高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理

1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解 题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数
学成绩将会起到很大的作用。
2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
< br>1.元素与集合的关系：
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式：
C
U
(AB)?C< br>U
AC
U
B;C
U
(AB)?C
U
ACU
B
.
3.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?CU
B?C
U
A
?AC
U
B??
?
?< br>C
U
A
?
B?R

4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
5．集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子 集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
－1个；非空子集有< br>2
n
－1个；非
空的真子集有
2
n
－2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
； (2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
；
(3) 两根式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式：
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0
；
8.方程
f(x)? 0
在
(k
1
,k
2
)
上有且只有一个实根,与f(k
1
)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的一个
必要而不是充分条件.特别地, 方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
有且 只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
内,
k?k
等价于“
f(k
1
)f(k
2
)?0
”或“
f( k
1
)?0
且
k
1
??
b
?
k< br>1
?k
2
”或“
f(k
2
)?0
且
12
??
b
?k
2
”
2a2
22a
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f (x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x??
端点处取得，具体如下：
b
处及区间的两< br>2a

b
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?
max?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b
若< br>x???
?
p,q
?
，
f(x)
max
?< br>max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min< br>?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
b
(2)当a<0时，若
x???
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
； 2a
b
若
x???
?
p,q
?
，则
f (x)
max
?max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
(1)当a>0时，若
x??
10.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0
，则方程
f(x)?0
在区间
(m, n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
?
p
2
?4q?0
?
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件为
f(m)?0
或
?
?
p
?m
.
?
?
2
?
?
f(m)?0
?
f(m) ?0
?
f(n)?0
?
?
2
?
p?4q?0
?
?
m??
p
?n
?
?2
（2）方程
f (x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0或或
?
?
?
f(m)?0
?
f(n)?0
或< br>?
.
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
p
p
?
m???n
?
m???n
?2
?2
（3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的 充要条件为
f
?
p
2
?4q?0
.
(n)?0
或
?
?
p
?
??n
?
2
?
?
f(n)?0
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：
(1)在 给定区间
(??,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??
?
不同）上含参数的二次
不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x? L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式< br>f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要
条件是
f(x, t)
man
?0(x?L)
.
?
b
?
b
??0
??0
?
(3)
f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
恒 成立的充要条件是
?
2a
或
?
.
2a
?
?
?
b
2
?4ac?0
?
c?0
?
42< /p>

12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真
真 假
假 真
假 假
假
假
真
真
真
真
真
假
真
假
假
假
13.常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
反设词
不是
不都是
不大于
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
个
至少有（
n?1
）
小于 不小于
存在某
x
，不成
对所有
x
，成立
立
对任何
x
，不成
存在某
x
，成立
立
14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
p
且
q

?p
或
?q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）
至多有
n
个
个
p
或
q

?p
且
?q

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f( x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)为减函数.
17.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数, 则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数；如
果函数
y?f (u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[ g(x)]
是增
函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点 对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数 ；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个
函数是偶函数．
19.若函数
y?f( x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；
若函数
y?f (x?a)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
，并且
y?f(x)
关于
x?a
对称.
20.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
a?bb?a
;两个函数
y?f(x?a)
与< br>y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22

a
21.若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)的图象关于点
(,0)
对称；若
f(x)??f(x?a)
,则函
2
数
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
22．多 项式函数
P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
??a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P( x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x) ?f(x)

(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx)

2m
24.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关 于直线
x?
a?b
对称.
2m
(3)函数
y?f(x)< br>和
y?f
?1
(x)
的图象关于直线y=x对称.
25.若 将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函 数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图 象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系：
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
27.若函数
y?f(kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
1
[f
?1
(x)?b]
，并不是
y?f?1
(kx?b)
，而
k
函数
y?f
?1
(k x?b)
是
y?[f(x)?b]
的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,具有性质：
f(x?y)?f( x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,具有性质：
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函 数
f(x)?log
a
x
,具有性质：
f(xy)?f(x)?f( y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?< br>,具有性质：
f(xy)?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx< br>，具有性质：
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)
，
f(0)?1,lim
x?0
1
k
g(x)
?1
.
x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x )?f(x?a)
，则
f(x)
的周期
T?a
；
（2）< br>f(x?a)??f(x)
或
f(x?a)?
期
T?2a
；
(3)
f(x?a)?
1
,(f(x)?1)
，则
f(x)
的周期
T?3a
；
1?f(x)
1
1
(f(x)?0)
,则
f(x)
的周
(f(x)?0)
或
f(x?a)??
f(x)
f(x)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
) ?f(x
2
)
且
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|?2a)
，
1 ?f(x
1
)f(x
2
)
则
f(x)
的周期
T?4a
；
(5)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期
T?6a
.
30.分数指数幂
(1)
a?a
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）；(2)
a31．根式的性质
m
n
n
m
?
?
m
n
?
1
a
m
n
（
a?0,m,n?N
?< br>，且
n?1
）.
?
a,a?0
（1）
(
n
a)
n
?a
.（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
.
?
?a,a?0
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
；(2)
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
； (3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0, r?Q)

