高中数学题详解-高中数学速查速记
解析几何常规题型及方法
(1)中点弦问题
具有斜率的弦
中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为
(x
1
,y
1
)
,
(x
2
,y
2
)
,代入方程,然后
两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
y
2
?1
。过A
(2,1)的直线与双曲线交于两点
P
1
及
P
2
,求线段
P
1
P
2
的中点P
典型例题 给定双曲线
x?
2
2
的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点
F
1
、
F
2
构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
x
2
y
2
典型例题 设P(x,y)为椭圆
2
?
2
?1
上任一点,
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
为焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
。
ab
(1)求证离心率
e?
sin(
?
?
?
)
;
sin
?
?sin
?
3
(2)求
|PF
1
|?PF
2
|
的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转
化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合
的办法
典型例题
抛物线
方程y
2
?p(x?1)(p?0),直线x?y?t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的
条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)
求
最值。
典型例题
已知抛物线y
2
=2px(p>0),过M(a,0)且
斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p
(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为(x
3
,y
3
),则由中点坐标公式得:
(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知
--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,
8)关于L的对
称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
2.曲线的形状未知-----
求轨迹方程
3
典型例题
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x
2
+y
2
=1, 动
点M到圆C的切线长与|MQ|
的比等于常数
?
(
?
>0),求动点
M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
分析:如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是:P
={M||MN|=
?
|MQ|},
由平面几何知识可知:|MN|
2
=|MO|
2
-|ON|
2
=|MO|
2
-1,将M点坐
标代入,可得:
(
?
2
-1)(x
2
+y
2
)-4
?
2
x+(1+4
?
2
)=0.
当?
=1时它表示一条直线;当
?
≠1时,它表示圆。这种方法叫做直接法。
(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,
可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这
交点在圆锥曲线形内。(当然
也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)
O Q
N
M
x
2
y
2
??1
,试确定m的取值范围,使得对于直线
y?4x?m,椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程
43
点关于直线对称。
分析:椭圆上两点
(x
1
,y
1
)
,
(x
2
,y
2
)
,代入方程,相减得
3(x
1
?x2
)(x
1
?x
2
)?
4(y
1<
br>?y
2
)(y
1
?y
2
)?0
。
又
x?
y?y
2
x
1
?x
2
y?y
2
1
??
,代入得
y?3x
。 ,
y?
1
,
k?
1
x
1
?x
2
4
22
又由
?
?
y?3x
解得交点
(?m,?3m)
。
?
y?4x?m
(?m)
2
(?3m)
2
213213?m?
??1
,得
?
交点在椭圆内,则有。
1313
43
(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问
题,常用
k
1
·k
2
?
y
1
·y
2
??1
来处理或用向量的坐标运算来处理。
x
1
·x
2
2
典型例题 已知直线
l
的斜率为
k
,且过点
P(?2,0)
,抛物线
C:y?4(x?1
)
,直线
l
与抛物线C有两个不同的交
点(如图)。
(1)求
k
的取值范围;
(2)直线
l
的倾斜角
?
为何值时,A、B与抛物线
相垂直。
y
分析:(1)直线
y?k(x?2)
代入抛物线方程得
B
2222
kx?(4k?4)x?4k?4?0
,
A
P
由
??0
,得
?1?k?1(k?0)
。
(-2,0)
O x
C的焦点连线互
4k
2
?4
(2)由上面方程得
x
1
x
2
?
,
k
2
y
1
y
2
?k(x
1<
br>?2)(x
2
?2)?4
,焦点为
O(0,0)
。
由
k
OA
·k
OB
2
y
1y
2
2
2
2
k
2
,
?
?ar
ctan
或
?
?
?
?arctan
??
2
??1
,得
k??
2
2
2
x
1
x
2
k?1
B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得
解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲
线系方程,以及运
用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,
充分挖掘几何条
件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题 设直线
3x?4y?m?0
与圆
x?y?x?2y?0
相交于P、Q两点,O为坐标
原点,若
OP?OQ
,求
22
m
的值。
解:
?
圆
x?y?x?2y?0
过原点,并且
OP?OQ
,
?PQ
是圆的直径,圆心的坐标为
M(?
又
M(?
22
1
,1)
2
1
,1)
在直线
3x?4y?m?0
上,
2
15
?3?(?)?4?1?m?0,?m??
