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高中数学解析几何中的基本公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 22:36
tags:高中数学解析几何

高中数学精品-高中数学5个选择题

2020年9月18日发(作者:许安安)



解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若
A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
2?y
1
)

特别地:
ABx
轴, 则
AB?


ABy
轴, 则
AB?

2、 平行线间距离:若< br>l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By? C
2
?0

则:
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

注意点:x,y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离:
P(x
?
,y
?
),l:Ax?By?C?0

则P到l的距离为:
d?
Ax
?
?By
?
?C
A
2
?B
2

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:
?
?
y?kx?b
?
F(x,y)?0

消y:
ax
2
?bx?c?0
,务必注意
??0.

若l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)

则:
AB?( 1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2

5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
)
,P(x,y)。P在直线AB上,且P分有向线段AB所成的比
为< br>?

?
x
1
??x

?
?x?
2
?
P为AB中点且
?
x?
x
1
?x
2
?
1??
,特别地:
?
=1时,
?2
?
?
?
?
y?
y
1
??y
2
?
1??
?
?
y?
y
1
?y
2
2
变形后:
??
x?x
1
x?x
或??
y ?y
1

2
y
2
?y
6、 若直线l
1< br>的斜率为k
1
,直线l
2
的斜率为k
2
,则l
1
到l
2
的角为
?,??(0,?)

适用范围:k1
,k
2
都存在且k
1
k
2
?
-1 ,
tan??
k
2
?k
1
1?k

1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为
?
,则
tan??
k
1
?k
2
1?kk

??(0,
?
]

12
2
注意:(1)l
1
到l
2
的角,指从l
1
按逆时针方向旋转到l
2
所成的角 ,范围
(0,?)

l
1
到l
2
的夹角:指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
(2)l
1
?
l
2
时,夹角、到角=
?
2

(3)当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。






















7、 (1)倾斜角
?

??(0,?)

??
(2)
a,b夹角?,??[0,?]

(3)直线l与平面
?的夹角?,??[0,
?
2
]
; < br>(4)l
?

??
[0,
?
1
与l
2
的夹角为
2
]
,其中l
1
l
2
时夹角< br>?
=0;
(5)二面角
?,
??(0,?]

(6)l
1
到l
2
的角
?,??(0,?)

8、 直线的倾斜角
?
与斜率k的关系
a) 每一条直线都有倾斜角
?
,但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率k,而倾斜角为
?
,则k=tan
?

9、 直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
(1)若l
1
,l
2
均存在斜率且不重合:①l
1
l
2
?
k
1
=k
2

②l
1
?
l
2
?
k
1
k
2
=-1
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,l
2
: A
2
x?B
2
y?C
2
?0

若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2
?
A
1
B
1
C
1
A
??


2
B
2
C
2
② l
1
?
l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0;
③ l
1
与l
2
相交
?
A
1
B
1A
?

2
B
2
④ l
1
与l
2
重合
?
A
1
A
?
B
1
?
C
1

2
B
2
C
2
注意:若A
2
或B
2
中含有字母,应注意讨论字母=0与
?
0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式:
y?y
?
?k(x?x
?
)
(1)斜率不存在:
x?x
?
(2)斜率存在时为
y?y
?
?k(x?x
?
)

两点式:
y?y
1
x?x
1
y?y
?
?x

21
x
21


截距式:
x
a
?
y
b
?1
其中l交x轴于
(a,0)
,交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上,截距
相等时应分:
(1)截距=0 设y=kx
(2)截距=
a?0

xy
a
?
a
?1

即x+y=
a

一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为零)
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 (1)标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

(a,b)??圆心,r??半径

(2)一般方程:< br>x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,(
D
2
?E
2
?4F?0)

2

(?
D
,?
E
)??圆心,

r?
D?E
2
?4F
22
2

11、直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2?r
2
的位置关系有三种

d?
Aa?Bb?C
A< br>2
?B
2

d?r?相离???0


d?r?相切???0


d?r?相交???0

12、两圆位置关系的判定方法


设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2

O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线

d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线

r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线< br>
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线