33.指数式与对数式的互化式

log
a
N ?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
推论
log
a
m
b
n
?
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,< br>n?1
,

N?0
).
m
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
( 1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;(2)
log
a
M
?log
a
M?loga
N
;(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
N

36.设函数
f(x)?l og
m
(ax
2
?bx?c)(a?0)
，记
??b
2
?4ac
.若
f(x)
的定义域为
R
,则
a? 0
，
且
??0
；若
f(x)
的值域为
R
, 则
a?0
，且
??0
.【对于
a?0
的情形，需要单独检验 .】
37.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x.
n?1
?
S
1
,
38.数列的通项公式
a
n
与前n项的和
S
n
的关系
a
n
?
?
.
?
S
n
?S
n?1
,n?2
3 9.等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a< br>1
?d(n?N
*
)
；
n(a
1
?an
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
? (a
1
?d)n
.
2222
其前n项和
S
n公式为：
S
n
?
40.等比数列的通项公式：
a
n?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n? N
*
)
；
q
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q ?1
?
?
其前n项的和公式为：
S
n
?
?
1?q
或
S
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
41.等比 差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
【用待定系数法来求】 ；
an
?
?
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d,q?1
?
q?1
?
42．常见三角不等式
??
（1 ）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx
；(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
.
22
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
43.同角三角 函数的基本关系式：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
nn
?
?
2
(?1)sin
?
,n为偶数
n?
?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数
n
?
?
，
sin(?
?
)?
?
cos(??
)?
?
n?1
n?1
2
2
?
(?1 )
2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
s in
?
,n为奇数
?
?
45.和角与差角公式
< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
tan
?< br>asin
?
?bcos
?
=
定,
tan
?< br>?
b
).
a
a
2
?b
2
sin (
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a ,b)
的象限决
46.二倍角公式
sin2
?
?2sin?
cos
?
；
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2si n
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
47. 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
si n(?
?
)sin(?
?
)
；
33
cos3?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
；
33
? ?
??
3tan
?
?tan
3
???
tan3?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33
48.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
及函数
y? cos(
?
x?
?
)
的周期
T?
2
?；
?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
的周期
T?
?
.
?
49.正弦定理：
50.余弦定理 < br>abc
???2R
（
R
为
?ABC
的外接圆半径）.
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2?2bccosA
；
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
；
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
51.面积定理
111
222
1111（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
；(3)
S
?O AB
?(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
2222
（1）
S?ah
a
?bh
b
?ch
c（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示
a、b 、c
边上的高）.
52.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B ?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
53. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k
?
?(?1)k
arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
. ??
222

tanx?a?x?k
?
?arctana( k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?< br>?
?
?k
?
?(?1)
k
?
(k?Z).

cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)< br>.
54.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa；(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
55.向量的数量积的运算律：（三个向量的数量积不满足结合律）
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）；(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
56.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只
有一对实数λ1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
57．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a∥b
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.
53.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
58. a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘
积．
59.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
( 3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x ,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,?
y)
.

