高中数学解析几何基本公式与题型

高中数学解析几何基本公式与题型

解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1)
2
?(y
2
?y
1
)
2

特别地：
ABx
轴， 则
AB?
。

ABy
轴， 则
AB?
。
2、 平行线间距离：若
l
1
:Ax?By?C
1
?0,
则：
d?
l
2
:Ax?By?C
2
?0

C
1
?C
2
A?B
22

注意点：x，y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：
P(x
?
,y
?
),l:Ax?By?C?0

则P到l的距离为：
d?
Ax
?
?By
?
?C
A?B
22

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
?
2
?
y?kx?b

F(x,y)?0
?
消y：
ax?bx?c?0
，务必注意
??0 .

若l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x< br>2
,y
2
)

则：AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2

5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，P（x，y）。P在直线AB上，且P
分有向线段AB所成的比 为
?
，
x
1
??x
2
?
x?
?
?
1??
则
?
，特别地：
?
=1时，P为< br>y??y
2
?
y?
1
?
1??
?

1

x
1
?x
2
?
x?
?
?
2
AB中点且
?

?
y?
y
1
?y
2
?
2
?
变形后：
??
x ?x
1
y?y
1
或??

x
2
?xy
2
?y
6、 若直线l
1
的斜 率为k
1
，直线l
2
的斜率为k
2
，则l
1
到l
2
的角为
?,??(0,?)

适用范围：k
1，k
2
都存在且k
1
k
2
?
－1 ，
tan??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为
?
，则tan??
k
1
?k
2
?
，
??(0,]
1?k
1
k
2
2
注意：（1）l
1
到l
2
的角，指从l
1
按逆时针方向旋转到l
2
所成的角， 范围
(0,?)

l
1
到l
2
的夹角：指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
（2）l
1
?
l
2
时，夹角、到角=
?
。
2
（3）当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。





















7、 （1）倾斜角
?
，
??(0,?)
；

2

（2）
a,b夹角?，??[0，?]
；
（3）直线l与平面
?的夹角?，??[0，]
；
（4）l
1与l
2
的夹角为
?
，
??
[0，]
，其中l< br>1
l
2
时夹角
?
=0；
（5）二面角
?,
??(0,?]
；
（6）l
1
到l
2
的角
?，??(0，?)

8、 直线的倾斜角
?
与斜率k的关系
a) 每一条直线都有倾斜角
?
，但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为
?
，则k=tan
?
。
9、 直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：①l
1
l
2
?
k
1
=k
2

②l
1
?
l
2
?
k
1
k
2
=－1
（2）若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2
?
??
?
2
?2
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2?0

A
1
B
1
C
1
；

??
A
2
B
2
C
2
② l
1
?
l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
③ l
1
与l
2
相交
?
A
1
B
1
?
A
2
B
2
A
1
B
1C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
④ l
1与l
2
重合
?
注意：若A
2
或B
2
中 含有字母，应注意讨论字母=0与
?
0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式：
y?y
?
?k(x?x
?
)
（1）斜率不存在：
x?x
?

（2）斜率存在时为
y?y
?
?k(x?x
?
)

两点式：


y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1

3

截距式：
xy
交y轴于
(0,b)
??1
其中l交x轴于
(a,0)
，
ab
当直线l在坐标轴上，截距相等时应
分：
（1）截距=0 设y=kx
（2）截距=
a?0
设
即x+y=
a

一般式：
Ax?By?C?0
（其中A、B不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
，
(a,b)??圆心，r??半径
。
（2）一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
，（
D?E?4F?0)

2222
222
xy
??1

aa
DE

(?,?)??圆心,

r?
22
222
D
2?E
2
?4F

2
11、直线
Ax?By?C?0与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?
A a?Bb?C
A?B
22
，
d?r?相离???0


d?r?相切???0


d?r?相交???0

12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，< br>O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线

d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线

r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线< br>
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线

0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线


4

外离 外切


相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆

定义Ⅰ：若F
1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
（
a
为常数）
则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F
1
为定 点，l为定直线，动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常
数e（0
x
2
y
2
标准方程：
?
2
?1

2
ab
(a?b?0)

定义域：
{x?a?x?a}
值域：
{x?b?y?b}

长轴长=
2a
，短轴长
=2b
焦距：2c
a
2
准线方程：
x??

c
a
2
a
2
PF
1
?2a?PF
2
PF
1
?e( x?)
，
PF
2
?e(?x)
，
焦半径
：
cc
a?c?
，
PF
1
?a?c

5

等
（
注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：
A
1
F
1
?
A
2
F
2
?a?c
，
A
1
F
2?A
2
F
1
?a?c


B
1
F
1
?
B
1
F
2
?B
2
F
2
?B
2
F
1
?a
，
A< br>2
B
2
?A
1
B
2
?
与准线距离、 焦点与准线距离分别与
a,b,c
有关。
（2）
?PF
1
F
2
中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段
PF
1．．．．．．．．．．．
有关角
?F
1
PF
2
结合起来 ，建立
PF
1
a
2
?b
2
等等。顶点
、< br>PF
2
、
2c，
+
PF
2
、
PF< br>1
?
PF
2
等关系
?
x?acos?
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：
?
； < br>y?bsin?
?
（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在 y轴上时，其
相应的性质。

二、双曲线
（一）定义：Ⅰ若F
1
，F
2
是两定点，
PF
1
?PF
2
?2a ?F
1
F
2
（
a
为常数），则动
点P的轨迹是双曲 线。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P
的轨迹是双曲线。
（二）图形：
















（三）性质
x
2
y
2
y
2
x
2
方程：
2
?
2
?1

(a?0,b?0)

2
?
2
?1

(a?0,b?0)

abab

6

定义域：
{xx?a或x?a}
； 值域为R；
实轴长=
2a
，虚轴长=2b
焦距：2c
a
2
准线方程：
x??

c
焦半径
：a
2
a
2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)
，
PF
1
?PF
2
?2a
；
cc
注意：（1）图中线段的几何特征：
AF
1
?BF
2
?c?a
，
AF
2
?BF
1
?a?c< br>
a
2
a
2
a
2
a
2
顶点到准线的距离：
a?
；焦点到准线的距离：
c?

