高中数学选修(理科)常用公式

高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）
一、常用逻辑用语
1．四种命题：（1）原命题：若
p
则
q
（2）逆命题： 若
q
则
p

（3）否命题：若
?p
则
?q
（4）逆否命题：若
?q
则
?p

（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假）
2．如果< br>p?q
，那么
p
是
q
的充分条件，
q
是p
的必要条件
注意：（1）小范围
?
大范围，大范围
?
小范围，
（2） “
p
的充分不必要条件是
q
”
?
“
q
是< br>p
的充分不必要条件”
3．复合命题
p?q
、
p?q
、
?p
的真假性（
?p
即命题的否定）：
（1）当
p
和
q
为一真一假时，
p?q
为假，
p?q
为真； （2）
p
和
?p
的真假性相反
4．全称命题与特称命题. 若p
：
?x?M,q(x)
成立，则
?p
：
?x
0
?M,?q(x
0
)
成立
二、圆锥曲线
1．椭圆
定义

动点
M
到两定点
F
1
,F
2
的距离之和为
2a
（
F
，
1
F
2< br>?2a
）
即：
MF
（
c?a
）
1
?MF
2
?2a
，
图形

标准方程
范围
长轴长
短轴长
焦点、焦距
顶点
离心率
准线
焦半径
x
2
y
2
??1
(a?b?0)

a2
b
2
y
2
x
2
??1
(a?b?0 )

a
2
b
2
?a?x?a
，
?b?y?b

2a

2b

(?c,0)
、
2c

(?a,0)
，
(0,?b)

?b?x?b
，
?a?y?a

(0,?c)
、
2c

(?b,0)
，
(0,?a)

e?
a
2
x??

c
c
（
0?e?1
）
a
a
2
y??

c
MF
1
?a? ex
0
，
MF
2
?a?ex
0

S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
MF
1?a?ey
0
，
MF
2
?a?ey
0

?MF
1
F
2

面积公式
通径的长
2．双曲线
?
2
（其中
?
??F
1
MF
2
）
2b
2

a
1 8

定义
动点
M
到两定点
F
1
,F
2
的距离之差的绝对值为2a
（
F
1
F
2
?2a
）
即：MF
1
?MF
2
?2a
（
c?a
）
图形

标准方程
范围
实轴长
虚轴长
焦点、焦距
顶点
渐近线
离心率
准线
焦半径

x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
2
ab
x??a
或
x?a
，
y?
R

2a

2b

(?c,0)
、
2c

(?a,0)

x?
R
，
y??a
或
y?a

(0,?c)
、
2c

(0,?a)

y??
b
x

a
e?
c
（
e?1
）
a
y??
a
x

b
a
2
x??

c
a
2
y??

c
MF
1
?ex
0
?a
，
MF
2
?ex
0
?a

S
?MF
1
F
2
?
b
2
tan< br>MF
1
?ey
0
?a
，
MF
2
?e y
0
?a

?MF
1
F
2

面积公式
通径的长
小秘密
?
2
（其中
?
??F
1
MF
2
）
2b
2

a
?
ab
?
焦点到渐近线的距离 为
b
；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为
??

?
c
?
?

A
2
注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用）
AB ?1?k
2
?x
1
?x
2
?1?k
2
?( x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2< br> 快速公式：
AB?1?k
2
AB?1?
1?
112
AB?1?
?y?y?1??(y?y)?4yy
快速公式：
121212
k
2
A
k
2
k
2
（其中< br>A
是指消去
y
或
x
后得到一元二次方程中的二次项系数）
3．抛物线
2 8

定义
标准
方程
动点
P
到定点
F
的距离等于到定直线
l
的距离 < br>即：
PF?PP
?
，（
F
到
l
的距离为p
）
y
2
?2px
(p?0)

y
2
??2px
(p?0)

x
2
?2py
(p?0)

x
2
??2py
(p?0)

图形

范围
对称轴
焦点
准线
准线
方程
离心率
焦半径
焦点弦
公式


x?0

x
轴
x?0

(
?
p
,0)

2
p
x?

2
y?0

y?0

y
轴
p
(0,)

2
p
y??