(5)设a=
(x
1
,y< br>1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a ·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
60.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
61.平面两点间的距离公式

d
A,B< br>=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2< br>)
).
62.向量的平行与垂直
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则
a∥b
?
b=λa
?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0
；a
?
b
?
a·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2?0
.
63.线段的定比分公式
设
P
1
P2
的分点,
?
是实数，且
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
?
?
PP
2
，则
?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
1??
y
1
?
?
y
2
1?
?
?< br>OP?
1
OP
1
?
?
OP
2
（）.
t?
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?< br>?
1?
?
64.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分 别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
65.点的平移公式
''
??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP?PP
.
?
??''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
注:图形F上的任 意一点P(x，y)在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
( x
'
,y
'
)
，且
PP
'
的坐标
为
(h,k)
.
66.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P( x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P
'
(x?h ,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量 a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
'< br>按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解 析式
y?f(x)
,则
C
'
的函数解析

式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)? 0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y )
.
67. 三角形四“心”向量形式的充要条件，设
O
为
?ABC
所在平面上一点，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
（4）
O
为
?ABC
的内心
? aOA?bOB?cOC?0
.(
a,b,c
为角
A,B,C
所对边 长)
68.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a ,b?R
?
?
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)． < br>2
222
（3）
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
69.已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
1
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y< br>时积
xy
有最大值
s
2
.
4
70.一元二 次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)(a?0,??b
2
?4 ac?0)
，如果
a
与
ax
2
?bx?c
同号，< br>则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异 号，则其解集在两根之间.简言之：同号两
根之外，异号两根之间.
x
1
? x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
71.含有绝对值的不等式
当a>0时，有
x?a?x< br>2
?a??a?x?a
；
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2

72.无理不等式 < br>（1）
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x)? 0
；
?
；（2）
f(x)?g(x)?
?
f(x)?g (x)?
?
g(x)?0
或
g(x)?0
??
?
f (x)?g(x)
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0?
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)??
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
（3）
73.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?
?f(x)?g( x)
；
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
；
?
f(x)?g(x)
?
?
f( x)?0
?f(x)?g(x)
；
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?

?
g(x)?0
?
f(x)? g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
? a
g(x)
74.斜率公式：
k?
y
2
?y
1（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
75.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式 < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4) 截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
76.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
；②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2?0
,且A
2
、B
2
、C
2
都不为零, < br>①
l
1
||l
2
?
A
1
?
B
1
?
C
1
；②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
A
2
B
2
C
2
77.夹角公式：
ta n
?
?|
k
2
?k
1
|
.(
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y ?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
?? 1
)
1?k
2
k
1

直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
78.
l
1
到
l
2
的角公式：
tan
?
?
?
.
2
k
2
?k
1
.(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
直线
l
1
?l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
79．四种常用直线系方程
?
.
2
(1)定点 直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线x?x
0
),其
中
k
是待定的系数；经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x< br>0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系 数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x? B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系
方程为(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与
直线
Ax?By?C?0
平行的 直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?C
)，λ 是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
80.点到直线的距离：
d?
|Ax
0
?By
0
? C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)< br>，直线
l
：
Ax?By?C?0
).
81.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；
当
B
与
Ax?By?C异号时，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在
下.
若
B?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的区域；
当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直 线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号
在左.
82. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
【圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
】.
83. 圆系方程
(1 )过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
, λ是待定的系数．
(2)过圆
C
1
:
x
2
?y< br>2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与 圆
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方
程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x? E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
84.点与圆的 位置关系，点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种：
若< br>d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2，则
d?r?
点
P
在圆外；
d?r?
点
P< br>在圆上；
d?r?
点
P
在圆内.
85.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
；d?r?相切???0
；
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
86.两 圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
< br>d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
；
d ?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
87.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．

①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆 上，则切线只有一条，其方程是

x
0
x?y
0
y?< br>D(x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
. 22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x< br>0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦
22
方程．
②过圆外一 点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相 切条件求k，这时必有两
条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
． ①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的 切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
；
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
. < br>?
x?acos
?
x
2
y
2
88.椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
x
2
y
2
89. 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式：
PF
1
?a?ex
0
，
PF
2
?a?ex
0
.
ab
90．椭圆的的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b? 0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
91. 椭圆的切线方程
x
2
y
2
x xyy
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过椭圆
2?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
（3）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的 条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
ab

x
2
y
2
92 .双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式：
P F
1
?|a?ex
0
|
，
PF
2
?|a? ex
0
|
.
ab
93.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若 双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（??0
，焦点在x轴上；
ab
ab
22
??0
，焦点在 y轴上）.
94. 双曲线的切线方程
x
2
y
2
xxy y
(1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是< br>ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1

2
ab
x
2
y
2
（3）双曲线
2?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的 条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
ab
95. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
过焦点弦长
CD?x
1
?
2
p
.
2
pp
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2y
96.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
(
?
,y
?
)
或
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，其中
y
2
?2px
.
2pb
2
4ac?b
2
97.二次函数
y?ax?bx?c?a(x ?)?
（1）顶点坐标为
(a?0)
的图象是抛物线：
2a4a
2< br>b4ac?b
2
b4ac?b
2
?14ac?b
2
? 1
(?,)
；
)
；（2）焦点的坐标为
(?,
（3）准线方 程是
y?
.
2a4a2a4a4a
98.抛物线的内外部
(1) 点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
的内部
?y
2
?2px(p?0)
.

