
a?0
，
b?0
）的左、右焦点，点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
轴垂直，且
sin?MF
2
F
1
?
1
3
，则
E
的离心率为__________ .
解：（法一）
?
MF
1
?x
轴
b
2
MF
1
?
a

?
又
?
sin?MF
2
F
1
?
1
3

1
3
1
1?()
2
3
1
3
22
3
1
22
，即
?tan?MF
2
F
1
?sin?MF
2
F
1
?
cos?MF
2
F1
??
MF
1
F
1
F
2
?
1
22

2
b
2
22MF
1
?F
1
F
2
?22??2c
?b
2
?ac
a
2< br>于是
又
b?c?a

222
?c
2
?a
2
?
22
ac?c
2
?ac?a
2
?0
22
（
?
）

19

高中数学讲义之解析几何
（
?
）式两边同时除以
a
，得
2
e
2
?
2
e?1?0
2

解得：
e?2
或
e??
2
2
（舍去）
2
故双曲线
E
的离心率
e?
e?
（法二）
F
1
F
2
c2c2Rsin?F
1
MF
2
sin?F
1
MF
2
????
a2aMF
2
?M F
1
2Rsin?MF
1
F
2
?2Rsin?MF
2
F
1
sin?MF
1
F
2
?sin?MF
2
F
1

1
22
1?()
2
3
?
3
?2?
12
1?
33
，等式中的
2R
表示
?MF
1
F
2
的外接圆的直径.
故双曲线
E
的离心率
e?

26. 设双曲线的一个焦点为
F
，虚轴的一个端点为
B
，如果直线
FB
与该双曲线的一条 渐近
线垂直，那么该双曲线的离心率
e
为__________.
2

x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
解：设双曲线的方程为（
a?0,b?0
）
b
y??x
a
则该双曲线的渐近线方程为
设
F(c,0)
，
B(0,b)

则在该双曲线的两条渐近线中，与直线
FB
垂直的一条渐近线方程为
l
：< br>y?
b
x
a

0?bbb
2
????1?? 1
2
k?k??1
FBl
ac
由
FB?l
，有
c?0a
，即
b?ac

又
?b?c?a

222
1?5
cc
e?
?c
2
?a
2
? ac?c
2
?ac?a
2
?0?()
2
??1?0
2
2

aa
，此即
e?e?1?0
解得：
又
e?1


20

高中数学讲义之解析几何
e?
故该双曲线的离心率

1?5
2

题型6：与双曲线有关的综合问题
22222
x?y?1(x?1)?y?a
27. 若曲线与曲线（
a?0
）恰有三个交点，则
a
=__________. < br>22
x?y?1
表示左、右焦点分别为
F
1
(?2,0)，
F
2
(2,0)
的双曲线，其左、右顶解：曲线
点分别为A
1
(?1,0)
，
A
2
(1,0)

222
(x?1)?y?a
曲线（
a?0
）表示圆心为
C(1,0 )
，半径为
a
的圆
22222
?
双曲线
x?y? 1
与圆
(x?1)?y?a
恰有三个交点
22222
?
圆
(x?1)?y?a
与双曲线
x?y?1
的左支交于点
A
1
(?1,0)

222
a?(?1?1)?0?4
于是有
又
a?0

故
a?2


28. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点
F
1
、
F
2
在坐标轴上 ，且过点
P(4,?10)
.
（1）求该双曲线的离心率
e
；
（2）求该双曲线的方程；
（3）若点
M(3,m)
在该双曲线上，证明：
MF
1
?MF
2
?0
.
解：（1）在等轴双曲线中，实轴长=虚轴长，即
2a?2b

?a?b,c ?a
2
?b
2
?a
2
?a
2
?2a

e?
故等轴双曲线的离心率
c2a
??2
aa

（2）
?
所求双曲线为等轴双曲线
22
?
可设其方程为< br>x?y?
?
（
?
?0
）
又
?
该双曲线过点
P(4,?10)


21

高中数学讲义之解析几何
?
16?10?
?

