高中数学常用公式及结论推导应用大全

b4ac?b
2
b4ac?b
2
?1
（1）顶点坐标 为
(?
（2）焦点的坐标为
(?,)
；
,)
；
2 a4a2a4a
4ac?b
2
?1
（3）准线方程是
y?
.
4a
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
或
AB?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(1?k
2
)[(x
2
?x< br>1
)
2
?4x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y< br>2
|1?cot
2
?

（弦端点A
(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0

?
F(x,y)?0
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率，
|x
1
?x
2
|? (x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
64 向量的直角坐标运算：
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则：
(1)
a
＋
b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)< br>；
(2)
a
－
b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3< br>)
；
(3)λ
a
＝
(
?
a
1,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·
b
＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
；

14

65 夹角公式：
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
cos?a,b??
66 异面直线间的距离 ：
a
1
b
1?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a< br>2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
12
2
2
3
.
d?
|CD?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
|n|
67点
B
到平面
?
的距离：
d?
|AB?n|
（
n
为平面
?
的法向量，
A?
?，
AB
是
?
的一条斜线段）.
|n|
4
?< br>R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
68球的半径是R，则其体积
V?
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体
的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
6
a

12
(正四面体高
13
666
a
的),外接球的半径为
a
(正四 面体高
a
的).
44
343
70 分类计数原理（加法原理）：< br>N?m
1
?m
2
?
分步计数原理（乘法原理）：
N? m
1
?m
2
?
m
71排列数公式 ：
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
?m
n
.
?m
n
.
n！
*
.(
n
，
m< br>∈N，且
m?n
)．规定
0!?1
.
(n?m)！
72 组合数公式：
C
m
n
=
An
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
n！
*
= =(∈N，
m?N
，且
m?n
).
n
m
1?2?
?
?m
m！?(n?m)！
A
m
mn?mmm?1m0组合数的两个性质:(1)
C
n
=
C
n
(2) < br>C
n
+
C
n
=
C
n
.规定
C
?1n
?1
.
0n1n?12n?22rn?rrnn
73 二项式定理
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab? C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b

rn?rr
1，2?，n)
. 二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
f(x)?(ax ?b)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?

?a
n
x
n
的展开式的系数关系：
15

a
0
?a
1
?a
2
??a
n
?f(1)
；
a
0
?a
1
?a
2
??(?1)
n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?f(0)
。
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分 别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
)．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kkn?k
76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
P.

n
(k)?C
n
P(1?P)
77 数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?数学期望的性质
?x
n
P
n
?

（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （ 2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
??k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
E
?
?
78方差：
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?< br>?p
2
?
标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：
(1)
D
?
a
?
?b
?< br>?a
2
D
?
；
(2）若
?
～
B( n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且
P(
?
22
1
.

p

?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
， 则
D
?
?
2
q
.

2
p
2
方差与期望的关系：
D
?
?E
?
?
?
E
?
?
.
2
x?
?
??
?
79正 态分布密度函数：
f
?
x
?
?
1
e
2?
6
26
2
,x?
?
??,??
?
，
式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准 差.
对于
N(
?
,
?
)
，取值小于x的概率：< br>F
?
x
?
??
?
2
?
x?
?
?
?
.
?
??
P
?
x
1?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2?
?P
?
x?x
1
?

80
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率）：

16

f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
.
x?x
0
?x?0
?x
?x?0
? x
?ss(t??t)?s(t)
?lim
瞬时速度：
?
?s
?
(t)?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t)
?lim
瞬时加速度：
a?v
?
( t)?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
f
?
(x
0
)?y
?
?lim
81 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
，相应的切
线方程是
y?y
0?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
82 几种常见函数的导数：
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx
n?1
(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?
?
(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
83 导数的运算法则：
1
1
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
u
'< br>u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)? u?v
.（2）
(uv)?uv?uv
.（3）
()?
2
v v
''''''
84 判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法：
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
85 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a ,b,c,d?R
）
86 复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
| z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
87 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
2