点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y
2
?2px(p?0)
的外部
?y
2
?2px(p?0)< br>.
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线< br>y
2
??2px(p?0)
的内部
?y
2
??2px (p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛 物线
y
2
??2px(p?0)
的外部
?y
2
?? 2px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p?0)
的内部
?x
2< br>?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p?0)
的外部
?x
2
?2py(p?0)
.
(4)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
?2py(p?0)
的内部
?x< br>2
?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x
2
??2py(p?0)
的外部
? x
2
??2py(p?0)
.
96. 抛物线的切线方程
（1） 抛物线
y
2
?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
).
（2）过抛物线
y
2
?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0y?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y
2?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB
2
?2AC
.
97.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f< br>1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的曲 线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)? 0
(
?
为参数)
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
； (2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
当
k?min{ a
2
,b
2
}
时,表示椭圆；当
min{a
2,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表 示双曲线.
98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?| y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，
【
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率】.
99.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
?x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)? 0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
100. “四线”一方程
对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
0
x
代
x
2
，用
y
0
y
代
y
2
，用

x
0
y?xy
0
x?xy?y
代
xy
，用
0
代
x
，用
0
代
y
即得方程
2 22
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
， 曲线的切线，切点弦，中点弦，弦
222
中点方程均可由此方程得到.
101．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
102．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
103．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
104．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
105．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂
直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
106．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
107.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
108.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
109.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．

P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA? tOB
.
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线 .
110.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存 在实数对
x,y
,使
p?xa?yb
．
推论：空间一点P位于平面 MAB内的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB，
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OP?OM?xMA? yMB
.
111.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
（
x?y?z?k
），
则当
k?1
时，对于空间任一点
O
，总有P、A、B、C四点共面；当
k?1
时 ，若
O?
平面
ABC，则P、A、B、C四点共面；若
O?
平面AB C，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D
四点共面
?
AD< br>与
AB
、
AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC
（
O?
平面ABC）.
112.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存 在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论：设O、A、B、C是 不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数
x，y，z，使
OP?xOA? yOB?zOC
.
113.射影公式
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点 在
l
上的射影
A
'
，作B点在
l
上的射影
B
'
，则
A
'
B
'
?|AB|cos
〈< br>a
，e〉=
a
·e
114.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
， b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2?b
2
,a
3
?b
3
)
；(2)
a< br>－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；(4)
a
·b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b< br>3
；
115.设A
(x
1
,y
1
,z1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
116．空间的线线平行或垂直

设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b?(x
2
,y2
,z
2
)
，则
?
x
1
?
?
x
2
ab
?
a?
?
b(b?0)
??
?
y
1
?
?
y
2
；
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.
?
z?
?
z
2
?
1
117.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)，则cos〈
a
，b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
.
2
3
b?b?b
2
1
2
2
222
?a
3
)(b
1
2
?b
2
?b
3
2
)
，此即三维柯西不等式. 推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
? a
3
b
3
)
2
?(a
1
2
?a< br>2
118．异面直线所成角
cos
?
?|cos?a,b?|
=
|a?b|
|a|?|b|
?
|x
1
x
2?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
x ?y?z?x
2
?y
2
?z
2
2
1
21
2
1
222

（其中
?
（
0??
?90
）为异面直线
a,b
所成角，
a,b
分别表示 异面直线
a,b
的方向向量）
119.直线
AB
与平面所成角?
?arcsin
AB?m
|AB||m|
(
m
为平面
?
的法向量).
120.二面角
?
?l?
?
的平 面角
?
?arccos
m?n
或
?
?arccos
m?n
（
m
，
n
为平面
?
，
?
的 法向
|m||n|
|m||n|
量）
121.三余弦定理
设AC 是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
?
1
，A B与
AC所成的角为
?
2
，AO与AC所成的角为
?
．则< br>cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.
122.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
d
A,B
=
|AB|?AB?AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
123.异面直线间的距离
d?
|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l< br>1
,l
2
间
|n|
的距离).
124.点
B
到平面
?
的距离
d?
|AB?n |
（
n
为平面
?
的法向量，
AB
是经过面
?
的一条斜线，
A?
?
）.
|n|

