江苏省高三数学试题分类之解析几何

十三、直线与圆的方程

（一）试题细目表
地区+题号
2018·南通泰州期
末·13
2018·无锡期末·10
2018·镇江期末·11


2018·南京盐城期
末·12
2018·苏州期末·11
2018·苏北四市期
末·12

类 型
填 空
填 空
填 空


填 空
填 空
填 空

考 点
直线与圆的位置关
系
直线与圆的位置关
系
圆的标准方程


直线与圆的位置关
系
圆的标准方程
圆的标准方程、对称
性

思 想 方 法





数形结合




（二）试题解析
1.（2018·南通泰州期末·13）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知 点
A(?4,0)
，
B(0,4)
，从直线
AB
上一点P
向圆
x
2
?y
2
?4
引两条切线
P C
，
PD
，切点分别为
C
，
D
.设线段
C D
的中点为
M
，则线段
AM
长的最大值为 .


【答案】
3

2

2.（2018·无锡期末·10）
22
过圆
x?y?16
内一点
P(?2,3)
作两条相互垂直的弦
AB
和
CD
，且
AB?CD
，则四边
形
ACBD
的面积为 ．

【答案】19
3.（2018·镇江期末·11）
已知圆 C 与圆
x

2

y

2
10
x

10

y

0
相切于原点，且过点
A
(0,6)
，则

圆 C 的标准
方程为


【答案】(
x+
3)
2
(
y+
3)
2

4.（2018·南京盐城期末·12）.

在平面直角坐标 系
xOy
中，若直线
y?k(x?33)
上存在一点
P
，圆
x
2
?(y?1)
2
?1
上存
uuuruuur< br>在一点
Q
，满足
OP?3OQ
，则实数
k
的最小值为 ．
【答案】
?3

7.（2018·苏州期末·11）
在平面直 角坐标系
xOy
中，已知过点
A(2,?1)
的圆
C
和直线
x

y
1相切，且圆心在
直线
y
2
x
上，则圆
C
的标准方程为 ．
【答案】
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2

8.（2018·苏北四市期末·12）
x
2
?(y?1)
2?r
2
(r?0)
上存在点
P
，且点
P
关于直 线在平面直角坐标系
xOy
中，若圆
C
1
：
(x?2)2
?(y?1)
2
?1
上，则
r
的取值范围是 ．
x?y?0
的对称点
Q
在圆
C
2
：

【答案】
[2?1,2?1]


十四、圆锥曲线

（一）试题细目表
地区+题号
2018·南通泰州期
末·1
2018·无锡期末·1
2018·镇江期末·1
2018·扬州期末·1
2018·常州期末·1
2018·南京盐城期
末·1
2018·苏州期末·2
2018·苏北四市期
末·1

类 型
填 空
填 空
填 空
填 空
填 空
填 空



考 点
集合的运算
集合的运算
集合的运算
集合的运算
集合的运算
集合的运算



思 想 方 法









（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·7）
2
在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
F
为抛物线
y?8x
的焦点，则点
F到双曲线
x
2
y
2
??1
的渐近线的距离为 .
169

6
【答案】
5

2.（2018·无锡期末·11）
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
的焦点重合，离心率互为倒数，已知双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与椭圆
ab1612
PF
1
2
设
F
1
,F
2
分别为双曲线
C
的左，右焦点，
P
为右支上任意一点，则的最小值
PF
2
为 ．
【答案】8
3.（2018·镇江期末·5）
x2
2
2
已知双曲线
2
?y?1
左焦点与抛物线
y??12x
的焦点重合，则双曲线的右准线方
a
程为
【答案】
x?
8

3
4.（2018·扬州期末·10）

x
2
y
2
22
在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
2
-
2
=1（
a
＞0，
b
＞0）的渐近线与圆
x+y-
6
y+
5
=
0
ab
没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是_ _________.