?
?
?6

x
2
y
2
??122
x?y?6
66
故所求双曲线的方程为，即
x
2
y
2
??1
22222
66
（3）在双曲线中，
a?b?6 ?c?a?b?6?6?12

?a?b?6
，
c?23
于是
F
1
(?23,0)
，
F
2
(23,0)

又
?
M(3,m)

?MF
1
?(?23?3,? m)
，
MF
2
?(23?3,?m)

22
于是< br>MF
1
?MF
2
?(?23?3)(23?3)?(?m)(?m)? ?(12?9)?m?m?3

x
2
y
2
??1
M (3,m)
66
又点在双曲线上
9m
2
???1?m
2
?3
66

故
MF
1
?MF
2
?3?3?0


x
2
?y
2
?1
2
29. 若点
O
和点
F(?2,0)
分别为双曲线
a
（
a?0
）的中心和 左焦点，点
P
为该双
曲线右支上任意一点，则
OP?FP
的取值范围 是__________.
x
2
?y
2
?1
2
2
解：在双曲线
a
中，
b?1

由
c?2
可知，
a?c?b?4?1?3

222
x
2
?y
2
?1
于是该双曲线的方程为
3

x
2
?y
2
?1
设
P(x,y)
，则由点
P
在双曲线
3
右支上知，
x?3

?
OP?(x,y)
，
FP?(x?2,y)


22

高中数学讲义之解析几何
x
2
4
? OP?FP?x(x?2)?y?x?2x?y?x?2x?(?1)?x
2
?2x?1
33

2222
g(x)?
令
4
2
x?2x?1
3
，
x?[3,??)

x??
其对称轴为
22?
4
3
??
3
4

?
函数
g(x)
在
[3,??)
上单调递增
4< br>g(x)?g(3)??3?23?1?3?23
3
于是对任意的
x?[3,? ?)
，都有
这表明，
OP?FP?3?23

故
OP?FP
的取值范围是
[3?23,??)


x
2
y
2
y
2
2
?
2
?1x? ?1
2
CC
b4
30. 已知椭圆
1
：
a
（
a?b?0
）与双曲线
2
：有公共的焦点，
C
2
的一条渐近线与以
C
1
的长轴为直径的圆相交于
A
、
B两点，若
C
1
恰好将线段
AB
三等分，
则椭圆
C
1
的方程为__________.
x
2
y
2
y
2
2
?
2
?1x??1
2
CC
b4解：由椭圆
1
：
a
与双曲线
2
：有公共的焦点知，
a
2
?b
2
?c
2
?1?4?5

?a
2
?b
2
?5

x
2
y2
x
2
y
2
?
2
?1?
2
? 1
222242
22
bx?(b?5)y?b?5b?0

C
abb?5b
1
于是椭圆的方程可化为，即
y
2
x??1
C
4
双曲线
2
：的一条渐近线方程为
y?2x

2
设线段
AB
被椭圆
C
1
所截得的弦为
CD
，则
CD?
112a
AB??2a?
333
，且
y
C
?2x
C

?
b
2
x
2
?(b
2
?5)y
2
?b
4
?5b
2
?0
?
2242
y?2x
(5b?20)x?b?5b?0

?
联立得，

23

高中数学讲义之解析几何 ?x
C
2
b
4
?5b
2
?
2
5b?20

由此有
CD?2x
C
?y
C
?2x< br>C
?(2x
C
)?25x
C
222
2
2b
4
?5b
2
5b
4
?25b
2
?2 5?
2
?2
5b?205b
2
?20