125 .异面直线上两点距离公式：
d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
（
?
为二面角E?AA
'
?F的大小
）.
(两条异面 直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
AA
'
的长度为h.在直线a、b上分别取两< br>点E、F，
A
'
E?m
,
AF?n
,
EF? d
).
126.三个向量和的平方公式：
(a?b?c)?a?b?c?2a?b? 2b?c?2c?a

127. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线 上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
2222222222
?
1
、
?
2
、
?< br>3
,则有
l?l
1
?l
2
?l
3
? cos
?
1
?cos
?
2
?cos
?
3< br>?1?sin
?
1
?sin
?
2
?sin
?
3
?2
.
2
222
S
'
128. 面积射影定理：
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面积分别 是
S
、
S
'
，它们所在平面所成锐二面角的为
?
) .
129.的半径是R，则其体积
V?
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
130.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直
径是正方体的面对角线长,
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
为
6
a

4
6
,外接球的半径
a
12
4
3
131.体、锥体的 体积
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h是柱体的高）
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的 底面积、
h
是锥体的高）
3
132.分类加法原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
133.分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
??m
n
.
134.排列数公式
m
A
n
=
n(n?1)?(n?m ?1)
=
n！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．注:规定
0!?1
.
(n?m)！

135.排列恒等式
nn?1nmmm?1
mm?1
?A
n
?nA
n
（1）
A
n
（2 ）
nA
n
（3）
A
n
；
?1
?A
n
；
?1
?A
n
?mA
n
?1
；
(4)
1!?2?2!?3?3!?
136.组合数公式
?n?n!?(n?1)!?1
.
n！
A
n
m
n (n?1)
?
(n?m?1)
C
=
m
==(
n∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n ?m)！
1?2?
?
?m
A
m
m
n
137 .组合数的两个性质
n?m0
?1
. (1)
C
n
m
=
C
n
(2)
Cn
m
+
C
n
m?1
=
C
n
m
?1
；注:规定
C
n
138.组合恒等式
n
n< br>m?1
rr?1
r
?C
n
（1）
C?C
n? 1
； （2）
?
C
n
=
2
n
； （3）< br>C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n?1
；
m
r?0
m
n
135
?C
n
?C
n
?
(4)
Cn
024
?C
n
?C
n
?C
n
?123
?2
n?1
； (5)
C
n
?2C
n< br>?3C
n
?
n
?nC
n
?n?2
n?1；
021222n2n
)?(C
n
)?(C
n
)?? ?(C
n
)?C
2
(6)
(C
nn
；
m
！?C
n
139.排列数与组合数的关系：
A
n
m
?m
.
140．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![
111
?? ?
2!3!4!
?(?1)
n
1

]
n!
141．不定方程
x
1
+x
2
+
(1)方程
x< br>1
+x
2
+
(2) 方程
x
1
+x
2
+
+x
n
?m
的解的个数
n?1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的正整数解有
C
m
个.
?1
1
+x
n
?m
（
n,m?N
?
）的非负整数解有
C
n
n
?
?
个.
m?1
0n1n?12n?22rn?rrnn
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b
142.二项式定理
(a?b)
n
?C
n
rn? rr
ab
(r?0，
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C< br>n
1，2?，n)
.
143.等可能性事件的概率
P(A)?
m
.
n
144.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
145.
n
个互斥事件分别发生的概率的和P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A< br>n
)．
146.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).

个独立事件同时发生的概率 P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kk
P(1?P)
n?k
.
次独立重复试验中某事件恰好发生k次 的概率
P
n
(k)?C
n
149.离散型随机变量的分布列的两个性 质：（1）
P
i
?0(i?1,2,)
；（2）
P
1
?P
2
?
150.数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
151.数学期望的性质 （1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
.（2）若< br>?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k, p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
152.方差
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p< br>1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
153.标准差
??
=
D
?
.
154.方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；(2）若
?
～
B(n, p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3) 若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D
?
?
155.方差与期望的关系
D
??E
?
2
?
?
E
?
?
.
1 56.正态分布密度函数
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?1
.
?x
n
P
n
?