【答案】
(1,)

3
2
5.（2018·常州期末·9）
x
2
y
2
在平面直角坐标系
xOy
中，设直线
l:x?y?1?0
与双曲线< br>C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两条渐
ab< br>近线都相交且交点都在
y
轴左侧，则双曲线
C
的离心率
e的取值范围是 ．

【答案】
(1,2)

6.（2018·南京盐城期末·6）.

x
2
y
2??1
的右焦点重合，则实数
p
的值为 ． 若抛物线
y?2px
的焦点与双曲线
45
2
【答案】6
7.（2018·苏州期末·3）
在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线y
2
??8x
的焦点坐标为 ．
【答案】
(?2,0)

8.（2018·苏北四市期末·6）
x
2
y
2
在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的一条渐近线方程为
ab
x? 2y?0
，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】



5

2
十五、解析几何综合题

（一）试题细目表
地区+题号
2018·南通泰州期
末·17
2018·无锡期末·18
2018·镇江期末·18
2018·扬州期末·18
2018·常州期末·18
2018·南京盐城期
末·18
2018·苏州期末·18
2018·苏北四市期
末·18

类 型
解 答
解 答
解 答
解 答
解 答
解 答
解 答
解 答














考 点 思 想 方 法






（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·17）
x
2
y
2
2
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的离心率为，两
ab
2
条准线之间 的距离为
42
.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的 左顶点为
A
，点
M
在圆
x?y?
22
8
上 ，直线
AM
与椭圆相交于另一点
9
B
，且
?AOB
的面积是
?AOM
的面积的
2
倍，求直线
AB
的方程.


c2
2a
2
【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为< br>2c
，由题意得，
?
，
?42

c
a2解得
a?2
，
c?2
，所以
b?2
.
x
2
y
2
所以椭圆的方程为
??1
.
4 2
（2）方法一：因为
S
?AOB
?2S
?AOM
，
所以
AB?2AM
，
所以点
M
为
AB
的中点.
x
2
y
2
因为椭圆的方程为
??1
，
42
所以
A(?2,0)
.
设
M(x
0
,y
0
)
，则
B(2x
0
?2,2y
0
)
.
8
(2x
0
?2)
2
(2y
0
)
2
所以
x?y?
①，
??1
②，
9
42
2
0
2
0
2
由①②得
9x
0
?18x
0
?16?0
，
解得
x
0
??
28
，
x
0
?
（舍去）.
33

22
代入①，得
y
0
??
，
33
1
所以
k
AB
??
，
2
1
因此，直线
AB
的方程为
y??(x?2)
即
x?2y?2 ?0
，
x?2y?2?0
.
2
把
x
0
? ?
方法二：因为
S
?AOB
?2S
?AOM
，所以
AB?2AM
，所以点
M
为
AB
的中点.
设直线
AB
的方程为
y?k(x?2)
.
?
x< br>2
y
2
?1,
?
?
2222
由
?< br>4
得
(1?2k)x?8kx?8k?4?0
，
2
?
y?k(x?2),
?
2?4k
2
所以
(x?2)[(1?2k) x?4k?2]?0
，解得
x
B
?
，
1?2k
2
22
2k
x
B
?(?2)
?4k
2
y?k (x?2)?
所以
x
M
?
，，
?
MM
2
2
1?2k
21?2k
8
?4k
2
2
2k
2
8
代入
x?y?
得
()?()?
，
9
1?2k
2
1?2k
2
9
22
化简得
28 k
4
?k
2
?2?0
，
22
即
(7k? 2)(4k?1)?0
，解得
k??
1
，
2
所以，直线
AB
的方程为
y??

2.（2018·无锡期末·18）
1
(x?2)
即
x?2y?2 ?0
，
x?2y?2?0
.
2
2
x
2
y
2
已知椭圆
E:
2
?
2
?1(a?0,b?0)< br>的离心率为，
F
1
,F
2
分别为左，右焦点，
A,B
分
2
ab
别为左，右顶点，原点
O
到直线
BD的距离为
接
PA
交椭圆于点
C
.

