重点重点高二数学常用公式合集,DOC

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第八章圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。
双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。
抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。
考试要求：
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
(4)了解圆锥曲线的初步应用。
一、椭圆
1．定义
|PF
1< br>|?|PF
2
|?2a?|F
1
F
2
|
< br>注意：当
2a?|F
1
F
2
|
轨迹为线段F
1
F
2


2a?|F
1
F
2
|
轨迹为
?

2．方程与性质：
a?b?0,a
2
?b
2
?c
2

（1）标准方程
（2）焦点
（3）准线
（4）顶点
（5）范围
（6）焦半径





x
2
y
2
?
2
?1
2
ab
y< br>2
x
2
?
2
?1

2
ab
F(?C,0)
a
2
x??
c
(?a,0)(0,?b)
F (0,?C)

a
2
y??

c
(0,?a)(?b,0)

|x|?a,|y|?b
|PF1
|?a?ex
0
|x|?b,|y|?a

|PF
1
|?a?ey
0

（7）到焦点最远距离
a
+
c
，最近距离
a-c

22
x
0
y
0
x
2
y
2
内?
2
?
2
?1
（8）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
abab
b
2
b
2
a
2
c
（9）
e?,
通 径
?2
，焦准距
?
，准线距
?2

acc
a
x
2
y
2
（10）
2
?
2
?1
上的点可设为
P(acos
?
,bsin
?
)

ab
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a
2
c
注：①只有准线
x?,F(C,0)e?
完全一致才是标准方程
ca
②建立
a
,
b
,
c
的齐次方程或不等式即可求
e
的值或范围
?
A,B?0
x
2
y
2
?1
表示椭圆
?
?
③
?

AB
?
A?B
④
|PF
1
||PF
2
|
?d
1
,?d
2

ee
二、双曲线
1．定义1
|PF
1
|?|PF
2
|??2a
?
2a右支

?
2a? |F
1
F
2
|
?
?2a左支
注意：
2a? |F
1
F
2
|
是两射线
2a?|F
1
F
2
|
无轨迹
定义2
|P F
1
||PF
2
|
??e?1
d
1
d2
|PF
1
|
?d
1
e
|PF
2|
?d
2
e

2．方程与性质
c
2
?a
2
?b
2
x
2
y
2
y
2
x
2
（1）方程
2
?
2
?1
2
?
2
?1

abab
（2）焦点
（3）顶点
（4）范围
（5）渐近线
（6）焦半径
F(?C,0)
A(?a,0)
|x|?a
F(0,?C)

A(0,?a)

|y|?a

y??
b
x
a
y??
a
x
令“1”为0即可
b
|PF
1
|?|ey
0
?a|

|PF
1
|?|ex
0
?a|
b
2
b
2
a
2
c
（7）
e?
，实轴长=2
a
，虚轴长=2< br>b
，焦准距
?
，通径
?2
，准线距
?2
< br>cac
a
（8）等轴双曲线
a
=
b
,
e?2

22
x
0
y
0
（9）
p(x
0
,y
0
)
在不含焦点的区域
?
2
?
2?1

ab
?
AB?0
注意：①
Ax
2
?By
2
?c
表示双曲线
?
?

?
C? 0
x
2
y
2
n
②已知渐近线
y??x
，可 设双曲线方程
2
?
2
?k

mn
m
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③双曲线的切线
?
?
?
只有一个交点
直线与双曲线交点只有一个
?
切线，平行于渐近线的直线
三、抛物线
1．定义
|PF|?d

2．方程
y
2
?2px< br>?
p
?
3．焦点
F
?
,0
?
?2
?
y
2
??2pxx
2
?2pyx
2
??2py

?
p
?
F
?
?,0
??
2
?
?
p
?
F
?
0,
?< br>?
2
?
p
??
F
?
0,?
?

2
??
4．准线
x??
p
2
x?
p< br>2
p
2
y??
|PF|?
p
2
y?
p

2
|PF|?y
0
?
p
2
|PF|?
p
?y
0

2
5．焦半径
|PF|?x
0
?
6．通径2
P

p
?x
0
2
2
?2px
0
?0
7．
P
在内部
y
0
2
y
0
?2px
0
?0
2
x
0
?2py
0
?0
2
x
0
?2py
0
?0< br>
注意①与抛物线只交于一点的直线
?
切线，平行于对称轴的直线
②焦点弦问题
（i）
y
1
y
2
??p
2

（i i）
|AB|?|AA
1
|?|BB
1
|?x
1
? x
2
?p

（iii）
?A
1
FB
1
?90

（iv）以AB为直径的圆与
A
1
B
1
相切
（v）
|AB|?
（vi）
2p

sin
2
?
112
??

|AF||BF|p
四、直线与圆锥曲线主要问题
1．弦长问题
l?|x< br>1
?x
2
|1?k
2
?|y
1
?y
2
|1?
焦点弦长
|AB|?|AF|?|BF|?ed
1
?ed< br>2

OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0?OA?OB?0
1?
?1?k
2

2< br>k|a|
2．垂直问题
?AMB为钝角?MA?MB?0
?AMB为锐角?MA ?MB?0

1．对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代入区域内）
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4、范围问题：先建立等式，再由等式到不等式
5、最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题
6、定值问题：先利用特殊探求定值再证明
7、向量问题：实现向量语言的转化，充分利用向量的坐标工具
8、轨迹问题：
第九章直线、平面、简单几何体
（A）考试内容：
平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。
平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。
直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面
上的射影， 直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。
平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质。
多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。
考试要求：
(1)理解平面的基本性质，会 用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间
两条直线、直线和平面的各种位置关系的 图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌 握两条直线所成的角和距离的概念，
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。 (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，
掌 握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其
逆定理。
(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面
间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
(5)会用反证法证明简单的问题。
(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。
(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
一、平面的性质
1、公理1，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内
作用：证明直线在平面内
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2、公理2 ，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条
过这个公共点的直 线
作用：（1）证两平面相交（2）点在直线上（3）三点共线或三点共线
3、公理3，经过不在同一直线上的三点，有且只有（确定一个）一个平面
推论1，经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有（确定一个）一个平面
推论2，经过两条相交直线，有且只有（确定一个）一个平面
推论3，经过两条平行直线，有且只有（确定一个）一个平面
作用：（1）确定一个平面
（2）证两平面重合
二、空间两条直线
1、位置关系：（1）相交有且只有一个公共点
（2）平行在同一平面内，没有公共点共面
（3）异面，不同在任何一个平面内，没有公共点
2、公理4：
ab,bc?ac

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（直角）
相等
4、异面直线所成的角（1）平移（2）相交（3）锐角（直角）
0?
?
?< br>5、异面直线间的距离、公垂线段的长度
常常转化为线面距离、面面距离、再用等积法
三、直线与平面位置关系
1相交：
a
?
?A
2平行：a
?
3直线在平面内：
a?
?

四、直线与平面平行
1．定义：
a
?
?a
?
?
?

2．判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
3．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线和 交线平行
五、直线与平面垂直
1．定义：
a?
?
?
对于 任意
l?
?
,a?l

2．判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
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?
2

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3．性质定理：如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行
4．三垂线定理：在平面 内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
斜线垂直
5．三垂线 逆定理，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线
的射影垂直
6．重要结论
（1）正方体的体对角线与异面的面对角线垂直
（2）从平面外一点引斜线
①斜线段相等
?
射影长相等②斜线段较长
?
射影长较长③斜线段>垂线段
（3）直线与平面所成的角的范围是；
[0,]

2
（4）最小角定 理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面经过斜足的直线所成的一切角中
最小的角
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。
（5）三余 弦公式
cos
?
1
cos
?
2
?cos
?

（6）P在平面ABC的射影是0
①外心
?
PA=PB=PC
②内心
?
侧面与底面所成的角相等
③垂心
?
PA?BC,PB?AC

或PA，PB，PC两两垂直
?
垂心
六、平面与平面
1位置关系
?

?
?
?
?
?
?
?
?< br>?

?
?a
2．平面与平面平行
（1）判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
判定定理2：垂直于同一直线的两个平面平行
（2）性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面
性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
性质定理3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面
性质定理4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等
3．平面与平面垂直
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（1）
?
?
?
?
二面角平面角=
90

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（3） 性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个
平面
性质定理2：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，
必在第 一个平面内
4二面角的平面角
（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线，这两条射
线所成的角叫做二面角的平面角，范围是
[0,
?
]

（2）作法一，定义法（具有对称图形的条件）
作法二，三垂线定理法
作法三，垂面法
5、求空间角与距离
求角要注意作、证、算结合。
距离可用定义法，转化法，等积法。
七、棱柱
1、定义： （1）两个平面平行（2）其余各面交线平行。
2、性质
（1）侧面、对角面是平行四边形
（2）直棱柱
?
侧棱
?
底面
（3）正棱柱
?
正：底面是正多边形
（4）长方体对角线
l
2
?a
2
?b
2
?c
2




cos
2
?
?cos
2
?
?cos< br>2
?
?1
（与棱）
直：侧棱
?
底面
co s
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2
（与面）
（5）四棱柱
?
平行六面体
?
直平行六面 体
?
长方体
?
正四棱柱
?
正方体。
若?A
1
AB??A
1
AC,AB?AC,A
1
A?BC?
（6 ）
S
侧
?BC?BB
1
?2AB?AA
1
sin< br>?
cos
?
1
cos
?
2
?cos
?
V?S
?BCA
?h?S
?ABC
?AA
1
si n
?
1
1
s
侧
?d
2

3、V?
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八、棱锥
1、定义（1）一个面是多边形（2）其余各面是共顶点的三角形
2、正棱锥（1）正：底面是正多边形；
（2）中：顶点在底面的射影是中心
3、正三棱锥
?
对棱互相垂直
4、正四棱锥
?
侧面与侧面成钝角
5、侧棱与底面所成的角
?R,l?

