高中数学解析几何大题专项练习

x
2
?y
2
?1(a?0)
的右焦点，点
M (m,0)
、
N(0,n)
分别是
x
轴、
y
轴上的 动点，13、已知点
F
是椭圆
2
1?a
且满足
MN?NF? 0
．若点
P
满足
OM?2ON?PO
．
(Ⅰ)求点
P
的轨迹
C
的方程；
OB
与直线x??a
分别交于点
S
、
T
（
O
(Ⅱ)设过点
F
任作一直线与点
P
的轨迹交于
A
、
B
两 点，直线
OA
、
????????
为坐标原点），试判断
FS?FT
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．












14、在平面 直角坐标系
xOy
中，已知圆B：
(x?1)
2
?y
2?16
与点
A(?1,0)
，P为圆B上的动点，线段PA的垂直
平分线 交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2） 曲线C与
x
轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与
x
轴重合的直线与曲线C的 交点记为M，N，连结
QM，QN，分别交直线
x?t(t
为常数，且
x?2
）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为
y
1
,y
2
，求< br>y
1
?y
2
的
值（用
t
表示）。











7

答案：
1、解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F
1
F
2
与线段B
1
B
2
互相垂直平分，故椭圆中心即 为该四点外接圆的圆心
…………………1分






故该椭圆中
a?2b?2c,
即椭圆方程可为
x
2
?2y
2
?2b
2
………3分
设H（x,y）为椭圆上一点，则
|HN|
2
?x
2
?( y?3)
2
??(y?3)
2
?2b
2
?18,其中?b? y?b
…………… 4分
若
0?b?3
，则
y??b时,|HN|
2
有最大值
b?6b?9

2
2
…………………5分
由
b?6b?9?50得b??3?52
（舍去）(或b+3b+9<27,故无解)…………… 6分
若
b?3,当y?? 3时,|HN|
2
有最大值2b
2
?18
…………………7分
2

x
2
y
2
??1
………………… 8分 由
2b?18?50得b?16
∴所求椭圆方程为
3216
22
?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?< br>3216
（1） 设
E(x
1
,y
1
),F(x2
,y
2
),Q(x
0
,y
0
)
，则 由
?
两式相减得
22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
3216
x
0
?2ky
0
?0
……③又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为
y?
13

x?
k3
将点Q（
x
0
,y
0
）代入上式得，
y
0
??
13< br>……④…………………11分
x
0
?
k3
由③④得Q（233
）…………………12分
k,?
33
22
x
0
y
0
??1
， 而Q点必在椭圆内部
?
3216
由此得
k?
2
479494
,故当
,又k?0,???k?0或0 ?k?
222
k?(?
9494
,0)?(0,)

22
时，E、F两点关于点P、Q的直线对称 14分
2、解：（Ⅰ）
?l
与圆相切,
?1?
m
1?k
2

?m?1?k
……①
22
由
?

?
y?kx?m
222
, 得
(1?k)x?2mkx?(m?1)?0
,
22
?
x?y?1
8

?
?
1?k
2
?0
?
?
?
?
??4m
2
k< br>2
?4(1?k
2
)(m
2
?1)?4(m
2
?1?k
2
)?8?0
,
?
2
m
?
x
1
?x
2
?
2
?1
?0
?
k? 1
?
?k
2
?1,
??1?k?1
,故
k
的取值范围为
(?1,1)
.
由于
x
1
?x
2< br>?
2mk2222
2
22
?x?x?(x?x)?4xx??
?0?k?1k?0
时，
x
2
?x
1
， 当
?
211212

22
2
1?k1?k
1?k
取最小值
22
. 6分
（Ⅱ）由已知可得
A
1
,A
2
的坐标分别为
(?1,0),(1,0)
，
?k
1
?
y
1
yy
1
y
2
(kx?m)(kx
2
?m)
,k
2
?
2
，
?k
1
?k
2
??
1

x
1?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)(x
1
?1)(x
2
?1)
2
m
2
?12mk
k?
2
?mk?
2
?m
2
22
kx
1x
2
?mk(x
1
?x
2
)?m
k?1k?1
?