（1）求椭圆
E
的方程；
（2）若三角形
ABC
的面积等 于四边形
OBPC
的面积，求直线
PA
的方程；
6
.设点
P
在第一象限，且
PB?x
轴，连
3

（3） 求过点
B,C,P
的圆方程（结果用
t
表示）.
2
x2
y
2
【答案】解：（1）因为椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，
2
ab
所以
a?2c
，
b?c
，
所以直 线
DB
的方程为
y??
22
2
x?b
，
2
又
O
到直线
BD
的距离为
6
，所以
3< br>b
1?
1
2
?
6
，
3
所以
b?1
，
a?2
，
x
2
?y
2
?1
. 所以椭圆
E
的方程为
2
（2）设
P(2,t)
，
t?0
，
直线
PA
的方程为
y?
t
22
(x?2)
，
?x
2
?y
2
?1
?
?
2
2222由
?
，整理得
(4?t)x?22tx?2t?8?0
，
?< br>y?
t
(x?2)
?
22
?
42?2t
2< br>42?2t
2
4t
,)
， 解得：
x
C
?< br>，则点
C
的坐标是
(
4?t
2
4?t
24?t
2
因为三角形
ABC
的面积等于四边形
OBPC
的面积，所以三角形
AOC
的面积等于三角形
BPC
的面积，
14t22t
S
?AOC
??2??
，
24?t
2
4?t
2
S
?PBC
142?2t
2
2t
3
??t?(2?)?
，
2
24?t4?t
2
2t3
22t
?
则，解得
t?2
.
4?t
24t
2

所以直线
PA
的方程为
x?2y?2?0
.
42?2t
2
4t
,)
， （3）因为
B(2 ,0)
，
P(2,t)
，
C(
4?t
2
4?t2
所以
BP
的垂直平分线
y?
t
，
2
2t2t
x?
2
，
2t?4
BC
的垂 直平分线为
y?
t
2
?8t
所以过
B,C,P
三点 的圆的圆心为
(,)
，
2
2(t?4)
2
t
4< br>t
2
t
2
?8
2
t
2
?
， 则过
B,C,P
三点的圆方程为
(x?)?(y?)
?
22
2
2(t?4)4
2
2(t?4)
2t
2
?82
8
2
x?y
?ty??0
. 即所求圆方程为
x?
t
2
?4
t
2
?4
2


3.（2018·镇江期末·18）
x
2
y
2
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率
ab
为
2
，左焦点
F
(2,0) ，直线
l
:
y

t
与椭圆交于
A
,
B
两点，
M
为椭圆上异
2
于
A
,
B
的点.
（1）求椭圆
E
的方程；
（2）若
M?6,?1
，以
AB
为直径的圆
P
过
M
点，求圆
P
的标准方程；
（3）设直线
MA
,
MB
与
y
轴分别交于
C
,
D
，证明：
OC

OD
为定值.

??
【答案】（1）因为
e?
c2
，且
c?2
，所以
a?22,b?2
，

?
a2
x
2
y
2
??1
. 所以椭圆
E
的方程为
84
(2)设
A(s,t)
，则
B( ?s,t)
，且
s?2t?8
①
22

uuuruuur
因为以
AB
为直径的圆
P
过
M
点，所以
MA?MB
，所以
MA?MB?0

uuuruuur22
又
MA?(s?6,t?1),MB?(?s?6,t?1)
，所以
6?s?(t?1)?0
②
170
2
，或
t??1
（舍），所以
s?
.
39
AB
又圆
P
的圆心为
AB
的中点
( 0,t)
，半径为
?s
，
2
1
2
70
2
所以圆
P
的标准方程为
x?(y?)?
.
39
由①②解得：
t?
( 3)设
M
(x
0
,y
0
)
，则
l
MA
的方程为
y?y
0
?
令
x?0
得
t? y
0
(x?x
0
)
，若
k
不存在，显然不符合条件 .

s?x
0
?tx
0
?sy
0
y?

tx?sy
0
；同理
D
?s?x
0
y
c
?
0
s?x
0
tx
0
?sy
0
?tx0
?sy
0
t
2
x
0
2
?s
2
y
0
2
??

所以
OC?OD?y
c< br>?y
D
?
22
s?x
0
?s?x
0
s?x
0
t
2
(8?2y
0
2
)?(8?2t2
)y
0
2
8t
2
?8y
0
2
??
2
?4
为定值.