2
p
(0,
?
)

2
p
y?

2
PF?
p
?y
0

2
p
(,0)

2
p
x??

2
PF?
p
?x
0

2
e?1

PF?
p
?x
0

2
PF?
p
?y
0

2
AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

三个圆：以
AB
为直径的圆与准线相切；以
AF
、
BF
为直径的圆都与坐标轴相 切.
角平分线：设
M
为准线与坐标轴的交点，则
x
轴（或
y
轴）是
?AMB
的角平分线
焦点弦
的秘密
112p
2
pp2p
??
S?
，
BF?
，
A B?
，，
AF?
?AOB
AFBFp
2sin
?
1?cos
?
1?cos
?
sin
2
?
（其中< br>?
为直线
AB
的倾斜角）
三、导数及其应用
1. 概念：
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率或微商）
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
瞬时速度
v?s
?
( t)
. 瞬时加速度
a?v
?
(t)
.（注意这个物理意义）
2. 函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?f(x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
3. 几种常见函数的导数
（1）
C
?
?0
（
C
为常数 ）.（2）
(x)
?
?nx
（5）
(lnx)
?
?
nn?1
.（3）
(sinx)
?
?cosx
.（4）(cosx)
?
??sinx
.
1
1
xx
x x
；
(log
a
x)
?
?
. （6）
(e )
?
?e
；
(a)
?
?alna
.
x< br>xlna
1
11
最好记住这三条常用的公式：
()
?
??
2

(x)
?
?

(xlnx)
?
?1?lnx

xx
2x
4. 导数的运算法则：（1）
[Cf(x)]
?
?Cf
?
(x)
（2）
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?(x)

f(x)f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
[]
?
?
（3）
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
（4）
2
g(x)[g(x)]
5. 复合函数的求导法则
：
若y?f(u),u?g(x)
，则
y
x
?
?f
?
(u)g
?
(x)

3 8

6. 函数的单调 性：设函数
y?f(x)
在某个区间
(a,b)
可导，若
f
?
(x)?0
，则
y?f(x)
在
(a,b)
上单调递增； 若
f
?
(x)?0
，则
y?f(x)
在
(a,b)
上单调递减．
逆命题：若
f(x)
在
(a,b)
上是增函 数，则
f'(x)?0
； 在
(a,b)
上是减函数，则
f'(x)?0
.
7. 求函数
y?f(x)
极值的方法与步骤：
（1）求导数
f
?
(x)
； （2）求方程
f
?
(x)?0
的根；
（3）画出
x
、
f
?
(x)
、
f(x)
的分布表格，并判断极大值、极 小值
四、推理与证明
1. 推理
（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）.
（2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一般到特殊的推理.
（3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.
演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）.
2. 证明
（1 ）直接证明：综合法（条件
?
结论）与分析法（结论
?
条件（恒成立））
（2）间接证明：反证法（反设
?
矛盾
?
推翻反设）
（3）数学归纳法：
① 证明当
n
取第一个值
n
0
（
n
0
?
N
）时结论成立.
*
② 假设当n?k
（
k?
N
，且
k?n
0
）时结论成立， 证明当
n?k?1
时结论也成立.
*
由①②可知，对任意
n?n< br>0
，且
n?
N
时，结论都成立.
五、计数原理
*
n!

(n?m)!
n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)n!
m
?
2. 组合数：
C
n
?

m!m!(n?m)!
1. 排列数：
A
n
?n(n?1)(n?2 )
L
(n?m?1)?
m
3. 组合数的性质：
mn?m
（1）
C
n
?C
n
；
mmm?1
（2）
C
n?1
?C
n
?C
n