?
2
x
1
x
2
?(x
2
?x
1
)?1
m?122
??1
k
2
?1k
2
?1
m
2
k
2
?k
2
? 2m
2
k
2
?m
2
k
2
?m
2< br>k
2
?m
2
，
??
2222
m?1?22?k?1m?k?2?22
由①，得
m?k?1
，
?k
1
?k
2
?
3、解：（1）
y?4x





设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)< br>，
D(x
1
,?y
1
)
，
l
的方程 为
x?my?1(m?0)
．
（2）将
x?my?1
代人
y?4x
并整理得
y?4my?4?0
，
从而
y
1
?y
2
?4m,y
1
y
2
?4.

直线
BD
的方程为
y?y
2
?
22
2
22
?1
??(3?22)
为定值. 12分
3?22
y
2
?y
1
?(x?x
2
)，
x
2
?x
1

2
yy
y
2
4
即
y?y
2< br>??(x?)
令
y?0,得x?
12
?1.

4
y
2
?y
1
4



所以点
F(1,0)
在直线
BD
上
（3）由①知，
x
1
?x
2
?(my
1
?1)?(my
2
?1)?4m
2
?2

9

uuruur
x
1
x
2
?(my
1
?1)(my
2
?1 )?1.
因为
FA?(x
1
?1,y
1
),FB?( x
2
?1,y
2
)
，
uuruur
FA?FB? (x
1
?1)(x
2
?1)?y
1
y
2
? x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?4?8 ?4m
2

故
8?4m?
2
4
8
，解得
m??
< br>3
9
所以
l
的方程为
3x?4y?3?0,3x?4y?3? 0

又由①知
y
1
?y
2
?4m?
16
111616
故
S
?
?KF?y
1
?y
2
??2??

2233
3
x
2
y
2
4、解：（I）设椭圆的方程 为
2
?
2
?1(a?b?0)
，
ab
?
a
2
?b
2
1
?
?
?
a2
，得< br>a
2
?16
，
b
2
?12
. 则
?
?
4
?
9
?1
?
?
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
.…………………3分 所以 椭圆的方程为
1612
设直线AB的方程为
y?kx?t
(依题意可知直线的 斜率存在)，
?
x
2
y
2
?1
?
?设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则由
?
1612
，得
?
y?kx?t?
?
3?4k
?
x
22
?8ktx?4t
2< br>?48?0
,由
??0
，得
b
2
?12?16k2
，
8kt
?
x?x??
12
?
?
3?4k
2
，设
T
?
x
0
,y
0
?

?
2
?
xx?
4t?48
12
?3?4k
2
?
x
0
??
4kt3t
,y?,易知
x
0
?0

0
3?4k
2
3? 4k
2
，
1
y
0
3
?
，即
k??
，
2
x
0
2
由OT与OP斜率相等可得
1
x
2
y
2
??1
，直线AB的斜率为
?
.……… ……………6分 所以椭圆的方程为
2
1612
（II）设直线AB的方程为
y??
1
x?t
，即
x?2y?2t?0
，
2

10

1
?
y??x?t，
?
?
2
由
?
2

2
?
x
?
y
? 1.
?
?
1612
得
x?tx?t?12?0
，
22
??t
2
?4(t
2
?12)?0
，
?4?t ?4
.………………8分
?
x
1
?x
2
?t,< br>515
2222
.．
|AB|?(1?k)[(x?x)?4xx]?(48 ?3t)?16?t
?
1212
2
42
?
x
1?x
2
?t?12.
点P到直线AB的距离为
d?
于是
?PAB
的面积为
|8?2t|
5
.
S
?PAB?
1|8?2t|151
???16?t
2
?(4?t)
3?(12?3t)
……………………10分
222
5
设
f(t )?(4?t)
3
(12?3t)
，
f'(t)??12(t?4)
2
(t?2)
，其中
?4?t?4
.
在区间
(?2,4)
内，
f'(t)?0
，
f(t)
是减函数；在区间
(?4, ?2)
内，
f'(t)?0
，
f(t)
是增函数.所以
f( t)
的最
大值为
f(?2)?6
4
.于是
S
?PA B
的最大值为18.…………………12分
?????
2
5、解：（Ⅰ）由 题意，
|FF
12
|?2c?2,?A(a,0)
-------1分
?????????

