高二数学解析几何知识点

第三章

一、直线的倾斜角与斜率
1、倾斜 角的概念：（1）倾斜角：当直线
?
与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直
线
?
向上方向之间所成的角?叫做直线
?
的倾斜角。
（2）倾斜角 的范围：当
?
与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角?为0°因此0°≤?＜180°。
2、直线的斜率
（1）斜率公式：K=tan?（?≠90°）
（2）斜率坐标公式：K=
y
2
?y
1
（x
1
≠x
2
）
x
2
?x
1
（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当?=0°
时，k=0 ；当0°＜?＜90°时，k＞0，且?越大，k越大；当?=90°时，k不存在；当90°
＜?＜1 80°时，k＜0，且?越大，k越大。
二、两直线平行与垂直的判定
1、两直线平行的判定：
（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；
（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k
1
=k
2
?
?
1
∥
?
2

2、两直线垂直的判定：
（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；
（2）如果两条直线?
1
、
?
2
的斜率都存在，且都不为0，则
?
1
⊥
?
2
? k
1·
k
2
=－1

已知直线
l
经过点
P(x
0
,y
0)
，且斜率为
k
，则方程
y?y
0
?k(x?x
0
)
为直线的点斜式方程.

直线
l
与
y轴交点
(0,b)
的纵坐标
b
叫做直线
l
在
y
轴上的截距（intercept）.直线
y?kx?b
叫做直线的斜截式方程. < br>已知直线上两点
P
1
(x
1
,x
2
),P< br>2
(x
2
,y
2
)
且
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，则通过这两点的直线方 程为
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)
，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把 它叫直
y
2
?y
1
x
2
?x
1
线 的两点式方程，简称两点式
已知直线
l
与
x
轴的交点为
A (a,0)
，与
y
轴的交点为
B(0,b)
，其中
a?0, b?0
，则
xy
直线
l
的方程
??1
叫做直线的截 距式方程.
ab
注意：直线与
x
轴交点（
a
,0）的横坐 标
a
叫做直线在
x
轴上的截距；直线与y轴交点（0,
b
）
的纵坐标
b
叫做直线在
y
轴上的截距.

关于< br>x,y
的二元一次方程
Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）叫做直线的一 般式方程，简称
一般式（general form）．
注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线

直
线
名
称
点
斜
式
斜
截
式
两
点
式
截
距
式
已知条件 直线方程 使用范围
P
1
(x
1
,y
1
),k

y?y
1
?k(x?x
1
)

y?kx?b

y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
k存在
k，b

k存在
x
1
?x
2

y
1
?y
2

a?0

b?0

(x
1
,y
1
)
（
x
2
,y2
)

a,b

xy
??1

ab

















22
已知平面上两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，则
PP
12
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
).
特殊地：
P(x,y)
与原点的距离为
OP?x
2
?y
2
.
：已知点
P(x
0
,y
0
)< br>和直线
l:Ax?By?C?0
，则点
P
到直线
l
的 距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
已知两条平行线直线
l
1
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:

Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
王新敞
A?B
22

1．两直线 的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无
?
Ax?By?C?0
?
222
数组解，则两直线重合；若方程组无解，则 两直线平行

2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转
化为代数问题来解决.

3.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的
量；②进行有 关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.

点到直线距离公式的推导过程，点 到直线的距离公式，能把求两平行
线的距离转化为点到直线的距离公式

王新敞王新敞

一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地， 当直线
与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°
≤α ＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这 条直线的斜率。直
线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴 的倾斜程度。
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不
存在。
y?y< br>1
②过两点的直线的斜率公式：
k?
2
(x
1
?x< br>2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1) 当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；(3)以后求 斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的
坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的 斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表
示．但因l上每一点的横坐标都等于x< br>1
，所以它的方程是x=x
1
。
②斜截式：
y?kx?b< br>，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y< br>2
?

y
2
?y
1
x
2
? x
1
?
???
④截矩式：
?
y
?1
b
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与< br>y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、y
轴的截距分别
x
a
为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为
常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x? B
0
y?C?0
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率 为k的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y ?C
2
?0
的交点的直线
系方程为