或a?或c?
cccc
2a
2
两准线间的距离=
c
x
2
y
2
x
2
y
2
b
（2）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x

ab
ab
a
xy
xy

若渐近线方 程为
y??
b
x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??

ab
ab
a
x
2< br>y
2
x
2
y
2
若双曲线与< br>2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2< br>??

abab
（
??0
，焦点在x轴上，
??0< br>，焦点在y轴上）
（3）特别地当
a?b时?
离心率
e ?
22
2
?
两渐近线互相垂直，分别为y=
?x
，
22
此时双曲线为等轴双曲线，可设为
x?y??
；
（4） 注意
?PF
1
F
2
中结合定义
PF
1
?P F
2
?2a
与余弦定理
cos?F
1
PF
2
，将有关
线段
PF
1
、
PF
2
、
F1
F
2
和角结合起来。
（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
二、抛物线
（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
（二）图形：

7

（三）性质：方程：
焦点：
(

y
2
?2px,(p?0),p??焦参数
；
p
,0)
，
通径
AB?2p
；
2
p
准线：
x??
；
2
ppp

焦半径：
CF?x
??,
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p

222
p
注意：（1）几 何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=
p
；通径长=
2p

2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（2）抛物线
y?2px
上的动点可设为
2
y
P
(
?
,y
?
)
或
2p
2
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x
?
,y
?
)其中y
?
2
?2px
?



解析几何基本题型
【考点透视】
一．直线和圆的方程

8

1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点
式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点 到直线的距离公式，能够根据
直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域．
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．
二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
22< br>例1．若抛物线
y
2
?2px
的焦点与椭圆
x
?y
?1
的右焦点重合，则
p
的值为（ ）
62
A．
?2
B．
2
C．
?4
D．
4

考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
22
解答过程：椭圆
x
?
y
?1
的右焦点为(2,0)，所以抛物线
y
2
?2px
的焦点为(2,0)，则
p?4
，
62
故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标,利用
距离公式解之.
例2．已知抛物线y-x
2
+3上存 在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A.3 B.4 C.3
2
D.4
2

考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
?
y??x
2
?3
?x
2
?x?b?3?0?x< br>1
?x
2
??1
，解：设直线
AB
的方程为
y?x?b
，由
?
?
y?x?b

9

进而可求出
AB
的中点
M(?,?
12
111
?b)
，又由
M(?,??b)
在直线
x?y ?0
上可求出
222
b?1
，
∴
x
2
? x?2?0
，由弦长公式可求出
AB?1?1
故选C
例3．如图，把椭圆
x
?
y
?1
的长轴
2516
22
2
1
2
?4?(?2)?32
．

AB
分成
8
等份，过每个分点作
x
轴的垂线交椭圆的上半部
分于
P
七个点，
F
是椭圆的一个焦点，
1
,P< br>2
,P
3
,P
4
,P
5
,P
6,P
7
则
PF?P
2
F?P
3
F?P
4
F?P
5
F?P
6
F?P
7
F?
___ _________.
1
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. < br>解答过程：由椭圆
x
?
y
?1
的方程知
a
2
?25,?a?5.

2516
22
7?2a
∴
P F?PF?PF?PF?PF?PF?PF??7?a?7?5?35.

1234567
2
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
(1)椭圆的离心率e＝
c
∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
a
(2) 双曲线的离心率e＝
c
∈(1, ＋∞) (e越大则双曲线开口越大).
a
结合有关知识来解题.
例4．已知双曲线的离心 率为2，焦点是
(?4,0)
，
(4,0)
，则双曲线方程为
22
222222
A．
x
?
y
?1
B．
x
?
y
?1
C．
x
?
y
?1
D．
x
?
y
?1

412
124106610考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.
解答过程：
?e?
c
?2,c?4,
所以
?a?2,b
2
?1 2.
故选(A).
a
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本 概念，要注意认真掌握.尤其
对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．已知双曲线
3x
2
?y
2
?9
,则双曲线右支上 的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距
离之比等于（ ）
A.
2
B.
23
C. 2 D.4
3

10

考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝
c
∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
a
解答过程：依题意可知
a?3,c?a
2
?b
2
?3?9?23
．
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二 次函数问题或利用不等式求
最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例6．已知抛物线y
2
=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点，则y
1
2
+y
2
2
的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点P(4,0)的直线为
y?k
?
x?4
?
,?k
2
?
x
2
?8x?16
?
?4x,

? k
2
x
2
?
?
8k
2
?4
?x?16k
2
?0,
8k
2
?41
??
?y< br>1
?y
2
?4
?
x
1
?x
2
?
?4??16
?
2?
2
?
?32.
2
kk
??
22

故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，
要能够熟 练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7．
在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第 二象限、半径为2
原点O.椭圆
x
2
a
2
2
的圆C 与直线y=x相切于坐标
?
y
2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦 点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q ，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF
的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识
进 行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
?
m??n,
则
?
?
?
?
n?2?22,
m??2,
解得
?
?
?
n?2.
所求的圆的方程为
(x?2)
2
?(y?2)
2
?8


11

(2) 由已知可得
2a?10
，
a?5
．
22
椭圆的方程为
x
?
y
?1
, 右焦点为 F( 4, 0)
259
假设存在Q点
?2?22cos
?
,2?22sin
?
使
QF?OF
,
??
?
?2?22cos
?
?4?2?22sin
?
??
2
?
2
?4
．
整理得
sin
?
?3co
?
s?2
，
2
代入
sin
2
?
?cos
2
?
?1
． < br>得:
10cos
2
?
?122cos
?
?7?0 ,
cos
?
?
?122?8
?
?122?2 2
??1
．
1010
因此不存在符合题意的Q点.
例8．
如图,曲线G的方程为
y
2
?2x(y?0)
.以原点为圆心，以
t(t?0)

为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B.
直线AB 与 x 轴相交于点C.
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为
a?2
,求证：直线CD的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.
[解答过程]（I）由题意知，
A(a,2a).


因为
|OA|?t,所以a?2a?t.

22

由于
t?0,故有t?a
2
?2a.
（1）
由点B （0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为
又因点A在直线BC上，故有
a
?
2a
?1,

ct
xy
??1.

c t
将（1）代入上式，得
a
?
c
2a
a(a?2)
?1,
解得
c?a?2?2(a?2)
.
（II）因为
D(a?22(a?2))
，所以直线CD的斜率为
k
CD
?
2(a?2)2(a?2)2(a?2)
????1
，
a ?2?c
a?2?(a?2?2(a?2))?2(a?2)
所以直线CD的斜率为定值.