?
AF
为
F
1
的中点------------2分
1
?2AF
2
?
2
AF


?a
2
?3,b
2
?2

x
2
y
2
??1.
------------3分 即：椭圆方程为
32
b
2
4
（Ⅱ）当直线
DE
与
x
轴垂直时，
|DE|?2
，此时
|MN|?2a?23
，
?
a
3
|DE|?|MN|
?4
不符合题意故舍掉； ------------4分 四边形
DMEN
的面积
S?
2
同理 当
MN
与
x
轴垂直时，也有四边形
DMEN
的面积
------------5分
当直线，
MN
均与
x
轴不垂直时 ，设
DE
:
y?k(x?1)
，
代入消去
不符合题意故舍掉；
y
得：
(2?3k
2
)x
2
?6k
2
x?(3k
2
?6)?0. ------------6分
?
?6k
2
x?x
2
?,
?
2
?
1
2?3k
------------7分设
D(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
),则
?
2
?
xx?
3k?6
,
12
?
2?3k
2
?


11

43?k
2
?1
所以
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
， ------------8分
2
3k?2
43(k
2
?1)
2
所以
|DE|?k?1|x
1
?x
2
|?
， ------------9分
2
2?3k
11
43[(?)
2< br>?1]43(
2
?1)
kk
同理
|MN|?
--- ---------11分
?.
1
2
3
2?3(?)2?
2
kk

1
1
2
24(k??2)
43(?1)
2
2
|DE|?|MN|143(k
2
?1)
k
k
所以四边形的面积
S?
?
???2
1
3
22
2?3k
6(k
2
?
2< br>)?13
2?
2
k
k

27
?k
2
?2?k??2
， ------------12分 由
S?
7
所以直线
l
DE
:2x?y?2?0
或
l
DE
:2x?y?2?0

2< br>或
l
DE
:2x?2y?2?0
或
l
DE
: 2x?2y?2?0
---------13分
6、解：（Ⅰ）（ⅰ） 由抛物线定义可知，抛物线上点
M(m,2)
到焦点
F
的距离与到准线距离相 等，即
M(m,2)
到
y??
∴
?
p
的距离为3；
2
p
?2?3
，解得
p?2
．
2
2
∴ 抛物线
P
的方程为
x?4y
． 4分
（ⅱ）抛物线焦点
F(0,1)
，抛物线准线与y轴交点为
E(0,? 1)
，
显然过点
E
的抛物线的切线斜率存在，设为
k
，切 线方程为
y?kx?1
．
?
x
2
?4y
2
由
?
， 消y得
x?4kx?4?0
， 6分
?
y?kx?1
??16k
2
?16?0
，解得
k ??1
． 7分
∴切线方程为
y??x?1
． 8分
（Ⅱ）直线
l
的斜率显然存在，设
l
：
y?kx?< br>设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2< br>,y
2
)
，
p
，
2
?
x
2
?2py
?
22
由
?
p
消y得
x?2pkx?p?0
． 且
??0
．
?
y?kx?
?2
∴
x
1
?x
2
?2pk
，
x
1
?x
2
??p
2
；

12

∵
A(x
1
,y
1
)
， ∴ 直线
OA
：
y?
y
1
x
，
x
1
与
y??
p
pxpx
pp
联立可得< br>C(?
1
,?)
， 同理得
D(?
2
,?)
． 10分
2
2y
1
22y
2
2
p
)
，
2
∵ 焦点
F(0,
????????
px
1
px
∴
FC?(?,?p)
，
FD?(?
2
,?p)
， 12分
2y
1
2y
2
????????
px
1< br>px
2
px
1
px
2
p
2
x
1
x
2
2
∴
FC?FD?(?,?p)?(?,?p)
??p??p
2

