高中数学解析几何解题方法

所以直线L的方程为：y=

1?5
2
45
x,抛物线C的方程为y=x.
5
2
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x+y=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|
的比等于常数
?
（
?
>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=
?
|MQ|}，
由平面几何知识可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入， 可得：
(
?
-1)(x+y)-4
?
x+(1+4
?
)=0.
22222
2222
22
M
N
O Q < br>当
?
=1时它表示一条直线；当
?
≠1时，它表示圆。这种方法叫做直 接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对 称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这
交点在圆锥曲线形内 。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
x
2
y
2
?? 1
，试确定m的取值范围，使得对于直线
y?4x?m
，椭圆C上有不同两点典型例题 已知椭圆C的方程
43
关于直线对称。
分析：椭圆上两点
(x1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，代入方程，相减得
3(x
1
?x
2
)(x
1< br>?x
2
)?

4(y
1
?y
2
)( y
1
?y
2
)?0
。
又
x?
y ?y
2
x
1
?x
2
y?y
2
1
? ?
，代入得
y?3x
。 ，
y?
1
，
k?
1
x
1
?x
2
4
2
2
?
y?3x
又由
?
解得交点
(?m,?3m)
。
y?4x? m
?
213213
(?m)
2
(?3m)
2
?m?
??1
，得
?
交点在椭圆内，则有。
1313
43
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问 题，常用
k
1
·k
2
?
y
1
·y
2
??1
来处理或用向量的坐标运算

x
1
·x
2
y
来处理。
典型例题 已知直线
l
的斜率为
k
，且过点

B
2
线
C:y?4(x?1)
，直线
l
与抛物线C有两个不同的
A
P
（1）求
k
的取值范围；
(-2,0) O x
（2）直线
l
的倾斜角
?
为何值时，A、B与抛物线C

垂直。

分析：（1）直线
y?k(x?2)
代入抛物线方程得< br>P(?2,0)
，抛物
交点（如图）。
的焦点连线互相

k
2
x
2
?(4k
2
?4)x?4k
2
?4?0
，
由
??0
，得
?1?k?1(k?0)
。
4k
2
?4
（2）由上面方程得
x
1
x
2
?
，
k
2

y
1
y
2
?k(x
1< br>?2)(x
2
?2)?4
，焦点为
O(0,0)
。
由
k
OA
·k
OB

2
y
1y
2
2
22
k
2
，
?
?arctan
或
?
?
?
?arctan

??
2
??1
，得
k??
2
22
x
1
x
2k?1
B:解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计 算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲
线系方程，以及运用“设而不求”的 策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

（1）充分利用几何图形
解 析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条< br>件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线
3x?4 y?m?0
与圆
x?y?x?2y?0
相交于P、Q两点，O为坐标原点，若
OP?OQ
，求
m
的值。
解：
?
圆
x?y?x?2y?0
过原点，并且
OP?OQ
，

?PQ
是圆的直径，圆心的坐标为
M(?
又
M(?
22
22
1
，1)

2
1
，1)
在直线
3x?4y?m?0
上，
2
15

?3?(?)?4?1?m?0，?m??
即为所求。
22
评注： 此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且
OP?OQ
，PQ是圆的直径，圆心在直线
3x?4y?m?0
上，而是设
P(x
1
，y
1
) 、Q(x
2
，y
2
)
再由
OP?OQ
和韦达定理求
m
，将会增大运算量。
评注：此题若不能挖掘利用几何条件
?OM P?90?
，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，
计算量将很大，并且比 较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点 坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题 已知中心在原点O，焦点在
y
轴上的椭圆与直线
y?x?1
相交于P、Q两点 ，且
OP?OQ
，
|PQ|?
求此椭圆方程。
解：设椭圆 方程为
ax?by?1(a?b?0)
，直线
y?x?1
与椭圆相交于P(x
1
，y
1
)
、
Q(x
2
，y2
)
两点。
22
10
，
2
?
y?x?1
由方程组
?
2
消去
y
后得
2
?
ax?b y?1

(a?b)x
2
?2bx?b?1?0

2bb?1

?x
1
?x
2
??，x
1< br>x
2
?
a?ba?b
由
k
OP
?k
OQ
??1
，得
y
1
y
2
??x
1
x
2
（1）
又P、Q在直线
y?x?1
上，
(2)
?
y
1
?x
1
?1，
?

?
y
2
?x
2
?1，

(3)
? y
1
y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1)? x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1
把（1）代入，得
2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?0
，
即
2(b?1)2b
??1?0

a?ba?b
化简后，得

a?b?2
（4）
由
|PQ|?
10
5
22
，得
(x
1
?x
2
) ?(y
1
?y
2
)?

2
2
55
，(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?，
44

2b
2
4(b?1)5
() ??
a?ba?b4
?(x
1
?x
2
)
2
?
把（2）代入，得
4b
2
?8b?3?0
，解得
b?
13
或
b?

22
31
或
a?

22
31
由
a?b?0
，得
a?，b?
。
22
代入（4）后，解得
a?
3x
2
y
2
??1

?
所求椭圆方程为
22
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆
C
1
：x?y?4x?2y?0
和< br>C
2
：x?y?2y?4?
0的交点，且圆心在直线
l
：2222
2x?4y?1?0
上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?4x?2y?
?
(x
2
? y
2
?2y?4)?0

即
(1?
?
)x ?(1?
?
)y?4x?2(1?
?
)y?4
?
?0
，
22
2
?
?1
）
，
1?
???1
2
?
?11
?4??1?0
，解得
?
?< br>，代入所设圆的方程得
x
2
?y
2
?3x?y?1?0
为 又C在直线
l
上，
?
2?
1?
??
? 1
3
其圆心为C（

所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程 < br>椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说 的三角
代换法。
x
2
y
2
典型例题 P为椭圆2
?
2
?1
上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形 OAPB面积的最大值及
ab
此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的 弦AB长的方法是：把直线方程
y?kx?b
代入圆锥曲线方程中，得到型如
△
，若
ax
2
?bx?c?0
的方程，方程的两根设为
x
A
，
x
B
，判别式为△，则
|AB|?1?k
2
·| x
A
?x
B
|?
1?k
2
·
|a|
直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线
x?y?1?0
被椭圆
x?4y?16
所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义 都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
22
x
2
y
2
??1
的两个焦点，AB是经过
F
1
的弦，若
| AB|?8
，求值
|F
2
A|?|F
2
B|
例
F
1
、
F
2
是椭圆
259
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3，2）为定 点，点F是抛物线
y?4x
的焦点，点P在抛物线
y
?4x
上移动， 若
|PA|?|PF|
取得
最小值，求点P的坐标。

22