12

例9．已知椭圆
E:
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
，AB是它的一条弦，M(2,1)
是弦AB的中点，若
2
ab
以点
M(2,1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点
N(4,?1)
，
若椭圆离心率e和双曲线离心率
e
1
之间满足
ee
1
?1
，求：
（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.
解答过程：（1）设A、 B坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)
，
则
x
1
?
y
1
?1
，
x
2
?
y
2
?1
，二式相减得：
22
22
22
22
ab
ab

k
AB
2
2b
2
1?(?1)
y
1
?y
2
(x
1
?x)b
2
??k???1
，
????< br>MN
2
2
a2?4
x
1
?x
2
(y
1
?y
2
)a
所以
a
2
?2b
2
?2(a
2
?c
2
)
，
a
2
?2c
2
， 则
e?
c
?
2
；
a2< br>22
1
（2）椭圆E的右准线为
x?
a
?
(2c)< br>?2c
，双曲线的离心率
e
1
??
cc
e
2
，
设
P(x,y)
是双曲线上任一点，则：
22

|PM|
?
(x?2)?(y?1)
?2
，
|x?2c||x?2c|
两端平方且将
N(4,?1)
代入得：
c?1
或
c?3
，
当
c?1
时，双曲线方程为：
(x?2)
2
?(y?1 )
2
?0
，不合题意，舍去；
当
c?3
时，双曲线方 程为：
(x?10)
2
?(y?1)
2
?32
，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
22例10．双曲线C与椭圆
x
?
y
?1
有相同的焦点，直线y=< br>3x
为C的一条渐近线.
84
(1)求双曲线C的方程；
(2)过 点P(0,4)的直线
l
，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合） .
当
PQ?
?
1
QA?
?
2
QB
，且
?
1
?
?
2
??
8
时，求Q点的坐标 .
3
????????????
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平 面向量等知识综合解题的能力,以及运用
数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.

13

22
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为
x< br>?
y
?1
,
22
ab
22
由椭圆
x
?
y
?1
,求得两焦点为
(?2,0),(2,0)，
84
?
对于双曲线
C:c?2
，又
y?3x
为双曲线
C
的一条渐近线
?
b
?
a
22
3
解得
a?1,b?3
，
?
双曲线
C
的方程为
x
2
?
y
?1

3
2
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线
l
的斜率
k
存在且不等于零.
设
l
的方程：
y?kx?4,A(x
1
,y
1
)
，B(x
2
,y
2
)
,则
Q(?
4
,0 )
.
k
????????
?
PQ?
?
1
QA
,
?(?
4
,?4)?
?
1
(x
1< br>?
4
,y
1
)
.
kk
44
?x
1
???
4
?
4
?
k
?
1
k

?
??
?
1
(x
1
?)?
?
?
kk
?
?
??
y??
4
?
?4?
?
1
y
1
1
?
?
1< br>?
1?
?
1
2
16
?
A(x
1,y
1
)
在双曲线
C
上，
?
16
()??1?0
.
2
k
?
1?
1
?
16?32
?
1
?16
?
1< br>2
?
16
k
2
?k
2
?
2
?0.
?
(16?k
2
)
?
1
2
?32< br>?
1
?16?
16
k
2
?0.

3
3
同理有：
(16?k
2
)
?
2
2
?32
?
2
?16?
16
k
2
?0.

3
若
16?k
2
?0,
则直线
l
过顶点， 不合题意.
?16?k
2
?0,

?
?
1
,
?
2
是二次方程
(16?k
2
)x
2
? 32x?16?
16
k
2
?0.
的两根.
3
?< br>?
1
?
?
2
?
328
,
?k
2
?4
，此时
??0,?k??2
.
??
k
2
?163
?
所求
Q
的坐标为
(?2,0)
.
解法二：由题意知直线
l
的斜率
k
存在且不等于零
设l
的方程，
y?kx?4,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
Q(?
4
,0)
.
k
????
????????
?
PQ?
?
1< br>QA
，
?Q
分
PA
的比为
?
1
.
由定比分点坐标公式得

14

4
?< br>4
?
1
x
1
?
??x??(1?
?
1
)
?
k1?
?
?
1

k
?1
??
1
?
??
4
?
0?
4?
?
1
y
1
?
y
1
??
??
?< br>1
1?
?
1
?
?
下同解法一
解法三：由题意知直线
l
的斜率
k
存在且不等于零
设l
的方程：
y?kx?4,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
Q(?
4
,0)
.
k
????????????
?
PQ?
?
1
Q A?
?
2
QB
，
?(?
4
,?4)?
?
1
(x
1
?
4
,y
1
)?
?2
(x
2
?
4
,y
2
)
.
kkk
??4?
?
1
y
1
?
?
2
y
2
，
?
?
1
??
4
，
?2
??
4
，
y
1
y
2
又
?
1
?
?
2
??
8
，
?
1
?
1
?
2
,即
3(y
1
?y
2
)?2y
1
y
2
.
3
y
1
y
2
3
2
将
y?kx?4
代入
x
2
?
y
?1
得
(3?k
2
)y
2
?24y?48?3k
2
?0
.
3
?3?k
2
?0
，否则
l
与渐近线平行.
2448?3k
2
.
?y
1
?y
2
?, y
1
y
2
?
3?k
2
3?k
2
2 448?3k
2
.
?k??2

?3??2?
3?k
2
3?k
2
?Q(?2,0)
.
解法四：由题意知直线l得斜率 k存在且不等于零，设
l
的方程：
y?kx?4
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,
则
Q(?
4
,0)

k
????????
44?
PQ?
?
1
QA
,
?(?,?4)?
?1
(x
1
?,y
1
)
.
kk
4?
?
1
?
k
??
4
.同理
4
kx
1
?4
x
1
?
k
?
?
1< br>??
4
.
kx
2
?4
?
1
??
2
??
即
448
???
.
kx
1
?4kx
2
?43
（*）
2k
2
x
1
x
2
?5k(x
1
?x
2
)?8?0
.
?
y?kx?4
?
又
?
2
y
2

?1
?
x?
3
?
消去y得
(3?k)x?8kx?19?0
.