012nn135024n?1
（3）
C
n
?C
n
?C
n
?L?C
n
?2
；
C
n
? C
n
?C
n
?L?C
n
?C
n
?C
n
?L?2

n
m?1
123n
?2C
n
?3C
n
?L?nC
n
?n?2
n?1

C
n?1
；
C
n
m
rrrrr?1
（5）
C
r
?C
r?1
?C
r?2
?L?Cn
?C
n?1
；
（4）
C
n
?
m
n0n1n?1rn?rrnn
4. 二项式定理：
(a?b)?C
na?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b

rn?rr
（1）展开式中的通项（第
r?1
项）：
T
r? 1
?C
n
ab

（2）二项式系数：
C
n
（
r?1,2,L,n
），
若
n
为偶数，则展开式的中间一项
T
n
的二项式系数最大；
2
?1
r
若
n
为奇数，则展开式的中间两项
T
n ?1
与
T
n?1
的二项式系数最大；
2
2
?1
（3）二项式系数和与各项系数和
二项式系数和：
2
各项系数和的计算方法：令
(a?b)
中的变量等于1
n
n
(2? )
的二项式系数和为
2?16
，例如：各项系数和为
(2?)?3?81（令
x?1
）
六、概率
1. 古典概型与几何概型
4 8
1
x
4
4
1
1
44

（ 1）古典概型的概率
P(A)?
m
，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同.
n
m
表示事件
A
包含的基本事件数，
n
表示所有基 本事件数.
（2）几何概型的概率
P(A)?
?
A
，基本事件无限 ，每个基本事件出现的可能性相同.
?
?
A
表示事件
A
发 生区域的几何度量，
?
表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）
2. 互斥事件与对立事件
（1）概念理解：互斥事件——
AIB??
； 对立事件——
AIB??
且
P(A)?P(B)?1
.
（2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立.
（3）概率加法公式： 若事件
A
与
B
互斥，则
P(AUB)?P(A)?P(B)
.
3. 相互独立事件
A,B
及其同时发生的概率：
P(AB)?P(A)P(B)
.
4. 条件概率：设
A
与
B
为两个事件，且
P(A)?0< br>，则
P(B|A)?
P(AB)
，
P(A)
其中
P (B|A)
表示事件
A
发生的条件下事件
B
发生的概率.
5. 离散型随机变量及其分布列
（1）分布列性质：
p
i
?0< br>，
?
p
i?1
n
i
?p
1
?p2
?
L
?p
n
?1
.
（2）随机变量
X
的数学期望（均值）：
EX?
（3）随机变量
X
的方差：
DX?
?
xp
i
i?1
n
i
?x
1p
1
?x
2
p
2
?
L
?x
n
p
n
.
?
(x?EX)
i
i?1
n2
p
i
?(x
1
?EX)
2
p
1?(x
2
?EX)
2
p
2
?L?(x
n
?EX)
2
p
n
.
2
（4）随机变量
X
的均值与方差的性质：
E(aX?b)?aEX?b
；
D(aX?b)?aDX
.
（5）二项分布（独立重复实验）：
X~B(n ,p)
，
EX?np
，
DX?np(1?p)

kkn?k
在
n
次试验中恰好成功
k
次的概率< br>P(X?k)?C
n
p(1?p)
，
k?0,1,L,n

注意：
X
表示试验成功的次数
（6）超几何分布：在含有
M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件，其中恰有
X
件次品数，则
kn?k
C
M
C
N?M

P(X?k)?
，其中
n?N,M?N

n
C
N
6. 正态分布：
X~N(
?
,
?
)
，其中
?
表示总体平均值，
?
表示标准差
（1 ）正态总体函数
f
?
x
?
?
2
1
，
x?
?
??,??
?

e
2
??
①在正 态分布中，当
?
?0
，
?
?1
时，叫做标准正态分布，记作
X~N(0,1)
.
1
②函数
f
?
x
?
的图象关于
x?
?
对称，
f(x)?0
，
f
?
x
?
max
?

2
??
③函数
f
?
x
?
的图象与
x
轴围成的总面积为1，
P( X?
?
)?P(X?
?
)?0.5

④
?
越大，函数
f
?
x
?
的图象越“矮肥”；
?
越小， 函数
f
?
x
?
的图象越“高瘦”
(x?
?
)
2
?　
2
2
?
（2）几个重要的概率：
七、数系的扩充与复数的引入
1. 数系：
N?N?Z?Q?R?C

2. 复数的概念：形如
a?bi
(a,b?R)
的数叫做复数，其中
i
叫做虚数单位，
i??1
，
2
*
a
与
b
分别叫做复数
a?bi
的实部和虚部.
5 8

