高中数学必修《解析几何》常用公式结论

.
高中数学必修2《解析几何》常用公式结论

1、直线的倾斜角 与斜率：
k?tan
?
，当
?
∈[0°,90°）时，斜率
k
∈[0，+∞）；
当
?
∈（90°,180°）时，斜率
k
∈（－∞，0）。
过两点
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
的直线斜率公式：
k ?
y
y
2
?y
1
.
x
2
?x< br>1
O
?
2
?
2、直线的五种方程：
⑴点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
(直线< br>l
过点
P(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
)．
⑵斜截式：
y?kx?b
(
k
为直线的斜率，b 为直线
l
在y轴上的截距).
x
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
且
x
1
?x
2
)(
P< br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
⑷截距式：
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，且
a、b?0
)
ab
⑸一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
⑶两点式：
3、两条直线平行和垂直的等价关系：
(1)若
l
1< br>:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
，则①
l
1
||l
2
?k< br>1
?k
2
,b
1
?b
2
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
；
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y? C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零；
①
l
1
||l
2
?< br>A
1
B
1
C
1
??
或
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且B
1C
2
?
B
2
C
1
；②
l
1< br>?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
A
2
B
2
C
2
4、五种常用直线系方程：
⑴斜率为
k
的直线系方程为：
y?kx?b
（
k
为常数，
b
为参数；）.
⑵过定点
M
?
x
0
,y
0
?
的直线系方程为：
y?y
0
?k
?
x ?x
0
?
及
x?x
0

⑶与直线
Ax?B y?C?0
平行的直线系方程为：
Ax?By?
?
?0
（
C ?
?
）（
?
为参数）
⑷与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程为：
Bx?Ay?
?
?0
（
?
为参数）
⑸过直线
l
1
：A
1
x?B
1
y?C1
?0
和
l
2
：A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系的方程为：
（
?
为参数）
?
Ax?By?C
?
?
?
?
Ax?By?C
?
?0
（不含
l
）
111222
2
｜PP(x< br>2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
（其 中两点为
P
5、两点间距离公式：
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）
1
｜＝
2
特别的：点
P(x,y)
到坐标原点
O(0,0)
的距离为：
|OP|?
6、点到直线的距离公式：
d?
22
x
2
?y
2

|Ax
0
?By0
?C|
22
A?B
|C
2
?C
1
|
7、两条平行直线间的距离公式：
d?
(直线
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
).
22
A?B
8、光的反射定律：当反射面是坐 标轴时，入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数，即：
k
入
＝－k
反
。
9、四种对称的求解方法：
⑴点P
?
x
0
, y
0
?
关于点C
?
a,b
?
的对称点坐标为
?
2a－x
0
,2b－y
0
?
。
特别的：点< br>P
?
x
0
,y
0
?
关于
x
轴的对称点为
?
x
0
,－y
0
?
；关于
y
轴的对称点为
?
－x
0
,y
0
?
；关于原 点的对称点
为
?
?x
0
,－y
0
?
；关于
y?x
的对称点为
?
y
0
,x
0
?
；关于
y??x
的对称点为
?
－y
0
,－x
0< br>?
.
⑵直线
l：Ax?By?C?0
关于点C
?
a ,b
?
对称的直线方程为
A(2a－x)?B(2b－y)?C?0
. 求法：设所求直线上任意一点为P
?
x,y
?
，则P关于C
?< br>a,b
?
的对称点
?
2a?x,2b?y
?
在直线< br>(点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l
：
Ax?By?C?0
).
Ax?By?C?0
上，即所求直线方程为
A(2a－x)?B(2b－y)?C?0

⑶点
P
?
a,b?
关于直线
Ax?By?C?0
的对称点的坐标的求法：
精选word范本！

.
?
a?x
0
b? y
0
?
,
?
一定在直线
Ax?By?C?0
上，且
22
??
y?b
?
A
?
?
?
?< br>?
??1
，联立解出对称点
P
'
?
x
0,y
0
?
。 直线
PP
'
与直线
Ax?By? C?0
的斜率互为负倒数，即
0
x
0
?a
?
B?
设所求的对称点
P
'
的坐标为
?
x
0
,y
0
?
，则
PP
'
的中点
?
⑷直线关 于直线对称：
直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决，在
l
1
上任 取两点
P
1
、
P
2
，求出
P
1
、
P
2
关于
l
的对称点
P
1
、
‘< br>P
2
，再用两点式求出
l
1
关于
l
对称的直 线
l
2
的方程。
‘
10、圆的两种方程：⑴圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
（圆心为
(a,b)
，半径为
r
）.
22
⑵圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F?0
).
22
222
DE
（圆心为
(?,?)
，半径为
r?
22
11、圆系方程：
D
2
?E
2
?4F
）
2
22
⑴ 过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y? Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?Dx ?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数．
22
22
⑵过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x?y?D2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x ?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
⑶过两个相交 圆公共点的直线方程的求法：只需将两圆的方程相减，消去
x、y
，即可得到所求方程。
12、点与圆的位置关系：
22
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种，若
d?( a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
222
22d?r?
点
P
在圆外；
d?r?
点
P
在圆上；
d?r?
点
P
在圆内.
13、直线与圆的三种位置关系：
直线
l
：
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r< br>的位置关系判断的两种方法（常用方法⑴）:
⑴设圆心
(a,b)
到直线l
的距离
d?
222
Aa?Bb?C
22
，则
d?r?相离；d?r?相切；d?r?相交。

A?B
⑵将直线代入圆的方程消去y ，得到关于x的一元二次方程，再利用
?
判断：
即：
??0?相交；?＝0?相切；??0?相离。

14、两圆位置关系的 判定方法：设两圆圆心分别为
O
1
、O
2
，半径分别为
r< br>1
、r
2
，
O
1
O
2
?d
，则：
⑴
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
； ⑵
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
⑶r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交 ?2条公切线
；⑷
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线;
⑸
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线

15、圆的切线方程：⑴已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①过圆外一 点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相 切条件求k，这时必有两条切线，注意不
要漏掉平行于y轴的切线．
②斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0< br>.
22
2
222
⑵已知圆
x?y?r
．①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为x
0
x?y
0
y?r
;
③若已知切点
(x< br>0
,y
0
)
在圆上，则只一条切线，方程为
x
0x?y
0
y?
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx? r1?k
2
.
16、空间两点间的距离公式：
｜PP(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
（其中两点为
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
） < br>1
(x
1
,y
1
,z
1
)
、
P
1
｜＝
2
特别的：点
P(x,y,z)
到坐标原点O(0,0,0)
的距离为：
|OP|?x
2
?y
2
? z
2

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