文科数学解析几何专题

高三文科数学培优资料
潮阳林百欣中学高三数学培优资料――解析几何
一、考点剖析
考点一 点、直线、圆的位置关系问题
【内容解读】点与直线的位 置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，
经常考查点到直线的距离问题；点与圆的 位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的
位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经 常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来
确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切 、相交、内切、内含五种，一般用两
点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较 。
【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。
例１、原点到直线
x?2y?5?0
的距离为（ ）
A．1 B．
3
C．2 D．
5

点评：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。
1)
且与直线
x?y?4
相切的圆的方程是 ． 例２、圆心为
(1，
点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经 常采用点到直线的距离公
式求解。
例３、圆O1：x
2
＋y
2－2x＝0和圆O2：x
2
＋y
2
－4y＝0的位置关系是 ( )
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比
较，确定位置关系．
考点二 直线、圆的方程问题
【内容解读】直线方程的解析式有点斜 式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，
各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便 求解。圆的方程有标准式一般式两种；直线
与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切， 直线与直线平行、垂直等问题。
【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。
例1、经过圆< br>x?2x?y
22
?0
的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（ ）
A．
x?y?1?0
B.
x?y?1?0
C.
x?y?1?0
D.
x?y?1?0

点评：两直线垂直，斜率之积为－１，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。
例2、若圆
C
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
4x?3y?0
和
x轴相切，则该圆的标准方
程是（ ）
7
??
(x?3)?
?
y?
?
?1
3
??
A．
2
2
B．
(x?2)?(y?1)?1
22


1

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C．
(x?1)?(y?3)?1

22
3
??
2
x?
??
?(y?1)?1
2
?
D．
?

2
点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理 解。
考点三 曲线（轨迹）方程的求法
【内容解读】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。
求轨迹问题基本步骤为“建（建 立坐标）设（设相关点）限（注意限制条件）代（根据等量关系
代入）化（化简计算）”，在解轨迹问题 的出发点有二，一是找出约束动点变动的几何条件，二
是找出影响动点变动的因素。具体方法有：直接法 、定义法、几何法、“点代入法”、“参数法”
等。
例1、与两圆
x
2?y
2
?1
和
x
2
?y
2
?8x?1 2?0
都外切的圆的圆心在 （ ）
（A） 一个椭圆上 （B）双曲线的一支上 （C）一条抛物线上 （D）一个圆上
例2、 过抛物线
x
2
?4y
的焦点
F
作直线
l
交抛物线于
A,B< br>两点，则弦
AB
的中点
M
的轨迹方
程是 ．
例3、已知圆
C
方程为：
x
2
?y
2
?4
.过圆
C
上一动点
M
作平行于
x
轴的直线m
，设
m
与
y
轴的
?????????????
交点为
N
，若向量
OQ?OM?ON
，求动点
Q
的轨迹方 程，并说明此轨迹是什么曲线.





x< br>例4、已知点
P(?8,0)
和圆C：
2
?y
2
?2 x?10y?4?0
，（1）求经过点P被圆C截得的
线段最长的直线
l
的方 程；（2）过P点向圆C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。







点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌 握好平面几何的知识，如
勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。

2

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考点四 有关圆锥曲线的定义的问题
【内 容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹
时用到外，经常在 选择题、填空题中也有出现。
【命题规律】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。
x2
例1、设
p
是椭圆
25
?
y
2
16
?1
上的点．若
F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，则
PF
1
?PF
2
等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
点评：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。
例2、已知点P在抛物线y
2
= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
11
A. （
4
，－1） B. （
4
，1） C. （1，2） D. （1，－2）
点评：点P到焦点的距离，利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的
距离， 体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。
考点五 圆锥曲线的几何性质
【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线 的对称性、
顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容， 离心率公式一样：e＝ca，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，
＋∞）之间，抛物线的离心率为1，
x
2
例1、双曲线
10
A. 3
2

?
y
2
2
?1
的焦距为（ ）
C. 3
3
D. 4
3

1
2
BC
，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线
B. 4
2

例2、在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量
DE?
的离心率为
A．
5
3

B．
3?1


C．
2?1


D．
3?1

（ ）

1
例3、已知双曲线
m?
( )
9y?mx? 1(m?0)
222
的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
5
，则
A．1 B．2 C．3 D．4
点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。
考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题
【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际 问题；能够把研究
直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线 方程所组

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成的方程组消去一个 变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及
判别式解决问题；能够利用数 形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线
上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问
题，利用点差法较为简便。
【命题规 律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学
思想方法，命题主要意 图是考查运算能力，逻辑揄能力。
例１、已知以
F
1
(?2，0)
，
F
2
(2，0)
为焦点的椭圆与直线
x?3y?4?0
有 且仅有一个交点，则椭
圆的长轴长为（ ）
（A）
32
（B）
26
（C）
27
（D）
42

点评 ：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二
次方程，由判 别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况。
例2、已知直线
x?y? 1?0
与抛物线
y?ax
2
相切，则
a?______.