15
22

当
3?k
2
?0
时，则直线 l与双曲线得渐近线平行，不合题意，
3?k
2
?0
.
8k
?
x?x?
?
?
12
3?k
2
由韦达定理有：
?
?
xx??
19
?
12
3?k
2
?
代入（*）式得
k
2
?4,k??2
.
?
所求Q点的坐标为
(?2,0)
.
例11．
设动点 P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d
1
和d
2
，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d
1
d
2
sin
2
θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,
使
OM
·
ON
＝0,其中点O为坐标原点．
[考查目的] 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知
识进行推理运算的能力和 解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在
△PAB
中，
AB?2< br>，即
2
2
?d
1
2
?d
2
2
?2d
1
d
2
cos2
?
，
，
4? (d
1
?d
2
)
2
?4d
1
d
2
sin
2
?
，即
d
1
?d
2
?4 ?4d
1
d
2
sin
2
?
?21?
??2
（常数）
点
P
的轨迹
C
是以
A，B
为焦点，实轴长
2a?21?
?
的双曲线．
22
方程为：
x
?
y
?1
．
1?
??
（2）设
M(x
1
，y
1
)
，
N( x
2
，y
2
)

①当
MN
垂直于
x
轴时，
MN
的方程为
x?1
，
M(11)，
，< br>N(1，?1)
在双曲线上．
即
1
?
1
?1??
2
?
?
?1?0?
?
?
?1?5
， 因为
0?
?
?1
，所以
?
?
5?1
． < br>1?
??
22
②当
MN
不垂直于
x
轴时，设
MN
的方程为
y?k(x?1)
．
?
x
2
y
2
??1
得：
?
?
?(1?
?
)k< br>2
?
x
2
?2(1?
?
)k
2
x? (1?
?
)(k
2
?
?
)?0
， 由
?< br>??
?
1?
??
?
y?k(x?1)
?
2< br>?2k(1?
?
)
，
?(1?
?
)(k
2< br>?
?
)
． 由题意知：
?
，所以
?
?
?(1?
?
)k?0
x?x?
x
1
x
2
?
12
??
?
?(1?
?
)k
2
?
?(1?
?
)k
2
2
于是：
yy?k
2
(x?1)(x?1)?
1212
k
2
?
2
．
2
?
?(1?
?
)k

16

因为
OM?ON?0
，且
M，N
在双曲线右支上，所以
( 1?
?
)
?
x
1
x
2
?y
1y
2
?0
?
k
2
?
?
?
?< br>?
(1?
?
)
2
?
?
5?12
．
??
?
?
?
?1
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?11?
?
??
?
?
?
x
1
?x
2
?0
23
?
xx ?0
?
k
2
?
?
?
?
2
?
?
?1?0
?
?
12
?
1?
?
?
由①②知，
5?1
≤
?
?
2
．
23
解法2：（1）同解法1
（2）设
M(x
1
，y1
)
，
N(x
2
，y
2
)
，
MN
的中点为
E(x
0
，y
0
)
．
①当
x
1
?x
2
?1
时，
MB
2
?< br>?
?
?
?1?
?
2
?
?
?1?0< br>，
1?
?
因为
0?
?
?1
，所以
?
?
5?1
；
2
②当
x
1
?
?
x
1
2
y
1
2
??1
?
x
0
．
x
2
时，
?
?
1?
??
?k??
?
2
MN
2
1?
?
y
0
xy
?
2
?
2
?1
?
?
1?
??
22
又
k
MN
?k
BE
?
y
0< br>．所以
(1?
?
)y
0
?
?
x
0< br>?
?
x
0
；
x
0
?1
MN?，由第二定义得
?MN?
?
e(x
1
?x
2
) ?2a
?
2
由
∠MON?
?
得
x
2?y
2
?
?
??
00
??
?
??2
2
22
?
??
??
?
1
2
?
1
?
?
?
x
0
?1?
?
??x
0
?(1?
?
)?2x
0
．
?
1?
?
?
1?
?
22
所以
(1?
?
)y
0
?
?
x
0
?2(1?
?
)x0
?(1?
?
)
2
．
2
2
2
22
2
?
(1?
?
)y?
?
x?
?x
0
,
?
00
于是由
?
得
x
0
?
(1?
?
)
.

222
2?3
?
?
?
(1?
?
)y
0
?
?
x
0
?2(1?
?
)x
0
?(1?
?
),< br>因为
x
0
?1
，所以
(1?
?
)
? 1
，又
0?
?
?1
，
2?3
?
2
解得：
5?1
?
?
?
2
．由①②知
5?1
≤
?
?
2
．
2323
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值 的方法求最值，要比只利用
解析几何知识建立等量关系容易.
例12．设椭圆E的中心在坐标 原点O，焦点在x轴上，离心率为
3
，过点
C(?1,0)
的直线
3
????????
交椭圆E于A、B两点，且
CA?2BC
，求当
? AOB
的面积达到最大值时直线和椭圆E的方

17

程.
解答过程：因为椭圆的离心率为
3
，故可设椭圆方程为
2x< br>2
?3y
2
?t(t?0)
，直线方程为
3
my?x ?1
，
2x
2
?3y
2
?t
得：
(2m
2
?3)y
2
?4my?2?t?0
，设
A(x,y),B (x,y)
， 由
?
1122
?
?
my?x?1
则
y
1
?y
2
?
4m
…………①
2
2m?3
????????
又
CA?2BC
，故
(x
1< br>?1,y
1
)?2(?1?x
2
,?y
2
)
，即
y
1
??2y
2
…………②
由①②得：
y< br>1
?
2
y
C
B
A
o
x
?4 m
，
8m
，
y?
2
2m
2
?3
2m
2
?3
m
|
＝
2
2m?3
则
S
?AOB
?
1
|y
1
?y
2
|?6|< br>6
2|m|?
3
|m|
?
6
，
2
当
m
2
?
3
，即
m??
6
时，
? AOB
面积取最大值，
2
2
此时
y
1
y
2
?
2?t
??
2
2m?3
32m
2
，即
t
(2m
2
?3)
2
2
?10
，
所以，直线方程为
x?
6
y?1?0
，椭圆方程为
2x
2
?3y
2
?10
.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.
????
????????
????
例13．已知
PA?(x?5,y)
，< br>PB?(x?5,y)
，且
|PA|?|PB|?6
， 求
|2x?3y?12|
的最大
值和最小值.
解答过程：设
P(x ,y)
，
A(?5,0)
，
B(5,0)
，
?????? ??
因为
|PA|?|PB|?6
，且
|AB|?25?6
，
所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，
椭圆方程为
x
?
y
?1
，令
x?3cos?,y?2sin?
，
94< br>22
则
|2x?3y?12|
＝
|62cos(??
?
)?12|
，
4
当
cos(??
?
)??1
时 ，
|2x?3y?12|
取最大值
12?62
，
4
当cos(??
?
)?1
时，
|2x?3y?12|
取最小值12?62
.
4
小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.
考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域

