(完整word版)高中数学解析几何解题方法

高中解析几何复习资料
高考专题：解析几何常规题型及方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常 用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，代入方程，然后
两方程相减， 再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
y
2
?1
。过A（2，1）的 直线与双曲线交于两点
P
1
及
P
2
，求线段
P
1
P
2
的中点P 典型例题 给定双曲线
x?
2
2
的轨迹方程。
2
y< br>1
2
y
2
2
?1
，
x
2
? ?1
。 分析：设
P
1
(x
1
,y
1)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
代 入方程得
x?
22
2
1
两式相减得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?< br>1
(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2< br>)?0
。
2
又设中点P（x,y），将
x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
?2y代入，当
x
1
?x
2
时得

2x?
y?y
2
2y
·
1
?0
。
2x
1
?x
2
y
1
?y
2
y?1
?
，
x
1
?x
2
x?2
22
又
k?
代入得
2x?y?4x?y?0
。
当弦
P
1
P
2
斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是
2x?y?4x?y?0

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点
F
1< br>、
F
2
构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
22
x
2
y
2
典型例题 设P(x,y)为椭圆2
?
2
?1
上任一点，
F
1
(?c,0)，
F
2
(c,0)
为焦点，
?PF
1
F
2
?
?
，
?PF
2
F
1
?
?< br>。
ab
（1）求证离心率
e?
sin(
?
?
?
)
；
sin
?
?sin
?
3
（2）求
|PF
1
|?PF
2
|
的最值。

3

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分析：（1）设
|PF< br>1
|?r
1
，
|PF
2
?r
2
，由 正弦定理得
r
1
r
2c
?
2
?
。
sin
?
sin
?
sin(
?
?
?
)< br> 得
r
1
?r
2
2c
?
， sin
?
?sin
?
sin(
?
?
?
)

e?
csin(
?
?
?
)
?

asin
?
?sin
?
33322
（2）
(a?ex)?(a?ex)?2a?6aex
。
当
x?0
时，最小值是
2a
3
；
当
x??a
时，最大值是
2a?6ea
。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 ，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合
的办法
典型例题
抛物线方程y
2
?p(x?1)(p?0)，直线x?y?t与x轴的交点在抛物线准线的右 边。

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
p
（1）证明：抛物线的准线为
1：x??1?

4
由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得
t??1?
?
x?y?t
消去y得
x
2
?(2t?p)x?(t
2
?p)?0

由
?
2
?
y?p(x?1)
323
p
，而4t?p?4?0

4

???(2t?p)
2
?4(t
2
?p)
?p(4t?p?4)?0

故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点A(x
1
，y
1< br>)，点B(x
2
，y
2
)

?x
1
?x
2
?2t?p，x
1
x
2
?t
2?p


?OA?OB，?k
OA
?k
OB
??1


则x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

又y
1
y
2
?(t?x
1
)(t?x
2
)


?x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?t
2
?(t?2)p?0

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t
2

?p?f(t)?

t?2

又p?0，4t?p?4?0得函数f(t)的定义域是

(?2，0)?(0，??)


（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的 条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）
求 最值。
典型例题
已知抛物线y
2
=2px(p>0)，过M（a,0）且 斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。 < br>分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等 式求出a
的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求 出a的范围；对于（2）
首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“ 最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y
2
=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A
?
4(a?p)? 4a
2
?0
?
（x
1
,y
1
）,B(x< br>2
,y
2
)，则
?
x
1
?x
2?2(a?p)
,又y
1
=x
1
-a,y
2
= x
2
-a,
?
2
?
x
1
x
2< br>?a
?|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?2[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]?8p(p?2a)
?0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0,?0?8p(p?2a)?2p,
解得:

?
pp
?a??.

24
(2)设AB的垂直平分线交AB 与点Q，令其坐标为（x
3
,y
3
），则由中点坐标公式得：
x< br>3
?
x
1
?x
2
2
?a?p
,
y
3
?
y
1
?y
2
(x
1
?a)?(x
2
?a)
??p.

22
2P
，所 以S
△
所以|QM|
2
=(a+p-a)
2
+(p-0)< br>2
=2p
2
.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=
NAB
=
122
|AB|?|QN|?p?|AB|?p?2p?2p
2< br>,即△NAB面积的最大值为
2P
2
。
222

（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知-------- 这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对

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称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y
2
=2px(p>0)
设A、B关于L的对称点分别为A

、B

，则利用对称性可求得它们的坐标分别 为：
A

（
k
2
?12k
16k8(k
2
?1)
,?
2
,
2
），B（
2
）。因为A 、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k
2
-k-1=0.解得：
2
k?1 k?1
k?1k?1
k=
1?525
,p=.
25
1?545
x,抛物线C的方程为y
2
=x.
25
所以直线L的方程为：y=

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x
2
+y
2
=1, 动 点M到圆C的切线长与|MQ|
的比等于常数
?
（
?
>0）,求动点 M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P ={M||MN|=
?
|MQ|}，
由平面几何知识可知：|MN|
2
=|MO|
2
-|ON|
2
=|MO|
2
-1，将M点坐 标代入，可得：
(
?
2
-1)(x
2
+y
2
)-4
?
2
x+(1+4
?
2
)=0.
当?
=1时它表示一条直线；当
?
≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题， 可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这
交点在圆锥曲线形内。（当然 也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
O Q
N
M
x
2
y
2
??1
，试确定m的取值范围，使得对于直线
y?4x?m，椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程
43
点关于直线对称。
分析：椭圆上两点
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，代入方程，相减得
3(x
1
?x2
)(x
1
?x
2
)?