侧面与底面所成的角
?r,l?

九、球
1、
R
2
?r
2
?d
2

2、球面距离
l?
?
?R

（
?
是径度差）
3、
S?4
?
R
2



球内接长方体
l
2
?4R
2
?a2
?b
2
?c
2

侧棱两两垂直的三棱锥补形
?
长方体
?
球内接长方体
4
4、体积
V?
?
R
3

3
多面体内切球半径：
r?
3V

S
全
5、正四面体外接球
R?
31
h
内切球
r?h
4
4
R:r?3:1

十、常见图形体积，补割法
V?
11
sd
ABCD对应于一个平行 六面体，其体积为
V
平行六面体

23
第十章排列、组合和二项式定理
考试内容：
分类计数原理与分步计数原理。
排列、排列数公式。
组合、组合数公式、组合数的两个性质。
二项式定理、二项展开式的性质。
考试要求：
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(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
(3)理 解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用
问题。
(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
一、两个计数原理
1．加法原理（分类）2，乘法原理（分步）
二、排列、组合
（1）排列：有序，不重复（2）组合；无序，不重复
m
?n(n?1)
（ 3）排列数公式：
A
n
(n?m?1)?
n!

(n?m)!
最大数
n?
下标项数=最大数-最小数+1
m
A
n
n!
?
（4）组合数公式：
C?
m!m!(n?m) !
m
n
0!?1

（5）公式
mmmn?m
?A
n
?c
n
①
n?n!?(n?1)!?n!
②
C< br>n
m
A
m
③
c
n

01
? C
n
?
④
C
n
nmm?1m?1kk?1
?Cn
?2
n
⑤
C
n
?C
n
?C
n?1
⑥
k?C
n
?nC
n?1

三、应用题主要题型
（1）纯排列组合问题
（2）在与不在问题，特殊元素优先，用加法、乘法或减法
（3）含与不含问题
（4）相邻问题——捆不相邻问题——插
n
A
n
（5）全排列中某
k
个元素无序（次序固定）
k!
（6）至多、至少问题——加法、减法
（7）混合问题——先取后排，先组合后排列，先分堆后分配
0n1n?1
a?C< br>n
ab?
四、二项式定理
(a?b)
n
?C
n
0n1n?1
a?C
n
ab?
①
(a?b)
n
? C
n
nn
?C
n
b

nn
?C
n
b

01
C
n
,C< br>n
,
共
n?1
项，
nk
,C
n
n? 2k,C
n
是二项式系数。（1）
最大（2）
n?2k?1C
nk
?C
n
k?1
最大
rn?rr
ab
②通项
T
r?1
?c
n
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o1
?C
n
?
③
C
n

no2
?C
n
?2
n

C
n
?C
n
?
13
?C
n
?C
n
??2
n ?1

④
C
n
x
?C
n
y
?x? y
或
x?y?n

01
(a?b)
n
?C
n
(a?b)
n?1
c?
⑤
(a?b?c)
n
?C
n
nn
?C
n
c

展开后共
n?1?n??1?
(n?2)n
项
2
五、典型问题
（1）指定项，常数项（2）整除问题
（3）求系数之和，奇数项，偶数项系数之和令
x?1,x??1

22
x
（4）
(1?x)
n
?1?nx?1?nx?c< br>n
?
?
a
n
?a
n?1
（5）母函数法（6 ）求最大系数
a
n
?

?
?
a
n
?a
n?1
第十一章概率
考试内容：
随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事 件同时发生
的概率，独立重复试验。
考试要求：
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
(2)了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概
率乘 法公式计算一些事件的概率。
(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
一、随机事件必然事件：
p?1
，在一定条件下必然发生的事件
不可能事件：
p?0
在一定条件下必然不发生的事件
随机事件：
0?p?1
在一定条件下可能发生，也可能不发生
二、等可能事件
（1）基本事件：一次试验连同其中出现的每一结果称为一个基本事件 （2）等可能事件：试验由n个基本事件组成，所有结果出现的可能性相同
P(A)?
个数 ，m=事件A含有m个结果
三、互斥事件，独立事件
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m
n=基本事件的
n

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（1）互斥事件A，B——A，B不可能同时发生
（2）对立事件A，B——A，B互斥且A，B必有一个发生
A?B

（3）独立事件A，B——A发生不影响B发生，B发生也不影响A发生
注：①除不可能事件外，互斥
?
不独立独立
?
不互斥
对不可能事件而言，即互斥又独立。
②对立事件
?
互斥事件
③A，B独立
?
A,B;A,B,A,B
也独立
④A，B，C两两独立
?
?
A，B，C都独立
（4）互斥事件的概率的关系
1．A，B互斥，P（A+B）=P(A)+P(B)
2．A
1
,A
2
,…,A
N
两两互斥
?P(A< br>1
?A
2
?
3．
P(A)?P(A)?1

（5）独立事件同时发生的概率
（6）
n
次独立重复试验恰好
k
次发生的概率

?A
n
)?(A
1
)??P(A
n
)

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