5b
4
?25b
2
2a5b
4
?25b
2
a
2
b
2
?5
2?????5b
4
?45b
2
?100?45b
4
?225b
2
22
5b?2035b?209 9
于是有
?40b
4
?180b
2
?100?0?2b< br>4
?9b
2
?5?0
解得：
b
2
?1
2
（舍去
b
2
??5
）
a
2
?b
2
?5?
于是
111
?5?
22

x
2
y
2
??1
111
2
故椭圆
C
1
的方程为
2


y
2
x??1
P(1,2)
4
31. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_________.
2
y
2
x ??1
P(1,2)
4
解：显然，点在双曲线外
2
（1）当所求直线的斜率不存在时，
y
2
x??1
P( 1,2)
4
显然，过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为
x?1

2
（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为
k

则由其过点
P(1,2)
可知，所求直线的方程为
y?2?k(x?1)
，即
y ?kx?2?k

?
2
y
2
?1
?
x?< br>2222
联立
?
，得
(4?k)x?(2k?4k)x?k?4k?8 ?0
（
?
）
4
?
y?kx?2?k
?
（ ⅰ）若
4?k?0
，则
k??2

当
k?2
时，由 （
?
）式，有
0?x?4?0
?
x
无解，不满足题意，舍去
k?2

当
k??2
时，由（
?
）式，有
16x?20?0?x?
而此时所求直线的方程为
y??2x?4

2
5

4

24

高中数学讲义之解析几何
5553
代入
y??2x?4中，得
y??2??4?4??

4422
y
2
2x??1
53
4
即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为
(,)
，满足题意
42
将
x?
于是当
k??2
时，所求直线的方 程为
y??2x?4

（ⅱ）若
4?k?0
，即
k??2< br>，则对（
?
）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有
2
??( 2k
2
?4k)
2
?4(4?k
2
)(?k
2?4k?8)?4k
4
?16k
3
?16k
2
?4(k
4
?4k
3
?4k
2
?16k?32)
??64k ?128?0

?k?2
，而这显然与
k??2
矛盾，舍去
k?2

于是当
k??2
时，所求直线不存在
故所求直线的方程为
x?1
或
y??2x?4


x
2
y
2
??1
M(0,2)
94
32. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_________.
x
2
y
2
??1
M(0,2)
4
解：显然，点在双曲线
9
外
由题意知，所求直线的斜率是存在的，不妨设为
k

则由其过点
M( 0,2)
可知，所求直线的方程为
y?2?k(x?0)
，即
y?kx?2< br>
?
x
2
y
2
?1
?
?
2 2
联立
?
9
，得
(4?9k)x?36kx?72?0
（< br>?
）
4
?
y?kx?2
?
（ⅰ）若
4?9 k?0
，则
k??
当
k?
2
2

3
2
时，由（
?
）式，有
?24x?72?0?x??3

3
2
而此时所求直线的方程为
y?x?2

3
22
将
x??3
代入
y?x?2
中，得
y??(?3)?2?? 2?2?0

33
x
2
y
2
??1
4即此时所求直线与双曲线
9
的唯一公共点为
(?3,0)
，满足题意 < br>当
k??
2
时，由（
?
）式，有
24x?72?0? x?3

3

25

高中数学讲义之解析几何 而此时所求直线的方程为
y??
将
x?3
代入
y??
2
x?2

3
22
x?2
中，得
y???3?2??2?2?0
33
x
2
y
2
??1
4
即此时所求直线与双曲 线
9
的唯一公共点为
(3,0)
，满足题意
22
时，所求直线的方程为
y??x?2

33
2
2
（ⅱ）若
4?9k?0
，即
k??
，则对（
?
） 式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有
3
于是当
k??
??(?36 k)
2
?4(4?9k
2
)(?72)?36
2
k
2
?4?72(4?9k
2
)?36[36k
2
?8(4?9k2
)]

?36(36k
2
?32?72k
2
)??36(36k
2
?32)?0

?k
2
?
3 28
22
?
，即
k??
，满足题意
3
369
2
22
x?2
时，所求直线的方程为
y??
3
3
2
22
x?2

x?2
或
y??
3
3
于是当
k??
故所求 直线的方程为
y??