1
.
p
22
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2

q
.
2
p
2
?
x?
?
?
2
26
2
,x?
?
??,??< br>?
，式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，
分别表示 个体的平均数与标准差；
当
?
?0
时得到标准正态分布密度函数：
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
x
2
2
,x?
?
??,??
?
. ?
x?
?
?
157.对于
N(
?
,
?
2
)
，取值小于x的概率
F
?
x
?
??< br>??
.
?
?
?
?
x?
?
??x
1
?
?
?
P
?
x
1
?x< br>0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
??P
?
x?x
1
?
?F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?
??
?
2
??
???
.
??
????
158.特殊数列的极限
?< br>0
?
（1）
limq
n
?
?
1
n? ?
?
不存在
?
|q|?1
q?1
|q|?1或q??1.

（2）
S?lim
n??
a
1
1? q
n
1?q
??
?
a
1
【
S
无穷等比数列
a
1
q
n?1
?
(
|q|?1
)的和】.
1?q
?
159. 函数的极限定理：< br>limf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
.
x?x
0
x?x
0
x?x
0
160.几个常用极限
（1）
lim
11
1
；（2）
limx?x
0，
lim?
.
?0
，
lima
n
?0
（
|a|?1
）
x?x
0
x
n??
x?x
0
n??
n
x
0
161.两个重要的极限
sinx< br>?
1
?
（1）
lim
（2）
lim
?
1?
?
?e
(e=…).
?1
；
x?0
x??
x
?
x
?
x
162.函数极限的四则运算法则
若
limf(x)?a
，
limg(x)?b
，
x?x< br>0
x?x
0
f
?
x
?
a
则(1)< br>lim
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
lim
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
lim?
?
b?0
?
.
?
?a?b
；(2)
x
?
?a?b
；(3)
xx?x
0
?
?x
0
?
?x
0
g
?
x
?
b
163.数列极限的四则运算法则
若
lima
n
?a,limb
n
?b
，则
n??n??
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；(2)
lim
?
a
n
?b
n
?
?a?b
；(3)
lim
n??n??
a
n< br>a
?
?
b?0
?

n??
bb
n< br>(4)
lim
?
c?a
n
?
?limc?lima< br>n
?c?a
( c是常数).
n??n??n??
164.
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）：
f
?
(x
0
)?y
?
165.瞬时速度
?
?s
?(t)?lim
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)? f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t)?s(t)
.
?lim
?t? 0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
166.瞬时加 速度
a?v
?
(t)?lim
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
dydf?yf(x??x)?f(x)
167.
f(x)
在
(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
.
??lim?lim
?x?0?x?0
dxdx?x?x
168. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
，相应
的切线方程是
y?y
0?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
169.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）；(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
；(4)
(cosx)
?
??sinx
；

(5)
(lnx)
?
?
1
1
；
(loga
x)
?
?log
a
e
；(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
；
x
x
''''''
u
'
u
'
v?uv
'(v?0)
. 170.导数的运算法则：（1）
(u?v)?u?v
；（2）< br>(uv)?uv?uv
；（3）
()?
vv
2
171.复合函 数的求导法则
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处 有导数
u
x
'
?
?
'
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
'''
y
u< br>'
?f
'
(u)
，则复合函数
y?f(
?
( x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u
? u
x
，或写作
f
x
'
(
?
(x))?f< br>'
(u)
?
'
(x)
.
172.判别
f( x
0
)
是极大（小）值的方法：当函数
f(x)
在点
x0
处连续时，
（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；
（2）如果在
x
0
附近的左侧< br>f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极小值.
173.复数的相等：
a?bi? c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
22
|z| |a?bi|
a?b
z?a?bi
174.复数的模（或绝对值）：==.
175.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)? (b?d)i
;(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)< br>.
c
2
?d
2
c
2
?d
2
176.复数的乘法的运算律
对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有交换律:
z
1
?z
2
?z2
?z
1
；结合律:
(z
1
?z
2
) ?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
；
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
；
178.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
179.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程
ax
2
?b x?c?0
，①若
??b
2
?4ac?0
,
?b?b
2
?4ac
b
则
x
1,2
?
;②若
?? b
2
?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??< br>;③若
??b
2
?4ac?0
，它在
2a
2a
实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数根