4(y
1< br>?y
2
)(y
1
?y
2
)?0
。
y
1
?y
2
x
1
?x
2
y
1?y
2
1
k???
，代入得
y?3x
。 又< br>x?
，
y?
，
x
1
?x
2
4
22
?
y?3x
又由
?
解得交点
(?m,?3m)
。
y?4x?m
?

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(?m)
2
(?3m)
2
213213
?m?
??1
，得< br>?
交点在椭圆内，则有。
1313
43
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问 题，常用
k
1
·k
2
?
y
1
·y
2
??1
来处理或用向量的坐标运算来处理。
x
1
·x
2
2
典型例题 已知直线
l
的斜率为
k
，且过点
P(?2,0)
，抛物线
C:y?4(x?1 )
，直线
l
与抛物线C有两个不同的交
点（如图）。
（1）求
k
的取值范围；
（2）直线
l
的倾斜角
?
为何值时，A、B与抛物线

相垂直。
y
分析：（1）直线
y?k(x?2)
代入抛物线方程得

B
2222
kx?(4k?4)x?4k?4?0
，
A
P
由
??0
，得
?1?k?1(k?0)
。
(-2,0) O x

2
4k?4

（2）由上面方程得
x
1
x
2
?
，
2
C的焦点连线互
k

y
1
y
2
?k(x
1
?2)(x
2
?2)?4
，焦点为
O(0,0 )
。
由
k
OA
·k
OB
2
y
1
y
2
2
k
2
，
??
2
??1，得
k??
2
x
1
x
2
k?1
2
2
?
?arctan
2
2
或
?
?< br>?
?arctan

B:解题的技巧方面

在教学中 ，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲
线 系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析 几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条
件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线
3x?4y?m?0
与圆
x?y?x?2y?0< br>相交于P、Q两点，O为坐标原点，若
OP?OQ
，求
22
m
的值。
解：
?
圆
x?y?x?2y?0
过原点，并且
OP?OQ
，
22

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?PQ
是圆的直径，圆心的坐标为
M(?
又
M(?
1
，1)

2
1
，1)
在直线
3x?4y?m?0
上，
2
15

?3?(?)?4?1?m?0，?m??
即为所求。
22
评注： 此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且
OP?OQ
，PQ是圆的直径，圆心在直线
3x?4y?m?0
上，而是设
P(x
1
，y
1
) 、Q(x
2
，y
2
)
再由
OP?OQ
和韦达定理求
m
，将会增大运算量。
评注：此题若不能挖掘利用几何条件
?OM P?90?
，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，
计算量将很大，并且比 较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点 坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题 已知中心在原点O，焦点在
y
轴上的椭圆与直线
y?x?1
相交于P、Q两点 ，且
OP?OQ
，
|PQ|?
求此椭圆方程。
解：设椭圆 方程为
ax?by?1(a?b?0)
，直线
y?x?1
与椭圆相交于P(x
1
，y
1
)
、
Q(x
2
，y2
)
两点。
22
10
，
2
?
y?x?1
由方程组
?
2
消去
y
后得
2
ax?by?1?
(a?b)x
2
?2bx?b?1?0

2bb?1

?x
1
?x
2
??，x
1< br>x
2
?
a?ba?b
由
k
OP
?k
OQ
??1
，得
y
1
y
2
??x
1
x
2
（1）
又P、Q在直线
y?x?1
上，
(2)
?
y
1
?x
1
?1，
?

?
y
2
?x
2
?1，

(3)
? y
1
y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1)? x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1
把（1）代入，得
2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?0
，
即
2(b?1)2b
??1?0

a?ba?b
化简后，得

a?b?2
（4）
由
|PQ|?
10
5
22
，得
(x
1
?x
2
) ?(y
1
?y
2
)?

2
2

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55
，(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?，
44

2b
2
4(b?1)5
()??
a?ba?b4
?(x1
?x
2
)
2
?
把（2）代入，得
4 b
2
?8b?3?0
，解得
b?
13
或
b?

22
31
或
a?

22
31
由
a?b?0
，得
a?，b?
。
22
代入（4）后，解得
a?
3x
2
y
2
??1

?
所求椭圆方程为
22
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆
C
1
：x?y?4x?2y?0
和< br>C
2
：x?y?2y?4?
0的交点，且圆心在直线
l
：2222
2x?4y?1?0
上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?4x?2y?
?
(x
2
? y
2
?2y?4)?0

即
(1?
?
)x ?(1?
?
)y?4x?2(1?
?
)y?4
?
?0
，
22
2
?
?1
）
，
1?
??
?1
2
?
?11
又C 在直线
l
上，
?
2??4??1?0
，解得
?
?< br>，代入所设圆的方程得
x
2
?y
2
?3x?y?1?0
为
1?
??
?13
其圆心为C（
所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程 < br>椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说 的三角
代换法。
x
2
y
2
典型例题 P为椭圆2
?
2
?1
上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形 OAPB面积的最大值
ab
及此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的 弦AB长的方法是：把直线方程
y?kx?b
代入圆锥曲线方程中，得到型如

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△
，若
ax
2
?b x?c?0
的方程，方程的两根设为
x
A
，
x
B
， 判别式为△，则
|AB|?1?k
2
·|x
A
?x
B
|?
1?k
2
·
|a|
直接用结论，能减少配方、开方等运算过程 。
例 求直线
x?y?1?0
被椭圆
x?4y?16
所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义 都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
22
x
2
y
2
??1
的两个焦点，AB是经过
F
1
的弦，若
| AB|?8
，求值
|F
2
A|?|F
2
B|
例
F
1
、
F
2
是椭圆
259
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3，2）为定 点，点F是抛物线
y?4x
的焦点，点P在抛物线
y
?4x
上移动， 若
|PA|?|PF|
取得
最小值，求点P的坐标。

2
2