18

问题.
例14． 已知椭圆
x
?y
2
?1
的左焦点为F，O为坐标原点.
2
2
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线
l
相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
B
y
线段 AB的垂直平分线与
x
轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考
查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.
解答过程：（I）
?a
2
?2,b
2
?1,?c?1,F(?1,0),l:x??2.

l
F
A
G
O
x
?
圆过点O、F，
?
圆心M在直线
x??
1
上.
2
设
M( ?
1
,t),
则圆半径
r?(?
1
)?(?2)?
3
.

2
22
由
OM?r,
得
(?
1
)
2
?t
2
?
3
,

22
解得
t??2.

?
所求圆的方程为
(x?< br>1
)
2
?(y?
2
9
2)
2
?.< br>
4
（II）设直线AB的方程为
y?k(x?1)(k?0),
< br>代入
x
?y
2
?1,
整理得
(1?2k
2< br>)x
2
?4k
2
x?2k
2
?2?0.
< br>2
2
?
直线AB过椭圆的左焦点F，
?
方程有两个不等实根.
记
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y2
),AB
中点
N(x
0
,y
0
),

2
则
x?x??
4k
,

12
2
2k?1
?AB
的垂直平分线NG的方程为
y?y
0
??
1
(x?x
0
).

k
令
y?0,
得 x
G
?x
0
?ky
0
??
?k?0,??2k
2
k
2
k
2
11
??????.
2k
2
?12k
2
?12k
2
?124k
2
?2

1
?x
G
?0,
2
?
点G横坐标 的取值范围为
(?
1
,0).

2
22
xy
例15．已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
，B是右 顶点，F是右焦点，点A在x轴正半
ab

19

轴上，且满足
|OA|,|OB|,|OF|
成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐 近线的垂
线
l
，垂足为P，
（1）求证：
PA?OP?PA?FP
；
（2）若
l
与双 曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.
????
?? ??????????
a
2
????
|OB|
2
a
2
解答过程：（1）因
|OA|,|OB|,|OF|
成等比数列，故
|OA |?
???
，即
A(
?
?
c
c
|OF|< br>????????????
???????????????
,0)
，
y
直线
l
：
y??
a
(x?c)
，
b
a
?
y??(x?c)
a
2
ab
， < br>?
b
由
?
?P(,)
?
b
cc
?< br>y?x
?
a
?
D
P
O
E
F
A
B
x
?????
a
2
ab
???
ab< br>???
b
2
ab
故：
PA?(0,?),OP?(,),FP ?(?,)
，
ccccc
???????????????
??????? ?????
a
2
b
2
???
则：
PA?OP??< br>2
?PA?FP
，即
PA?OP?PA?FP
；
c
???????????????
??????????????????????????????< br>（或
PA?(OP?FP)?PA?(PF?PO)?PA?OF?0
，即
PA ?OP?PA?FP
）
a
?
a
4
2
a
4
a
4
c
2
?
y??(x?c)
2
（2）由
?
?(b?
2
)x?2
2
cx?(
2
?a
2
b
2
)?0
，
b
bbb
?
b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2
b
2
?
a
4
c
2
?(
2
?a< br>2
b
2
)
4422222
b
b?a?b?c?a?a ?e?2?e?2.

?0
由
x
1
x
2
?
得：
4
a
b
2
?
2
b
ab22222
（或由
k
DF
?k
DO
?
????
b?c?a?a?e?2?e?2
）
ba
小结：向量的数量积在构造等量关 系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求
出各个点的坐标.
??????例16．已知
a?(x,0)
，
b?(1,y)
，
(a?3b) ?(a?3b)
，
（1）求点
P(x,y)
的轨迹C的方程；
（2）若直线
y?kx?m(m?0)
与曲线C交于A、B两点，
D(0 ,?1)
，且
|AD|?|BD|
，
试求m的取值范围.

20

??
解答过程：（1）
a?3b
＝
(x,0)?3(1,y)?(x?3,3y)
，
??
a?3b
＝
(x,0)?3(1,y)?(x?3,?3y)
，
????????
因
(a?3b)?(a?3b)
，故
(a?3b) ?(a?3b)?0
，
即
(x?3,3y)?(x?3,?3y)?x
2< br>?3y
2
?3?0
，
x
2
故P点的轨迹方程为
?y
2
?1
.
3
?
y?kx?m
222
（2）由
?
2
得：
(1?3k)x?6kmx?3m?3?0
，
2
?
x?3y?3
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2< br>)
，A、B的中点为
M(x
0
,y
0
)

则
??(6km)?4(1?3k)(?3m?3)?12(m?1?3k)?0
，
22222
x
1
?x
2
6km
3km
m< br>，，，
x??
y?kx?m?
0
00
21?3k
2
1?3k
2
1?3k
2
3kmm
即A、B的中点为
(,)
，
1?3k
2
1?3k
2
m13km
则线 段AB的垂直平分线为：
y??(?)(x?)
，
22
1?3kk1?3k
x
1
?x
2
?
将
D(0,?1)
的坐标代 入，化简得：
4m?3k
2
?1
，
22
?
?m?1?3k?0
2
则由
?
得：
m?4m?0
，解之得
m?0
或
m?4
，
2
?
?
4m?3k? 1
又
4m?3k
2
?1??1
，所以
m??
故m的 取值范围是
(?
1
，
4
1
,0)?(4,??)
.
4
小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.
考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法 设出所求的曲线方程或点的坐
标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不 成立.
例17．已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的
????????
????????
中心O，且
AC?BC?0
，< br>|BC|?2|AC|
，
（1）求椭圆的方程；