2y< br>1
2y
2
2y
1
2y
2
4y
1y
2
p
2
x
1
x
2
p
4p
4
222
??p??p??p?0

22
2
xx
x
1
x
2
?p
4
12
2p2p
∴ 以
CD
为直径的圆过焦点
F
． 14分
7、解：（I）由题意可得
OP?OM
， 2分
?????????
所以
OP?OM?0
，即
(x,y)(x ,?4)?0
4分
即
x?4y?0< br>，即动点
P
的轨迹
W
的方程为
x?4y
5分
（II）设直线
l
的方程为
y?kx?4
,
A(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
， 则
A'(?x
1
,y
1
)
.
22
?y?kx?4
2
由
?
2
消
y
整理得
x ?4kx?16?0
， 6分
?
x?4y
则
??16k?64?0
，即
|k|?2
. 7分
2
x
1
?x
2
?4k,x
1
x2
?16
. 9分
直线
A'B:y?y
2
?
y
2
?y
1
(x?x
2
)

x
2
?x
1
? y?
y
2
?y
1
(x?x
2
)?y
2x
2
?x
1
12分
2

x
2
2
?x
1
2
1
?y?(x?x
2
)?x
2
2
4(x
1
?x
2
)4x
2
?x
1
x?x
1
x
2
1
x??x
2
444
x?xxx
? y?
21
x?
12
44
?y?
2
2

13

即
y?
x
2
?x
1
x?4

4
所以，直线
A'B
恒过定点
(0,4)
. 13分
8、解：（Ⅰ）因为椭圆
M
上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
6?42
，
所以
2a?2c?6?42
， 1分
又椭圆的离心率为
22c2222
，即
?
，所以
c? a
， 2分
3a33
所以
a?3
，
c?22
. 4分
x
2
?y
2
?1
. 5分 所以
b?1
，椭圆
M
的方程为
9
（Ⅱ）方法一：不妨 设
BC
的方程
y?n(x?3),(n?0)
，则
AC
的方 程为
y??
1
(x?3)
.
n
?
y?n(x?3 ),
1
?
2222
(?n)x?6nx?9n?1?0
， 6分 由
?
x
2
得
2
9
?
?y?1
?
9
81n
2
?927n
2
?3
设
A( x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，因为
3x
2
?
，所以
x
2
?
， 7分
9n
2
?1
9n
2
?1
27? 3n
2
同理可得
x
1
?
， 8分
2
9?n
1?n
2
6n
2
所以
|B C|?1?n
，
|AC|?
， 10分
2
2
9n?1
n
9?n
2
6
1
2(n?)
1
n
， 12分
S
?ABC
? |BC||AC|?
1
2
64
2
(n?)?
n9
1
2t23
设
t?n??2
，则
S???
， 13分
6464
8
n
t
2
?t?
99t
83
当且仅当
t?
时取等号，所以
?ABC
面积的最大值为. 14分
38
方法二：不妨设直线
AB
的方程
x?ky?m
. ?
x?ky?m,
?
222
由
?
x
2
消去得
(k?9)y?2kmy?m?9?0
， 6分
x
2< br>?
?y?1,
?
9
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，

14

2km
m
2
?9
则有
y1
?y
2
??
2
，
y
1
y
2
?
2
. ① 7分
k?9k?9
????????
因为以
AB
为直径的圆过点
C
，所以
CA?CB?0
.
????????
由
CA?(x1
?3,y
1
),CB?(x
2
?3,y
2
)
，
得
(x
1
?3)(x
2
?3)?y
1
y
2
?0
. 8分
将
x
1
?ky
1
?m,x
2
?ky
2
?m
代入上式，
得
(k
2
?1)y
1
y
2
?k(m?3)(y
1
?y
2
)?(m?3 )
2
?0
.
12
或
m?3
（舍）. 10分
5
12
12
所以
m?
（此时直线
AB经过定点
D(,0)
，与椭圆有两个交点），
5
5
1
所以
S
?ABC
?|DC||y
1
?y
2
|