x
2
?y
2
?1
33. 已知双曲线
C
：
2
.
（1）求双曲线
C
的渐近线方程；
（2）已知点
M
的坐标 为
(0,1)
，设
P
是双曲线
C
上的点，
Q
是点
P
关于坐标原点的对称点.
记
?
?MP?MQ
，求
?
的取值范围.
x
2
?y
2
?1
22
解：（1）在双曲线
2
中，< br>a?2
，
b?1

?a?2
，
b?1

b12
y??x??x??x
a2

2
故该双曲线的渐近线方程为
（2）设
P(x,y)


26

高中数学讲义之解析几何
则
Q(?x,?y)

又
?
M(0,1)

?MP?(x,y?1)
，
MQ?(?x,?y?1)

2222< br>?
?MP?MQ?x(?x)?(y?1)(?y?1)??x?(y?1)??x?y?1 于是
x
2
?y
2
?1
又
?
点
P(x,y)
在双曲线
2
上
?y
2
?
1
2
x?1
2

12
3
2
，其中
x?2
或
x??2
于是
?
??x
2
?(x
2
?1)?1??x
2
?2< br>3
f(x)??x
2
?2
2
对于函数，
x?[2,? ?)

?
函数
f(x)
在
[2,??)
上单调递减
3
f(x)?f(2)???2?2??1
2
?
对任意的
x ?[2,??)
，都有
3
f(x)??x
2
?2
2
对于函数，
x?(??,?2]

?
函数
f(x)
在
(??,?2]
上单调递增
3
f(x)?f(?2)???2?2??1
2
?
对任意的
x?(?? ,?2]
，都有
故对任意的
x?[2,??)?(??,?2]
，总有?
??1
，即
?
的取值范围是
(??,?1]
.

x
2
y
2
??1
62
34. 已知双曲线的顶点和焦点分别是椭圆
E
的焦点和顶点.
（1）求椭圆
E
的方程；
（2）已知椭圆
E
上的定点C(x
0
,y
0
)
关于坐标原点的对称点为
D
，设点
P
是椭圆
E
上的任
意一点，若直线
CP
和< br>DP
的斜率都存在且不为零，试问直线
CP
和
DP
的斜率之积 是定值

27

高中数学讲义之解析几何
吗？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）对于椭圆
E
长轴上的 某一点
S(s,0)
（不含端点），过
S(s,0)
作动直线
L（不与
x
轴重
合）交椭圆
E
于
M
、
N
两点，若点
T(t,0)
满足：
OS?OT?8
，证明：
? MTS??NTS
.
x
2
y
2
??1
22222
a?6,b?2,c?a?b?6?2?8

62
11111
解：（ 1）在双曲线中，
?a
1
?6,b
1
?2,c
1
? 22

于是该双曲线的左右顶点分别为
A
1
(?6,0),A
2
(6,0)
；左右焦点分别为
F
1
(?22,0),F
2
(22,0)

x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
2
设椭圆
E
的方程为
2
（a
2
?b
2
?0
）
则由题意知，
c
2
?a
1
?6,a
2
?c
1
?22

222
b?a?c?8?6?2

222
于是
x
2
y
2
??1
2
故椭圆
E
的方程为
8

x
2
y
2
??1
C(x
0
,y
0
)
82
（2）
?
点
D
是椭圆
E
：上的定点关于坐标原点的对称点
?D(?x
0
,?y
0
)
设
P(x,y)

，显然点
D
也在椭圆
E
上
k
CP
?则
y?y
0
y?(?y
0
)y?y
0
k
DP
??
x?x
0
，
x?(?x
0
)x?x0

2
y?y
0
y?y
0
y
2
?y
0
???
22
x?x
0
x?x
0
x ?x
0

k
CP
?k
DP
于是
x
2
y
2
??1
C(x
0
,y
0
)
P(x,y)
82
又点和点都在椭圆
E
：上
x
0
y
x
2
y
2
??1
?
0
?1
2< br>2
于是有
8
①
8
②
x
2
? x
0
y
2
?y
0
x
2
?x
0y
2
?y
0
??0???
8282
①-②得，