17

2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
2b
;
2a
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R< br>内没有实数根；在复数集
C
内有且仅有两个共轭复数根
?b??(b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
.
2a






高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合
B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x
2
,x∈R},N={y｜
22
y=x+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x, y）｜y=x
2
,x∈R},N={(x,y)｜y=x+1,x∈R}求M∩N的区别。
3． 集合 A、B，
A?B??
时，你是否注意到“极端”情况：
A??< br>或
B??
；求集合的子集
A?B
时是否忘记
?
. 例 如：
?
a?2
?
x
2
?2
?
a?2
?
x?1?0
对一切
x?R
恒成立，求a的取植范围，你讨
论了a ＝2的情况了吗？
2?1，
4． 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2，

n
2
n
?1，

2?2.
如满足条件
{1 }?M?{1,2,3,4}
的集合
M
共有多少个
nn
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其
中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有
多少 种不同的选法？
6． 两集合之间的关系。
M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}

7． (C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B) (C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)；
A?B?B?B?A
；

18

8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
P且q
真
假
假
假
逆命题
若q则p
P或q
真
真
真
假
9、 命题的四种形式及其相互关系:
原命题

若

p

则

q
互 逆

互 互

否命题
互

为
逆否命题
互



若﹃ｐ则﹃
否
q
逆 逆
若﹃ｑ则﹃ｐ
否
否 否
否 否
否 互 逆


原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映 射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪
几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数
y?f
?
x?
对于一切
x?R
，都有
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
或f（2a-x）=f（x），那么函数
y?f< br>?
x
?
的图象关于直线
x?a
对称.
②函 数
y?f
?
x
?
与函数
y?f
?
?x?
的图象关于直线
x?0
对称；
函数
y?f?
x
?
与函数
y??f
?
x
?
的图象 关于直线
y?0
对称；
函数
y?f
?
x?
与函数
y??f
?
?x
?
的图象关于坐标原点对称.

19

③若奇函数
y?f
?
x< br>?
在区间
?
0,??
?
上是递增函数，则
y?f?
x
?
在区间
?
??,0
?
上也是递增函数．
④若偶函数
y?f
?
x
?
在区间
?0,??
?
上是递增函数，则
y?f
?
x
?
在 区间
?
??,0
?
上是递减函数．
⑤函数
y?f
?
x?a
?
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?< br>x
?
的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数
y?f
?
x ?a
?
(
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x< br>?
的图象沿x轴向右平移
a
个单位得到的；
函数
y?f?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数
y?f
?
x
?
+a
(a?0)
的图象是把函数
y?f
?
x
?
助图象沿y轴向下平移
a
个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13、求 函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=
x(4?x)
lg(x?3)
2
的定义域是 ；
复合函数的定义域弄清了吗？函数
f(x)
的定义域 是[0,1],求
f(log
0.5
x)
的定义域. 函数
f(x)
的定义域
是[
a,b
],
b??a?0,
求函数
F(x)?f(x)?f(?x)
的定义域
14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公 共
定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘< br>积是奇函数;
15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数
单调性的一种重要方法。
16、函数
y?x?
a
x
?
a?0
?
的单调区间吗？（该函数在
???,?a
和
??
a,??
?
上单调递增；在
?
?a,0

?
和
0,a
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
17、函数问题时，你注意到真 数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底
数还需讨论呀.
1 8、换底公式及它的变形，你掌握了吗？（
log
a
b?
log
a< br>b
?
?
log
c
b
,log
a
n< br>b
n
?log
a
b
）
log
c
a
19、你还记得对数恒等式吗？（
a
2
?b
）
2
20、“实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
有实数解”转化为“
??b?4ac ?0
”，你是否注意到必
2
须
a?0
；当a=0时，“方程有解”不 能转化为
??b?4ac?0
．若原题中没有指出是“二次”方
程、函数或不等式，你 是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式

20

21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二 倍角公式:________________；解题
时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函 数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,
化切割为弦,用倍角公式将高次降次,
22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单
调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
23、在三角中，你知道1等于什么吗 ？（
1?sinx?cosx?secx?tanx