，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为参数）
（6）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k< br>1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x? b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A? B
22

（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，
定长为圆的半径。
2、圆的方程
22
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆 心为
r?
1
D
2
?E
2
?4F
2
?
DE
?
?
?,?
?
2
??
2
， 半径为

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示
任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆
的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心
的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到l的距
离为
d?
Aa?Bb?CA?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切< br>；
d?r?l与C相交

（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b?
2
?r
2
，先将方程联立消元，
得到一个一元二次方程之后， 令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C 相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点，可使用 公式
xx
0
?yy
0
?r
去解直线与圆相切的问
题 ，其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r表示半径 。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x
2
+y
2
= r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课
本命题)．
②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一 点为(x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比
较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确
定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

选修内容：
椭圆
把平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的 距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫做椭圆
（ ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点
设为< br>M
时，椭圆即为点集
P?
M|MF
1
?MF
2
?2a
．
椭圆的简单几何性质
??
y
2
x
2
①范围：由椭圆的标准方程可得，
2
?1?
2
?0
，进一步得：
?a?x?a
，同理
ba
可得：
?b?y?b
，即椭圆位于直线
x??a
和
y? ?b
所围成的矩形框图里；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代
y
这三个方面来研究椭
圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶 点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点
叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于 椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴
叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦 距与长轴长的比
e?
c
叫做椭圆的离心率（
0?e?1
），
a
?
当e?1时
，c
?a
，，b
?0
?
当 e?0时
，c
?0
，b
?a
；
?

?
?
椭圆图形越扁
?
椭圆越接近于圆
椭圆的第二定义 c
(0?e?1)
时，这
a
个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直 线叫做椭圆的准线，常数
e
是椭圆的离心率．
当点
M
与一个定点的 距离和它到一条定直线的距离的比是常数
e?
a
2
x
2
y< br>2
对于椭圆
2
?
2
?1
，相应于焦点
F(c ,0)
的准线方程是
x?
．根据对称性，相应于焦
c
ab
y
2
x
2
a
2
a
2
点
F
?
(?c,0)
的准线方程是
x??
．对于椭圆
2
?
2
?1
的准线方程是
y??
．
cc
ab
可见椭圆 的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几
何意义．
由 椭圆的第二定义
?
|MF|
?e
可得：右焦半径公式为
d
a
2
a
2
|MF
右
|?ed?e|x?|?a?ex
；左焦半径公式为
|MF
左
|?ed?e|x?(?)|?a?ex

cc

椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x
2
y< br>2
性质一：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),两焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
中
?F
1
PF
2?
?
,
则
S
?F
1
PF
2
? b
2
tan
?(2c)
2
?F
1
F
2222
?
2
。
?PF
1
?PF
2
? 2PF
1
PF
2
cos
?
2
?(PF
1< br>?PF
2
)?2PF
1
PF
2
(1?cos
?
)

?PF
1
PF
2
?
(PF
1
?PF
2
)
2
?4c
2
2(1?cos
?
)
4a
2
?4c
2
2b
2

? ?
2(1?cos
?
)1?cos
?
?S
?F
1< br>PF
2
1b
2
?
?PF
1
PF
2< br>sin
?
?sin
?
?b
2
tan

21?cos
?
2
x
2
y
2
性质二：已知椭圆方 程为
2
?
2
?1(a?b?0),
左右两焦点分别为
F1
,F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
，若
?F
1
PF
2
最大，则点P为椭圆短轴的 端点。
证明：设
P(x
o
,y
o
)
,由焦半径公 式可知：
PF
1
?a?ex
o
，
PF
1
? a?ex
o

在
?F
1
PF
2
中，
cos
?
?
PF
1
?PF
1
?F
1F
2
2PF
1
PF
2
222
?
(PF
1
?PF
2
)
2
?2PF
1
PF
2
?4c
2
2PF
1
PF
2

2b
2
4a
2
?4c
2
4b
2

?
?1

?1??1
=
222
2PF
1< br>PF
2
2(a?ex
o
)(a?ex
o
)
a ?ex
o
2
?
?a?x
0
?a

?x
o
?a
2


x
2
y
2
性质三：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),
两焦点分别为
F
1
,
F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
中
?F
1
PF
2
?
?
,
则
cos
?
?1?2e
2
.