3. 复数
a?bi?c?di
的充要条件是
a?c
且
b?d
. 特例
a?bi?0
?
a?b?0
.
4. 对于复数
a?b i
，当
b?0
时，它是实数；当
a?0
且
b?0
时 ，它是纯虚数.
uuur
5. 复数的模：向量
OZ
的模，叫做复数
z?a?bi
的模，即
z?a?bi?
a
2
?b
2
.
6. 复数所在象限的确定：
z?a?bi
对应点
(a,b)
，判断点
(a,b)
所在的象限.
7. 共轭复数：
z?a?bi
的共轭复数为
z?a?bi
.
8. 复数 加、减法法则：(
a?bi
)
?
(
c?di
)=
( a?c)?(b?d)i
.
9. 复数乘、除法法则：(
a?bi
)(c?di
)=
(ac?bd)?(bc?ad)i
.
八、统计案例 < br>?
?a
?
?bx
?
用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式 ：
1. 回归直线方程为
y
?
?b
?
(x?x)(y?y )
?
xy?nxy
iiii
i?1
nn
?
(x?x )
i
i?1
n
=
2
i?1
n
?
x
i?1
2
i
?nx
2
?
（
y
?< br>?a
?
?bx
?
必过样本中心点
x,y
）
?
?y?bx，a

n
??
i
?
i
?yi
?y
?
i
；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数
R?1?
2. 残差公式：
e
n
2
?
)
?
(y?y
i
2
?
(y?y)
i
i?1
i?1
n
2
残差平方和
?
(y
i?1
i
?
i
)
2
越小，
R
2
（
0?R
2
?1
）越接近于1，回归效果越好.
?y

R
2
与
r
的区别：
R
2
为相关指数，
r
为相关系数，
r?0
时为负相关，
r?0
时为正相关，
?1?r?1
，
r
越接近于1，变量间的相关性就越强.
3. 独立性检验的解题步骤：
（1）写出列联表；
（2）据公式代数求解
K
的值；
2
2
（3）根据观测值
K
查表，如果
K?k
0
，就推断两变量 有关系，犯错误概率不超过
P
（即
2
有
1?P
的把握推断两 变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过
P
的前提下不能推
断两变量有关系
P(K
2
≥k
0
)
k
0

2
0.50
0.455
0.40
0.708
0.25
1.323
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025 0.010
5.024 6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
n(ad?bc)
2
K?,n?a?b?c?d
，（ 上表中的概率
P
是指犯错误的概率）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
九、坐标系与参数方程选讲
1. 极坐 标系的公式：
x?
?
cos
?
,y?
?
sin?
,
?
?x?y,tan
?
?
（
?
表 示极点
O
和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角）
2. 参数方程：
（1）圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程：
?
222
22 2
y
(x?0)
.
x
（
?
表示圆心和曲线上的点 的连线与
x
轴的正方向所成的角）
6 8
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）；
?
y?b?rsin
?

?
x?acos
?
x
2
y
2
（2）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)的参数方程：
?
（
?
为参数）；
ab
?
y ?bsin
?
?
x?2pt
2
*（3）抛物线
y?2px< br>的参数方程：
?
（
t
为参数）；
?
y?2pt?
x?asec
?
x
2
y
2
1
*（4 ）双曲线
2
?
2
?1
的参数方程：
?
（
?
为参数）.（
sec
?
?
）；
ab
cos
?
?
y?btan
?
2
（5）直线
y?y
0?tan
?
(x?x
0
)
的参数方程：
?
?< br>x?x
0
?tcos
?
（
t
为参数）.
y ?y?tsin
?
0
?
（
t
表示点
P
?< br>x
0
,y
0
?
到直线
l
上的任意一点
M(x,y)
的有向距离）
圆心和曲线上的点的连线与
x
轴的正方向所成的角）
3. 空间直角坐标系 ：已知向量
a=
(x
1
,y
1
,z
1
)< br>，
b=
(x
2
,y
2
,z
2
)
（1）空间向量的平行与垂直：
a
∥
b
?
（2）空间 向量的模、距离公式：
a=
x
1
y
1
z
1
??
（
x
2
,y
2
,z
2
?0
）
x
2
y
2
z
2
x
1
2
? y
1
2
?z
1
2
,
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2