(8?2y
0
2
)?(8?2t
2
)2t?2y
0
2

4.（2018·扬州期末·18）

x
2
y
2
x
2
y
2
已知椭圆
E
1
：
2
+2
=1（
a
＞
b
＞0），若椭圆
E
2
：+=1（
a
＞
b
＞0，
m
＞1），则称椭
abm a
2
mb
2
圆
E
2
与椭圆
E
1< br>“相似”.
x
2
2
(1) 求经过点(
2
,1)， 且与椭圆
E
1
：+
y
=1“相似”的椭圆
E
2的方程；
2
(2) 若
m=
4，椭圆
E
1
的离心率为
且，
，求直线
l
的方程；
2
，
P
在椭圆
E< br>2
上，过
P
的直线交椭圆
E
1
于
A
,
B
两点，
2
①若
B
的坐标为(0,2)，且
1< br>②若直线
OP
,
OA
的斜率之积为
?
，求实数的值.
2



x
2
y
2
??1
，代入点
(2,1)
得
m?2
，
【答案】
解：⑴设椭圆
E
2
的方程为
2mm

x
2
y
2
??1
………3分 所以椭圆
E
2
的方程为
42
⑵因为椭圆
E1
的离心率为
2
2
，故
a
2
?2b
2
，所以椭圆
E
1
:x
2
?2y
2
?2b< br>2

2
又椭圆
E
2
与椭圆
E
1“相似”，且
m?4
，所以椭圆
E
1
:x
设
? 2y
2
?8b
2
，
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
),P(x
0
,y
0)
，
2
①方法一：由题意得
b?2
，所以椭圆
E1
:x?2y
2
?8
，将直线
l:y?kx?2
， < br>代入椭圆
E
1
:x
2
?2y
2
?8
得
(1?2k
2
)x
2
?8kx?0
，
解得x
?8k
2?4k
2
1
?
1?2k
2
,x
2
?0
，故
y
1
?
1?2k
2
,y
2
?2
，
所以
A(
?8k2?4k
21?2k
2
,
1?2k
2
)

uuuruuur
又
AP?2AB
，即
B
为
AP< br>中点，所以
P(
8k2?12k
2
1?2k
2
,1?2k
2
)
，
代入椭圆E
22
8k
2
:x?2y?32
得
(
1?2k
2
)
2
?2(
2?12k
2
1?2k
2< br>)
2
?32
，
即
20k
4
?4k
2
?3?0
，即
(10k
2
?3)(2k
2
?1) ?0
，所以
k??
30
10

所以直线
l
的方程为
y??
30
10
x?2

方法二：由题意得
b?2
，所以椭圆
E
2
1
:x? 2y
2
?8
，
E
2
2
:x?2y
2
?32

设
A(x,y),B(0,2)
，则
P(?x,4?y)
，
代入椭圆得
?
?
22
?
x?2y?8
?2(4?y)?3 2
，解得
1
30
?
y?
，故
x??

?
x
22
2
2
所以
k??
30
1 0
，
所以直线
l
的方程为
y??
30
10
x?2

②方法一： 由题意得
x
2
?2y
2
2y
222< br>00
?8b
2
,x
2
1
?
1
?2b
2
,x
2
?2y
2
2
?2b
，
y
0
y
x
?
1
??
1
，即
x0
x
1
?2y
0
y
1
?0
，
0
x
1
2
………5分
………6分
………8分
………6分
8分

………

x
0
? (
?
?1)x
1
?
x?
uuuruuur
?
?
2
?
AP?
?
AB
，则
(x
0
?x
1
,y
0
?y
1
)?
?
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
，解得
?
?
y?
y
0
?(
?
?1)y
1
2
?
?
?
所以
(
则
x
0
2………12分
x
0
?(
?
?1)x
1
?)
2
?2(
y
0
?(
?
?1)y
1< br>?
)
2
?2b
2

2
?2(
??1)x
0
x
1
?(
?
?1)
2
x< br>1
2
?2y
0
?4(
?
?1)y
0
y
1
?2(
?
?1)
2
y
1
2
? 2
?
2
b
2