28
2222
22

高中数学讲义之解析几何 < br>2
y
2
?y
0
21
????
22
x ?x84

0
于是
故
k
CP
?k
DP??
11
?
4
，即直线
CP
和
DP
的 斜率之积为定值
4

（3）（ⅰ）当直线
L
不垂直于
x轴时，设其斜率为
k

则由其过点
S(s,0)
可知，直线L
的方程为
y?0?k(x?s)
，即
y?k(x?s)

x
2
y
2
??1
22
x?4y?8?0

82
E
椭圆的方程可化为
设
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)

?< br>x
2
?4y
2
?8?0
?
22222
y?k (x?s)
(4k?1)x?8ksx?4ks?8?0

?
联立，得
?
?8k
2
s8k
2
s
x?x??
2
?
?
?
12
4k?14k
2
?1
?
224ks?8
?
x
1
x
2
?
?
4k2
?1
由韦达定理，有
?

k
MT
?k
NT
?
于是
0?y
1
0?y
2
yyy(x?t) ?y
2
(x
1
?t)
??
1
?
2
?
12
t?x
1
t?x
2
x
1
?tx2
?t(x
1
?t)(x
2
?t)

?
k(x
1
?s)(x
2
?t)?k(x
2
?s)(x1
?t)kx
1
x
2
?ktx
1
?ksx2
?kst?kx
1
x
2
?ktx
2
?ksx
1
?kst
?
(x
1
?t)(x
2
?t) (x
1
?t)(x
2
?t)

2kx
1
x
2
?kt(x
1
?x
2
)?ks(x
1
? x
2
)?2kstk[2x
1
x
2
?(s?t)(x
1
?x
2
)?2st]
?
(x
1
?t)(x2
?t)(x
1
?t)(x
2
?t)

?

4k
2
s
2
?88k
2
s< br>?2x
1
x
2
?(s?t)(x
1
?x
2< br>)?2st?2??(s?t)?
2
?2st
2
4k?14k?1又
8k
2
s
2
?16?8k
2
s
2
?8k
2
st?8k
2
st?2st2st?16
??2
4k?14k
2
?1

而由
OS?(s,0)
，
OT?(t,0)
，
OS?OT?8
，有
st?8
< br>?2x
1
x
2
?(s?t)(x
1
?x
2< br>)?2st?
2?8?16
?0
4k
2
?1

29

高中数学讲义之解析几何
于是
k
MT
?k
NT
?0
，即
k
MT
??k
NT

故
?MTS??NTS

（ⅱ）当直线
L
垂直于
x
轴时，由椭圆的对称性可知，
?MTS??NTS

综上可知，总有
?MTS??NTS


y
2
x?
2
?1
b
35. 已知双曲线（
b?0
）的左右焦点分别为
F
1
、
F
2
，直线l
过点
F
2
且与该双曲
2
线交于
A
、
B
两点.
?
（1）若直线
l
的倾斜角为
2
，
?F
1
AB
是等边三角形，求该双曲线的渐近线方程；
（2）设
b?3
. 若直线
l
的斜率存在，且
(F
1
A?F
1
B)?AB?0
，求直线
l
的斜率.
2
y
2
x?
2
?1
2
b
解：（1）在双曲 线中，
a?1

