高中数学常用公式定理(113个知识点)

高中数学常用公式定理
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

3．集合A中有n
(n?N)
个元素，则集合A的所有不同子集个数共有
2< br>n
个；真子集有
2
n
–
1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子集有
2
n
–2个.
4. 二次函数
y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
2
b
，顶点坐标 是
2a
?
b4ac?b
2
?
?
?
?
2a
，
4a
?
?
二次函数的解析式的三种形式:
??
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
5.解连续不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式：
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

6. 方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x 轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
零点存在性定理:
函数在区间
[a,b]
上的图像是连续的，且
f(a)f(b)?0
，那么 函数
f(x)
在区间
[a,b]
上至
少有一个零点. 即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
，这个c也就是方程
f(x)?0的根.
7.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax?b x?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x? ?
2
2
2
b
处
2a
及区间的两端点处取得.
8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：
真值表 ：
ｐ ｑ 非ｐ
真 真 假
真 假 假
假 真 真
假 假 真
原结论
是
都是
ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真
真
真
假
反设词
不是
不都是
真
假
假
假
原结论 反设词
9. 命题中常见结论的否定形式：
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个

大于
小于
对所有
x
，
成立
对任何
x
，
不成立
10.四种命题的相互关系

不大于
不小于
不成立
成立
至少有
n
个
至多有
n
个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

存在某
x
，

p
或
q

?p
且
?q


存在某
x
，

p
且
q

?p
或
?q

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
注意：全称命题与存在命题的否定关系。

11.充要条件：
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f( x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(2)设函数
y?f( x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减 函数.
13.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则在公共 定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数;
如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x )]
是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函
数是偶函数．

15.若函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)；若函数
y?f(x?a)
是偶函数，
则
f(x?a)?f(?x?a)
.
16.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f (x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
a?ba ?b
;两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
22
17. 函数
y?f(x)
的图象的对称性: ①函数
y?f(x)
的图象关于直线< br>x?a
对称
x?
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)< br>.②函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象
关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
nn?1
18．多项式函数P(x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶性 < br>多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项 )的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
19.函数
y?f(x)
的图象的对称性
函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x )?f(a?x)
?f(2a?x)?f(x)
.
20.若将函数
y?f( x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f(x? a)?b
的图象；
若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
21.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
1
(
f
(
x
)
?
0)
，
f(x)
1
或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,
f(x)
或
f(x?a)?
则
f(x)
的周期T=2a；
22.分数指数幂 ：
(1)
a
(2)
a
m
n< br>?
?
1
n
?
m
n
a
m
1< br>m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a
23．根式的性质：
n
（1）
(
n
a
)
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
a?a
；
n
n
当
n
为偶数时，
a
n
?|a|?
?
n
?a,a?0
.
?
?a,a?0
24．有理指数幂的运算性质：
(1)
a?a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算
性质 ，对于无理数指数幂都适用.
25.指数式与对数式的互化式：

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

26.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
推论
log
a
m
b
n
?
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,< br>n?1
,

N?0
).
m
log
a
N?
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M( n?R)
.
(2)
log
a
2
27.设函数
f (x)?log
m
(ax?bx?c)(a?0)
,记
??b
2?4ac
.若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
，且
??0
;若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
，且
??0
.对于
a?0
的情形,需要单独检
验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
， 则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
29.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?
s ?s,n?2
?
nn?1
30.等差数列的通项公式
?a
n
).
a
n
?a
1
?(n?1)d ?dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为 < br>s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n? 1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n< br>.
2222
31.等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1? q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1
32.若m、n、p、q∈N ，且
m?n?p?q
，那么：当数列
?
a
n
?
是等 差数列时，有

a
m
?a
n
?a
p
? a
q
；当数列
?
a
n
?
是等比数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
。
33. 弧长公式：
l?
?
?r
（
?
是圆心角的弧 度数，
?
>0）；
扇形面积公式：
S?
1
l?r
；
2
y
， cos
?
=
r
34．三角函数的定义:以角
?
的顶点为坐标 原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角
?
的终边上任取一个异于原点的点
P( x,y)
，点P到原点的距离记为
r
，则sin
?
=
xy
，tan
?
=，符号法则:全STC.
r
x
35.同角三角函数的基本关系式 :
平方关系：
sin2
?
?cos
2
?
?1
，”1”的代换.商数关系:< br>tan
?
=
sin
?
，弦化切互化.
cos
?
36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。 n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?,
sin(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)
2
cos
?
,
?
n
?
n
?
?
(?1)
2
cos
?
,

cos(

?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
３７.和角与差角公式：

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
.
1tan
?
ta n
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
??
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公 式);
tan(
?
?
?
)?
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?< br>?sin
2
?
.
注意：二化一(辅助角)公式
asin?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin (
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限
由点(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
3８.二倍角公式 ：
b
).

a
sin2
?
?sin
?
cos
?
. < br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
2
1?ta n
?
注意:半角公式是：sin
1?cos
?
1?cos
?
?
?
=
?
cos=
?

22
22
tan
1?cos
?
1?cos
?
sin?
?
=
?
==
。
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
2