高三数学解析几何训练试题

高三数学解析几何训练试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60 分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，
则D与E的关系是()
A．D＋E＝2 B．D＋E＝1
C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m
解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，
因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.
2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，
半径为2，圆的方程为(x－1)2 ＋(y－1)2＝2.
3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上
一动点，则使|PF1||PF2|取最大值的点P为()
A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)
解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2| ＝2a＝4，
|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．
4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭
圆上一点，若连接F 1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，
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则点P到y轴的距离是()
A.165 B．3 C.163 D.253
解析 A 椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、
F2(0,3)， 易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴
的距离d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|
＝165，故选A.
5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，
则l的方程为()
A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0
C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0
解析 D 设切点为(x0，y0)，则y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，
即x0＝2，
切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”
的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 C 方程可化为x21m＋y21n＝1，若焦点在y轴上，
则1n0，即m0. < br>7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2
＋1只有一个公共点，则双 曲线的离心率为()
A.54 B．5 C.52 D.5
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解析 D 双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与
一条渐近线有一个公共点
即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.
＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.
8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点， F1、F2为该椭圆的两个
焦点，若F1PF2＝60，则PF1PF2＝()
A．3 B.3
C．23 D．2
解析 D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝
12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.
9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1 (m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝
8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()
A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1
C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1
解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，
m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的 一条对称
轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，
则C的离心率为()
A.2 B.3
C．2 D．3
解析 B 设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－
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c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝
1可得y2＝b4a2，| AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2
＝3a2，e＝ca＝3.
1 1．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，
b0)的左顶点，且此双曲 线的一条渐近线方程为y＝2x，则双
曲线的焦距为()
A.5 B．25
C.3 D．23
解析 B ∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2
－y2b2＝1 (a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程
为y＝bax＝bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，
c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.
1 2．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点
的距离为5，双曲线x2a －y2＝1的左顶点为 A，若双曲线的
一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()
A.19 B.14
C.13 D.12
解析 A 由于M(1，m)在抛物线 上，m2＝2p，而M到抛物
线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的
准线x ＝－p2的距离也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求
得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0 )，kAM＝41＋a，而双
曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝
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19.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分．把
答案填在题中横线上)
13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2： 2x－(a－1)y＋2
＝0(aR)，则l1l2的充要条件是a＝________.
解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.
【答案】 13
14．直线l：y＝k (x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，
|AB|＝22，则实数k＝________.
解析 ∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的距离d＝22
－2＝2.即|3k|k2 ＋1＝2，解得k＝ 147.
【答案】 147
15．过原点O作圆x2＋y2－6x－ 8y＋20＝0的两条切线，设
切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
解析 如图，圆的方程可化为
(x－3)2＋(y－4)2＝5，
|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.
在△OQM中，
12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，
|AQ|＝2555＝2，|PQ|＝4.
【答案】 4
16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，
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且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示
的坐标系，E、F分别为两个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，
点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的 右支(y0)，且a＝2，
c＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．
【答案】 x22－y22＝1(x2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4
上，半径为22的圆C经过原点 O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．
解析 (1)设圆心为(a，b)，
则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，
故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两 个交点为(0,4)，(0,0)，
则弦长为4，符合题意；
当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，
则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．
综上，直线方程为x＝0.
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18．(12分)(201 9合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为
F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.
(1)求椭圆方程；
(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N
两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，
并说明理由．
解析 (1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，
由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.
(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，
联立直线MN和椭圆的方程：x＝k y－65，x24＋y2＝1，化简
得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，
又A(－2,0)，则 AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋
1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋ 1625＝0，所以MAN＝2.
19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦
点在x轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和
1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，
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并说明轨迹是什么曲线．
解析 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.
椭圆方程为x216＋y27＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，
由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，
故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①
由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，
代入①式并化简，得9y2＝112.
点M的轨迹方程为y＝473(－44)，
轨迹是两条平行于x轴的线段．
20． (12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物
线上的一点，且|PA|＝d，试 求d的最小值．
解析 设P(x0，y0)(x00)，则y20＝2x0，
d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a
－1.
∵a0，x00，
(1)当01时，1－a0，
此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；
(2)当a1时，1－a0，
此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.
21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标
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轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线
上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)求△F1MF2的面积．
解析 (1)∵双曲线离心率e＝2，
设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，
则由点(4，－10)在双曲线上，
知＝42－(－10)2＝6，
双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点M(3 ，m)在双曲线上，则32－m2＝6，m2＝3，由双
曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2 (－23，0)，
MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，
MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.
22．(12分)已知实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一
动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)
与曲线C有且只有一个 交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到
点(1,0)的距离 与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线
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C的离心率．
解 析 (1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x
－m.
由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．
∵m1，
轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴
上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长 为2.
(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2
－2＝0.
令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.
∵t0，t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点P(a,2a＋3)(a2)，d 1表示P到点(1,0)的距离，d2表示
P到直线x＝2的距离，则
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，
则f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
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令f(a)＝0，得a＝－43.
∵当a－43时，f(a)0；
当－432时，f(a)0.
f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，
d1d2min＝5f－43＝22，


又椭圆的离心率为22，
d1d2的最小值等于椭圆的离心率．
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