（3）点
(x,y,z)
关于
x
轴对称的点为
(x,?y,?z)
，关于y
轴对称的点为
(?x,y,?z)

关于
z
轴对称的 点为
(?x,?y,z)
，关于原点
(0,0)
对称的点为
(?x, ?y,?z)

关于平面
xOy
对称的点为
(x,y,?z)
，关于平面
yOz
对称的点为
(?x,y,z)
，
关于平面
xOz
对称的点为
(x,?y,z)
，
十、空间的角与空间的距离（向量法）：
设直线
a
与
b
的 方向向量分别为
a,b
，平面
?
与
?
的法向量分别为
n
1
,n
2

（1）异面直线
a
与
b< br>所成的角
?
：则
cos
?
?
a?b
a?b< br>，
?
?(0,
?
2
]

a?n
1< br>?
（2）直线
a
与平面
?
所成的角
?
：sin
?
?　
，
?
?[0,]

cos?a, n
1
?　?
2
a?n
1
n?n
（3）二面角
?
?l?
?
的平面角
?
：
cos
?
?< br>12
，
?
?[0,
?
]

n
1
?n
2
注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角”
（4）点
P
到 平面
?
的距离：
d?
十一、补充公式与定理
1. 斜率
k
、比率
?
、离心率
e
，
e?
uuur
PA ?n
1
n
1
，其中
A?
?

?
?1
?1?k
2

?
?1
（焦点在x
轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在
y
轴，则改为
e?
2. 斜率
k
1
k
2
为定值的两个定理：
?
?11
?1?
2
）
?
?1k
7 8

x
2
y
2
椭圆
2
?
2?1
?
a?b?0
?
上的关于原点对称的两定点为
A,B
，点
M
是椭圆上的动点，
ab
b
2
b
2
直线
PQ
交椭圆于
P,Q
两点，点
N
是
PQ
的中点，则
k
MA
k
MB
??
2
，
k< br>PQ
k
ON
??
2
；
aa
x
2< br>y
2
双曲线
2
?
2
?1
?
a?0, b?0
?
关于原点对称的两定点为
A,B
，点
M
是双曲线上 的动点，
ab
b
2
b
2
直线
PQ
交双曲线 于
P,Q
两点，点
N
是
PQ
的中点，则
k
MA
k
MB
?
2
，
k
PQ
k
ON
?
2
.
aa
（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在
y
轴上，则
a,b
的位置互换）
3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线）
（1）曲线上任意一点
P
?x
1
,y
1
?
的切线方程为：
22
将原曲线 方程按照以下方式“
x?x
1
x
，
y?y
1
y，
?
x?a
?
?
?
x
1
?a
??
x?a
?
，
2
x?x
1
y?y
1，
y?
”置换得到.
22
（2）过曲线外任意一点
P
?
x
0
,y
0
?
引曲线的两条切线，切点
A
,
B
所在的直线方程为：
?
y?b
?
2
??
y
1
?b
??
y?b
?
，
x?22
将原曲线方程按照以下方式“
x?x
0
x
，
y?y
0
y
，
?
x?a
?
?
?
x
0
?a
??
x?a
?
，
2
x?x
0y?y
0
，
y?
”置换得到.
22
4. 求点
A
关于直线
x?y?m?0
（
x?y?m?0
）的对称点
A
?
可以用“
x
,
y
交叉置换法”
快速求解. 例 如求
A
?
3,2
?
关于
x?y?3?0
的对称点< br>A
?
?
x
0
,y
0
?
，①把
x?y?3?0
进行交
?
y?b
?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
，
x?
2
?
x
0
?y?3
叉置换
?
，②
A
?
3,2
?
代入即可求得
A
?
?
x
0
,y
0
?
为
A
?
?
?1,6
?
.
?
y
0
?x?3
（注意：当对称轴的斜率
k??1
时才可以用 此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法）.
5. 复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到 整体函数
g
?
x
?
，常见的
g
?
x
?
有
8 8