x
2
例3、椭圆
36
?
y
2
9
? 1
的一条弦被
A(4,2)
平分,那么这条弦所在的直线方程是( )
(
A
)
x?2y?0
(
B
)
2x?y?10?0
(
C
)
x?2y?8?0
(
D
)
2x?y?2?0

例4、 直线
y
=
x
? 2与抛物线
y
2
= 2
x
相交与点A
、
B
，求证：
OA
⊥
OB
．


例5、 在抛物线
y?x
2
上到直线
y?2x?4
距离最短的点的坐标是________
（A）
?
1,1
?
（B）
?
2,4
?
（C）
?
?
11
??
39
?
,
?
（D）
?
,
?

?
42
??
24
?
o
例6、已知双曲线
x
a
2
2
?
yb
2
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60
的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
（A）
(1,2]
（B）
(1,2)
（C）
[2,??)
（D）
(2,??)



考点六 圆锥曲线的综合问题
熟悉解析几何与平面向量、数列、不等式、导数等内容相结合 ，适应探索（存在）性、最值、
定值等题型的解法。

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例1、设动点
P(x,y)(y?0)
到定点
F
(0,1)
的距离比它到
x
轴的距离大1，记点
P
的轨迹为曲
线
C
。（1）求点
P
的轨迹方程；
（2）设圆
M
过
A
(0,2)
，且圆心
M
在曲线< br>C
上，
EG
是圆
M
在
x
轴上截得的弦，试< br>探究当
M
运动时，弦长
EG
是否为定值？为什么？













例2、如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P 是椭圆的
动点，P到两焦点距离之和等于4.
（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；
（Ⅱ ）设直线
l
的方程为
x?4,PM?l
，垂足为
M
，是否存 在点
P
，
使得
?FPM
为等腰三角形？若存在，求出点
P< br>的坐标；若不存在，说
明理由.














5

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例3、 已知动圆过定点
N(0,2)
，且与定直线
L:y??2
相切.
（I）求动圆圆心的轨迹
C
的方程；
????????
（II）若
A
、
B
是轨迹
C
上的两不同动点，且
AN?
?
NB
. 分别以
A
、
B
为切点作轨迹
C
的切线，设其交点
Q
，证明
NQ?AB
为定值.










二、方法总结与高考预测
（一）方法总结
1．求曲线方程常利用待定系数法，求出 相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e
的意义及相互关系，在求标准方程时，已知 条件常与这些参数有关.
2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义.
3．直线与圆锥 曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元
二次方程，利用判别式、 韦达定理来求解或证明.
4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置 、形状、大小等特
征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.
5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.
（二）广东课标高考三年来风格特点
（1）表现形式上是多曲线综合；
（2）圆锥曲线重在定义、标准方程和几何性质；
（3）核心是直线和圆的位置关系；
（4）方法上强调：数形结合的思想方法、方程思想、待定系数法；
（5）能力上要求：图形探究能力、逆向探究能力、运算求解能力、阅读理解能力.
三、复习建议
1．加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题 的基本技能和基
本方法。
2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活 多变，思维能力要求较高，
解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥 曲线的重点内
容、高考的 热点问题作深入的研究。
3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向 深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题
的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能 力。

6

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四、练习巩固
1.（2009浙江文）已知椭圆
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F
，右顶点为
A
，点
B
在椭圆上，
????????
且
BF?x
轴，直线
AB
交
y
轴于点
P
．若
AP?2PB< br>，则椭圆的离心率是（ ）
wwwk5uom
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
3
D．
1
2
2.（2009江西卷文）设
F
1
和
F< br>2
为双曲线
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
(
a?0,b?0
)的两个焦点, 若
F
1
，F
2
，
P(0,2b)
是正三角形的三个顶点,则双曲线的离 心率为


A．
3
2
B．
2
C．
5
2
D．3
3.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，
则圆C的方程为
（A）
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(B)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2

(C)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(D)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2

4. （2009陕西卷文）过原点且倾斜角为
60?
的直线被圆
x
2
?y
2
?4y?0
所截得的弦长为
学科网
（A）
3
（B）2 （C）
6
（D）2
3

5.（2009宁夏海南卷 文）已知圆
C
1
：
(x?1)
+
(y?1)
=1， 圆
C
2
与圆
C
1
关于直线
x?y?1?0
对
称，则圆
C
2
的方程为
（A）
(x?2)
+
(y?2)
=1 （B）
(x?2)
+
(y?2)
=1
（C）
(x?2)
+
(y?2)
=1 （D）
(x?2)
+
(y?2)
=1
6.（2010山东文数）已 知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：
y?x?1
被该圆
所截得 的弦长为
22
，则圆C的标准方程为 .
7 .（2010天津文数）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相< br>切。则圆C的方程为 。
8.（2010全国卷 2文数）已知抛物线C：y
2
=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为

7
2
2
22
222
2
22
的