21

（2）如果椭圆上的两点P,Q使
?PCQ
的平分线垂直于 OA，是否总存在实数
λ
，使得
????????
PQ?λAB
？请 说明理由；
解答过程：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立
平面直角坐标系，则
A(2,0)
，
y
O
C
A
Q
x
设椭圆方程为
xy
?
2
?1
，不妨设C在x轴上方，
4b
????????????????????
22
B
P
由椭圆的对称性，
|BC|?2|AC|?2|OC|?|AC|?|OC|
，
????????
又
AC?BC?0
?AC?OC
，即
ΔOCA
为等腰直角三角形，
由
A(2,0)
得：
C(1,1)
，代入椭圆方程得：
b
2
?
4
，
3
x
2
3y
2
即，椭圆方程为
??1
；
44
????????
（2）假设总存在实数
λ
，使得
PQ ?λAB
，即
ABPQ
，
由
C(1,1)
得
B (?1,?1)
，则
k
AB
?
0?(?1)1
?
，
2?(?1)3
若设CP：
y?k(x?1)?1
，则CQ：
y??k(x?1)?1
，
?
x
2
3y
2
?1
?
?
由?
4
?(1?3k
2
)x
2
?6k(k?1)x?3k
2
?6k?1?0
，
4
?
y?k(x?1)?1
?
由
C(1,1)
得
x?1
是方程
(1?3k)x?6k(k?1)x?3k?6k?1?0
的一 个根，
222
3k
2
?6k?13k
2
?6k?1
由韦 达定理得：
x
P
?x
P
?1?
，以
?k
代 k得
x
Q
?
，
22
1?3k1?3k
故
k
PQ
?
y
P
?y
Q
x
P
?x
Q
?
k(x
P
?x
Q
)?2k
x
P
?x
Q
?
1
，故
ABPQ
，
3
????????
即总存在实数
λ
，使得
PQ?λAB
.
评注：此题考察了坐标系的 建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及
探索性问题的处理方法等，是一道很好的 综合题.
考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题

22

直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程 组成方程组，进
一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.
?????????
M??AB
，例18．设G、M分别是
?ABC
的重心和 外心，
A(0,?a)
，
B(0,a)(a?0)
，且
G

（1）求点C的轨迹方程；
（2）是否存在直线m，使m过点
(a,0)< br>并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且
????????
OP?OQ?0
？若存 在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.
解答过程：（1）设
C(x,y)
，则
G(,)
，
?????????
x
因为
GM??AB
，所以
GMAB
，则
M(,0)
，
3
由M为
?ABC
的外心，则
|MA|?|MC|
，即
()?a?
xy
33
x
3
22
x
(?x)
2
?y
2
，
3
x
2
y
2
整理得：
2
?
2
?1(x?0)
；
3aa
（2）假设直线m存在，设方程为
y?k(x?a)
，
?
y?k(x?a)
?
22222
由
?
x2
得：
(1?3k)x?6kax?3a(k?1)?0
，
y
2
?
2
?
2
?1(x?0)
a
?
3a6k
2
a3a
2
(k
2
?1)
设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)< br>，则
x
1
?x
2
?
，
x
1
x
2
?
，
22
1?3k1?3k

y
1
y
2
?k(x
1
?
2
a)(
2
?x?a)
2
k
1
[
2
x?x
?2k
2< br>a
2
a(x
2
?x
＝
)a
2
]，
1
?
1?3k
2
????????
由
OP?OQ?0
得：
x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?0
，
3a
2
(k
2
?1)?2k2
a
2
??0
，解之得
k??3
， 即
1?3k
2
1?3k
2
又点
(a,0)
在椭圆的内部，直线m过点
(a,0)
，
故存在直线m，其方程为
y??3(x?a)
.
小结：（1）解答存在性的探索问题 ，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的
结果，然后做出正确的判断；

23

（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直 线的方程和圆锥曲线的方程所组
成的方程组的求解问题.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1．如果双曲线经过点
(6,3)
，且它的两条渐近线方程是< br>y??
1
x
，那么双曲线方程是（）
3
22
22
2
22
xy
xy
A．
??1
B．
??1
C．
x
?y
2
?1
D．
x
?
y
?1

819
183
9
369
22
22
xy
xy
2．已知椭圆
2
?2
?1
和双曲线
??1
有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方
3m5n
2m
2
3n
2
程为（ ）
A.
x??
15
y
B.
y??
15
x
C.
x??
3
y
D.
y??
3
x

4
4
22
22
xy
3．已知
F
1
,F
2
为椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的焦点，M为椭圆上一点，
MF
1
垂直 于x轴，
ab
且
?FMF
，则椭圆的离心率为（ ）
12
?60?
A.
1
B.
2
C.
3
D.
3

2
2
3
2
22
xy
4．二次曲线
??1
，当
m?[?2,?1]
时 ，该曲线的离心率e的取值范围是（ ）
4m
A.
[
2
,
3
]
B.
[
3
,
5
]
C.
[
5
,
6
]
D.
[
3
,
6
]

22
2222
22
5．直线m的方程为
y?kx?1
，双曲线C的方程为
x
2
?y
2
?1
，若直线m与双曲线C的右
支相交于不重合的两点，则实数k的取 值范围是（ ）
A.
(?2,2)
B.
(1,2)
C.
[?2,2)
D.
[1,2)

6．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?4
，若抛物线过点
A(?1,0)
，
B(1,0)
，且以 圆的切线为准线，
则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）
22
22
A.
x
?
y
?1(y?0)
B.
x
?
y
?1(y?0)

34
43
2222
C.
x
?
y
?1(x?0)
D.
x
?
y
?1(x?0)