2222
?
t anx
?
cotx
?
tan
?
4
?
sin
?
2
?cos0???
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广
泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；
诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）
24、在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换 ．（如
?
?(
?
?
?
)?
?
,
?
?(
?
?
?
)?
?
,

?
?
?
2
?
??
?
??
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
等）
2
??
2
??
25、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分 母不含三角函数、且能求出值
的式子，一定要算出值来）
26、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化 同
角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cosx=(1+cos2x)2;sinx =(1-cos2x)2
27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（
sin15??cos75??
22
6?26?25?1
）
,sin75??cos15??,sin18??
444
1
lr
)
2
28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
l?
?
r,S
扇形
?
29、 辅助角公式：
asinx?bcosx?
角的 值由
tan
?
?
a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
(其中
?
角所在的象限由a, b 的符号确定，
?
b
确定)在求最值、化简时起着重要作用.
a
30 、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值
时的 x值的集合吗？（别忘了k
?
Z）
三角函数性质要记牢。函数y=
Asin (
?
?x?
?
)?
k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=
2
?
?
, 若x=x
0
为此 函数的对称轴，则x
0
是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到
最值的x的集合为 ， 当
?
?0,A?0
时函数的增区间为 ，减区间为 ；

21

当
?
?0
时要利用诱导公式将< br>?
变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：令
?
x?
?
依次为
0
31、三角函数图像变换还记得吗？
?
?
2,
?
,
3
?
,2
?
求出x与y，依点
?
x,y
?
作图
2
平移公（1）如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
'
?
?
x?x?h,

?
'
?
?
y?y?k.
（2） 曲线f（x，y）=0沿向 量
a?
?
h,k
?
平移后的方程为f（x-h，y-k）=0
32、有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式
33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围
及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
?
0,
?
?
?
?
?
,[0,],[0,
?
]
.
?
2
?
2
?
?
2
]
． ②直线的倾斜角、
l
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2
的夹角的取值范围依次是
[0,
?
),[0 ,
?
),(0,
34、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达 式）
35、分式不等式
f
?
x
?
?a
?
a?0
?
的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变
??< br>gx
为正值，奇穿偶回）
36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
?
a? b
?
?
37、利用重要不等式
a?b?2ab
以及变式
a b?
?
你是否注意到a，b
?R
?
等求函数的最值时，
?< br>2
?
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相
等)
2
a
2
?b
2
a?b2ab
38、； a、b、c
?
R，
??ab? , (a , b?R
?
)(当且仅当
a?b?c
时，取等号）
22a?b
a
2
? b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c时，取等号）；
39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
0?a?1
或
a?1
）讨论完之后，
要写出：综上所述，原不等式的解集是 ……．
40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
41、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

22

三、数列
42、等差数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q< br>，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q；（2）
数列{a
2n?1
}, {a
2n
}, {ka
n
?b}仍成等差数列
；
S
n
, S
2n
?S
n
, S
3n
?S
2n
仍成等差数列

（3）若三数成等差数列， 则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-
d
、a-
d
、a+d
、a+
d
；
（4）在等差数列中,求S
n
的最大 (小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,
而它后面各项皆取负(正) 值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a
1
>0,d<0,解不等式
组 a
n
≥0 a
n+1
≤0 可得S
n
达最大值时的n的值;当a
1
<0,d>0,解不等式组 a
n
≤0 a
n+1
≥0 可
得S
n
达最小值时的n的值;（5）．若a
n
,b
n
是等差数列,S
n
,T
n
分别为a
n
,b
n
的前n项和,则
a
m
S
2m?1
。.（6）.若{
a
n
}是等差数列，则{
a
a
n
}是等比数列，若{
a
n
}是等比数列且
a
n
?0
，则{
loga
a
n
}
?
b
m
T
2m?1
3
2
1
2
1
2
3
2
是等 差数列.
43、等比数列中的重要性质：（1）若
m?n?p?q
，则
a< br>m
?a
n
?a
p
?a
q
；（2）
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k?S
2k
成等比数列
44、你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分 类讨论．（
q?1
时，
S
n
?na
1
；
q ?1
时，
a
1
(1?q
n
)
）
S
n
?
1?q
45、等比数列的一个求和公式：设等比数列
?
an
?
的前n项和为
S
n
，公比为
q
, 则
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
．
46、等差数列的一个性质：设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前n项和，
?
a
n
?
为等差数列的充要条件是
S
n
?an
2
?bn
（a, b为常数）其公差是2a.
47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若
c
n
?a
n
b
n
，其中
?
a
n
?
是等差数列，< br>?
b
n
?
是等
比数列，求
?
c
n< br>?
的前n项的和）
48、用
a
n
?S
n
? S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到
a
1
?S
1
了吗？
49、你还记得裂项求和吗？（如
四、排列组合、二项式定理