2
将 ① 代入上式，解得
m?
13925(k
2
? 9)?144
2
??(y
1
?y
2
)?4y
1y
2
?
. 12分
25525(k
2
?9)< br>2
设
t?
11
,0?t?
，
2
k?99< br>则
S
?ABC
?
所以当
t?
9144
2??t?t
.
525
3
251
?(0,]
时，
S
?ABC
取得最大值. 14分
8
2889
2
y
1
2
y
2
9、解：（1）不妨设A（,y
1
),B(,y
2
)

2p2p
k< br>MA
??k
MB
?y
1
?y
2
??2p,? k
AB
?
y
2
?y
1
??1
……………… …………………5分
2
y
2
y
1
2
?
2 p2p
y
1
2
y
1
2
（2）AB的直线方程为：< br>y-y
1
??(x?),即x?y?y
1
??0

2 p2p
点M到AB的距离
d?
3p
2
?2py
1
? y
1
2
22p
。………………………………………7分
2
y
2
y
1
2
2
AB?2x
2
?x
1
?2??y
1
?y
2
?y
2
?y
1?22p?y
1
……… 9分
2p2p2p
又由
y
1
?y
2
??2p
且
y
1
,y
2
? 0,y
1
?
?
?2p,0
?
,令p?y
1
?t,?t?
?
?p,p
?

S
?MAB

3p
2
?2py
1
?y
1
2
11
??2 2P?y
1
??4p
2
t?t
3
……………………… 11分
22p
22p
15

设
f(t)?4pt? t
为偶函数，故只需考虑
t?
?
0,p
?
，
23
所以
f(t)?4p
2
t?t
3
,f(t)
??4p
2
?2t
2
?0,f(t)在
?
0，p
?
上递增，
3
当
t?p
时，
f(t)
max?3p?(S
?MAB
)
max
?
13
?3p
3
?p
2

2p2
3
2
p?6?p?2
。 故所求抛物线的方程为
y
2
?4x
……………………13分
2c1
10、（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率
e??
，
2a?4
， 所以
a?2,c?1,b?3
，
a2
?
x
2
y
2
??1
， ┄┄┄┄┄┄3分 故椭圆方程为
43
则直线
l:x??1
，
A(? 2,0),B(2,0)
，
故
C(?1,),D(?1,?)
或
C(?1,?),D(?1,)
，
3
2
3
2
3
2
3
2

33
2
??
3
,k?
2
??
1
， 当点
C
在
x
轴上方时，
k
1
?
2
?1?22?1?22
?
所以
k
1
:k
2
?3
，
当点
C
在
x
轴下方时，同理可求得
k
1
:k
2
? 3
，
综上，
k
1
:k
2
?3
为所求． ┄┄┄┄┄┄6分
(Ⅱ)解：因为
e?
2
1
，所以
a?2c
，
b?3c
，
2
22
椭圆方程为< br>3x?4y?12c
,
A(?2c,0),B(2c,0)
,直线
l: x?my?c
，
设
C(x
1
,y
1
),D(x< br>2
,y
2
)
，
?
3x
2
?4y< br>2
?12c
2
,
222
由
?
消
x
得，
(4?3m)y?6mcy?9c?0
， < br>?
x?my?c
?
6mc??6mc??6mc
y?y???,
?
12
222
2(4?3m)2(4?3m)4?3m
?
所以
?
┄┄┄┄┄┄8分
2
?
y?y?
6mc??
?
6mc??
??
9c
,
?
12
2(4?3m< br>2
)2(4?3m
2
)4?3m
2
?
8c
?
x?x?m(y?y)?2c??,
1212
?
?
3m
2< br>?4
故
?
①
222
?
x?x ?m
2
yy?mc(y?y)?c
2
?
4c?12mc
,< br>121212
?
3m
2
?4
?

