高中数学解析几何试题及答案

高中数学解析几何专题

解析几何
一.命题趋向与解题方法、技巧
1．圆锥曲线基础题
主要是考查以下问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方 程、焦点、常见距离及其
a,b,c,e,p
五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③ 曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆
的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性， 二是曲线间的对称性。
2．轨迹问题
主要有三种类型：①曲线形状已知， 求其方程；②曲线形状未定，求其方程；③由曲线方
程讨论其形状（一般含参数）。
此类问题 解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代入化
简整理即得曲线的轨 迹方程。基本方法有：直译法、定义法、代入法、交轨法、几何法、参数
法。
3．参数取值范围问题
通常依据题设条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取 值范围。
基本方法有定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法。
4．位置关系
常涉及直线与圆锥曲线交点的判定、弦长、弦中点、垂直、对称、共线等问题。应注意充
分利用圆锥曲线的基本性质及韦达定理、方程思想。根据新教材的特点，常结合平面向量的基
本知识进 行考查。
5．最值问题
通常是依题设条件，建立目标函数，然后用求最值 的方法来处理；有时也可用数形结合思
想，利用几何法分析。
6．韦达定理在解决解析几何问题中的主要应用
韦达定理在解决解析几何问题中起着重要作用，特别是 在解决有关弦长、两条直线互相垂
直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易，化繁为简。

【专题训练】
一 、选择题
1．从一块短轴长为
2b
的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围
22
是
?
?< br>3b,4b
?
?
，则这一椭圆离心率
e
的取值范围是

A．
[
（ ）
325233
,]

,]

,]
C．
[
D．
[
32323 2
uuur
2
OB?0
”是“直
2．已知
A
、则“
OA
·
B
是抛物线
y?2px
(
p?0
) 上异于原点
O
的两点，
线
AB
恒过定点(
2p,0
)”的
B．
[
（ ）
A．充分非必要条件 B．充要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
3．设椭圆的两个焦点分别为
F< br>1
，F
2
，过
F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P
，若
△F
1
PF
2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心 率是
（ ）

1
53
,]

32

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2
2?1
B．
2
2
C．
2?2
D．
2?1

22
xy
4．已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与
x
轴的正半轴交于点
A，O
是原点，若椭圆上存在一
ab
点
M
，使
MA?MO
，则椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A．
?
2
?
?
2
??
2
?
?
1
?
,1
?
B．
?
D．
?

,1
?
,1
?
C．
?
,1
?< br>??
?
?
2
?
?
2
?
?
2
??
2
?
uuur
uuur
1
uuur
2
uuur
5．已知
AB?3
,
A
、
B
分 别在
y
轴和
x
轴上运动,
O
为原点,
OP?OA?OB
，
33
则动点
P
的轨迹方程是
A．
?


（ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
2222
?y?1
B．
x??1
C．
?y?1
D．
x??1
A．
4499
两部分，则点
Q
的轨迹方程为
（ ）
A．
2x?4y?1?0


6．已知直线
l: 2x?4y?3?0
，点
Q
分线段
OP
为
1:2O
为坐标原点，
P
为
l
上的动点，

B．
2x?4y?3?0

D．
x?2y?1?0


C．
2x?4y?2?0





二、填空题
7．过抛物线
y?
1
2
x
准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为
M,N
，则直
4
线
MN
过定点 ．



8．过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点
F
的直线
l
交抛物线 于
A,B
两点，交准线于点
C
．若
uuruuur
CB?2 BF
，则直线
AB
的斜率为 ．




9．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶
5m
时，水面宽为
8m< br>，一小船宽
4m
，高
2m
，
3
当小船开始不能通航时 ，水面上涨到距抛物线
m
，
4
拱顶相距
m
．
载货后船露出水面上的部分高

2

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三、解答题
10．椭圆
C
的一个焦点
F
恰好是 抛物线
y??4x
的焦点，离心率是双曲线
x?y?4
离心率的倒数．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）设过点
F
且不与坐标轴垂直的直线
l
交椭圆于
A,B
两点，线段
AB
的垂直平分
线与
x
轴交于点
G
，当点
G
的横坐标 为
?
