3443

二、填空题
7．已知P是以
F
1
、
F
2
22
xy
为焦点的椭圆
?
2
?1(a?b?0)
上一点，若
PF
1
?PF
2
?0

2
ab

24

tan?PF
1
F
2
?
1
，则椭圆的离心率为 ______________ .
2
8．已知椭圆x
2
+2y
2
=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆
截得的弦长为
413
，点A的坐标是______________ .
3
9．P是椭圆
x
?
y
?1
上的点，
F
1
,F
2
是椭圆的左右焦点，设
|PF
1
|?|PF
2
|?k
，则k 的最大值
43
22
与最小值之差是______________ .
10．给出下列命题：
①圆
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
关于点
M(?1,2)
对称的圆的方程是
(x?3)
2
?(y?3)
2
?1
；
②双曲线
x
?
y
?1
右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为
29
；
169
2
③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点
(?4,?3)< br>的抛物线方程只能是
y
2
??
9
x
；
4< br>22
④P、Q是椭圆
x
2
?4y
2
?16
上 的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为
?
1
，
4
则< br>|OP|
2
?|OQ|
2
等于定值20 .
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .
三、解答题
11．已知两点
A(2,0)
，
B(?2,0)
，动点P在y轴上的 射影为Q，
PA?PB?2PQ
2
，
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设直线m过点A，斜率为k，当
0?k?1
时，曲线E的上支上有且仅有一 点C到直
线m的距离为
2
，试求k的值及此时点C的坐标.
12．如图，< br>F
1
(?3,0)
，
F
2
(3,0)
是双曲 线C的两焦点，直线
x?
4
是双曲线C的右准线，
A
1
,A
2

3
????????
?????
是双曲线C的两个顶点 ，点P是双曲线C右支上异于
A
2
的一动点，直线
A
1
P< br>、
A
2
P
交
双曲线C的右准线分别于M,N两点，
（1）求双曲线C的方程；
??????????
（2）求证：
FM
是定值.
?FN
12
F
1
A
1
o
N
y
P
M
F
2
A
2
x


13．已知
?OFQ< br>的面积为S，且
OF?FQ?1
，建立如图所示坐标系，
????????
y
Q

25
o
F
x

（1）若
S?
1
，
|OF|?2
，求直线FQ的方程； < br>2
????
（2）设
|OF|?c(c?2)
，
S?
3
c
，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当
|OQ|
取得最
4
????
????
小值时的椭圆方程.
14．已知点
H(?3, 0)
，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满
?????????????????
足
HP?PM?0
，
PM??
3
M Q
，
2
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T(?1,0)
作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点
y
PH
o
T
Q
E
M
B
E(x
0
, 0)
，使得
?ABE
为等边三角形，求
x
0
的值.


A
x
22
15．已知椭圆
x
?
y
?1(a?b?0)
的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x
22< br>ab
轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点
F
1
，向量
AB
与
OM
是共线向量．


（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，
F
1
、
F
2
分别 是左、右焦点，求∠
F
1
QF
2
的取值范围；
16．已 知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使
MP?MN,PM?PN,NM?NP
成公差小 于零的等
差数列，



【参考答案】
一. 1．C .提示，设双曲线方程为
(
1
x?y)(
1
x?y)??
， 将点
(6,3)
代入求出
?
即可.
33
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为
(x
0< br>,y
0
)
，
?
为
PM与PN
的夹角，求ta nθ．
2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为
(3m
2
?5 n
2
,0)
，双曲线焦点为
222
得
|m|?22|n|< br>，所以，双曲线的渐近线为
?2m?3n
(2m
2
?3n
2< br>,0)
，由
3m
2
?5n
y??
6|n|3
.
??x
2|m|4
3d
， 3．C .设
|MF
12< br>|?
1
|?d
，则
|MF
2
|?2d
，|FF

26

e?
|F
1
F
2
|
c2c3d3
. < br>????
a2a|MF
1
|?|MF
2
|d?2d3
4.C .曲线为双曲线，且
5
?1
，故选C；或用
a
2
? 4
，
b
2
??m
来计算.
2
5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.
6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
二.7．解：设c为为椭圆半焦距，∵
PF1
?PF
2
?0
，∴
PF
1
?PF
2
.
?22
?
2
PF?PF?(2c)
12
?
又
ta n?PF
1
F
2
?
1
∴
?

?
PF
1
?PF
2
?2a
2
?
?
PF
2
?
1
?
PF
1
2
?

解得：
()
2
?
c
a
5c5
e??,
a3
． 选D．
9
8． 解：设A（x
0
，0）（x
0
＞0），则直线
l
的方程为y=x-x
0
，设 直线
l
与椭圆相交于P（x
1
，
y
1
），Q（x< br>2
、y
2
），由 y=x-x
0
可得3x
2
-4x
0
x+2x
0
2
-12=0，
x
2
+2y
2
=12




2
4x
0
，
2x
0
?12
，则
x
1
?x
2
?
x
1
?x
2
?3
3
16x
0
8x?48
2
2
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1x
2
??
0
?36?2x
0
．
933
2
22
∴
414
?1?x
2
?|x
1
? x
2
|
，即
414
?2?
2
?36?2x
0
2
．
33
3
∴x
0
2
=4，又x0
＞0，∴x
0
=2，∴A（2，0）．
222
9．1；k?|PF
1
|?|PF
2
|?(a?ex)(a?ex)?a?ex< br> .
10．②④.
????
????
三. 11．解（1）设动点 P的坐标为
(x,y)
，则点
Q(0,y)
，
PQ?(?x,0)< br>，
PA?(2?x,?y)
，
????????????
PB?(? 2?x,?y)
，
PA?PB?x
2
?2?y
2
，
?????
????????
2
222
因为
PA?PB?2PQ< br>，所以
x?2?y?2x
，
即动点P的轨迹方程为：
y?x?2
；
（2）设直线m：
y?k(x?2)(0?k?1)
，