16

由
k
1
y
2
(x
1
?2c)
33(2c?x)(2c?x)
222
，及
y?(4c?x)?< br>，┄┄9分
?
44
k
2
y
1
(x
2
?2c)
k
1
2
y
2
2
(x
1
?2c)
2
(2c?x
1
)(2c?x
2
)4c< br>2
?2c(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
得
2
?
2
，
??
22
(2c?x1
)(2c?x
2
)
4c?2c(x
1
?x
2
)?x
1
x
2
k
2
y
1
(x2
?2c)
k
1
2
将①代入上式得
2
k
2
16c
2
4c
2
?12m
2
c
24c??
22
36c
2
3m?43m?4
???9
，┄ ┄10分
22222
16c4c?12mc4c
4c
2
?
2
?
3m?43m
2
?4
2
注意到
y
1< br>?y
2
?0,x
1
?2c?0,x
2
?2c?0，得
k
1
y
2
(x
1
?2c)
??0
，┄┄11分
k
2
y
1
(x
2
?2c)
所以
k
1
:k
2
?3
为所求． ┄┄┄┄┄┄12分
11、解：(1)依题意，得 c=1．于是，a=
2
，b=1． …………………2分
x
2
所以所求椭圆的方程为
?y
2
?1
． ……………………………… 4分
2
2
x
1
2
x
2
22
?1
②． (2) (i)设A(x
1
，y
1< br>)，B(x
2
，y
2
)，则
?y
1
?1①，
?y
2
22
?????????????
?
x?x
1
cos
?
?x
2
sin
?
,
又 设M(x，y)，因
OM?cos
?
OA?sin
?
OB
， 故
?
……7分
y?ycos
?
?ysin
?
.
?
12
(x
1
cos
?
?x
2
s in
?
)
2
?(y
1
cos
?
?y
2
sin
?
)
2
?1
． 因M在椭圆上，故
2< br>2
x
1
2
x
2
xx
222
)sin
2
?
?2(
12
?y
1
y
2
)c os
?
sin
?
?1
． 整理得
(?y
1
)cos
?
?(?y
2
222
将①②代入上式，并注意
co s
?
sin
?
?0
，得
所以，
k
OA
k
OB
?
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
2
y
1
y
2
1
??
为定值． ………………………………10分
x
1
x
2
2
2
x
1
x
2
2
x
1
2
x
2
222
2
)???(1?y
1
2
)(1?y
2
)? 1?(y
1
2
?y
2
)?y
1
2
y
2
(ii)
(y
1
y
2
)?(?
，故
y
1
2
?y
2
?1
．
222
2
x
1
2
x
2
22
2
)?2
，故
x< br>1
2
?x
2
又
(?y
1
)?(?y
2
?2
．
22
22
?y
2
所以，OA
2
+OB
2
=
x
1
2
?y
1
2?x
2
=3． ………………………16分
12、解: （Ⅰ）设动圆P的半径为r,则
|PM|?
两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|
151
?r,|PN|?r?

44
由椭圆定义知，点P的轨迹是以 M、N为焦点，焦距为
23
，实轴长为4的椭圆

17

x
2
y
2
??1
…………6分 其方程为
41
?????????
（Ⅱ）假设存在，设
Q（x,y）.则因为
?MQN
为钝角，所以
QM?QN?0

? ?????????????????
QM?(?3?x,?y)
，
QN?(3?x, ?y)
，
QM?QN?x
2
?y
2
?3?0

x
2
y
2
??1
又因为
Q
点在椭圆上， 所以
41
8
x
2
2
?3?0
化简得：
x< br>2
?
， 联立两式得：
x?1?
3
4
x
2< br>?y
2
?
1(
a?
0)
右焦点
F
的 坐标为
(a,0)
， ………(1分) 解得：13、解：(Ⅰ)