即为所求。
22
评注:
此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且
OP?OQ
,PQ是圆的直径,圆心在直线
3x?4y?m?0
上,而是设
P(x
1
,y
1
)
、Q(x
2
,y
2
)
再由
OP?OQ
和韦达定理求
m
,将会增大运算量。
评注:此题若不能挖掘利用几何条件
?OM
P?90?
,点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,
计算量将很大,并且比
较麻烦。
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点
坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题
已知中心在原点O,焦点在
y
轴上的椭圆与直线
y?x?1
相交于P、Q两点
,且
OP?OQ
,
|PQ|?
求此椭圆方程。
解:设椭圆
方程为
ax?by?1(a?b?0)
,直线
y?x?1
与椭圆相交于P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y2
)
两点。
22
10
,
2
?
y?x?1
由方程组
?
2
消去
y
后得
2
ax?by?1
?
(a?b)x
2
?2bx?b?1?0
2bb?1
?x
1
?x
2
??,x
1<
br>x
2
?
a?ba?b
由
k
OP
?k
OQ
??1
,得
y
1
y
2
??x
1
x
2
(1)
又P、Q在直线
y?x?1
上,
(2)
?
y
1
?x
1
?1,
?
?
y
2
?x
2
?1,
(3)
?
y
1
y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1)?
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1
把(1)代入,得
2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?0
,
即
2(b?1)2b
??1?0
a?ba?b
化简后,得
a?b?2
(4)
由
|PQ|?
10
5
22
,得
(x
1
?x
2
)
?(y
1
?y
2
)?
2
2
55
,(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?,
44
2b
2
4(b?1)5
()
??
a?ba?b4
?(x
1
?x
2
)
2
?
把(2)代入,得
4b
2
?8b?3?0
,解得
b?
13
或
b?
22
31
或
a?
22
31
由
a?b?0
,得
a?,b?
。
22
代入(4)后,解得
a?
3x
2
y
2
??1
?
所求椭圆方程为
22
评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。
三.
充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆
C
1
:x?y?4x?2y?0
和<
br>C
2
:x?y?2y?4?
0的交点,且圆心在直线
l
:2222
2x?4y?1?0
上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:
x
2
?y
2
?4x?2y?
?
(x
2
?
y
2
?2y?4)?0
即
(1?
?
)x
?(1?
?
)y?4x?2(1?
?
)y?4
?
?0
,
22
2
?
?1
)
,
1?
??
?1
2
?
?11
又C
在直线
l
上,
?
2??4??1?0
,解得
?
?<
br>,代入所设圆的方程得
x
2
?y
2
?3x?y?1?0
为
1?
??
?13
其圆心为C(
所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程 <
br>椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说
的三角
代换法。
x
2
y
2
典型例题 P为椭圆2
?
2
?1
上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形
OAPB面积的最大值
ab
及此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的
弦AB长的方法是:把直线方程
y?kx?b
代入圆锥曲线方程中,得到型如
△
,若
ax
2
?bx?c?0
的方程,方程的两根设为
x
A
,
x
B
,判别式为△,则
|AB|?1?k
2
·|
x
A
?x
B
|?
1?k
2
·
|a|
直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。
例
求直线
x?y?1?0
被椭圆
x?4y?16
所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义
都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。
22
x
2
y
2
??1
的两个焦点,AB是经过
F
1
的弦,若
|
AB|?8
,求值
|F
2
A|?|F
2
B|
例
F
1
、
F
2
是椭圆
259
③
利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A(3,2)为定
点,点F是抛物线
y?4x
的焦点,点P在抛物线
y
?4x
上移动,
若
|PA|?|PF|
取得
最小值,求点P的坐标。
2
2
高中数学必修四笔记-北京市范大学出版社高中数学
高中数学分类讨论专题-高中数学如何判断角的正负
高中数学奥林匹克小丛书怎么用-如何从高中数学教师成为竞赛教练
高中数学面面垂直讲课视频-高中数学函数单调性的定义
高中数学与离散数学-高中数学公开课ppt下载
濮阳市南乐县实验高中数学老师-高中数学教学面临的问题
高中数学竞赛书自招-高中数学数列难不
2016年高中数学竞赛-高中数学教资选择题错几个
-
上一篇:高中数学解析几何圆锥曲线
下一篇:高三文科数学解析几何专题(附答案)