27
22

依题意，点C在与直线m平行，且与m之间的距离为
2
的直线上，
2
设此直线为
m
1
:y?kx?b
，由
|2k?b|
?2< br>，即
b?22kb?2
，……①
k
2
?1
把
y?kx?b
代入
y?x?2
，整理得：
(k?1)x?2kbx?(b? 2)?0
，
则
??4kb?4(k?1)(b?2)?0
，即
b< br>2
?2k
2
?2
，…………②
由①②得：
k?
25
，
b?
10
，
5< br>5
?
2510
x?
此时，由方程组
?
y?
.
55
?C(22,10)
?
?
y
2
?x
2
?2
?
2222
22222
a
2
4
?
，所以
a?2
，
b
2
?5
， 12．解：（1）依 题意得：
c?3
，
c3
x
2
y
2
所求双曲线C的方程为
??1
；
45
（2）设
P(x
0< br>,y
0
)
，
M(x
1
,y
1
)，
N(x
2
,y
2
)
，则
A
1
(?2,0)
，
A
2
(2,0)
，
?????
?????
?????
?????
A
1
P?(x
0
?2,y
0
)
，
A
2
P?(x
0
?2,y
0
)
，
A
1
M?(
10
,y
1< br>)
，
A
2
N?(?
2
,y
2
)，
3
3
?????
?????
10y
0
2y
0
10
因为
A
1
P
与
A
1
M
共线，故
(x
0
?2)y
1
?
，同理：
y
2
??
，
y
0
，
y
1
?< br>3(x
0
?2)3(x
0
?2)
3
?????
?????
13
5
则
FM
，
FN?(?,y
2< br>)
，
?(,y)
2
11
3
3
5(x
0
?4)
??????????
2
20?
65
0
4
?F
2
N
＝
??y
1
y
2
＝< br>?
65
?
20y
所以
FM
＝
?
65
???10
.
1
2
2
9
99(x
0< br>?4)
99(x
0
?4)
????
????????
13．解：（1）因为
|OF|?2
，则
F

(2,0)
，
OF?(2,0)
，设
Q(x
0
,y
0
)
，则
FQ?(x
0
?2,y
0
)
，
2
?? ??????
5
OF?FQ?2(x
0
?2)?1
，解得
x
0
?
，
2
?
1
???
1
151
由
S?|OF|?|y
0
|?|y
0
|?
，得
y
0
??
，故
Q(,?)
，
2
22 22
所以，PQ所在直线方程为
y?x?2
或
y??x?2
； ????
????
（2）设
Q(x
0
,y
0
)
，因为
|OF|?c(c?2)
，则
FQ?(x
0
?c,y
0
)
，
????????
1
由
OF?FQ?c( x
0
?c)?1
得：
x
0
?c?
，
c

28

13
3
c|y
0
|?c
，则
y
0
??
，
2
24????
2
13
19
Q(c?,?)
，
|OQ|?(c ?)
2
?
，
c4
c2
????
53
易知 ，当
c?2
时，
|OQ|
最小，此时
Q(,?)
，
22
又
S?
?
a
2
?b
2
?4
2
?
xy
?
a?10
?
设椭圆方程为
2
?
2
?1,(a?b?0)
，则
?
25
，解得
?2
，
9
ab
?
?
b?6
?
2
?
2
?1
4b
?
4a
22
x
2
y
2
所以，椭圆方程为
??1
.
106
?????3
????
y
x
14．解：（1）设
M(x,y)
，由
PM??MQ
得：
P(0,?)
，
Q(,0)
，
3
22
????????
y3y
2
由
HP?P M?0
得：
(3,?)(x,)?0
，即
y?4x
，
22
由点Q在x轴的正半轴上，故
x?0
，
即动点M的轨 迹C是以
(0,0)
为顶点，以
(1,0)
为焦点的抛物线，除去原点；
（2）设
m:y?k(x?1)(k?0)
，代入
y?4x
得： < br>2
k
2
x
2
?2(k
2
?2)x?k
2
?0
…………①
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
,x
2
是方程①的两个实根，
2(k
2
?2)2?k
2
2
,)
， 则
x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?1
，所以线段AB的中点为
(
22
kkk
2
212?k
线段AB的垂直平分线方程为
y???(x?
2
)
，
kk k
令
y?0
，
x
0
?
2
?1
，得
E(
2
?1,0)
，
2
2
k
k
因为
?ABE
为正三角形，则点E到直线AB的距离等于
k
2
又|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
＝
41?
?1?k
2
， < br>2
k
4
所以，
231?k
?
2
2
3
|AB|
，
2
k|k|
1?k
2
，解得：
k??
2
11
3
，
x
0
?
.
3
2
2
15．解：（1）∵
F
1
(?c,0),则xM
??c,y
M
?
b
，∴
k
OM
??
b
.
aac

29

2
∵
k
AB
??
b
,OM与AB
是共线向量，∴
?
b
??
b
，∴b=c,故
e?
2
.
a
aca
2
（2）设
F
1
Q?r
1
,F
2
Q?r
2
,?F
1
QF
2
?
?
,

?r
1
?r
2
?2a ,F
1
F
2
?2c,

r
1
2
? r
2
2
?4c
2
(r
1
?r
2
)
2
?2r
1
r
2
?4c
2
a
2< br>a
2

cos
?
????1??1?0
r?r
2r
1
r
2
2r
1
r
2
r
1< br>r
2
(
12
)
2
2
当且仅当
r< br>1
?r
2
时，cosθ=0，∴θ
?[0,
?
2]
.
16．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得



?????????

PM??MP?(?1?x,?y),
PN??NP?(?1?x,?y)
，
MN??NM?(2,0)
.
所以
MP?MN?2(1?x)
.
PM?PN?x
2
?y
2
?1
，
NM?NP?2(1?x)
.
于是，
MP?MN,PM?PN,NM?NP
是公差小于零的等差数列等价于
1
?
22
?
x
2
?y
2
?3
?
x?y ?1?[2(1?x)?2(1?x)]
即
?
.
2
?
?
?
x?0
?
2(1?x)?2(1?x)? 0




所以，点P的轨迹是以原点为圆心，
3
为半径的右半圆.
（Ⅱ）点P的坐标 为
(x
0
,y
0
)
。
PM?PN?x
0< br>2
?y
0
2
?1?2
.
?????????22
2
PMPN?(1?x
0
)
2
?y
0?(1?x
0
)
2
?y
0
?(4?2x
0)?(4?2x
0
)?24?x
0
?????????
PM?P N1
所以
cos
?
?
????
.
因为 0〈
x
0
?
?????
?
2
PM?PN
4 ?x
0
3
，
所以
1
?
?cos
?< br>?1,0?
?
?,
23
sin
?
?1?cos
2
?
?1?
1
,
2
4?x
0
tan?
?
sin
?
?
cos
?
1?
12
4?x
0
1
2
4?x
0
2
?3?x
0
?y
0
.




30