23
111
??
.）
n(n?1)nn?1

< br>50、解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
51、解排列组 合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；
多元问题分类 法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候
用隔板法？
m
52、排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：
P
n
m
?m！

?C
n
n
组合数性质：
C
m
n
=
C
n?m
n

C
m
n
+
C
m?1
=
n
C
m
n?1

?
C
r?0
r
n
=
2
n
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1

0n1n?12n?22rn?rrnn
二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
? C
n
ab?
?
?C
n
b

rn?rr二项展开式的通项公式：
T
r?1
?C
n
1，2?，n)

ab
(r?0，
五、立体几何
53、有关平行垂直的证明主要利用线面 关系的转化：线线
?
线面
?
面面，线⊥线
?
线⊥面
?
面⊥面，垂直常用向量来证。
54、作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂 线法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三
作斜线，射影可见.
55、二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
56、求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找 球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你还记得经度
及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角 )
59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F为面 数)，棱的两种
算法，你还记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=
六、解析几何
60、设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？
（例如：一条直线经过点
?
?3,?
?
，且被圆
x?y?25截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。
该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
61、定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及
?
值可要搞清）
线段的定比分点坐标公式

24
nFmV
；②多面体每个顶点出发有m条棱，则E=)
22
?
?< br>3
?
2
?
22

设P（x，y） ，P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
） ，且
P
1
P?
?
PP
2
，则
???
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x
1
?x
2
?
x?
?
?
1?
?
2
中点坐标公式
?

y
1
?
?
y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
1?
?2
?
62、若
A(x
1
,y
1
)，B(x2
,y
2
)，C(x
3
,y
3
)
，则 △ABC的重心G的坐标是
?
用定比分点解题时，你注意到
?
??1
了吗？
?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
，
?
在利
33
??
63、在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何 中一般提到的
两条直线可以理解为它们不重合.
64、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式 、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点
斜式不适用于斜率不存在的直线）
65、对不重合的两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，有：
?
A
1
B2
?A
2
B
1
l
1
l
2
?< br>?
；
l
1
?l
2
?A
1
A2
?B
1
B
2
?0
．
AC?AC
2 1
?
12
66、直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
67、直线 在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为
在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
68、两直线
Ax?By?C
1
?0
和
Ax?By?C
2
?0
的距离公式d=——————————
69、直线的方向向量还记得吗？直线的 方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L的方向向量为
m
=
（x
0
，y
0
）时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k时，直线的方向向量
m< br>=—————
70、到角公式及夹角公式———————，何时用？
71、处理直线 与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别
式. 一般来说，前者更简捷．
72、处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
73、在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质.
74、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结
伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。（焦半径公式：< br>椭圆：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
；双曲线：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
（其中F
1
为左焦点F
2
为右焦

25
xy
??1
，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx
ab

点

）；抛物线：|PF|=|x
0
|+
p
）
2
75 、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式
??0
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
??0
下进行）. < br>76、椭圆中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
； 准线方程为
————
；焦点到相应准线距离为
————
双
曲 线中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为————
；焦点到相应准线距离为
————