11．椭圆的对称中心在 坐标原点，一个顶点为
A(0,2)
，右焦点
F
与点
B(2,
222
1
时，求直线
l
的方程．
4
2)
的
距离为
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率
k?0
的直线
l
：
y?kx?2
，使直线
l
与椭圆相交于不同的两点
M,N
满足
|AM|?|AN|
，若存在，求直线
l
的倾斜角
?
； 若不存在，说明理
由．













3

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x
2
y
2
??1
在
x
轴上方的顶点，
l
的方程是12．在
?ABC
中
AC?23
，
B
是椭 圆
54
y??1
，当
AC
在直线
l
上运动时．
（1）求
?ABC
外接圆的圆心
P
的轨迹
E
的方程；
3
（2）过定点
F(0,)
作互相垂直的直线
l
1< br>,l
2
，分别交轨迹
E
于
M,N
和
R,Q< br>，
2
求四边形
MRNQ
面积的最小值．




【专题训练参考答案】
x
2
y
2
1．解析：A 设椭圆方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
，设矩形在第一象限的顶点坐标为
ab
?
x,y
?
，根据对称性该矩 形的面积为
?
?
x
?
2
?
y
?
2
?
?
x
??
y
?
S?4xy?4ab
?? ??
?2ab
?
??
?
??
?
?2ab
， 即划出的矩形的最大面积
?
a
??
b
?
?
?
?
a
??
b
?
?
?
3b1b2
22是
2ab
，根据已知
3b?2ab?4b
，即
?a?2b
，即
??
，
22a3
2
ca
2
?b
2
?
b
?
?
53
?
?1?
??
?< br>?
,
故
e??
?
．
aa
2
a32
??
??
2．解析：B
3．解析：D 由题意，得
PF
1
?2PF
2
?2F1
F
2
?22c
，又由椭圆的定义，得
PF
1
?PF
2
?2a
．即
22c?2c?2a
，则
a?(2?1 )c
，得
e?
c

?2?1
，故选Ｄ．
a
yy
4．解析：D 设
M(x，y)
，则
MA?MO
，得
·?1
．
x x?a
将其与椭圆方程联立，消去
y
得
(x?a)(b
2
x ?a
2
x?b
2
a)?0
．由
x?a
，得
ab
2
ab
2
x?
2
?
2
．
a ?b
2
c
ab
2
∴x?
?
?a，a
?， 又
MA?MO
，则
x?(0，a)
，即
0?
2?a
，
∵M(x，y)
在椭圆上，
c
a
2
b
2
?c
2
2
b
2
c
2
1
，则，．
∴e?
?2
∴0?
2
?1
，
1?
2
?
?
2
ca
2
2
cc
2
2< br>又
∵0?e?1
，
∴?e?1
．
2

4

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uuur
22
5．解析：A 设A
?
0,a
?
，
B
?
b,0
?
，则由
AB?3
得
a?b?9
．设
P
?
x,y< br>?
，由
uuur
1
uuur
2
uuur
12 3
OP?OA?OB
得
?
x,y
?
?
?
0 ,a
?
?
?
b,0
?
，由此得
b?x
，< br>a?3y
，代入
33332
9
2
x
2
222
a?b?9
得
9y?x?9??y
2
?1
． 44
6．解析：A设点
Q
的坐标为
?
x,y
?
，点
P
的坐标为
?
x
1
,y
1
?
．∵
Q
分线段
OP
为
1:2
，

1?
x
1
?
2
?
x?
1
?
1?
?
x
1
?3x
?
2
∴
?
，即?

y?3y
1
?
1
?
y
1
?
y?
2
?
1
1?
?
?2
∵点
P
在直线
l
上，∴
2x
1
?4y
1
?3?0
，把
x
1
?3x,y
1
?3y
代入上式并化简，得
2x?4y?1?0
，为所求轨迹方程．
7．解析：
?
0,1
?
．
8．解析：
?3
． 涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有
两解．
9．解析：
2
如图 建立适当的坐标系，设拱桥抛物线方程为
x??2p y(p?0)
，由
题意，将
B
?
4,?5
?
代入方 程得
p?

2
16
8
，∴抛物线方程为
x
2
??y
．
5
5
∵ 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为
AA
， 则
A
?
2,y
A
?
，
5
16
y
A
，得
y
A
??
， < br>4
5
33
又知船面露出水面上部分为
m
，
h?yA
??2m
．
44
即水面上涨到距抛物线拱顶
2m
时小船不能通航．
由
2
2
??