?
?
直线
l
的倾斜角为
2

222
?
A
、
B
两点关于
x
轴对称，并且点
A
的横坐标
x
A
?c?a?b?1?b

222224
y?b(x?1)?b[(1?b)?1]?b
AA
于是
又
?
?F
1
AB
是等边三角形
?tan?AF< br>1
F
2
?
AF
2
F
1
F
2
?
y
A
2c
?
y
A
21?b
2< br>?
3
3

b
4
1
2
2
?< br>b??
2
422
3
（舍去） 于是有
4(1?b)3

?3b?4b?4?0
解得：
b?2
或
?b?2

y??
故该双曲线的渐近线方程为
2
x??2x
1


30

高中数学讲义之解析几何
y
2
x??1
b?3
3
（2）当时，双曲线的方程为 2
由
a?1
，
b?3
，得
c?
22
a
2
?b
2
?1?3?2

?F
1
(?2,0)
，
F
2
(2,0)

又
?
直线
l
的斜率存在，不妨设为
k

则 由直线
l
过点
F
2
(2,0)
可知，直线
l
的方程为
y?0?k(x?2)
，即
y?k(x?2)

y
2
x??1
22
3x?y?3?0

3
双曲线的方程可化为
2
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

?
3x
2
?y
2
?3?0
?
2222
y?k(x?2)
( 3?k)x?4kx?(4k?3)?0

?
联立，得
显然
k?3

2
?
4k
2
4k
2
x?x???
?
?
12
3?k
2
k
2?3
?
22
?(4k?3)4k?3
?
x
1
x
2
??
?
3?k
2
k
2
?3
由 韦达定理，有
?
又
(F
1
A?F
1
B)?AB?0

而
F
1
A?(x
1
?2,y
1
)
，
F
1
B?(x
2
?2,y
2
)
，
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1< br>)

?(x
1
?x
2
?4,y
1
? y
2
)?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)?0

?(x
2
?x
1
?4)(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)(y
2?y
1
)?0

?x
2
?x
1
?4( x
2
?x
1
)?y
2
?y
1
?0
（
?
）
22
y?3x?3y?3x?3

2211
?
又，
22
2222
?
由（
?
）式有，
x
2
?x
1
?4(x
2
?x
1
)?3(x
2
?x
1
)?0

2
?4(x
2
?x
1
2
)?4(x
2
?x
1
)?0?(x
2
?x
1
)(x
2
?x
1
?1)?0

2222
而
x
1
?x
2


31

高中数学讲义之解析几何
?x
1
?x
2
??1

315
4k
2
3
2
k????
??1
k?
22
2
5 5

5
， 解得：于是有
k?3

?4k?3?k
，即
1515
?
5
故直线
l
的斜率为
5
或

【双曲线中常用的几种数学思想方法】
一、数形结合思想
11
x
2
y
2
??1
A(,3)
2
1. 已知为一定点，
F
为双曲线
927
的右焦点，
M
在双曲线的右支上移动，
A M?
则当
1
MF
2
最小时，点
M
的坐标是____ ______.
x
2
y
2
??1
22222
a? 9,b?27,c?a?b?9?27?36

927
解：在双曲线中，
?a?3,b?33,c?6

c6
a
2
93
x???
e???2
l
c62

a3
其离心率，右准线：
过点
M
作
MP?l
于点
P

MF
则由双曲线的第二定义知，
MP
?e?2?MF?2MP
AM?
于是
11
MF?AM??2MP?AM?MP?AP
22
，当且仅当
A
、
M
、
P
三点共
1
??1
AM?MF?AP
AM?MF
??
2
?
min
2
线时，最小，且
?
.
由
A
、
M
、< br>P
三点共线有，
y
M
?y
A
?3

y94
x
2
y
2
2
??1
x
M
? 9(1?
M
)?9(1?)?9??12
27273
把
y
M
?3
代入双曲线方程
927
中，得
于是
x
M?23
或
x
M
??23
（舍去）

32
2

高中数学讲义之解析几何
故点
M
的坐标为
(23,3)