77、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
78、你知道吗？解析几何中解题关键就是把 题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有
时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、 共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、
平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参 数方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数
形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟 ！
79、你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
80、在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，
其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。
如：求 2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范围，但也可以不用线性规划。
七、向量
81、两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意
a?
?
b
是向量平行的充分不必要
条件。(定义及坐标表示)
82、向量可以解决有关夹 角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|
a
|=
a
·
a< br>，
cosθ=
2
a?b
|a||b|
?
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
1
2
?y
1
2
x
2
2
?y
2
2< br>83、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意< br>a?b?0
是向量
a和向量b
夹角为钝角的必要而非充分条件。
84 、向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即
a(b?c )?(a?b)c
，切记两向量不能相除。
85、你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的 实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线
的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清 楚吗？
86、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对 于一个向
量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不
能两边同除以一个向量。

26

87、 向量的直角坐标运算
设
a?
?
a
1
,a
2< br>,a
3
?
,b?
?
b
1
,b
2,b
3
?
,则
a?b?
?
a
1
?b< br>1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3?

?
????
a?b?
?
a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3< br>?

?
a?
?
a
1
,
?< br>a
2
,
?
a
3
?
?
?R
?

???
??
??
??
22

a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

a?a?a?a
1
2
?a
2
?a
3
cos?a,b??
??
??
a
1b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b2
1
2
2
2
3

??
ab?a
1
?
?
b
1
,a
2
?
?
b2
,a
3
?
?
b
3
,
?
?< br>?R
?
,
a?b?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?0

设A=
?
x
1
,y
1
,z
1
?
, B=
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,
则
AB?OB?OA?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
-
?
x
1
,y
1
,z1
?
=
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
?


AB?
八、导数
88、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。
n
'< br>89、几个重要函数的导数：①
C?0
,（C为常数）②
x
????
AB?AB?
??
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

??
?nx
?
n?Q
?

'
n?1
导数的四运算法则
?
?
?
?
?
?
?
'< br>?
?
'

'
90、利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带上等号。
91、
f
?
(x
0
)=0是函 数f(x)在x
0
处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x
0
处取得极 值的充分要条件是
什么？
92、利用导数求最值的步骤：（1）求导数
f
（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值.
93、求函数极值的方法：先找定义域，再 求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。告诉函数
的极值这一条件，相当于给出了两个条件： ①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值。
九、概率统计
94、有关某一事件 概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转
化为若干个互斥事 件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的
概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

27
'
?< br>x
?
（2）求方程
f
'
?
x
?
=0 的根
x
1
,x
2
,
?
,x
n

（1）若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A 、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1一般地,
pA?1?P
?
A
?< br>
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概
kk
率：
P
n
?
K
?
?C
n
p
?
1?p
?
n?k
??

95、抽 样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征
是从总 体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，
每一部分只取 一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的
共同特征是每个个体 被抽到的概率相等。
96、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
十、解题方法和技巧
97、总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作 大题，选择题力保速度和准确度
为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路 或计算太复杂可以放弃，
对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中 学会放弃，摆脱一
个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。
98、解答选择题的特殊方法是什么？
(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等)
99、 答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）
100、解答应用型问题时，最基本要求是什么？
101、 审题、找准题目中的关键词，设 未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会
跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可 以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用
“由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得 ”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补
证”即可。



数学高考应试技巧
数学考试时，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技< br>巧，可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。

28

考试注意：
１．考前５分钟很重要
在考试中，要充分利用考前５分 钟的时间。考卷发下后，可浏览题目。当准备
工作（填写姓名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题 ，通读一遍，做到
心中有数。
２．区别对待各档题目
考试题目分为易、中、难三种 ，它们的分值比约为３：５：２。考试中大家要
根据自身状况分别对待。
⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。
⑵做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有８０％的完成度。
⑶做难题时，大家通常会感觉无从下手。这时要做到：
①多读题目，仔细审题。
②在草稿上简单感觉一下。
③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻 底投降。解
答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每
一个问 ，考生都要认真对待。
３．时间分配要合理
⑴考试时主要是在选择题上抢时间。
⑵做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重
新检查”的念头而在后面浪 费太多的时间用于检查。
⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。




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