22
(x
0
?2y
0
)?2(
?
?1)(x
0
x
1
?2y< br>0
y
1
)?(
?
?1)
2
(x
1< br>2
?2y
1
2
)?2
?
2
b
2
所以
8b
2
?(
?
?1)
2
?2b
2
?2
?
2
b
2
，即
4?(
?< br>?1)
2
?
?
2
，所以
?
?
5 .………16分
2
方法二：不妨设点
P
在第 一象限，设直线
OP:
解得
x
0
y?kx(k?0)
，代入 椭圆
E
2
:x
2
?2y
2
?8b
2
，
?
22b
1?2k
2
，则
y
0
?< br>22bk
1?2k
2
，
直线
OP,OA
的斜率之积 为
?
1
1
，则直线
OA:y??x
，代入椭圆
E< br>1
:x
2
?2y
2
?2b
2
，
2 k
2
b
1?2k
2
解得
x
1
??
2bk
1?2k
2
，则
y
1
?

x
0
?(
?
?1)x
1
?
x?
uuuruuur< br>?
?
2
?
AP?
?
AB
，则
(x< br>0
?x
1
,y
0
?y
1
)?
?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
，解得
?
?
y?
y
0
?(
?
?1)y< br>1
2
?
?
?
所以
(
则
x
0
2
，
x
0
?(
?
?1)x
1
?
)
2
?2(
y
0
?(
?
?1)y
1
?
)
2
?2b
2

2
?2(
?
?1)x
0
x
1
?(
?
?1)
2
x
1
2
?2y
0
?4(
?
?1)y
0y
1
?2(
?
?1)
2
y
1
2
?2
?
2
b
2

22
(x
0
? 2y
0
)?2(
?
?1)(x
0
x
1
?2 y
0
y
1
)?(
?
?1)
2
(x
1
2
?2y
1
2
)?2
?
2
b
2

所以
8b
2
?2(
?
?1)(
即
8b
2
22b
1?2k
2
?(?
2bk
1?2k
2
)?2
22bk
1?2k
2
?
b
1?2 k
2
)?(
?
?1)
2
?2b
2
?2?
2
b
2
，
?(
?
?1)
2
?2b
2
?2
?
2
b
2
，即
4?(?
?1)
2
?
?
2
，所以
?
?
5

2

5.（2018·常州期末·18）
22< br>xy
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点为
F
，点
A
是< br>ab

椭圆的左顶点，过原点的直线
MN
与椭圆交于
M, N
两点（
M
在第三象限），与椭圆的右准
uuuruuuur
42
线交于
P
点．已知
AM?MN
，且
OA?OM?b< br>．

3
（1）求椭圆
C
的离心率
e
；

（2）若
S
?AMN
?S
?POF
?
1 0
a
，求椭圆
C
的标准方程．

3
?
x< br>2
y
2
??1
【答案】
?
c
2
2< br>?
2
a
2
b
2
解：（1）由题意
?
，消去
y
得
2
x?ax?b?0
，解得
a
?
(x?
a
)
2
?y
2
?(
a
)
2
?
?22
ab
2
x
1
??a， x
2
??
2
，

c
uuuruuuur
a b
2
ab
2
4
2
c
2
3
3
所以
x
M
??
2
?(?a,0)
，
OA?OM? x
M
x
A
?
2
a?b
，
2
?，所以
e?
；

c
c3a4
2
（2）由（1）
M(?b,?
2
3
43
22
b
，

b)
，右准线方程为
x?
3
3
4346
b,b)
，

33
直线
MN
的方程为
y?2x
，所以
P(
13462242
2
S
?POF
?OF?y
P
=b?b?22b
2
，
S
?AMN
?2S
?AOM
?OA?y
M
?2b?b?b
，

22333
所以
22b
2
+
42
2
10102
2
20
b ?a
，
b?b
，所以
b?2,a?22
，

3333
x
2
y
2
??1
．

椭圆
C
的标准方程为
82
6.（2018·南京盐城期末·18）.