证明：设
PF
1
?r
1
,PF
2?r
2
,
则在
?F
1
PF
2
中，由余 弦定理得：
r
1
2
?r
2
2
?F
1F
2
(r
1
?r
2
)
2
?2r
1
r
2
?4c
2
2a
2
?2c
2

cos
?
????
1

2r
1r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2

2a
2
?2c
2
2a
2
?2c
2
?1??
1
?
1
?
2
e
2
.
命题得证。

?
2
r?r
2a
2(
12
)
2
2
双曲线
把 平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数 （小于
F
1
F
2
）的点的轨迹
叫做双曲线（hyperbo la）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线
的焦距．即当动点设为
M
时，双曲线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2 a
．
双曲线的简单几何性质
??
y
2
x
2
①范围：由双曲线的标准方程得，
2
?
2
?1?0
，进一步得：
x??a
，或
x?a
．这
ba
说明双曲线在不等式
x??a
，或
x?a
所表示的区域；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代
y
这三个方面来研究双
曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥 曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆
锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实 虚之分，焦点所在的对称
轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
b
x
2
y
2
④渐近线：直线
y??x
叫做双曲线
2
?2
?1
的渐近线；
a
ab
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比
e?
c
叫做双曲线的离心率（
e?1
）．
a
a
2
双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离 和它到一定直线
l:x?
的距离之
c
比是常数
e?
c
?1
时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦
a
a
2
点，定直线
l:x?
叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离 心率。双曲线上任一点到
c
焦点的线段称为焦半径。

定义
图形
N
1
K
1
P
椭圆
1到两定点F
1
,F
2
的距离之和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的 点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0y
y
B
2
K
2
N
2
F
2
N
2
P
A
2
F
2
A
1
F
1
O
A
2
K
2
x
B
1

O
B
2
N
1
x
B
1


方


程
标
准
方
程
参
数
方
程
A
1
K
1
F
1

x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
(
a?b
>0)
x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
(
a?b
>0)
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （其中c=
a
2
?b
2
）
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （其中c=
a
2
?b
2
）
范围
中心
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(0?e?1)

a
a
2
x=
?

c
r?a?ex

a
2
x=
?

c
r?a?ex

焦半径
通径
2b
2

a
2b
2

a

名 称 椭 圆
y
双 曲 线

y

图 象
O
x
O
x

平面内到两定点
F
1
,F
2
的距离的和为

平面内到两定点
F
1
,F
2
的距离的差的

常数（大于
F
1
F
2
）的动点的轨迹叫椭
绝对值为常数（ 小于
F
1
F
2
）的动点的


圆。即
MF
1
?MF
2
?2a

轨迹叫双曲线。即
MF
1
?MF
2
?2a

定 义
当2
a
﹥2
c
时，轨迹是椭圆，
当2
a
﹤2
c
时，轨迹是双曲线

当2a
=2
c
时，轨迹是一条线段
F
1
F
2

当2
a
=2
c
时，轨迹是两条射线
当2
a
﹥2
c
时，轨迹不存在
当2
a
﹤2
c
时，轨迹不存在



标准
方 程

x
2
y
2
焦点在
x
轴上时：
2
?
2
?1

ab
y
2
x< br>2
焦点在
y
轴上时：
2
?
2
?1

ab
注：是根据分母的大小来判断焦点在
哪一坐标轴上
222
x< br>2
y
2
焦点在
x
轴上时：
2
?
2< br>?1

ab
y
2
x
2
焦点在
y
轴上时：
2
?
2
?1

ab
注：是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
222
常数

a?c?b
（符合勾股定理的结构）
c?a?b
（符合勾股定理的结构）
a,b,c
a?b?0
，
c?a?0

的关

a
最大，
c?b,c?b,c?b

系

c
最大，可以
a?b,a?b,a?b