二、对称思想
2. 若曲线
x?y?a
与曲线
(x?1)?y?1
恰有三个交点， 则实数
a
的值为__________.
解：（法一）由于变量
a
在两个方程中都以平方的形式出现，因此若
个交点，则
22222
P(x
0< br>,y
0
)
是两曲线的一
P
?
(x
0
,?y
0
)
也是它们的一个交点.
这表明，一般情况下，这两个曲线的交点 个数不可能有三个（奇数个），除非有
即
把
把
y
0
??y< br>0
，
y
0
?0
y
0
?0
x
0
?0
.
22
(x?1)?y?1
中，得
x
0< br>?0
或
x
0
?2
代入
或
x
0?2
，
y
0
?0
222
22
x?y?a
代入中，得
a?0
或
a?4
，即
a?0
或
a?? 2

x
2
y
2
??1
2222
x?y?4 (x?1)?y?1
，显然它们有
a??2
44
若，则两曲线分别为，即和< br>且只有一个交点，不满足题意。
2222
x?y?0(x?1)?y?1
，显 然它们有三个交
y??x
a?0
若，则两曲线分别为，即和
点，满足题意。
故
a?0

?
x
2
?y
2
?a< br>2
?
22
(x?1)
2
?y
2
?1
?
（法二）联立 得，
2x?2x?a?0

?(?2)?(?2)
2
?4?2?(?a
2
)
2?4?8a
2
1?1? 2a
2
x???
2?242
解得：
?
x?1
?< br>x?1
?
x?0
???
y?1y??1y?0
（ⅰ）当a?0
时，
?
或
?
或
?
即此时两曲线恰有三个 不同的交点
(1,1)
，
(1,?1)
，
(0,0)
，满足 题意.
（ⅱ）当
a?0
时，两曲线交点的个数情况如下：
若
?2?a?2
，两曲线有两个交点；

33

高中数学讲义之解析几何
若
a??2
，两曲线有且只有一个交点；
若
a??2
或
a?2
，两曲线无交点.
以上情况，均不符合题意.
故
a?0


22222
x?y?ax?y?0
，亦即直线
y??x
. 数形结合 可见，
a?0
注：当时，曲线，即为
22
(x?1)?y?1
，此时 它与曲线即圆心为
(1,0)
，半径为1的圆恰有三个交点；而当
a?0
时，
222
x?y?a
曲线为左、右顶点分别为
A
1
(?a,0 )
，
A
2
(a,0)
的双曲线，同样由数形结合可见，
22
(x?1)?y?1
的交点个数根据参数
a
取值的不同而不同。
(1 ,0)
它与圆心为，半径为1的圆

三、分类讨论思想
x
2
y
2
??1
3. 判断方程
9?kk?3
所表示的曲线.
x
2
y
2
??1
9?kk?3
解：由于方程中含有未知参数
k
，因此对于其所表示的曲 线，需要分情况
进行讨论。具体如下：
x
2
y
2
??1
22
x?y?3

9?k?k?3k?6
33
（ⅰ）当，即时，原方程可化为，即
此时原方程表示圆心 在坐标原点，半径为
3
的圆。
（ⅱ）当
圆。
?
9?k? 0
?
?
k?3?0
?
9?k?k?3
?
，即
3?k?6
时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在
x
轴上的椭
（ⅲ）当< br>圆。
?
9?k?0
?
?
k?3?0
?
9? k?k?3
?
，即
6?k?9
时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在
y
轴上的椭

34

高中数学讲义之解析几何
?
9?k?0
?
k?3?0
，即
k?3
时，原方程表示中心在 坐标原点，焦点在
x
轴上的双曲线。 （ⅳ）当
?
?
9?k?0?
k?3?0
，即
k?9
时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在
y
轴上的双曲线。 （ⅴ）当
?