x
2
y
2
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的下顶点为B
，点
ab
M,N
是椭圆上异于点
B
的动点，直线BM,BN
分别与
x
轴交于点
P,Q
，且点
Q
是线
段
OP
的中点．当点
N
运动到点
(3,
（1） 求椭圆
C
的标准方程；
323
,0)
．
)
处时 ，点
Q
的坐标为
(
3
2
uuuruuuur
（2） 设直线
MN
交
y
轴于点
D
，当点
M,N
均 在
y
轴右侧，且
DN?2NM
时，求直
线
BM
的方 程．








y

D

N

Q

O

B

第18题图
M

P

x

【答案】解：（1）由
N(3,
32
) ,Q(3,0)
，得直线
NQ
的方程为
23
y?
3
x?3
． …………………2分
2
令
x?0
，得点
B
的坐标为
(0,?3)
．
所以椭圆的方程为
x
2
y
2
??1
． …………………4分
2
a3
3
()
2
2
(3)< br>3
)
代入，得
2
?
2
?1
，解得
a
2
?4
． 将点
N
的坐标
(3,
2
a3< br>所以椭圆
C
的标准方程为
x
2
y
2
??1< br>． …………………8分 < br>43
（2）方法一：设直线
BM
的斜率为
k(k?0)
，则直 线
BM
的方程为
y?kx?3
．
在
y?kx?3
中，令
y?0
，得
x
P
?
所以直线
BN
的 斜率
33
，而点
Q
是线段
OP
的中点，所以
xQ
?
．
k2k
0?(?3)
?2k
． ………………10分
3
?0
2k
?
y?kx?3
83k< br>?
22
联立
?
x
2
y
2
，消去y
，得
(3?4k)x?83kx?0
，解得
x
M
?< br>．
2
3?4k
?1
?
?
3
?
4< br>用
2k
代
k
，得
163k
x
N
?< br>． ………………12分
3?16k
2
uuuruuuur
又
DN?2 NM
，所以
x
N
?2(x
M
?x
N
)，得
2x
M
?3x
N
． ………………14分
k
BN
?k
BQ
?
83k163k6
?3?k?
，又，解得．
k?0
3?4k
2
3?16k< br>2
2
所以直线
BM
的方程为
6
y?x?3
． ………………16分
2
方法二：设点
M,N
的坐标分别为
(x1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
． < br>故
2?
由
B(0,?3)
，得直线
BN
的方程为y?
3x
1
y
1
?3
．
x?3
，令
y?0
，得
x
P
?
x
1
y
1?3

3x
2
．
y
2
?3
而点
Q
是线段
OP
的中点，所以
x
P
?2x
Q
，故
同理，得
x
Q
?
3x
1
23x
2
． …………………10分
?
y
1
?3y< br>2
?3
4
uuuruuuur
1
2
3
?又
DN?2NM
，所以
x
2
?2(x
1
?x< br>2
)
，得
x
2
?x
1
?0
，从而，
3
y
1
?3y
2
?3
解得
y
2< br>?
12分
43
y
1
?
． …………………
33
2
?
x?x
12
?
x
1
2
(4y
1
?3)
2
3
?
??1
． 将
?
代入到椭圆
C
的方程中，得
927
?
y ?
4
y?
3
21
?
33
?
y
1< br>2
4(1?)
y
1
2
(4y
1
?3)
2
2
3
)
，所以又
x
1
?4(1?
?? 1
，即
3y
1
2
?2y
1
?3?0
， < br>3
927
3
解得
y
1
??3
（舍）或
y
1
?
．又
x
1
?0
，所以点
M
的坐标为
3
423
M(,)
．……………14分
33
故直线
BM
的方程为
6
y?x?3
． …………………16分
2

7.（2018·苏州期末·18）
x
2
y
2
2
在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，椭圆上动点
2ab
P
到一个焦点的距离的最小值为
3(2?1)
．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）已知过点
M(0,?1)的动直线
l
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，试判断以
AB
为直径的圆是
否恒过定点，并说明理由．



