高中解析几何知识点

高中数学 解析几何知识点归纳
解析几何知识点
一、基本内容

（一）直线的方程
1、 直线的方程
确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是 直线必须经过
一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围．

2、两条直线的位置关系
两条直线的夹角，当两直线的斜率k
1
，k
2
都存在且k
1
·k
2
≠

外注意到角公式与夹角公式的区别．
(2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率 都存在，可用斜率的关系来判断．但
若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研
究，同时 又要理解代数问题的几何意义．
（二）圆的方程
(1)圆的方程
1、 掌握圆 的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独
立的)才能确定一个圆方程 ．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若
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已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用 圆系方程
也可使解题过程简化．
2、 圆的标准方程为
(x
－
a)
2
+
(y
－
b)
2
＝
r
2
；一般方程
x
2
+
y
2
+
Dx+Ey
+
F
=0,圆心坐标
(?
DE1
,?)
，半径为
D< br>2
?E
2
?4F
。
222
3、 在圆
(x
－
a)
2
+
(y
－
b)
2
＝r
2
，若满足
a
2
+
b
2
= r
2
条件时，能使圆过原点；满足
a=
0，
r
＞0条件 时，能使圆心在
y
轴上；满足
b?r
时，能使圆与
x
轴相切 ；满足
能使圆与
x
－
y
＝0相切；满足
|a
|=|
b
|=
r
条件时，圆与两坐标轴相切．
a?b
2
?r
条件时，
4、 若圆以
A
(
x
1
，
y
1
)
B
(
x
2
，
y
2
)为直径，则利用圆周上任一点
P(x
，
y)
，
k
PA
k
PB
??1
求
出圆方程(
x
－
x
1
)(
x
－
x
2
)+(< br>y
－
y
1
)(
y
－
y
2
)＝0
(2) 直线与圆的位置关系
①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性 质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运
算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0 ，△＜0，而用圆心到直线距离d＜r，
d=r，d＞r，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及 到圆的切线时，要考虑过切点与切
线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角 形，当然，不失一般
性弦长式


③已知⊙
O
1
：
x
2
+
y
2
=
r
2
，⊙
O
2
：(
x
-a
)
2
+(
y -b
)
2
＝
r
2
；⊙
O
3
：
x
2
+
y
2+
Dx+Ey
+
F
=0则以
M
(
x
0
，
y
0
)为切点的⊙
O
1
切线方程为
xx
0
+
yy
0
＝
r
2
；⊙
O
2
切线方程

条切线，切线弦方程：
xx
0
+
yy
0
=
r
2
．
(三)曲线与方程
(1)在平 面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x、y表示，
这就是动点的坐标(x
，
y
)．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(
x
，
y
)中的变量
x，
y
存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数 中，就是含有变量
x
，
y
方程
F
(
x
，< br>y
)＝0．
曲线
C
和方程
F
(
x
，
y
)＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程，
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这条曲线叫做方程的曲线．这时曲线与方程就成为同一关系下的两种不同表现形式 曲线的性
质完全反映在它的方程上；方程的性质又完全反映在它的曲线上．这样，我们便可以利用方程来研究曲线，构成解析几何中解决问题的基本思想．
曲线与方程对应应满足的两个条件，其中条 件(1)说明曲线上没有坐标不满足方程的点，即
曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外，也说成曲线 具有纯粹性；条件(2)说明适合条件
的所有点都在曲线上而毫无遗漏，也就是说曲线具有完备性．
(2)求曲线方程的五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(
x
，< br>y
)表示曲线上任意一点M的坐标；建标
(2)写出适合条件
P
的点 M的集合
P
={
M
|
P
(
M
)}； 设点
(3)用坐标表示条件
P
(
M
)，列出方程
f
(
x
，
y
)=0 列式
(4)化方程
f
(
x
，
y
)=0为最简方程 化简
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．
除个别情况外，化简 过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接
列出曲线方程．
（3）求曲线方程主要有四种方法：
(1)条件直译法：如果点运动的规律就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单、明确，易
于表达，我们可以把这些关系直译成含“
x
，y
”(或
ρ
，
θ
)的等式，我们称此为“直译法”．
(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动
而运动 ，称之为相关点．如果相关点满足的条件简明、明确，就可以用动点坐标把相关的点
的坐标表示出来，再 用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．
(3)几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律．
(4)参 数法：有时很难直接找出动点的横纵坐标之间关系．如果借助中间参量(参数)，使
x
，
y
之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程．
（四）圆锥曲线
（1）椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1
，F
2
的距离之和等于常数(大于|
F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭圆，这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
这里应特别注意常数大于|
F
1
F
2
|因为，当平面内的动点与定 点
F
1
，
F
2
的距离之和等于
|
F
1
F
2
|时，其动点轨迹就是线段
F
1
F
2；当平面内的动点与定点
F
1,
F
2
的距离之和小于|
F
1
F
2
|
时，其轨迹不存在．
（2）椭圆的标准方程

之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称性建立直角坐标系有关．同< br>时，还应注意理解下列几点，
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1)标准方程中的两个参数
a
和
b
，确定了椭 圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．
2)焦点
F
1
，
F
2
的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型．也就是说，知道
了焦点位置，其标 准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型．
3)任何一个椭圆，只需选择适当 的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中
心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程 才具有标准形式．

1)范围：焦点在
x
轴时，椭圆位于直线
x< br>＝±
a
和
y
＝±
b
所围成的矩形里．
2) 对称性：椭圆关于
x
轴，
y
轴和原点都是对称的，这时坐标轴为椭圆的对称轴 ，原点是椭
圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆中心．
3)顶点：椭圆与对称轴的交点为 椭圆的顶点
A
1
(－
a
，0)
A
2
(a
，0)
B
1
(0，
b
)
B
2
(0，－
b
)线段
A
1
A
2
，
B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴，短轴，长分别为2
a
，2
b
．

＜1．
e
越接近于1，则椭圆越扁，反之，
e
越接近于0，椭圆越接近于圆．

5)焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径． < br>如图所示，当焦点在
x
轴上时，任一点到左焦点的焦半径为
r
1
＝
a
+
ex
0
．
6)|
A
1
F
1
|=
a
-
c
|
A
1
F
1
|=
a
+
c


10)椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(e＜ 1＝的
点的轨迹．
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