?< br>椭圆
2
1?a
?????????
?NF?(a,?n)
．< br>?
MN?(?m,n)
，
?
由
MN?NF?0
，得
n
2
?am?0
． ………… (2分)
设点
P
的坐标为
(x,y)
，由
OM ?2ON?PO
，有
(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)
，
?m??x,
?
2
2
?
y
代入
n?am?0，得
y?4ax
． ……… (4分) < br>n?.
?
2
?
y
1
2
y
2
2
,y
1
)
、
B(,y
2
)
， （Ⅱ）解 法一：设直线
AB
的方程为
x?ty?a
，
A(
4a4a< br>则
l
OA
:y?
4a4a
x
，
l
O B
:y?x
． ………… (5分)
y
1
y
2
4a
?
y?x,
4a
2
4a
2
?
y
1
，得
S(?a,?
由
?
)
， 同理得
T(?a,?)
． ………… (7分)
y
1
y
2
?
x??a
?
??? ?????????????
4a
2
4a
2
16a
4
2
． ……(8分)
?FS?(?2a,?)
，
FT?(?2a,?)
，则
FS?FT?4a?
y
1
y
2
y
1< br>y
2
由
?
?
x?ty?a,
2
?
y ?4ax
，得
y?4aty?4a?0
，
?y
1
y
2
??4a
2
． ……… (9分)
22
1 6a
4
?4a
2
?4a
2
?0
． …………… (11分) 则
FS?FT?4a?
2
(?4a)
?????? ??
因此，
FS?FT
的值是定值，且定值为
0
． ……… (12分)
解法二：①当
AB?x
时，
A(a,2a)
、
B(a,?2a)
，则
l
OA
:y?2x
，
l
OB
:y??2x
．
2

18

????
?
y?2x,
得点
S
的坐标为< br>S(?a,?2a)
，则
FS?(?2a,?2a)
．
?
x??a
????
?
y??2x,
由
?
得点
T
的坐标为
T(?a,2a)
，则
FT?(?2a,2a)．
x??a
?
????????
?FS?FT?(?2a)?(?2a )?(?2a)?2a?0
． …………… (6分) 由
?
yy
②当
AB
不垂直
x
轴时，设直线AB
的方程为
y?k(x?a)(k?0)
，
A(
1
, y
1
)
、
B(
2
,y
2
)
，同解 法一，
4a4a
22
????????
16a
4
2
得
FS?FT?4a?
． … (8分)
y
1
y
2
?
y?k(x?a),
由?
2
，得
ky
2
?4ay?4ka
2
?0，
?y
1
y
2
??4a
2
． …………(9分)
?
y?4ax
16a
4
22
则
FS?FT?4a??4a?4a?0
． ………… (11分)
2
(?4a)
????????
因此，
FS?FT的值是定值，且定值为
0
． ………… (12分)
2
，所以存在。…… 13分
14、解：(1)连接
RA
，由题意得，
RA?RP
，
RP?RB?4
，
所以
RA?RB?4?AB?2
，…………………………………………………2分
x
2
y
2
??1
.……………………………4分 由椭圆定 义得，点
R
的轨迹方程是
43
(2)设
M
(x
0< br>,y
0
)
，则
N(?x
0
,?y
0
)
，
QM,QN
的斜率分别为
k
QM
,k
QN，
则
k
QM
?
y
0
y
0
，
k
NQ
?
，……………………………………………6分
x
0
?2
x
0
?2
y
0
y
0
(x? 2)
，直线
QN
的方程
y?(x?2)
，8分
x
0
?2x
0
?2
所以直线
QM
的方程为
y?
令
x?t(t?2)
，则
y
1
?
y
0
y
0
(t?2),y
2
?(t?2)
，……………………10分 x
0
?2x
0
?2
22
x
0
y
0
3
22
??1
，所以
y
0
又因为
(x
0
,y
0
)
在椭圆，
?3?x
0
43< br>4
3
2
(3?x
0
)(t?2)
2
2
y
3
2
4
所以
y
1
?y
2
?< br>2
0
(t?2)
2
?
，其中
t
为常数.…1 4分
??(t?2)
2
x
0
?4x
0
?44



19