【答案】解（1）由题意
A

O

y

B

x

M

c2
，故
a?2c
， ·············· 1分
?< br>a2

又椭圆上动点
P
到一个焦点的距离的最小值为
3( 2?1)
，所以
a?c?32?3
，
································· 2分
解得
c?3
，
a?32
，所以
b
2
?a
2
?c
2
?9
， ············· 4分
x
2
y
2
所以椭圆
C
的标准方程为
?
················· 6分
?1
.
189
（2）当直线
l
的斜率为0时，令< br>y??1
，则
x??4
，
此时以
AB
为直径的圆的 方程为
x
2
?(y?1)?16
． ············ 7分 当直线
l
的斜率不存在时，以
AB
为直径的圆的方程为
x
2
?y
2
?9
， ···· 8分
2
?
?x?(y?1)?16,
联立
?
2
解得
x?0,y?3
，即两圆过点
T(0,3)
．
2
?
?
x?y?9,
猜想以
AB
为直径的圆恒过定点
T(0,3)
． ················ 9分
对一般情况证明如下：
设过点
M(0, ?1)
的直线
l
的方程为
y?kx?1
与椭圆
C
交 于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)
,
?
y?kx?1,
则
?
2
整理得(1?2k
2
)x
2
?4kx?16?0
，
2
?
x?2y?18,
4k16
所以
x
1
?x
2< br>?
． ················ 12分
,xx??
12
1?2k
2
1?2k
2
（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定 理，正确的给3分）
uuruur
因为
TA?TB?(x
1
,y< br>1
?3)?(x
2
,y
2
?3)?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?3(y
1
?y
2< br>)?9

?x
1
x
2
?(kx
1
? 1)(kx
2
?1)?3(kx
1
?1?kx
2
?1)?9
?(k
2
?1)x
1
x
2
?4k(x
1< br>?x
2
)?16

?16(k
2
?1)16k
2
?16(1?2k
2
)
???16??16?0
，
222
1?2k1?2k1?2k
所以
TA?TB
．
所以 存在以
AB
为直径的圆恒过定点
T
，且定点
T
的坐标为(0,3)
．····· 16分

8.（2018·苏北四市期末·18）









x
2
y
2
1
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，且过
ab2
3
点
(1，)
.
F
为椭圆的右焦点，
A,B
为椭圆上关于原点对称的两点，连接
AF,BF
分别
2
交椭圆于C,D
两点.
⑴求椭圆的标准方程；
BF
⑵若
AF?FC
，求的值；
FD
⑶设直线
A B
，
CD
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，是否存在实数
m
，使得
k
2
?mk
1
，若存在 ，
y

求出
m
的值；若不存在，请说明理由.
A

D
O

F

x

B

C

（第18题）

?
c1
?
?< br>xy
?
a2
【答案】（1）设椭圆方程为
2
?
2?1(a?b?0)
，由题意知：
?
……………2
19
ab?
??1
?
?
a
2
4b
2
分
?
x
2
y
2
?
a?2
解之得：
?
，所以椭圆方程为：
??1
……………………………4分
43
?
?
b?3
33
（2）若
AF?FC
，由椭圆对称性，知< br>A(1, )
，所以
B(?1, ?)
，
22
此时直线
BF
方程为
3x?4y?3?0
， ……………………………………………6分
22
?
3x?4y?3?0,
1 3
?
由
?
x
2
y
2
，得
7x2
?6x?13?0
，解得
x?
（
x??1
舍去），… ………8分
7
??1,
?
3
?
4
BF1?(?1 )7
故
??
．…………………………………………………………………10分
13
FD
?1
3
7
（x
0
,y
0
)
，则
B(?x
0
,?y
0
)
， （3）设A
y
0
x
2
y
2
(x?1)
，代入椭 圆方程
?
直线
AF
的方程为
y?
?1
，得
x
0
?1
43
22
?15x
0
?24x
0
?0
，
(15?6x
0
)x
2
?8 y
0
因为
x?x
0
是该方程的一个解，所以
C
点的 横坐标
x
C
?
又
C(x
c
,y
C
)
在直线
y?
同理，
D
点坐标为
(
8?5x
0
，…………………12分
5?2x
0
y
0
y?3y< br>0
(x?1)
上，所以
y
C
?
0
(x
c
?1)?
，
x
0
?1x
0
?15?2x0
学科网]
8?5x
0
3y
0
)
， ……………………………………………14分 ，
5?2x
0
5?2x
03y
0
?3y
0
?
5?2x
0
5?2x
0
5y
0
5
所以
k
2
???k
， 8?5x
0
8?5x
0
3x
0
3
1
?
5?2x
0
5?2x
0
55
即存在
m?
， 使得
k
2
?k
1
． ………………………………………………………16分
33