四、转化思想
22
3 x?y?1
交于
A
、
y?ax?1
B
两点，4. 已知直线 与双曲线则当
a
=__________时，以
AB
为直径的圆过坐标原点？
解：设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

?
3x
2
?y
2
?1
?
22
y?ax?1
(3?a)x?2ax?2?0

?
联立，得
22222
2
??(?2a)?4(3?a)(?2)? 4a?24?8a??4a?24?0
②
3?a?0
由题设条件，有①，
由 韦达定理，有
x
1
?x
2
??
?2a2a?2
?x x?
12
3?a
2
3?a
2
，
3?a
2< br>
又
?
以线段
AB
为直径的圆过坐标原点
?OA?OB?OA?OB?0

而
OA?(x
1
,y1
)
，
OB?(x
2
,y
2
)
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
（
?
）
?22a?2a
2
?2a
2
?3?a2
y
1
y
2
?(ax
1
?1)(ax
2
?1)?ax
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?1?a??a??1??1
3?a
2
3?a
2
3?a< br>2
又
22
?2?2?3?a
2
1?a
2
? 1?0???0
222
3?a3?a
?
由（
?
）式，有3?a

2
?
1?a?0
解得：
a??1
满足①、②
故当
a??1
时，以
AB
为直径的圆过坐标原点.

五、函数与方程思想

35

高中数学讲义之解析几何 < br>22
x?y?1
的左支交于
A
、
B
两点，
y ?kx?1
l
5. 已知直线
1
：与双曲线直线
l
2
过点
P(?2,0)
和线段
AB
的中点
M
，则直线
l
2
在
y
轴上的截距
b
的取值范围是_________ _.
解：设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)

?
x
2
?y
2
?1
?
22
y?kx?1
(1?k)x?2kx?2?0
（
x??1
）
?
联立，得
?
1?k
2
?0
?
222
??(?2k)?4(1?k)(?2)??4k?8?0
?< br>?
?2k2k
?1?k?2
?
x
1
?x
2< br>????0
22
1?k1?k
?
?2
?
xx???0
12
2
?
1?k
由题设条件及韦达定理，有
?

设
M(x
0
,y
0
)

2k
x< br>1
?x
2
1?k
2
k
x
0
???< br>221?k
2
， 则由点
M
是线段
AB
的中点，有< br>y
1
?y
2
(kx
1
?1)?(kx
2?1)k(x
1
?x
2
)?2
???
222
k ?
2k
?2
2k
2
?2?2k
2
21
1? k
2
???
22
22(1?k)2(1?k)1?k
2
< br>y
0
?
由直线
l
2
过点
P(?2,0)、
M(x
0
,y
0
)
可知，直线
l
2
的方程为
y?0?
y
0
?0y
0
y
0< br>[x?(?2)]?(x?2)y?(x?2)
x
0
?(?2)x
0< br>?2x
0
?2
，即
y?
y
0
y2y
0
(x?2)b?
0
(0?2)?
x
0
?2x
0
?2x
0
?2
中，令
x?0
，则直线
l
2
在
y
轴上的截距在方程
1
2
22
?
1? k
??
22
k
k?2(1?k)?2k?k?2
?2
21?k

2?
2
f(k)??2k?k?2
，
k?1,2
令
??
k??
其对称轴为
11
?
2(?2)4

?
函数
f(k)
在
1,2
上单调递减
??

36

高中数学讲义之解析几何
于是对任意的
k?1,2
，都有
f(2)?f(k)?f(1)
< br>而
f(2)??4?2?2?
??
2?2
，
f(1)??2? 1?2?1

?2?2?f(k)?1

又
f(k)?0

?2?2?f(k)?0
或
0?f(k)?1

于是
1?
f(k)
12?2
??
2?2(2?2)(2?2)
2?2< br>?2
1
?1
f(k)
或
?b?
212?2
21
?2??2?1?2
?2??2???2?2
b?
f(k)f(k)f(k)f(k)?2
或
故直线
l
2
在
y
轴 上的截距
b
的取值范围是
(??,?2?2)?
?
2,??
?


37