22
10．解析：（1）根据已知该 椭圆的一个焦点坐标是
F
?
?1,0
?
，即
c?1
，双曲线
x?y?4

的离心率为
2
，故椭圆的离心率为

2c2
，即
e??
，故
a?2
，从而
b?1
，
2a2
x
2
?y
2
?1
． 所以所求椭圆的标准方程是
2

5

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x
2
?y
2
?1,
（2）设直线
l
的方程为
y?k(x?1)(k?0),
代入
2
2222
整理得
(1?2k)x?4kx?2k?2?0.
（6分）
Q
直线
AB
过椭圆的左焦点
F
，
?
方程有两个不等实根．
记
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2),AB
中点
N(x
0
,y
0
),

4k
2
2k
2
k
,
故
x
0
?x
1
?x
2
??
2
则
x
1
?x2
??
2
，
y
0
?k
?
x
0
?1
?
?
． （9
2
2k?12k?1
2k?1
分）
1
(x?x
0
).
（10分）
k
2k
2
k
2
k
2
111
?
2
??
2
???
2
??
， 令
y?0,
得
x
G
?x
0
?ky
0
??
2

2k?12k?12k?124k?24
2
解得
k??
，
2
2
故直线
l
的方程为
y??
?
x?1
?
．
2
x
2
y
2
11．解析：（1）依题意， 设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
，则其右焦点坐标为
ab
又
AB
的垂直平分线
NG
的方程为
y?y
0
??
F(c,0),c?a
2
?b
2
，
由
|FB|?
2
，得
(c?2)
2
?(0?2)
2
?2
，即
(c?2)
2
?2?4
，解得
c?22< br>．
22
xy
222
??1
． 又 ∵
b?2
，∴
a?c?b?12
，即椭圆方程为
124
（2）由
|AM|?|AN|
知点
A
在线段
MN
的垂直平分 线上，
?
y?kx?2
?
22
由
?
x
2
消去
y
得
x?3(kx?2)?12

y
2
?1
?
?
?
124
即
(1?3k)x?12kx?0 （*）
由
k?0
，得方程（*）的
??(?12k)?144k ?0
，即方程（*）有两个不相等
的实数根．
设
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
， 线段
MN
的中点
P(x
0
,y
0
)
， < br>22
22
x
1
?x
2
6k
12k
?
x??
，，
0
2
1?3k
2
1?3k
2
6k
2
?2(1?3k
2
)
?2
6k?2
?
?

y
0
?kx
0
?2?
P(,)
， ，即
22
22
1?3k1?3k
1?3k1?3k
则
x
1
?x
2
?

6

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?2
?2
2
?2?2(1?3k
2
)
1?3k，
?
?k?0
，∴直线
AP
的斜率为
k
1
?
6k
6k
1?3k
2
?2?2(1?3k
2)
?k??1
， 由
AP?MN
，得
6k
33
2
∴
2?2?6k? 6
，解得：
k??
，即
tan
?
??
，
33
?
5
?
又
0?
?
?
?
，故
?
?
，或
?
?
，
66
?
5
?
∴ 存在直线
l
满足题意，其倾斜角< br>?
?
，或
?
?
．
66
x
2
y
2
??1
得点
B(0,2),
直线
l
方程是< br>y??1
12．解析：（1）由椭圆方程
54
?AC?23,
且AC
在直线
l
上运动．
可设
A(m?3,?1),C(m?3,?1),

则
AC
的垂直平分线方程为
x?m
①
1m?3m?3
?(x?)
②
222
Q P
是
?ABC
的外接圆圆心，
?
点
P
的坐标
(x,y)
满足方程①和②
AB
的垂直平分线方程为
y?
x2
由①和②联立消去
m
得
y?

6
2
故圆心
P
的轨迹
E
的方程为
x?6y

（2）由图 可知，直线
l
1
和
l
2
的斜率存在且不为零，设
l
1
的方程为
y?kx?
3
，
2
13
Ql
1
?l
2
，
?l
2
的方程为
y??x?< br>．
k2
3
?
y?kx?
?
?
2
2
由
?
得
x?6kx?9?0

?
y?
1
x
2
?
6
?
Q
△=
??26k
2
?36?0,?
直线
l
1
与轨迹
E
交于两点．
设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y2
)
，则
x
1
?x
2
?6k,x
1< br>x
2
?9
．
?|MN|?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1 ?k
2
?36k
2
?36?6(1?k
2
).

同理可得：
|RQ|?6(1?

1
).
?
四边形
MRNQ
的面积
2
k
7

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111
|MN|?|RQ|?18(k
2
?
2
?2)?18(2?2k2
?
2
)?72.

2kk
1
2
当且 仅当
k?
2
，即
k??1
时，等号成立．
k
故四边形
MRNQ
的面积的最小值为
72
．
S?



8