0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线


外离 外切

相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
定义Ⅰ:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
1
?PF< br>2
?2a?F
1
F
2

a
为常数)
则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F
1
为定 点,l为定直线,动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为
常数e(0
x
2
y
2
标准方程:
a
2
?
b
2
?1

(a?b?0)

定义域:
{x?a?x?a}
值域:
{x?b?y?b}

长轴长=
2a
,短轴长=2b
焦距:2c
x??
a
2
准线方程:
c

焦半径
x?
a
2
PF
1
?e(
c
)

a
2
PF
2
?e(
c
?x)

PF1
?2a?PF
2

a?c?PF
1
?a?c


注意涉及焦半径①用点P坐标表示,②第一定义。)
注意:(1)图中线段的几何 特征:
A
1
F
1
?
A
2
F
2?a?c

A
1
F
2
?A
2
F
1
?a?c


B
1
F
1?
B
1
F
2
?B
2
F
2
?B
2
F
1
?a

A
2
B
2
?A
1
B
2
?a
2
?b
2
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与
a,b,c
有关。
(2)?PF
1
F
2
中经常利用余弦定理
....
、三角形面 积公式
.......
将有关线段
PF
1

PF
2

2c,有关角
?F
1
PF
2
结合起来,建立PF
1
+
PF
2

PF
1
?
PF
2
等关系


(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:< br>?
?
x?acos?
y?bsin?

?
(4)注 意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其
相应的性质。

二、双曲线
(一)定义:Ⅰ若F
1
,F
2
是两定点,PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2

a
为常数),则动
点P的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P
的轨迹是双曲线。
(二)图形:
















(三)性质
x
2
y
2
y
2
x
2
方程:
a
2
?
b
2
?1

(a?0,b?0)

a
2
?
b
2
?1

(a?0,b?0)

定义域:
{xx?a或x?a}
; 值域为R;
实轴长=
2a
,虚轴长=2b
焦距:2c
准线方程:
x??
a
2
c

2
焦半径
?e(x?
a
c
)

PF
a
2PF
12
?e(
c
?x)

PF
1
? PF
2
?2a

注意:(1)图中线段的几何特征:
AF
1
?BF
2
?c?a

AF
2
?BF
1< br>?a?c

顶点到准线的距离:
a?
a
2
c
a?
a
2
a
2
c
;焦点到准线的距离:
c?
c
或c?
a
2

c

两准线间的距离=
2a
2
c

(2)若双曲线方程为< br>x
2
y
2
x
2
y
2

b
a
2
?
b
2
?1
?
渐近线方程:a
2
?
b
2
?0?
y??
a
x


22
若渐近线方程为
y??
b
ax
?
x
a
?
y
b
?0
?
双曲 线可设为
xy
a
2
?
b
2
??

若双曲线与
x
2
y
2
x
2
y
2

a
2
?
b
2
?1
有公共渐近线,可设为
a
2
?
b
2
??


??0
,焦点在x轴上,
??0
,焦点在y轴上)
(3)特别地当
a?b时?
离心率
e?2
?
两渐近线互相垂直,分别 为y=
?x

此时双曲线为等轴双曲线,可设为
x
2
?y< br>2
??

(4)注意
?PF
1
F< br>2
中结合定义
PF
1
?PF
2
?2a
与余弦 定理
cos?F
1
PF
2
,将有
关线段
PF
1

PF
2

F
1
F
2
和角结 合起来。
(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质。
二、抛物线
(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
(二)图形:




(三)性质:方程:
焦点:
(

y
2
?2px,(p?0),p??焦参数

p
,0)

通径
AB?2p

2
p
准线:
x??

2
ppp

焦半径:
CF?x
??,
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p

222
p
注意:(1)几 何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=
p
;通径长=
2p

2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y
(2)抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(
?
,y
?)

2p
2
2
P(2pt
2
,2pt)或P
(x
?
,y
?
)其中y
?
2
?2p x
?


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